5.1 曲線のパラメーター表示 (解答)

5.1 曲線のパラメーター表示 ( 解答 )

点Pの座標が変数tの連続関数になっているとする. tの変化とともにPは空間曲 線を描く. Pの位置ベクトルをr = (x, y, z)とすれば

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) =x(t)e_x+y(t)e_y+z(t)e_z

である. これを曲線のパラメーターtによる表示と呼ぶ. tがa≤t≤bの範囲を変 化する時，t =aに対応するPの座標を始点，t=bに対応する座標を終点と呼ぶ.

曲線上の各点の接線ベクトルr⁰(t)は r⁰(t) = dr(t)

dt = lim

∆t→0

r(t+ ∆t)−r(t)

∆t で与えられる. この式は以下のようにも書ける

dr =dxex+dyey+dzez =

Ãdx

dtex+dy

dtey +dz dtez

!

dt drは線素ベクトルと呼ばれる.

tが微少量変化する時の線素(点Pの移動距離)dsは

ds =√

dr·dr =

vu ut

Ãdx dt

!2

+

Ãdy dt

!2

+

Ãdz dt

!2

dt=|r⁰(t)|dt

で与えられる. これを始点から終点まで積分すると曲線全体の長さsが得られる.

s=

Z s 0

ds =

Z b a

vu ut

Ãdx dt

!2

+

Ãdy dt

!2

+

Ãdz dt

!2

dt

以下具体例を考えよう. 曲線r(t) = pcoste_x+psinte_y +qte_z (p, q は実定数)に ついて，以下の問いに答えよ

(1) この曲線の概形を図示せよ.

解答:

半径p,z軸方向に右周りで進む螺旋を描く.

(2) 点(p,0,0)における接線ベクトルと，接線の方程式を求めよ.

解答:

ベクトルr(t)のtに関する微分は r⁰(t) = dr(t)

dt

= −psinte_x+pcoste_y +qe_z.

点(p, 0, 0)ではt= 0なので,接ベクトルは

r⁰(t= 0) =pey +qez. これより接線の式は

r =







p 0 0





+







0 p q





s ここでsは任意のパラメータである. または

x= 1, py−qz = 0.

(3) この曲線上の任意の点における接線はz軸と定角をなすことを示せ.

解答:

接ベクトルr⁰(t)とz軸とのなす角θの余弦は,内積を利用して cosθ = r⁰(t)·ez

|r⁰(t)||e_z| と表される.

r⁰(t)·e_z =q, |r⁰(t)|=^qp²+q², |e_z|= 1 より

cosθ= q

√p²+q².

これは定数なので,r⁰(t)とz軸とのなす角は一定である.

(4) 0≤t≤2πのとき，曲線の長さを求めよ.

解答:

s =

Z 2π 0

vu ut

Ãdx dt

!2

+

Ãdy dt

!2

+

Ãdz dt

!2

dt

=

Z 2π 0

q

p²+q²

= 2π^qp²+q².

5.2 曲面のパラメーター表示 ( 解答 )

点 Pの位置ベクトルr = (x, y, z)が2変数u, v の連続関数である時，u, v の変化 とともにPは曲面を描く. これを曲面のパラメーターu, v による表示と言う. これ を成分で書き下すと

r =r(u, v) = x(u, v)e_x+y(u, v)e_y+z(u, v)e_z となる.

このときvを固定してuを動かすとr(u, v)は1つの曲線を描く. これをu-曲線 と いう. 同様にuを固定してv を動かして得られる曲線をv-曲線という. u, v-曲線の 接線ベクトルr_u,r_v はそれぞれr_u = ∂r(u, v)

∂u ,r_v = ∂r(u, v)

∂v で与えられる. この とき以下の問いに答えよ.

(1) S上の各点においてSに垂直なベクトルを法線ベクトルと呼ぶ. r_u×r_vが点 P(u, v)における法線ベクトルであることを示せ.

