3 1変数関数の積分

基礎解析学２ (S3)   2011-10-11 3.1

3 1 変数関数の積分

3.1 積分の定義と基本定理

3.1.1 不定積分と定積分の定義

関数 f の原始関数とは , 同じ定義域で

^dF_dx^(x)

= f (x) をみたす関数 F のこと .

※ 関数f^{は原始関数}F^の導関数.

定理 3.1 F (x) = F

0

(x) +

定数

C かつ

^dF_dx^0(x)

= f (x) ならば , F は f の原始関数 . 関数 f の定義域が 区間 ならば , 逆も成り立つ .

※ 逆の証明は平均値の定理からすぐ導かれる定理2.10^{によるから},f^{の定義域は 区間}.

※ 逆で定義域が 区間 であることを明示しない[南]の記述には不備があるので注意せよ.

※ 例えば,f(x) = ¹_x^{の原始関数}F(x)^とlog|x|^の差は( 1,0)^と(0,1)^{で違ってもよい}.

関数 f の任意の原始関数を f の不定積分と呼び , R

f (x) dx と書く . 関数 f を不定積分 R

f (x) dx の被積分関数と呼ぶ .

※ 下で定義する定積分Rb

af(x)dx^に対するRx

a f(t)dt^をfの不定積分と呼ぶこともある.

※ 教科書[^南]^{のように「}fの原始関数の全体」を不定積分と呼ぶことは現代的だが,^まれ.

関数 f の定義域に包まれる閉区間 [a, b] で f は 有界 であると仮定する .

※ 関数の有界性は定積分を定義するための前提;関数が連続なら閉区間で有界(定理1.11).

[a, b] の分割 a = x

0

< x

1

< · · · < x

n

= b を = { x

0

, x

1

, . . . , x

n

} と書く .

| | = max

i

{ x

i

x

i 1

} を分割 の幅と呼ぶ . m

_i

= inf

_{x2[xi 1,xi]}

f(x), M

_i

= sup

_{x2[xi 1,xi]}

f(x).

s = P

n

i=1

m

i

(x

i

x

i 1

): に対する f の [a, b] での下 Darboux 和 , S = P

n

i=1

M

i

(x

i

x

i 1

): に対する f の [a, b] での上 Darboux 和 .

※Pn

i=1f(⇠i)(xi xi 1): に対するfの[a, b]でのRiemann和(8⇠i2[xi 1, xi]).

※ 教科書[^南]^はDarboux^和をRiemann^{和と混同している}.

※ 任意のi^に対しmif(⇠i)Miだから,s Pn

i=1f(⇠i)(xi xi 1)S .

※s /S ^はf^のグラフy=f(x)^を下/^{上から近似した面積}(^図3.1).

※ 分割 ₁, 2に対し分割 ⁰= 1[ 2をとると,s ₁ s 0 S 0 S ₂. (^←重要!)

※s ^はS 0が上界で上に有界;S ^はs 0が下界で下に有界. ()^公理(R17)^が使える!!)

s = sup s , S = inf S が存在し , s  S.

定義 3.1 s = S であるとき , 関数 f は [a, b] で積分可能であるといい , その値 s = S を R

b

a

f(x) dx と書き , f の [a, b] での定積分と呼ぶ . このとき , 関数 f を定積分 R

b

a

f (x) dx の被積分関数と呼ぶ . (

←グラフが描けない関数も考えた定義

) 例題 3.3 関数 f が閉区間 [a, b] で広義単調ならば , f は [a, b] で積分可能 .

略証. f^{が単調増加なら},mi =f(xi 1),Mi=f(xi)^より,S s (f(b) f(a))| |.

3.1.2 微分積分学の基本定理

定理 3.2 関数 f が閉区間 [a, b] で 連続 であると仮定する . このとき , (1) f には原始関数 F が存在する .

(2) f は積分可能である . (3) R

b

a

f (x) dx = F (b) F (a) ( 微分積分学の基本定理 ).

※ 証明[^南,^付録C, pp.275–276]^は[1]^{最大最小の原理と}[2]^{中間値の定理による}.

※[1], [2] (^{実数の連続性に直結})^{はそれぞれ}Weierstraß [1861], Bolzano [1817]^による.

※(1), (2)^の証明はCauchy [1823], Heine [1872], Darboux [1875]^{らの基礎付けによる}.

※ 教科書[南]の有界性の仮定は[1]により不要である(定理1.11).

※(3)^の証明は(1), (2)^による.

※(3)^の発見はNewton [1665], Leibniz [1675]^による(^{公表はそれぞれ}1704, 1684).

※ 紀元前3^世紀のArchimedesによる積分の考え方から基本定理まで約1900^年!

※ 基本定理から解析学の基礎付け(^{量子力学に相当})^{までさらに約}200^年!!

※ このドラマについては,例えば,佐々木力『数学史入門』(ちくま学芸文庫)を見よ.

定理 3.4 関数 f が区間 I で連続かつ x, a 2 I ならば ,

_dx^d

R

x

a

f(t) dt = f(x).

※ 証明は微分積分学の基本定理からすぐ; 練習問題3.2 (応用上頻出計算)を解いてみよ.

