線形代数 I 1. 2 つのベクトル a = (a1,a2,a3),b = (b1

(1)

1. 2つのベクトル a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃) のなす角の余弦(cos)を求めよ．

2. 2つの平面 2x+ 3y+z= 1 と x−2y= 0 について以下の問いに答えよ．

(i) この2つの平面のなす角の余弦を求めよ．

(ii) この2つの平面の交線を含み，点(1,0,1)を通る平面の方程式を求めよ．

1

(2)

1. 滑らかなベクトル値関数a(t) = (a₁(t), a₂(t), a₃(t)),b(t) = (b₁(t), b₂(t), b₃(t))∈ R³，の微分を

a⁰(t) = (a⁰₁(t), a⁰₂(t), a⁰₃(t)), b⁰(t) = (b⁰₁(t), b⁰₂(t), b⁰₃(t)) と定義する．

(i) d

dt (a(t),b(t)) = (a⁰(t),b(t)) + (a(t),b⁰(t)) を示せ．

(ii) d

dt(a(t)×b(t)) =a⁰(t)×b(t) +a(t)×b⁰(t) を示せ．

2

(3)

1. A を (l, m)-行列，B を (m, n)-行列とするとき，結合法則 (AB)x=A(Bx), x∈Rⁿ が成り立つことを示せ．

2. ベクトルの外積は結合法則を満たさない，つまり (a×b)×c6=a×(b×c) となるベクトル a,b,c ∈R³ が存在することを示せ．

3

(4)

1. 次の行列の階数は k の値によってどのように変わるか．







1 5 2 1

−1 7 2 k 1 −4 −1 −2







2. 2次正方行列A, B について，rankA=rank B だがrank A² 6= rankB² であるような例を挙げよ．

4

(5)

1. 次の連立1次方程式をGaussの消去法によって解け．









2x+ 3y+z = 1 x−2y = 0 3x+y−z = 7

2. 次の連立1次方程式が少なくとも1つの解を持つように k を定めよ．また，

そのとき解のうち１つを求めよ．









x+ 2y+ 3z = 1 4x+ 5y+ 6z = 1 7x+ 8y+ 9z = k

5

(6)

1. 次の連立方程式が自明でない解を持つための k の値を求めよ．

(i)

( 2x+ 3y = kx

−x−2y = ky (ii)

( 6x+ 8y = kx

−2x−2y = ky (iii)

( 2x−2y = kx 2x+ 2y = ky

6

(7)

1. 次の行列式の値を求めよ．

(i)

¯¯

0 0 3 0 4 0 5 0 0

¯¯

(ii)

¯¯

1 2 3 4 5 6 7 8 9

¯¯

(iii)

¯¯

1 2 3 8 9 4 7 6 5

¯¯

(iv)

¯¯

¯

1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

¯¯

¯

(v)

¯¯

¯

1 3 0 0 2 4 0 0 0 0 1 2 0 0 3 4

¯¯

¯

(vi)

¯¯

¯

1 2 0 1

2 0 1 0

1 1 0 1

−1 −1 −1 −1

¯¯

¯

7

(8)

1. xy 平面上の3点 (x₁, y₁),(x₂, y₂),(x₃, y₃) を通る円の方程式が

¯¯

¯

x²+y² x y 1 x²₁+y₁² x₁ y₁ 1 x²₂+y₂² x₂ y₂ 1 x²₃+y₃² x3 y3 1

¯¯

¯

= 0

で与えられることを示せ．

8

(9)

1. n =n₁+n₂ とする．A_ij を n_i×n_j 行列とするとき det

Ã A₁₁ A₁₂ 0 A22

!

= detA₁₁detA₂₂ が成り立つことを示せ．

9

(10)

1. 次の行列の逆行列を求めよ．

(i)







3 0 0 0 4 0 0 0 5





 (ii)







1 0 0

0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ





 (iii)







1 2 3 8 9 4 7 6 5







(iv)







1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3







(ヒント: この行列に次の行列を掛けてみよ．







−9 1 1 a

1 1 a −9

1 a −9 1

a −9 1 1







)

10

(11)

1. A を n 次正方行列とし，その余因子行列を A^e とする．

(i) detA6= 0 のとき，detA^e を detA で表せ．

(ii) detA6= 0 のとき，detA^e= 0 であることを示せ．(発展問題)

11

(12)

1. 次のベクトルの組は一次独立か一次従属かを判定せよ．

(i)















1 0 0





,







0 1 0





,







0 0 1





,







2 1 3















(ii)















0 0 0















(iii)















1 0 1





,







0 1 0





,







0 2 1















(iv)

















1 0 0 2







,







−1 1 1 0







,







0 0 1

−2







,







2 1 3 0

















12