解答:

P(u, v)の描く曲面の接平面上にある任意のベクトルは

r =tr_u+sr_s

と表される. これとr_u×r_v との内積を考えると,r_u×r_v はr_u,r_v と直交す るベクトルなので,

(r_u×r_v)×(tr_u +sr_s) = 0.

よって,ru×rv は接平面に垂直なベクトル,すなわち法線ベクトルである.

(2) 近接した2本のu-曲線と近接した2本のv-曲線，計4本の曲線で囲まれた 四辺形状の部分を考える. P0=P(u, v)，P1=P(u, v+ ∆v)，P₂=P(u+ ∆u, v)と すれば，この部分はベクトル −−→P0P1 と −−→P0P2 の作る平行四辺形で近似される.

この部分の面積を∆S とおくと，

∆S ≈ |(r_u ×r_v)∆u∆v| と近似できることを示せ.

解答:

ベクトル −−→P0P1 と−−→P0P2 のなす角をθとすると,−−→P0P1 と −−→P0P2 の作る平行四辺 形の面積∆S は,

∆S=^¯¯_¯−−→P₀P₁^¯¯_¯^¯¯_¯−−→P₀P₂^¯¯_¯sinθ

と近似される.

−−→P0P1 = ∂r

∂vdv=r_vdv, −−→P0P2 = ∂r

∂udu=r_udu より,

∆S = |rv| |ru|dudvsinθ

= |(r_u×r_v)dudv|

5.3 一般化座標 ( 解答 )

座標r を直交直線座標(x, y, z)に代わる3つの変数(u, v, w)で表す場合を考える.

u, v, w はともにx, y, z の関数である. 例えば円筒座標では変数として(r, φ, z)を用 い，それぞれx, y, z と次の関係にある.

r=

q

x²+y², φ= arctan

µy x

¶

, z =z 球座標(r, θ, φ)では

r =^qx²+y²+z², θ = arccos

à z

√x²+y²+z²

!

, φ= arctan

µy x

¶

である.

(1) 直交直線座標と円筒座標の幾何学的関係を図示し，(x, y, z) を(r, φ, z)を用 いて表せ.

解答:

x = rcosφ, y = rsinφ, z = z

(2) 直交直線座標と球座標の幾何学的関係を図示し，(x, y, z)を(r, θ, φ)を用い て表せ.

解答:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosφ

u曲線とは，v, wを固定してuを変化させた時に座標rが描く軌跡のことを言う.

その接ベクトルr_uは次式で与えられる

ru = ∂ x

∂uex+ ∂ y

∂uey+ ∂ z

∂uez

v, w曲線およびその接ベクトルr_v,r_wは同様に定義される. これら接ベクトルの方 向をそれぞれu, v, w 方向という.

(3) 円筒座標においてr_r,r_φ,r_zをr, φ, z,e_x,e_y,e_zを用いて表せ.

解答:

rr = cosφex+ sinφey, r_φ = −rsinφe_x+rcosφe_y, r_z = e_z

(4) 球座標においてr_r,r_θ,r_φをr, θ, φ,e_x,e_y,e_zを用いて表せ.

解答:

rr = sinθcosφex+ sinθsinφey + cosθez, r_θ = rcosθcosφe_x+rcosθsinφe_y−rsinθe_z, r_z = −rsinθsinφe_x+rsinθcosφe_y

u曲線のスケール因子hu とは，u方向接ベクトルの長さ|ru|のことを言う. ここ からu方向単位ベクトルe_u が

e_u = ru

h_u またはr_u =h_ue_u

と定義される. v, w曲線のスケール因子h_v, h_u，v, w方向単位ベクトルe_v,e_wも同 様に定義される. e_u,e_v,e_wは一般化座標系(u, v, w)での基本単位ベクトルである.

(5) 円筒座標においてh_r, h_φ, h_zを求めよ.

解答:

h_r = 1, h_φ = r, h_z = 1 (6) 球座標においてh_r, h_θ, h_φを求めよ.

