正規直交化法 問題 2 解答
1 以下の部分空間 W に対し, ベクトル x の正射影 p を求めよ. ここで内積は標準内積と する.
(1) W =
*0 BB
@ 1 0 0
1 CC A,
0 BB
@ 1 1 1
1 CC A
+
, x=
0 BB
@ 1 0 1
1 CC A. [解]: x の正射影を p とし,
a= 0
@1 0 0
1
A, b = 0
@1 1 1
1 A
とおく. ベクトル pは部分空間 W 上にあるので, ある s, t2R が取れてp=sa+tb と表せる. q = p x とおけば, ベクトル q は W と直交する. したがって, (q,a) = (q,b) = 0 が成り立つ. このとき,
(q,a) = (p,a) (x,a) =s(a,a) +t(b,a) (x,a) = 0, (q,b) = (p,b) (x,b) =s(a,b) +t(b,b) (x,b) = 0.
つまり以下の内積を成分とする行列の方程式を解けば s, t が求められる.
✓(a,a) (b,a) (a,b) (b,b)
◆✓s t
◆
=
✓(x,a) (x,b)
◆ .
内積を計算すると,
(a,a) = 1, (a,b) = 1, (b,b) = 3, (x,a) = 1, (x,b) = 0.
このことから逆行列によりパラメーター s, t を求めれば,
✓s t
◆
=
✓1 1 1 3
◆ 1✓ 1 0
◆
= 1 2
✓ 3 1
◆ .
したがって,
p= a b
✓s t
◆
= 1 2
0
@1 1 0 1 0 1
1 A✓
3 1
◆
= 1 2
0
@ 2 1 1
1 A.
以上より正射影ベクトル p は,
p= 0
@ 1 1/2 1/2
1 A.
(2) W =
*0 BB
@ 1 1 0
1 CC A,
0 BB
@ 0 1 1
1 CC A
+
, x=
0 BB
@ 3 2 1
1 CC A.
[解]: x の正射影を p とし,
a= 0
@1 1 0
1
A, b = 0
@0 1 1
1 A
とおく. ベクトル pは部分空間 W 上にあるので, ある s, t2R が取れてp=sa+tb と表せる. q = p x とおけば, ベクトル q は W と直交する. したがって, (q,a) = (q,b) = 0 が成り立つ. このとき,
(q,a) = (p,a) (x,a) =s(a,a) +t(b,a) (x,a) = 0, (q,b) = (p,b) (x,b) =s(a,b) +t(b,b) (x,b) = 0.
つまり以下の内積を成分とする行列の方程式を解けば s, t が求められる.
✓(a,a) (b,a) (a,b) (b,b)
◆✓s t
◆
=
✓(x,a) (x,b)
◆ .
内積を計算すると,
(a,a) = 2, (a,b) = 1, (b,b) = 2, (x,a) = 5, (x,b) = 3.
このことから逆行列によりパラメーター s, t を求めれば,
✓s t
◆
=
✓2 1 1 2
◆ 1✓ 5 3
◆
= 1 3
✓7 1
◆ .
したがって,
p= a b
✓s t
◆
= 1 3
0
@1 0 1 1 0 1
1 A✓
7 1
◆
= 1 3
0
@7 8 1
1 A.
以上より正射影ベクトル p は,
p= 0
@7/3 8/3 1/3
1 A.
(3) W =
*0 BB
@ 1 1 1
1 CC A,
0 BB
@ 1
1 0
1 CC A
+
, x=
0 BB
@ 1 0 0
1 CC A. [解]: x の正射影を p とし,
a= 0
@ 1 1 1
1
A, b = 0
@ 1 1 0
1 A
とおく. ベクトル pは部分空間 W 上にあるので, ある s, t2R が取れてp=sa+tb と表せる. q = p x とおけば, ベクトル q は W と直交する. したがって, (q,a) = (q,b) = 0 が成り立つ. このとき,
(q,a) = (p,a) (x,a) =s(a,a) +t(b,a) (x,a) = 0,
(q,b) = (p,b) (x,b) =s(a,b) +t(b,b) (x,b) = 0.
つまり以下の内積を成分とする行列の方程式を解けば s, t が求められる.
✓(a,a) (b,a) (a,b) (b,b)
◆✓s t
◆
=
✓(x,a) (x,b)
◆ .
内積を計算すると,
(a,a) = 3, (a,b) = 2, (b,b) = 2, (x,a) = 1, (x,b) = 1.