3.1.3 区分求積法の原理

定理 3.3 関数 f が閉区間 [a, b] で積分可能であるためには , | | ! 0 なる任 意の分割列 { } および分割 の代表点 ⇠

i

2 [x

i 1

, x

i

] の任意の選択に対し ,

| |!

lim

0

P

n

i=1

f(⇠

i

)(x

i

x

i 1

) = R

b

a

f(x) dx が成り立つことが必要十分である .

※ この定理は区分求積法の原理と呼ばれる;^分割列{ }^{および代表点}⇠iの 任意性 が重要.

※ 分割 を等分割だけでなく 任意 に考えるのは,置換積分(定理3.11)を考えてのこと.

※ 必要性の証明はs Pn

i=1f(⇠i)(xi xi 1)S ^{からほぼ明らか}.

※ 十分性の証明はdu Bois-Reymond^とDarboux^の定理[Hairer–Wanner,§III.5]^を見よ.

※Riemann^和Pn

i=1f(⇠i)(xi xi 1)によるこの定理は積分の諸性質を証明するのに便利.

※ 例3.1, 3.2,例題3.1について考え,練習問題3.1を解いてみよ.

課題10/04 [1]^略解例

(A) (^練習問題3.1: l = limnPn i=1 1

n+i) Pn i=1 1

n+i = Pn i=1 1

1+_nⁱ 1

n より, f(x) := _1+x¹ , xi := _nⁱ, ⇠i :=xiとおくと,Pn

i=1 1

n+i =Pn

i=1f(⇠i)(xi xi 1). [0,1]^でf ^{は 連続 だか} ら 積分可能. 区分求積法の原理 より,Pn

i=1f(⇠i)(xi xi 1)!R1

0 f(x)dx= log 2.

(B) (^{任意の閉区間}[a, b]^{で積分可能だが}( 1,1)^{で連続でない関数}f^の具体例)^関数f(x) を,x^が0^{または無理数のとき}f(x) = 0, x^が0^{でない有理数 p}_q (p^は整数,q^は自然数,p とq^{は互いに素})^のときf(x) = ¹_q, ^{により定義する}. 0^{でない有理数 p}_q ^{のどんな近くにも} 無理数が存在するから, f ^は0でない任意の有理数で連続でない. ^次に,f ^{の積分可能性を} 示す. 閉区間[a, b]と" >0を任意に固定する. f(x)>_{2(b a)}^" なるx2[a, b]は有限個なの で,k^個(k 1)^とする. | |<_2k^{" なる分割 で}f(x)> _{2(b a)}^{" なる}x^がk^{個の分割区間} の各内部にあるものをとる. S  _{2(b a)}^" (b a) +_2k^"k < ". s = 0. ^故に,f ^{は積分可能}.

基礎解析学２ (S3)   2011-10-18 3.3

3.1.4 積分の等式

補足: f,g^{が積分可能})f+g, ·g( 2R),f·g,f /g(g6= 0),|f|^{も積分可能}. (*)^例えば|f|^{については},^{三角不等式}||f(x)| |f(y)||  |f(x) f(y)| M_i^f m^f_i ^から M_i^|f| m^|_i^f|M_i^f m^f_i, 0S^|f| s^|f|S^f s^{f がわかり},| | !0^{のときの極限を} 考え,^仮定S^f s^f = 0^{と区間縮小法の原理}(R17-K)^よりS^|f| s^|f|= 0^{が示される}.

定理 3.5 ( 線型性 ) 関数 f , g が閉区間 [a, b] で積分可能ならば , 任意の定数 c, d に対し , R

b

a

(c · f (x) + d · g(x)) dx = c · R

b

a

f (x) dx + d · R

b

a

g(x) dx.

定理 3.6 ( 加法性 ) 関数 f が区間 I で積分可能かつ a, b, c 2 I ならば , R

a

b

f (x) dx = R

b

a

f (x) dx, R

b

a

f (x) dx = R

c

a

f (x) dx + R

b

c

f (x) dx.

※a < b^のとき,Ra

b はb=x0> x1>· · ·> xn=a^{なる分割 から同様に定義される}.

※ 線型性も加法性も証明は区分求積法の原理からすぐ.

3.1.5 積分の不等式

定理 3.7 ( 順序保存 ) 閉区間 [a, b] で 積分可能 な関数 f, g に対し , (1) [a, b] で f (x) 0 ならば , R

b

a

f (x) dx 0.

(2) [a, b] で f (x) g(x) ならば , R

b

a

f (x) dx R

b

a

g (x) dx.

f, g が [a, b] で 連続 ならば , 等号成立 , 恒等的に (1) f = 0, (2) f = g.

※ 証明は区分求積法の原理からすぐ;等号成立条件は"- 論法により背理法で示される.

定理 3.8 ( 三角不等式 ) f が [a, b] で 積分可能 ) R

b

a

f (x) dx  R

b

a

| f(x) | dx.

※‘^{三角不等式}’という名称の由来は区分求積法の原理による: [^南, p.87]

※ 教科書[^南]の「連続」は「積分可能」でよい;「連続」は簡単のための仮定(p.87).

※ 証明は区分求積法の原理からすぐ; Riemann和に対する三角不等式の極限をとる.

※ 関数列の積分の収束判定などに使う: ^例えば, {fn}^について[a, b]^で任意のn^に対し

|fn(x) f(x)|< "^なら, Rb

a fn(x)dx Rb

a f(x)dx Rb

a|fn(x) f(x)|dx"(b a).