解答:

h_r = 1, h_θ = r, hφ = rsinθ

5.4 面積素と体積素 ( 解答 )

一般化座標(u₁, u₂, u₃)における面積素dS_ij と体積素dV はそれぞれ dS_ij =r_i×r_jdu_idu_j

dV =|r₁ ·(r₂×r₃)|du₁du₂du₃

であらわされる. ただしここでは和の規約は用いず式の簡略化のためr_uj =r_j, h_uj = h_j と記す.

(1) 各点で接ベクトルr_i (i=1,2,3)が互いに直交している座標系を直交曲線座標 という. このとき

dS_ij =h_ih_je_i×e_jdu_idu_j =ε_ijkh_ih_je_kdu_idu_j dV =h₁h₂h₃du₁du₂du₃

を示せ. ここでe_j は u_j 方向基本単位ベクトルをあらわす. 和の規約は用い ない.

解答:

定義より,rj =hiej,接ベクトルが互いに直交するため,ei×ej =εijkekが成 り立つ. よって,

dSij = ri×rjduiduj

= hihjei×ejduiduj

= h_ih_jε_ijke_kdu_idu_j,

dV = |r1·(r2×r3)|du1du2du3

= |r₁·h₂h₃e_i|du₁du₂du₃

= h₁h₂h₃du₁du₂du₃ (2) 円筒座標と球座標は直交曲線座標であることを示せ

解答:

円筒座標の接ベクトルは

r_r = e_xcosφ+e_ysinφ, rφ = −exsinφ+eycosφ, r_z = e_z

より,

r_r·r_φ = 0, r_φ·r_z = 0, r_z·r_r = 0 が成り立つ. よって円筒座標は直交曲線座標系である.

同様に,極座標については,

rr = exsinθcosφ+eysinθsinφ+ezcosθ, r_θ = e_xrcosθcosφ+e_yrcosθsinφ−e_zrsinθ, r_φ = −e_xrsinθsinφ+e_yrsinθcosφ

より,

r_r·r_θ = 0, r_θ·r_φ= 0, r_φ·r_r= 0 が成り立つ. よって極座標も直交曲線座標系である.

(3) 円筒座標と球座標における体積素の表式をそれぞれ求めよ.

解答:

円筒座標の場合,h_r = 1, h_φ =r, h_z = 1より, dV =r dr dφ dz.

極座標の場合,hr = 1, hθ =r, hφ=rsinθより, dV =r²sinθ dr dθ dφ.

5.5 直交曲線座標における勾配 ( 解答 )

スカラー場ϕの勾配gradϕはベクトルであり，直交直線座標系の基本単位ベクト ルを用いて

gradϕ = ∂φ

∂x_ie_i

と表される. これを直交曲線座標 (u₁, u₂, u₃)で表すには，この直交曲線座標の基 本単位ベクトルe_ujを用いる. 各成分(gradϕ)_uj はgradϕを各基本単位ベクトルの 方向に射影したものなので

(gradϕ)_uj =gradϕ·e_uj = ∂ φ

∂x_ie_i·e_uj となる.

(1) e_i ·e_uj = 1 h_j

∂ x_i

∂u_j を示せ. この表式では和の規約は用いず，スケール因子は h_uj =h_j と記すものとする[ヒント：問題5.3のe_ujの定義を思い出す].

解答:

e_uj = r_uj h_j

=

̶ x

∂u_je_x+ ∂ y

∂u_je_y+ ∂ z

∂u_je_z

! 1 h_j であることから,

e_i·e_uj = 1 h_j

∂ x_i

∂u_j (2) 恒等式 df(x₁(ξ), x₂(ξ), x₃(ξ))

dξ = ∂ f

∂x_i dx_i

dξ を利用し，

(gradϕ)_uj = 1 h_j

∂ ϕ

∂u_j を示せ. この表式も和の規約は用いない.

解答:

(gradϕ)_uj =

Ã∂ ϕ

∂x_ie_i

!

·e_uj

= ∂ ϕ

∂x_i 1 h_j

∂ x_i

∂u_j

= 1 h_j

∂ ϕ

∂u_j

(3) 円筒座標における勾配は

gradϕ = ∂ ϕ

∂re_r+ 1 r

∂ ϕ

∂φe_φ+∂ ϕ

∂ze_z と表されることを示せ.

