画像処理 05. Filters フィルタ

(1)

画像処理 05. Filters フィルタ

金帝演

線形フィルタの種類 ^（ Types of Linear Filter ）

 線形フィルタの効果はフィルタマトリクスによって決定されるために無数の線形フィルタが存在

 平滑化フィルタ

 ボックスフィルタ（Box filter）

 ガウシアンフィルタ（Gaussian filter）

 差分フィルタ（Difference filter）

ボックスフィルタ（ Box filter ）

 一番簡単なフィルタ

 最適な平滑化フィルタとしては程遠い

 周波数空間での粗い処理

（

Sharp cutoff

）

(2)

ガウシアンフィルタ（ Gaussian filter ）



2

次元ガウス関数に対応する平滑化フィルタ



𝜎

は標準偏差（釣鐘型関数の幅）



𝑟

は中心からの距離（半径）

 中心ピクセルが最大の重み

 離散フィルタ行列が十分大きい場合はアナログガウスフィルタと等方性を持つ



Box filterより優秀

2020/11/20 jykim 5

差分フィルタ（ Difference filter ）



, ∈



𝑅

は

𝐻 𝑖, 𝑗 0



𝑅

は

𝐻 𝑖, 𝑗 0

 ラプラスフィルタ（

Laplace filter

）

 エッジ検出と画像鮮鋭化に利用

2020/11/20 jykim 6

線形フィルタの特性

(Formal Properties of Linear Filters)

 線形畳み込み（Linear Convolution）

 線形畳み込みの特定（

Properties of Linear Convolution

）

 線形フィルタの可分性（

Separability of Linear Filter

）

 フィルタのインパルス応答（

Impulse Response of a Filter

）

線形畳み込み（ Linear Convolution ）

 同じ次元の2つの関数の結合

 畳み込み演算

 フィルタ適用での式

5.5

と一致

𝐼 𝑢, 𝑣 𝐼 𝑢 𝑖, 𝑣 𝑗 · 𝐻 𝑖, 𝑗 5.14

（

*

は畳み込み演算子）

𝐼 𝑢, 𝑣 ← 𝐼 𝑢 𝑖, 𝑣 𝑗

, ∈

· 𝐻 𝑖, 𝑗 5.5

(3)

線形畳み込み（ Linear Convolution ）

 式

5.5

との違い

 総和における変数

𝑖, 𝑗

の範囲



𝐼 𝑢 𝑖, 𝑣 𝑗

の座標系における負の符号

2020/11/20 jykim 9

𝐼 𝑢, 𝑣 𝐼 𝑢 𝑖, 𝑣 𝑗 · 𝐻 𝑖, 𝑗

, ∈

𝐼 𝑢 𝑖, 𝑣 𝑗 · 𝐻 𝑖, 𝑗

, ∈

𝐼 𝑢 𝑖, 𝑣 𝑗 · 𝐻

^∗

𝑖, 𝑗

, ∈

5.16

180^◦回転

線形畳み込みの例

2020/11/20 jykim 10

線形畳み込みの特性

^（Properties of Linear Convolution）

 可換性（Commutativity）



 線形性（

Linearity

）



 連想性（Associativity）



線形フィルタの可分性

（Separability of Linear Filter ）

 が複数のカーネルの畳み込みカーネルの場合



 フィルタ操作は



(4)

x/y- 可分性

 フィルタは1次元カーネルとで構成されている場合

 画像にフィルタを適用した場合



2020/11/20 jykim 13

𝐻 1 1 1 1 1 𝑎𝑛𝑑 𝐻 1 1 1

𝐻

分離可能なガウシアンフィルタ

 フィルタ関数がつの次元関数の外積で表現可能であれば2次元フィルタは分離可能



2次元ガウシアン関数



2次元ガウシアンフィルタ

^, は

1次元ガウシアンフィルタ

^, ^, により実現可能

2020/11/20 jykim 14

, , ,

フィルタのインパルス応答

^（Impulse Response of a Filter）

 線形畳み込みは2つの関数を含むバイナリ演算であり、単位元（

Neutral element

）を持つ

 インパルス（Impulse）またはDirac関数



インパルス応答

 関数をフィルタカーネルとして利用した場合、

その結果は入力画像（元画像）そのまま

入力

(5)

インパルス応答

 入力関数がインパルスの場合、フィルタ操作後の結果はフィルタそのまま



2020/11/20 jykim 17

入力

線形フィルタ

 平滑化またはノイズ除去時に画像の品質を均等に低下

 特にノイズ除去のために利用

2020/11/20 jykim 18

線形フィルタ適用の例（インパルス）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I H

1 1 1 1 1

線形フィルタ適用の例（インパルス）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=(0*1+0*1+0*1+0*1+0*1)/5 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

(6)

