2019
年度・線形代数学・同演義II 2019
年10
月24
日§4 線形空間の基底のつくりかた―――授業で扱わなかった問題の 解答例
4.2 V = R[ x ]
2において，次のベクトルの組が線形独立かどうか判定せよ．f
1( x ) = 1
2 x
2− x + 1 , f
2( x ) = 3x
2− 1 2 x + 5
4 , f
3( x ) = 2 3 x
2+ 1
2 x − 1 4 .
授業では，
f
2( x ) = 2 f
1( x ) + 3 f
3( x )
であることに気づけば線形従属性がただちに結論できる ことをいった．ここでは愚直に確かめる方法を説明する．V
の基底Σ = [ x
2/ 6 , x / 2 , 1 / 4 ]
の定める線形同型写像ψ
Σ: V → R
3 を考える．（もちろん[ x
2, x , 1 ]
という基底を使ってもいいが，以下で分数が出現するのをなるべく避けるために[ x
2/ 6 , x / 2 , 1 / 4 ]
を採用した．）このψ
Σによってf
i( x )
を移したものをa
i とおけばa
1= ©
« 3
− 2 4
ª®
¬
, a
2= ©
« 18
− 1 5
ª®
¬
, a
3= ©
« 4 1
− 1 ª®
¬ .
f
1( x )
，f
2( x )
，f
3( x )
が線形独立か否かは，a
1，a
2，a
3が線形独立か否かと一致する．そこで後 者を調べる．まずλ
1a
1+ λ
2a
2+ λ
3a
3= 0 ⇔ ©
«
3 18 4
− 2 − 1 1 4 5 − 1
ª®
¬
©
« λ
1λ
2λ
3ª®
¬
= 0
である．右辺に現れた行列をA
として，これを行基本変形により階段型に直すとA −→ ©
«
1 0 −
230 1
130 0 0
ª®
¬
（この変形後の行列を
A
′とおく）となる．行基本変形は連立一次方程式の同値変形に対応するから
A ©
« λ
1λ
2λ
3ª®
¬
= 0 ⇔ A
′©
« λ
1λ
2λ
3ª®
¬
= 0
だが，ここで後者の連立一次方程式は非自明な解（
λ
1= λ
2= λ
3= 0
以外の解）をもつから，前者についてもそうで，したがって
a
1，a
2，a
3は線型従属．よってf
1( x )
，f
2( x )
，f
3( x )
も線 型従属である．4.5 V = R
3においてa
1= ©
« 1 2 1 ª®
¬
, a
2= ©
« 0 2 1 ª®
¬
は線形独立である．これらのベクトルを含む
V
の基底を一つ構成せよ．以下に例を示すが，方法は他にもいくらでもある．自由にやればよい．
e
1= ©
« 1 0 0 ª®
¬
, e
2= ©
« 0 1 0 ª®
¬
, e
3= ©
« 0 0 1 ª®
¬
とおけば，
a
1，a
2，e
1，e
2，e
3はV
を生成する（e
1，e
2，e
3がすでにV
を生成していること から明らか）．これに定理4.2
のアルゴリズムを適用してV
の基底を構成する．すると，用い るアルゴリズムから明らかに，構成される基底にはa
1，a
2が含まれる．準備として，行列
A = (
a
1a
2e
1e
2e
3)
を行基本変形により階段型へと変形しておく．すると変形後の行列
A
′はA
′= ©
«
1 0 1 0 0
0 1 − 1 0 1 0 0 0 1 − 2
ª®
¬
になる．A
′の各列を順にa
1′，a
2′，a
3′，a
4′，a
′5と名付ける．
さて，それでは定理
4.2
のアルゴリズムを実行する．1.
まずS = []
としておく．2. a
1は0
ではないから，a
1をS
に追加する．S = [ a
1]
となる．3. a
1，a
2は線形独立（なぜならa
1′，a
′2が線形独立だから）．そこでa
2をS
に追加する．S = [ a
1, a
2]
となる．4. a
1，a
2，e
1 は線形従属（なぜならa
1′，a
′2，a
3′ が線形従属だから）．e
1 はS
に追加し ない．5. a
1，a
2，e
2は線形独立（なぜならa
1′，a
′2，a
4′ が線形独立だから）．そこでe
2をS
に追 加する．S = [ a
1, a
2, e
2]
となる．6.
これでS
のベクトルの数がV
の次元に一致した．そのため，これ以降は操作を続けて もS
に追加されるベクトルは現れない．操作を終了する．こうしてできあがった
S = [ a
1, a
2, e
2]
が，求める基底の一例である．