解答:

gradϕ = (gradϕ)_uje_uj

= 1 h_j

∂ ϕ

∂u_je_uj

= ∂ ϕ

∂rer+ 1 r

∂ ϕ

∂φeφ+∂ ϕ

∂zez

(4) 上と同様に球座標におけるgradϕの表式を書き下せ.

解答:

gradϕ = (gradϕ)_uje_uj

= 1 h_j

∂ ϕ

∂u_je_uj

= ∂ ϕ

∂rer+1 r

∂ ϕ

∂φeφ+ 1 rsinθ

∂ ϕ

∂φeφ

5.6 直交曲線座標における発散 ( 解答 )

直交曲線座標(u₁, u₂, u₃)で表されるベクトル場A=A_ie_uiの発散の表式について 考える. これは発散の定義から丹念に計算しても導けるが面倒である. ここではガ ウスの定理

Z

V ∇AdV =

Z

S

A·dS を使った導出を行う.

(1) 体積V として，ui,u_i+ ∆u_i(i= 1,2,3)一定の面で囲まれた微小6面体を考 える. このとき

Z

V ∇·AdV ≈ ∇·Ah1h2h3∆u1∆u2∆u3

を示せ. ただしスケール因子はh_uj =h_j と記す.

解答:

問題5.4 (1)の結果から,微小6面体の体積は

dV =h₁h₂h₃∆u₁∆u₂∆u₃

と表される. この微小6面体内で∇·Aが一定であると近似すると,

Z

V ∇·AdV ≈ ∇·Ah1h2h3∆u1∆u2∆u3

が成り立つ.

(2)

Z

S

A·dS =

Z u2+∆u2

u2

Z u3+∆u3

u3

[A₁h₂h₃du₂du₃]^u_u^1=u1+∆u1

1=u1

+

Z u3+∆u3

u3

Z u1+∆u1

u1

[A₂h₃h₁du₃du₁]^u_u^2=u2+∆u2

2=u2

+

Z u1+∆u1

u1

Z u2+∆u2

u2

[A₃h₁h₂du₁du₂]^u_u^3=u3+∆u3

3=u3

を示せ. 右辺はさらに

≈

Ã∂ A₁h₂h₃

∂u₁ +∂ A₂h₃h₁

∂u₂ +∂ A₃h₁h₂

∂u₃

!

∆u₁∆u₂∆u₃

と近似できることを示せ.

解答:

面積分を行う閉領域として(1)と同様の微小6面体を考える. まずu₁ 軸に直 交する面について面積分を考えると,面要素の大きさdS₂₃は,問題5.4 (1)の 結果を用いると

h₂h₃e_u1du₂du₃

である. ここでe_u1 は微小6面体の外向きに向かうu₁方向の単位ベクトルで ある. u₁ =u₁においては

A·dS₂₃=−A₁h₂h₃(u₁)du₂du₃ u₁ =u₁+ ∆u₁ においては

A·dS₂₃ =A₁h₂h₃(u₁+ ∆u₁)du₂du₃ であるから,u₁軸に直交する面について面積分は

Z u2+∆u2

u2

Z u3+∆u3

u3

[A₁h₂h₃(u₁ + ∆u₁)−A₁h₂h₃(u₁)]du₂du₃

=

Z u2+∆u2

u2

Z u3+∆u3

u3

[A₁h₂h₃du₂du₃]^u_u^1=u1+∆u1

1=u1

と表される.

u2 軸,u3 軸に直交する面に関する面積分についても同様に考えると,

Z

S

A·dS =

Z u2+∆u2

u2

Z u3+∆u3

u3

[A₁h₂h₃du₂du₃]^u_u¹₁^=u_=u¹₁^+∆u1 +

Z u3+∆u3

u3

Z u1+∆u1

u1

[A₂h₃h₁du₃du₁]^u_u²₂^=u_=u²₂^+∆u2 +

Z u1+∆u1

u1

Z u2+∆u2

u2

[A₃h₁h₂du₁du₂]^u_u³₃^=u_=u³₃^+∆u3 となる.