線形フィルタ適用の例（インパルス）

2020/11/20 jykim 21

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

0=(0*1+0*1+0*1+0*1+0*1)/5 1 1 1 1 1

線形フィルタ適用の例（インパルス）

2020/11/20 jykim 22

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

2=(0*1+0*1+0*1+0*1+10*1)/5 1 1 1 1 1

線形フィルタ適用の例（インパルス）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

4=(0*1+0*1+0*1+10*1+10*1)/5 1 1 1 1 1

線形フィルタ適用の例（インパルス）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

4=(0*1+0*1+10*1+10*1+0*1)/5 1 1 1 1 1

(7)

線形フィルタ適用の例（インパルス）

2020/11/20 jykim 25

10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

4=(0*1+10*1+10*1+0*1+0*1)/5 1 1 1 1 1

線形フィルタ適用の例（インパルス）

2020/11/20 jykim 26

10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

4=(10*1+10*1+0*1+0*1+0*1)/5 1 1 1 1 1

線形フィルタ適用の例（インパルス）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

2=(10*1+0*1+0*1+0*1+0*1)/5 1 1 1 1 1

線形フィルタ適用の例（インパルス）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

0=(0*1+0*1+0*1+0*1+0*1)/5 1 1 1 1 1

(8)

非線形フィルタ（ Nonlinear Filters ）

 元のピクセル値がいくつかの非線形関数によって結合される場合、そのフィルタを「非線形フィルタ」と呼ぶ

 最大値と最小値フィルタ（

Max and Min Filter

）

 メディアンフィルタ（

Median Filter

）

 重み付けメディアンフィルタ（Weighted Median Filter）

2020/11/20 jykim 29

最大値と最小値フィルタ

（

Max and Min Filter

）

 一番簡単な非線形フィルタ



 ここで、Rはフィルタの領域

2020/11/20 jykim 30

最小値フィルタ適用の例（インパルス）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I H

1 1 1 1 1

最小値フィルタ適用の例（インパルス）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=min(0,0,0,0,0) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

(9)

最小値フィルタ適用の例（インパルス）

2020/11/20 jykim 33

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=min(0,0,0,0,0) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

最小値フィルタ適用の例（インパルス）

2020/11/20 jykim 34

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=min(0,0,0,0,1) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

最小値フィルタ適用の例（インパルス）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=min(0,0,0,1,1) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

最小値フィルタ適用の例（インパルス）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=min(0,0,1,1,0) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

(10)

最小値フィルタ適用の例（インパルス）

2020/11/20 jykim 37

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=min(0,1,1,0,0) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

最小値フィルタ適用の例（ステップ）

2020/11/20 jykim 38

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=min(0,0,0,0,0) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

最小値フィルタ適用の例（ステップ）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=min(0,0,0,0,0) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

最小値フィルタ適用の例（ステップ）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=min(0,0,0,0,10) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

(11)

最小値フィルタ適用の例（ステップ）

2020/11/20 jykim 41

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=min(0,0,0,10,10) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

最小値フィルタ適用の例（ステップ）

2020/11/20 jykim 42

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=min(0,0,10,10,10) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

最小値フィルタ適用の例（ステップ）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

0=min(0,10,10,10,10) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

最小値フィルタ適用の例（ステップ）

10

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

I

10=min(10,10,10,10,10) 10

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

I

1 1 1 1 1

(12)

2020/11/20 jykim 45 元画像

Minimumフィルタ適用後

Maximumフィルタ適用後

白の雑音は除去

（輝度値が高い雑音）

黒の雑音は除去

（輝度値が低い雑音）

メディアンフィルタ（ Median Filter ）

 中央値は順位序列の統計

 すべての画像のピクセル値をフィルタ領域

R

におけるピクセルの中央値に入れ替え



2020/11/20 jykim 46

整列

メディアンフィルタの影響

 （教科書修正要）

ディアンフィルタ適用後

（中央値）

Boxフィルタ適用後

（平均値）

元画像

(13)

重み付きメディアンフィルタ

^（Weighted Median Filter）

 フィルタ領域内の位置に個々の重みを割り当てる

 対応するピクセル値の投票数として解釈

 _{, ∈}

 例えば、



L=15



L=5

2020/11/20 jykim 49

重み付きメディアンフィルタ

^（Weighted Median Filter）

2020/11/20 jykim 50

課題

 下記の項目のプログラムを作成し、その結果を提示してください。ただし、フィルタの大きさは

5

×

5

。

 平坦化（

lena_gray.bmp

を利用）

 ボックスフィルタ

 ガウシアンフィルタ

 非線形フィルタ（lena_gray_noise.bmpを利用）

 Minimumフィルタ

 Maximumフィルタ

 メディアンフィルタ（lena_gray_noise.bmpを利用）

 提出締め切り

 次に授業開始前まで

画像処理 05. Filters フィルタ