定理 3.9 (Schwarz の不等式 ) 閉区間 [a, b] で 積分可能 な関数 f , g に対し ,

⇣R

b

a

f(x)g(x) dx ⌘

2

 R

b

a

f (x)

²

dx R

b

a

g(x)

²

dx.

※ 実は, Schwarz [1885]^は重積分;^積分はBuniakowsky [1859],R^nがCauchy [1821].

※ 教科書[^南]の「連続」は「積分可能」でよい;「連続」は簡単のための仮定(p.87).

※ 証明は区分求積法の原理からすぐ; Riemann^{和に対する}Cauchy^{の不等式の極限をとる}.

※Rb

a f(x)g(x)dx^は[a, b]で積分可能な関数の空間(^{ベクトル空間})^における‘^内積’ (f, g).

※ このように積分で定義された‘内積’により,関数の‘ノルム’や‘なす角’が計算される. 練習問題3.3(Euler^の定数) an=Pn

k=11

k logn! = 0.5772156649· · · 2R.

※Euler^{の定数 の定義}(^上の収束)^より,Pn k=1 1

k = + logn+o(1) (n! 1).

※ このことからも,P2n k=n+1 1

k = log 2 +o(1)!log 2 (n! 1) (^練習問題3.1)^がわかる.

※ は -^関数(^例題3.6(1))^に関係: = ⁰(1); が有理数か無理数かわかっていない!

3.2 [ 前半 ] 積分の性質

定理 3.10 ( 部分積分 ) 関数 f, g が閉区間 [a, b] で C

¹

級であるとき , R

b

a

f(x)g

⁰

(x) dx = [f(x)g(x)]

^b_a

R

b

a

f

⁰

(x)g(x) dx.

※ 証明は積の微分f(x)g⁰(x) = (f(x)g(x))⁰ f⁰(x)g(x)^からすぐ.

定理 3.11 ( 置換積分 ) 関数 f (x) は x について連続 , 関数 x(t) は t について C

¹

級であり , x の値域が f の定義域に包まれるとき , x の定義域内の任意の 閉区間 [t

1

, t

2

] に対し , R

x(t2)

x(t1)

f (x) dx = R

t2

t1

f(x(t))

^dx_dt

dt.

※ 証明は合成関数の微分_dt^dF(x(t)) = ^dF_dx^dx_dt =f(x(t))^dx_dt ^からすぐ.

定理 3.12 ( 積分の平均値の定理 ) (1) 関数 f, g が閉区間 [a, b] で連続 , かつ開 区間 (a, b) で g(x) > 0 = ) 9 ⇠ 2 (a, b), R

b

a

f (x)g(x) dx = f (⇠) R

b

a

g(x) dx.

(2) 関数 f が閉区間 [a, b] で連続 = ) 9 ⇠ 2 (a, b), R

b

a

f (x) dx = f (⇠)(b a).

略証([^南]^の補足) (2) (1)^でg(x)⌘1^とせよ. (1)m:= minf,M := maxf^とおく. (i)m=M^なら,f ^{は定数関数だから},^{積分の線型性より},^任意の⇠^でOK.

(ii)m < M^とする. g^{の条件より}[a, b]^でg(x) 0^だから,mg(x)f(x)g(x)M g(x).

積分の順序保存性と線型性により, mRb0

a0 g(x)dxRb0

a0 f(x)g(x)dx MRb0

a0 g(x)dx ^が 任意の閉区間[a0, b0]⇢[a, b]^で成立. ^ところが,m < M^より,m < f(x)< M^{なる閉区間} [a1, b1]⇢(a, b)^が存在. [a1, b1]^で, g(x)>0^より,mg(x)< f(x)g(x)< M g(x). f, g^の 連続性と積分の順序保存性により,mRb1

a1 g(x)dx <Rb1

a1 f(x)g(x)dx < MRb1

a1g(x)dx. ^積 分の加法性Rb

a =Ra1

a +Rb1

a1 +Rb

b1 より,mRb

a g(x)dx <Rb

af(x)g(x)dx < MRb

ag(x)dx.

gの条件と積分の順序保存性より, Rb

ag(x)dx >0. ^よって,m < ⌘ :=

Rb

af(x)g(x)dx Rb

ag(x)dx < M. したがって,f の連続性と中間値の定理により,⌘=f(⇠)^となる⇠2(a, b)^が存在.

※(a, b)^でg(x)<0^でも成立;^実はgは 積分可能 で十分だが,^{証明が煩雑になる}.

課題10/11 [1]略解例

練習問題3.4 ^{主に部分積分による}. (※積の微分を使い見通しよく計算) (1)xsinhx= (xcoshx)⁰ coshx^より,R

xsinhx dx=xcoshx sinhx+C.

(2) x²coshx = (x²sinhx)⁰ 2xsinhx = (x²sinhx)⁰ 2(xcoshx sinhx)⁰ より, Rx²coshx dx= (x²+ 2) sinhx 2xcoshx+C.

(3) log(1+x) = ((1+x) log(1+x))⁰ 1^より,R

log(1+x)dx= (1+x) log(1+x) x+C.

(4) Arctanx= (xArctanx)⁰ _1+x^x2より,R

Arctanx dx=xArctanx ¹₂log(1+x²)+C.