次に,

A₁h₂h₃(u₁+ ∆u₁)−A₁h₂h₃(u₁)

≈ A₁h₂h₃(u₁) + ∂(A₁h₂h₃)

∂u₁ ∆u₁−A₁h₂h₃(u₁)

= ∂(A₁h₂h₃)

∂u₁ ∆u₁

と近似すると,u1軸に直交する面について面積分は

Z u2+∆u2

u2

Z u3+∆u3

u3

[A₁h₂h₃(u₁+ ∆u₁)−A₁h₂h₃(u₁)]du₂du₃

≈

Z u2+∆u2

u2

Z u3+∆u3

u3

∂(A₁h₂h₃)

∂u₁ ∆u₁du₂du₃

≈ ∂(A₁h₂h₃)

∂u₁ ∆u1∆u2∆u3

と表される.最後の近似はu₂, u₃軸方向の積分範囲内について∂(A₁h₂h₃)

∆u₁

u₂ 軸,u₃ 軸に直交する面に関する面積分についても同様に考えると,

Z

S

A·dS ≈

Ã∂(A₁h₂h₃)

∂u1

+ ∂(A₂h₃h₁)

∂u2

+∂(A₃h₁h₂)

∂u3

!

∆u₁∆u₂∆u₃ となる.

(1)と(2)の結果を比較すると∇·Aは

∇·A= 1 h₁h₂h₃

̶(A1h2h3)

∂u₁ + ∂(A2h3h1)

∂u₂ +∂(A3h1h2)

∂u₃

!

と書けることが分かる. これが曲線直交座標系での発散の一般形である.

(3) 円筒座標における∇·Aの表式を求めよ.

解答:

問題5.3 (5)より,円筒座標(r, φ, z)のスケール因子はh_r = 1,h_φ =r,h_z = 1 より,

∇·A = 1 r

̶(rA_r)

∂r + ∂ A_φ

∂φ +∂ rA_z

∂z

!

= 1 r

∂(rA_r)

∂r +1 r

∂ A_φ

∂φ +∂ A_z

∂z (4) 球座標における∇·Aの表式を求めよ.

解答:

問題5.3 (6)より,球座標(r, θ, φ)のスケール因子はh_r= 1,h_θ =r,h_φ=rsinθ より,

∇·A = 1 r²sinθ

Ã∂(r²sinθA_r)

∂r +∂(rsinθA_θ)

∂θ + ∂(rA_φ)

∂φ

!

= 1 r²

∂(r²A_r)

∂r + 1

rsinθ

∂(sinθA_θ)

∂θ + 1

rsinθ

∂ A_φ

∂φ

5.7 直交曲線座標における回転 ( 解答 )

直交曲線座標(u₁, u₂, u₃)で表されるベクトル場A=A_ie_ui の回転の表式について 考える. これは回転の定義から丹念に計算しても導けるが面倒なので，ここではス トークスの定理

Z

S∇×AdS =

I

A·drを使った導出を行う.

(1) u₃ が一定の面内でu₂, u₂+ ∆u₂ 一定の2本のu₁ 曲線と，u1, u₁+ ∆u₁一定 の2本のu2 曲線,計4本の曲線で囲まれた内部を面Sにとる. このとき

Z

S∇×A·dS ≈(∇×A)₃h₁h₂∆u₁∆u₂

を示せ. ここで (∇×A)₃は ∇×A の u₃ 方向成分を表す. スケール因子は h_uj =h_j と略記している.