このことから逆行列によりパラメーター s, t を求めれば,
✓s t
◆
=
✓ 3 2 2 2
◆ 1✓ 1 1
◆
= 1 2
✓0 1
◆ . したがって,
p= a b
✓s t
◆
= 1 2
0
@ 1 1
1 1
1 0
1 A✓
0 1
◆
= 1 2
0
@ 1 1 0
1 A. 以上より正射影ベクトル p は,
p= 0
@ 1/2 1/2
0 1 A.
(4) W =
*0 BB
@ 2
1 2
1 CC A,
0 BB
@ 1 2 2
1 CC A
+
, x=
0 BB
@ 1
1 1
1 CC A. [解]: x の正射影を p とし,
a= 0
@ 2 1 2
1
A, b = 0
@ 1 2 2
1 A
とおく. ベクトル pは部分空間 W 上にあるので, ある s, t2R が取れてp=sa+tb と表せる. q = p x とおけば, ベクトル q は W と直交する. したがって, (q,a) = (q,b) = 0 が成り立つ. このとき,
(q,a) = (p,a) (x,a) =s(a,a) +t(b,a) (x,a) = 0, (q,b) = (p,b) (x,b) =s(a,b) +t(b,b) (x,b) = 0.
つまり以下の内積を成分とする行列の方程式を解けば s, t が求められる.
✓(a,a) (b,a) (a,b) (b,b)
◆✓s t
◆
=
✓(x,a) (x,b)
◆ . 内積を計算すると,
(a,a) = 9, (a,b) = 4, (b,b) = 9, (x,a) = 5, (x,b) = 3.
このことから逆行列によりパラメーター s, t を求めれば,
✓s t
◆
=
✓ 9 4 4 9
◆ 1✓ 5
3
◆
= 1 65
✓33 7
◆ . したがって,
p= a b
✓s t
◆
= 1 65
0
@ 2 1 1 2
2 2
1 A✓
33 7
◆
= 1 65
0
@ 59 47 80
1 A. 以上より正射影ベクトル p は,
p= 0
@ 59/65 47/65 16/13
1 A.
2 標準内積n 次元ベクトル空間Rn のr 次元部分空間をV, s 次元部分空間をW とする. W の基底を成す列ベクトルを a1,a2, . . . ,as とし, n⇥s 行列 A をA = (a1 a2 · · · as) と おく.
(1) tAA は正則行列であることを示せ.
[解]: W の正規直交基底を u1,u2, . . . ,us とし, n⇥s 行列U をU = (u1 u2 · · · us) とする. このとき基底の取替行列として或るs 次正則行列 P が取れて, A =U P と表 せる. 正規直交性から,
tAA=tPtU U P =tP IsP =tP P, すなわち tAA は正則である.
(2) V のベクトルを W へ正射影したベクトルへ写す写像を pV W とする. このとき任意 の b2V に対し
pV W(b) = (A (tAA) 1 tA)b が成り立つことを示せ.
(特に pV W はV から W への線形写像となる.) [解]: 実数 x1, x2, . . . , xs2R に対し基底の一次結合を
a= Xs j=1
xjaj 2W
とする. c=b a とおき, ベクトル cが W と直交するようにxi を決定すれば, b は 部分空間 W とその直交補空間W? のベクトルの和で表せる:
b =a+c2W W?.
このときa が求めるW への正射影のベクトルとなる. c は各ai と直交することから,
0 = (ai,c) = (ai,b) (ai,a) = (ai,b) Xs j=1
xj(ai,aj).
すなわち, 各 i= 1,2, . . . , s に対し, Xs j=1
(ai,aj)xj = (ai,b)
を満たす xj たちを求めれば良い. 行列による連立方程式に書き直すと, 0
BB B@
(a1,a1) (a1,a2) · · · (a1,as) (a2,a1) (a2,a2) · · · (a2,as)
... ... ... ...
(as,a1) (as,a2) · · · (as,as) 1 CC CA
0 BB B@
x1 x2 ...
xs 1 CC CA=
0 BB B@
(a1,b) (a2,b)
...
(as,b) 1 CC CA.
ここでtAA = (taiaj)i,j = ((ai,aj))i,j なので, 列ベクトル x =t(x1 x2 · · · xs) に ついての方程式
tAAx=tAb
を得る. (1) より x= (tAA) 1 tAb と求まる. したがって,
a= Xs j=1
xjaj =Ax=A tAA 1 tAb となり, pV W(b) =A(tAA) 1 tAb と表せる.