練習問題3.5 ^{主に置換積分による}. (※合成関数の微分を使い 次数を下げる方向に 計算) (1)R ₁

x(logx)² dx=R ₁

(logx)²d(logx) = _log¹_x+C.

(2) (Arccosx)²= (x(Arccosx)²)⁰+^2xArccosp_{1 x}2^x= (x(Arccosx)² 2p

1 x²Arccosx)⁰ 2 より, R

(Arccosx)²dx=x(Arccosx)² 2p

1 x²Arccosx 2x+C.

(3) tanh²x= 1 sech²x= 1 (tanhx)^0より, tanh³x= tanhx tanhx(tanhx)⁰ =

(coshx)⁰

coshx tanhx(tanhx)^0だから,R

tanh³x dx= log(coshx) ¹₂tanh²x+C. ^さらに, coshx= (1 tanh²x) ^1/2より,R

tanh³x dx= ¹₂log(1 tanh²x) ¹₂tanh²x+C.

※不定積分は置換等の手順に応じて結果が見かけ上違って見えることがある;微分して検算すればよい(p.116).

基礎解析学２ (S3)   2011-10-25 3.5

3.2 [ 後半 ] 広義積分

定積分は,閉区間 上 有界な関数 に対し定義され,積分値は有限 であった. §3.2節後半では, 定積分の定義を,閉区間とは限らない区間 上 有界とは限らない関数 に対し拡張する;その ため, 積分値も有限とは限らない. このような定積分の拡張は応用でも非常に重要である.

例 3.8 R

₁

1 1

x²

dx := lim

u!1

R

u 1

1

x²

dx = lim

u!1

⇥

₁

x

⇤

u 1

= 1.

※ 関数 _x¹2 の無限半開区間[1,1)^{における積分}; ^{意味的には}R

[1,1) 1

x²dx^{と書くべき}.

※ 同様に, _x¹↵ (1< ↵)^の[1,1)^{における積分は},R₁

1 1

x^↵dx=⇥ ₁

(↵ 1)x^{↵ 1}

⇤₁

1 =_↵¹₁.

※ 一方で, _x¹↵ (↵ <1)^の[1,1)^{における積分は},R₁

1 1

x^↵dx=⇥ ₁

1 ↵x^{1 ↵}⇤₁

1 =1.

※ ここで,⇥

·⇤1 1 は lim

u!1

⇥·⇤u

1 のズボラな略記; lim

u!1

Ru 1 をR₁

1 と略記するのと一緒.

例 3.9 R

₁

1 1

x

dx := lim

u!1

R

u 1

1

x

dx = lim

u!1

[ log x ]

^u₁

= 1 .

※ 関数 ¹_xの無限半開区間[1,1)^{における積分};^{意味的には}R

[1,1) 1

xdx^{と書くべき}. 極意x ^↵: _x¹↵ の[1,1)^{における積分は}, 1< ↵^なら収束,↵1^なら1^に発散.

※Torricelli [1644]: lim

u!1

Ru 1

1

xdx=1^だが,^関数y=_x^{1のグラフを}x-^{軸のまわりに回転} させて得られる回転体の体積は lim

u!1

Ru

1 ⇡ _x^{1 2}dx=⇡. 無限に長い有限体積の立体の発見!

例 3.10 R

2

1 p1

2 x

dx := lim

u!2 0

R

u 1

p1

2 x

dx = lim

u!2 0

⇥ 2 p

2 x ⇤

u 1

= 2.

※ 関数 p¹

2 xの有界半開区間[1,2)における積分;意味的にはR

[1,2) p1

2 xdxと書くべき.

※ 関数y =^p₂¹ _x (x <2)^{のグラフを直線}x= 2^{に関し対称移動し}, x-^軸方向に 2^だけ 平行移動すると, lim

u!2 0

Ru 1

p1

2 xdx= lim

v!+0

R1 v

p1

xdx. ^関数 p¹

x の逆関数は ¹

x² (x >0) だから,^直線y=x^{に関する対称性により}, lim

v!+0

R1 v

p1xdx= 1²+ lim

w!1

Rw 1

1

x²dx= 2.

※ こうして,^極意x ^{↵および対称移動},^平行移動,^{逆関数の性質により},^{次が成り立つ}. 極意(b x) : _{(b x)}^{1 の}[a, b)^{における積分は}, <1^なら収束, 1 ^なら1^に発散. 極意(x a) : _{(x a)}^{1 の}(a, b]^{における積分は}, <1^なら収束, 1 ^なら1^に発散.

※ 基本の極意x ^{↵および派生的な極意}(b x) ,^極意(x a) ^{が広義積分のキモ}.

定義 3.2 区間 [a, b) で定義された関数 f について , 任意の u 2 (a, b) に対し [a, u] において有界かつ積分可能であり , 積分 R

u

a

f (x) dx の u ! b 0 での 極限値が存在するとき , f は [a, b) において広義積分可能であるといい , この 極限値を R

b

a

f(x) dx と書き , f の [a, b) における広義積分と呼ぶ .

※b^{は有限でも}1^でもよい;広義積分の値は有限のときも±1^{のときもある}.

※f^の[a, b)^{における広義積分}Rb

a f(x)dx^は,^{意味的には}R

[a,b)f(x)dx^{と書くべき}.

※ 区間(a, b]^{で定義された関数}f ^に対しv!a+ 0の極限をとる場合についても同様.

