§2 線形写像

2019年度・線形代数学・同演義II 2019^年10^月10^日

§2 線形写像

今回の内容は教科書p. 114およびpp. 117–118に相当します．また最後の問題2.5は，

教科書2.6^節，2.7^{節の内容の復習です．}

2.1 ［参考：教科書の例題4.2］

V ={ f : R→ R| f は無限回微分可能}^{とおく．この}V は実線形空間である．

(1) Φ:V →V ^を，f ∈V ^に対し

Φ(f)(x)= f^′(x)+2f(x)

と定めることにより定義する（もっと簡単に，Φ(f)= f^′+2f などと書くことも多 い）．Φが線形写像であることを示せ．

(2) Φ:V →V を，f ∈V に対し

Φ(f)(x)= f^′(x)+x f(x−1)

と定めることにより定義する．Φが線形写像であることを示せ．

(3) Φ:V →V を，f ∈V に対し

Φ(f)(x)= f^′(x)+ f(x)²

と定めることにより定義する．Φが線形写像でないことを示せ．

2.2 K = R^またはK = Cとする．任意の線形写像Φ: Kⁿ → K^mは，K の元を成分とす るあるm×n^行列A^によって

Φ(x)= Ax （任意のx ∈K^{n について）}

と表される．そのことを証明せよ．

2.3 ^{［出典：教科書の問}4.6^］

次の写像Φ: R[x]n+1 → R[x]n が線形写像であることを示せ．ただし，R[x]n は実数 を係数とするn次以下のx の多項式全体のなす実線形空間である．

(1) 多項式 f(x) ∈V に対して

f^′′(x)+ f(x) − f(1) x−1 を対応させる写像Φ．

(2) ^多項式 f(x) ∈V ^に対して(x+1)f^′′(x) − f^′(x)^{を対応させる写像}Φ． (3) ^多項式 f(x) ∈V ^に対して x f^′′(x)+x²f(1)^{を対応させる写像}Φ．

2.4 V ^を実数列{a_n} の全体からなる実線形空間とする．写像Φ:V →V ^を，{a_n} ∈V に対し数列{b_n}^を

b_n = a_n+1−2a_n

により定め，Φ({a_n})= {b_n}とおくことによって定義する．

(1) Φが線形写像であることを示せ．

(2) Φの核KerΦとは，具体的にはどのような数列からなる集合か．説明せよ．

(3) Φの像ImageΦがV に一致することを示せ．

2.5 ［参考：教科書の例題2.5．係数行列は問2.10からとった］

A= ©­

«

1 2 3 1

1 −1 1 −1 3 0 5 −1 ª®

¬ とおき，行列 A^{の定める線形写像}Φ_A: R⁴ →R^{3，すなわち}

Φ_A(x)= Ax を考える．

(1) 行基本変形を用いて，Aを標準形（教科書p. 49の式(2.16)の形）に変形せよ．

また，rankAを求めよ．（以下の問題ではr =rankAとおく．）

(2) Φ_Aの核 KerΦ_A = {x ∈R⁴ | Ax =0} を張るような，線形独立な4−r ^個のR⁴ のベクトルの一例を挙げよ．［注：「ベクトル x₁, . . ., x_k が{x ∈R⁴ | Ax= 0} ^を 張る」というのは，{x ∈R⁴ | Ax = 0}に属するすべてのベクトルが x₁,. . ., x_k の 線形結合として表されるということ．］

(3) Φ_A の像 ImageΦ_A = {y ∈R³ | Ax = y をみたす x ∈R^{4が存在する}} ^を張るよ うな，線形独立なr 個のR³のベクトルの一例を挙げよ．