※f^の(a, b]^{における広義積分}Rb

a f(x)dx^は,^{意味的には}R

(a,b]f(x)dx^{と書くべき}.

※ 区間(a, b)^{で定義された関数}f^{に対しては},^任意のc2(a, b)^{に対し積分範囲を}(a, c]^と [c, b)^に分け,v!a+ 0^とu!b 0の極限を別々に考えなければならない. (^なぜか?)

定理 3.13 ( 比較判定法 ) 関数 f , g が区間 [a, b) で 積分可能 であるとき , (1) [a, b) で 0  f(x)  g(x) かつ R

b

a

g(x) dx が収束 ) R

b

a

f(x) dx が収束 . (2) [a, b) で 0  g(x)  f (x) かつ R

b

a

g(x) dx が発散 ) R

b

a

f(x) dx が発散 . (3) R

b

a

| f (x) | dx が収束 ) R

b

a

f (x) dx が収束 . “ 絶対収束すれば収束する ”

※(1), (2)^{は積分の順序保存性}(^定理3.7)^{と実数の連続性}(R17-M)^による; (1)^{は次による}: 0F(u) :=Ru

a f(x)dxRu

a g(x)dxRb

ag(x)dx <1,F^{の単調増加性}, (R17-M).

※(3)^は(1)^{および積分の線型性}(^定理3.5)^による: f_±(x) := max{0,±f(x)}^とおくと, f(x) =f+(x) f (x)^かつ0f_±(x) |f(x)|^より,Rb

a |f(x)|dx^が収束)Rb

af_±(x)dx が収束)Rb

af(x)dx=Rb

af+(x)dx Rb

af (x)dx^が収束.

定理 3.14 ( 次数判定法 ) 関数 f が任意の u 2 (a, b) に対し [a, u] で 積分可能 であり , 次の (1) または (2) をみたすなら , f は [a, b) で広義積分可能 . (1) b = 1 であり , f (x) = O(x

^↵

) (x ! 1 ) かつ 1 < ↵.

(2) b < 1 であり , f (x) = O((b x) ) (x ! b 0) かつ 0 < < 1.

※Landau^の記号O^{については},^教科書pp.74–78,^{ハンドアウト}p.2.10^{を復習すること}.

※(1)^は極意x ^↵ (p.3.5)^{と比較判定法}(^定理3.13)^による.

※(2)^は極意(b x) (p.3.5)^{と比較判定法}(^定理3.13)^による.

※(2)は 0でも成り立つが, 0のときは広義でない通常の積分になる.

定理3.14⁰(^{次数判定法0}) ^関数f ^が任意のv2(a, b)^に対し[v, b]^{で 積分可能 であり}, 次の(1)^0または(2)^{0をみたすなら},f^は(a, b]^{で広義積分可能}.

(1)⁰ 1=a^であり,f(x) =O(|x| ^↵) (x! 1)^かつ1< ↵. (^極意x ^{↵ の}y-^軸対称) (2)⁰ 1< a^であり,f(x) =O((x a) ) (x!a+0)^かつ0< <1. (^極意(x a) ) 考察 例3.10^{で広義積分}R2

1 1

(2 x)^1/2dx ^がR₁

1 1

x²dx ^やR1 0

1

x^1/2dx ^{で計算できたように}, 次数判定法は(1)R₁

1 x ^↵dx(1< ↵), (2)R1

0 x dx(0< <1)^{との比較に帰着される}. 補足(^例3.11,^例題3.5,^例題3.6^{に関するコメント})

※例3.11 次数判定法でも直接計算でも収束判定可能な広義積分の例: R₁

0 1 1+e^xdx.

※例題3.5 応用でも重要な積分正弦関数Sit=Rt 0

sinx

x dx^の極限(§5.1^{で詳しく解説}).

※例題3.6 -^関数 (x) =R₁

0 e ^tt^{x 1}dt^およびB-^関数B(x, y) =R1

0 t^{x 1}(1 t)^{y 1}dt の定義(§5.5, 応用でも重要な非初等関数の代表例;残念ながらこの講義では解説しない).

課題10/18 [1]^略解例(A) ^練習問題3.9 (1) x ! 1^のとき, 1 +x⁶ = O(x⁶)^だから,

x^p

1+x⁶ =O(x ^{(6 p)}). ^よって,^積分R₁

0 x^p

1+x⁶dx^が収束, 6 p >1. ^求めるp^の条件は, (0<)p <5. ^※p0の場合,v!+0の極限も考え,積分が収束, 1< p(0)であることがわかる.

(2)R₁

0 x²

1+x⁶dx= lim

u!1

Ru 0

1 1+(x³)²

d(x³) 3 = lim

u!1

⇥₁

3Arctan (x³)⇤x³=u x³=0 =^⇡₆. 練習問題3.10 (2) ^p₄¹_x2 = (Arcsin^x₂)^{0 より},R2

0 p 1

4 x²dx= lim

u!2 0Arcsin^u₂ = ^⇡₂.

※1/p

4 x²= 2 ¹(2 x) ^1/2(1 (2 x)/4) ^1/2=O((2 x) ^1/2) (x!2 0)だから,次数判定法 (定理3.14)により,被積分関数1/p

4 x²は有界半開区間[0,2)で広義積分可能.

(B) (R₁

1f(x)dx6= lim

R!1

RR

Rf(x)dx, = lim

R,L!1

RR

Lf(x)dx)^例えば,^関数f(x) =x に対し,^前者は0^だがx=t+ 1などの置換と積分範囲が矛盾してしまい,^{定義にならない}.

基礎解析学２ (S3)   2011-11-01 （ 2011-11-07 改訂） 3.7

3.3 有理関数の積分

＊ 初等関数の導関数は初等関数だった;特に,初等関数は連続である(第2章).

＊ 連続な関数には原始関数が存在した(定理3.2);特に,初等関数は原始関数を持つ.

＊ しかし,初等関数の原始関数は初等関数であるとは限らないことが知られている.

☆ 有理関数は初等関数であり,分母が0になる点以外で定義され,連続である.

☆ したがって,有理関数は 定義域の各区間において 不定積分を持つ.

☆ 有理関数の不定積分は初等関数で表されることが示される(Leibniz [1702]).

定理 有理関数

^f(x)

g(x)

の不定積分は (1)–(4) により初等関数の 形 で求まる . (1)

^f_g(x)^(x)

が ‘ 仮分数 ’ なら , 多項式と ‘ 真分数 ’ の和 f

1

(x) +

^f_g(x)^2(x)

に分解 .

例 ^{x3 x+4}

x² 3x+2 = (x+ 3) +_x2^6x3x+2² (^例3.13).

※ 多項式の不定積分は積分の線型性(^定理3.5)^から(4)(a)^{に帰着される}.

(2) 分母 g(x) を 実数の範囲で 因子 (x a

_i

)

^↵i

, (x

²

+ b

_j

x + c

_j

)

^j

に分解 .

例 x³ x²+x 1 = (x 1)(x²+ 1) (^例題3.8(1)).

※ 代数学の基本定理(p.1.7)^により,分母は 複素数の範囲で1^{次式の積に分解される}.

※ 分母の係数が実数だったから,分母の虚数根は複素共役の組↵k± ki^{に分かれる}.

※(x (↵k+ ki))(x (↵k ki)) =x² 2↵kx+ (↵²_k+ _k²) =:x²+bkx+ck

※ したがって,分母は 実数の範囲で 因子(x ai)^↵i, (x²+bjx+cj) ^{j に分解する}.

(3)

^f_g(x)^2(x)

を項

_{(x a}^Aik

i)^k

,

_(x^B2+b^{j`x+C</sup>jx+c<sup>j`}j)^`

=

^B_{((x b}^{j`0 (x b</sup><sub>0</sub> <sup>0j)+Cj`0}

j)²+c⁰²_j)^`

の和に部分分数展開 .

例 _(x^x ₁₎²2 = _x¹₁+_(x ¹₁₎2 (^例3.14), ^x3+2x_(x2²+1)^+3x+12 = _x^x+22+1+_(x^2x2+1)¹² (^例3.16).

※(2)の分母因子分解に応じて(3)の部分分数展開が可能であることが示される.

※ よって, ‘真分数’の不定積分は(4)(bj)(ck)(d`)に帰着される.

(4) ゆえに ,

^f(x)_g(x)

の不定積分は以下の 形 の初等関数の線型和で書ける :

(a)R

xⁿdx=_n+1¹ xⁿ⁺¹+C(n 0).

(b1)R ₁

x adx= log|x a|+C(C^は区間( 1, a), (a,1)^{ごとに違ってよい}(p.3.1));

(bn)R ₁

(x a)ⁿdx=_n ¹_{1(x a)}¹n 1 +C (n 2).

(c1)R _x

x²+a² dx= ¹₂log(x²+a²) +C;

(cn)R _x

(x²+a²)ⁿdx= ¹_2n ¹_1(x2+a¹²)^{n 1} +C (n 2), (d1)R ₁

x²+a² dx= ¹_aArctan^x_a+C;

(dn)R ₁

(x²+a²)ⁿdx= _a¹2(_2n¹_2(x2+a^x2)^{n 1} +²ⁿ_2n ³₂R ₁

(x²+a²)^{n 1}dx) (n 2).

課題10/25 [1]^略解例(A)^練習問題3.12 (1) _x2^3x5x+6⁷ = 3(_x ²₂+_x³₃) 7(_x ¹₂+_x¹₃) =

1

x 2+ _x²₃ = (log|x 2|+ 2 log|x 3|)⁰. (9) _(x^2x₁₎¹2 = ^2(x_(x ¹⁾⁺¹₁₎2 = _x²₁ +_(x¹₁₎2 = (2 log|x 1| x¹1)⁰. ^練習問題3.13 (2) _x3^x22x^+x2+x¹ 2 = ^(x_(x^2+1)+(x_2)(x2+1)²⁾ = _x¹₂ +_x2¹+1 = (log|x 2|+Arctanx)⁰. (4)_(x^x+12+1)² =^(1/2)(x2+1)_(x2^0+((x+1)^{22+1) x2)}= (¹_2x^x2+1¹ +¹₂Arctanx)⁰. (B) (積分の平均値の定理の有用性) ^例題3.7^{の計算のように},^平均µ:= _{b a}¹ Rb

a f(x)dx^が 求めやすい関数f ^と(a, b)^{で定符号の関数}g^の積f g^の積分Rb

af(x)g(x)dx^を, ^よりやさ しいgのみの積分µRb

ag(x)dxに帰着できること(など).

3.4 三角関数 , 双曲線関数 , 無理関数の積分

＊ 有理関数の不定積分は初等関数(有理関数,対数関数,逆正接関数)で表された(前節).

＊ この節では三角関数,双曲線関数,無理関数(1次または2次)の有理関数の不定積分について調べる.

＊f(X, Y)を2変数X, Y の有理関数とし,R

f(g(x), h(x))dxの‘有理化’置換を考える.

＊ この節の‘有理化’は一般的処方箋であって,より簡単な‘有理化’がある場合も多い.

＊R f(x,p

3,4次)dxは初等関数と楕円積分(非初等関数)で書ける(3.4.5)が,この講義の範囲を超える.

3.4.1 三角関数の積分 t := tan

^x₂

, R

f (sin x, cos x) dx = R

f (

_1+t^2t2

,

¹_1+t^t22

)

_1+t²2

dt と ‘ 有理化 ’.

※XY-^{平面の単位円}X²+Y²= 1^と直線Y =t(X+ 1)^の2^{交点のうち}, ( 1,0)^でない 方が(cosx,sinx) = (¹_1+t^t22,_1+t^2t2). ^単位円, ^直線,^交点,x,t^{の関係を図示してみよ}.

※ 単位円のように,^{各成分がパラメータ}tの有理関数で表される曲線を有理曲線という.

※ 一般に,不定積分の‘有理化’置換可能性は有理曲線による対応の存在に深く関係する.

3.4.2 双曲線関数の積分 t := tanh

^x₂

, R

f (sinh x, cosh x) dx = R

f (

₁^2t_t2

,

^1+t_{1 t}²2

)

₁²_t2

dt と ‘ 有理化 ’.

※XY-^{平面の双曲線}X² Y²= 1^と直線Y =t(X+ 1)^の2^{交点のうち}, ( 1,0)^でない 方が(coshx,sinhx) = (^1+t_{1 t}²2,₁^2t_t2). ^図示し,三角関数の場合と比較してみよ.

3.4.3 1 次無理関数の積分 t := p

ax + b (a 6 = 0), R

f(x, p

ax + b) dx = R

f(

^t2_a^b

, t)

^2t_a

dt と ‘ 有理化 ’.

※XY-^{平面の放物線}Y²=aX+b^と直線Y =t^の交点が(x,p

ax+b) = (^t2_a^b, t).

3.4.4 2 次無理関数の積分 (1) x = a tan ✓ (a > 0), R

f(x, p

x

²

+ a

²

) dx = R

f (a tan ✓,

_cos^a_✓

)

_cos^a2✓

d✓.

(2) x = a sin ✓ (a > 0), R

f (x, p

a

²

x

²

) dx = R

f (a sin ✓, a cos ✓) a cos ✓ d✓.

(3) x =

_cos^a_✓

(a > 0), R

f (x, p

x

²

a

²

) dx = R

f (

_cos^a_✓

, ± a tan ✓)

^a_cos^sin2✓^✓

d✓.

※ 三角関数の有理関数に置換する間接的な‘有理化’.

※(1)⁰(3)⁰ s=x+p

x²±a², f(x,p

x²±a²)dx=f(^s2_2s^⌥a2,^s2±_2s^a2)^s2_2s^±2^a2ds(^直接的な

‘^有理化’, p.116, p.3.8b);^双曲線X² Y²=⌥a^2と直線X+Y =s^の交点が(^s2_2s^⌥a2,^s2±_2s^a2).

課題11/01 [1]^略解例(A) 3.15 (4) _1+cos^{2 sinx}_xdx = 2 (2t)/(1+t²) 1+(1 t²)/(1+t²)

2dt

1+t² = (2 _1+t^2t2)dt = d(2t log(1 +t²)) =d(2 tan^x₂ log(1 + tan^2x₂)). (5) _cosh¹ _xdx= _(1+t2)/(1¹ t²)

2dt 1 t² =

2dt

1+t² =d(2Arctant) =d(2Arctan (tanh^x₂)). (7) ₁₊p^dx

1+x =^2tdt_1+t = (2 _1+t² )dt=d(2t 2 log(1+t)) =d(2p

1 +x 2 log(1+p

1 +x)). (^※1+p

1 +x >0.) (8)x⁵p

1 +x³dx= (t² 2)⁵³t_3(t2^2tdt2)^2/3 = ²₃(t⁴ 2t²)dt=d(₁₅²t^{5 4}₉t³) =d(₁₅²(1 +x³)^{52 4}₉(1 +x³)³²).

3.16 (2) p ¹

9+x²dx=_{t x}^{1 t x}_t dt= ^dt_t =d(log|t|) =d(log|x+p

9 +x²|). (^公式23^参照.) 3.17 (4)t:=x ^a+b₂ ,r:= ^{b a}₂ . Rb

a

p dx

(x a)(b x)=Rr r

pdt

r² t² = lim^u_{`!</sub><sup>!r</sup><sub>r+0</sub><sup>0</sup> [Arcsin<sup>t</sup><sub>r</sub>]<sup>t=u</sup><sub>t=`}

=^⇡₂ ( ^⇡₂) =⇡. (^公式19.) (B) (3.17(4)^がa, b^{によらない理由}) ^{上半円の弧度だから}.

基礎解析学２ (S3)   2010-11-08 3.8a

不定積分の公式 (Carol Ash, Robert Ash 『微分積分学教程』 ( 森北出版 ) より )

ax²+bx+c^{を分母に含む有理関数} (a6= 0; 03,04^ではr6= 1,b² 4ac6= 0) 01a. R ₁

ax²+bx+cdx=p ¹

b² 4aclog ^2ax+b_2ax+b+^pp^{b2 4ac}

b² 4ac +C (b² 4ac >0).

01b. R ₁

ax²+bx+cdx=p ²

4ac b²Arctanp^2ax+b

4ac b² +C (b² 4ac <0).

01c. R ₁

ax²+bx+cdx= _2ax+b² +C (b² 4ac= 0).

02. R _x

ax²+bx+cdx=_2a¹ log|ax²+bx+c| _2a^b R ₁

ax²+bx+cdx.

03. R ₁

(ax²+bx+c)^r dx= _{(r 1)(4ac b}^2ax+b2)(ax²+bx+c)^{r 1} +_(r^2(2r_{1)(4ac b}^3)a2)

R ₁

(ax²+bx+c)^{r 1}dx.

04. R _x

(ax²+bx+c)^r dx= _{(r 1)(4ac b}^(2c+bx)2)(ax²+bx+c)^{r 1}

(2r 3)b (r 1)(4ac b²)

R ₁

(ax²+bx+c)^{r 1}dx.

a+bu^{を分母に含む有理関数}(a6= 0,b6= 0) 05. R _u

a+budu= _b¹2(a+bu alog|a+bu|) +C.

06. R _u²

a+budu= _b¹3 1

2(a+bu)² 2a(a+bu) +a²log|a+bu| +C.

07. R _u

(a+bu)²du= _b¹2

⇣ a

a+bu + log|a+bu|⌘ +C.

08. R _u²

(a+bu)²du= _b¹3

⇣

a+bu _a+bu^a2 2alog|a+bu|⌘ +C.

09. R ₁

u(a+bu)du= ¹_alog ^a+bu_u +C.

10. R ₁

u²(a+bu)du= _au¹ +_a^b2log ^a+bu_u +C.

11. R ₁

u(a+bu)²du= _a(a+bu)¹ _a¹2log ^a+bu_u +C.

pa+bu^{の有理関数}(a6= 0,b6= 0)

12. R up

a+bu du=^2(3bu_15b2^2a)(a+bu)³² +C.

13. R _u

pa+budu=^2(bu_3b2^2a)

pa+bu+C.

14a. R ₁

up

a+budu=^p1_alog ^ppa+bu_a+bu+p^pa

a +C (a >0).

14b. R ₁

up

a+budu=^p2_aArctanq

a+bu

a +C (a <0).

15. R ^p_a+bu

u du= 2p

a+bu+aR ₁

up

a+budu.

a²±u^2およびu² a^{2を分母とする有理関数}(a6= 0) 16. R ₁

a²+u²du= ¹_aArctan^u_a+C.

17. R ₁

a² u²du=_2a¹ log ^a+u_{a u} +C.

18. R ₁

u² a²du=_2a¹ log ^{u a}_u+a +C.

pa²±u^{2の有理関数}(a6= 0;19,20^ではa >0 [a <0^ならArcsin ^を Arcsin ^に])

19. R ₁

pa² u²du= Arcsin^u_a +C.

20. Rp

a² u²du= ^u₂p

a² u²+^a₂²Arcsin^u_a +C.

21. R ^p_a² _u²

u du=p

a² u² alog ^a+pa_u^{2 u2} +C.

22. R ₁

up

a² u²du= ¹_alog ^a+pa_u^{2 u2} +C.

23. R ₁

pa²+u²du= log u+p

a²+u² +C.

24. Rp

a²+u²du= ¹₂up

a²+u²+¹₂a²log u+p

a²+u² +C.

25. R ^p_a2+u²

u du=p

a²+u² alog ^a+pa_u^2+u2 +C.

26. R ₁

up

a²+u²du= _a¹log ^pa2+u_u^2+a +C.

pu² a^{2の有理関数}(a6= 0;29,30^ではu a >0)

27. R ₁

pu² a²du= log u+p

u² a² +C.

28. Rp

u² a²du= ^u₂p

u² a^{2 a}₂²log u+p

u² a² +C.

29. R ^p_u² _a²

u du=p

u² a² aArccos_u^a +C.

30. R ₁

up

u² a²du= ¹_aArccos^a_u+C.

三角関数 31. R

tanu du= log|cosu|+C= log|secu|+C.

32. R

cotu du= log|sinu|+C.

33. R

secu du= log|secu+ tanu|+C.

34. R

cscu du= log|cscu+ cotu|+C= log|cscu cotu|+K.

35. R

sec²u du= tanu+C.

36. R

csc²u du= cotu+C.

37. R

secutanu du= secu+C.

38. R

cscucotu du= cscu+C.

39. R

sin²u du= ¹₂(u sinucosu) +C= ¹₂u ¹₄sin 2u+C.

40. R

cos²u du= ¹₂(u+ sinucosu) +C= ¹₂u+¹₄sin 2u+C.

41. R

tan²u du= tanu u+C.

42. R

cot²u du= cotu u+C.

43. R

sec³u du= ¹₂secutanu+¹₂log|secu+ tanu|+C.

44. R

csc³u du= ¹₂