解答:

問題5.4 (1)の結果から,u₃が一定の面内における面要素dS₁₂は,h₁h₂e_u3∆u₁∆u₂ である. ここでe_u3 はu₃ 方向の単位ベクトルである. この面要素dS₁₂上で

∇×Aが一定であると仮定すると,

Z

S∇×A·dS =

Z

S∇×A·dS₁₂

≈ (∇×A)₃h₁h₂∆u₁∆u₂

(2) 線積分を (u₁, u₂) → (u₁ + ∆u₁, u₂) → (u₁ + ∆u₁, u₂ + ∆u₂) → (u₁, u₂ +

∆u₂)→(u₁, u₂)の順に行うことに注意して

I

A·dr =

Z u1+∆u1

u1

[A₁h₁]^u_u^2=u2+∆u2

2=u2 du₁+

Z u2+∆u2

u2

[A₂h₂]^u_u^1=u1

1=u1+∆u1du₂ を示せ. 右辺はさらに

≈

̶A1h1

∂u₂ − ∂A2h2

∂u₁

!

∆u₁∆u₂ と近似できることを示せ.

解答:

上記問題には誤りがあったので訂正する.

I

A·dr =

Z u1+∆u1

u1

[A₁h₁]^u_u^2=u2

2=u2+∆u2du₁+

Z u2+∆u2

u2

[A₂h₂]^u_u^1=u1+∆u1

1=u1 du₂

を示し,右辺はさらに

à !

となることを示す.

I

A·dr =

Z u1+∆u1,u2

u1,u2

A·dr+

Z u1+∆u1,u2+∆u2

u1+∆u1,u2

A·dr +

Z u1,u2+∆u2

u1+∆u1,u2+∆u2

A·dr+

Z u1,u2

u1,u2+∆u2

A·dr

=

Z u1+∆u1,u2

u1,u2

A·h₁e_u1du₁+

Z u1+∆u1,u2+∆u2

u1+∆u1,u2

A·h₂e_u2du₂ +

Z u1,u2+∆u2

u1+∆u1,u2+∆u2

A·h₁e_u1du₁ +

Z u1,u2

u1,u2+∆u2

A·h₂e_u2du₂

=

Z u1+∆u1,u2

u1,u2

A₁h₁du₁+

Z u1+∆u1,u2+∆u2

u1+∆u1,u2

A₂h₂du₂ +

Z u1,u2+∆u2

u1+∆u1,u2+∆u2

A₁h₁du₁+

Z u1,u2

u1,u2+∆u2

A₂h₂du₂

=

Z u1+∆u1

u1

A1h1(u2)du1+

Z u2+∆u2

u2

A2h2(u1+ ∆u1)du2

+

Z u1

u1+∆u1

A1h1(u2 + ∆u2)du1+

Z u2

u2+∆u2

A2h2(u1)du2

=

Z u1+∆u1

u1

(A1h1(u2)−A1h1(u2 + ∆u2))du1+

Z u2+∆u2

u2

(A2h2(u1+ ∆u1)−A2h2(u1))du2

=

Z u1+∆u1

u1

[A1h1]^u_u²₂^=u_=u²_2+∆u2du1+

Z u2+∆u2

u2

[A2h2]^u_u¹₁^=u_=u¹₁^+∆u1du2

となる.

さらに

A₁h₁(u₂)−A₁h₁(u₂ + ∆u₂) = A₁h₁(u₂)−

Ã

A₁h₁(u₂) + ∂(A₁h₁)

∂u₂ ∆u₂

!

= −∂(A₁h₁)

∂u₂ ∆u₂, A2h2(u1+ ∆u1)−A2h2(u1) = A2h2(u1) + ∂(A₂h₂)

∂u₁ ∆u1 −A2h2(u1)

= ∂(A₂h₂)

∂u₁ ∆u₁ と近似すると,

I

A·dr ≈ −

Z u1+∆u1

u1

∂(A₁h₁)

∂u₂ ∆u₂du₁+

Z u2+∆u2

u2

∂(A₂h₂)

∂u₁ ∆u₁du₂

≈ −∂(A₁h₁)

∂u₂ ∆u₂∆u₁+ ∂(A₂h₂)

∂u₁ ∆u₁∆u₂

=

Ã∂(A₂h₂)

∂u₁ −∂(A₁h₁)

∂u₂

!

∆u₁∆u₂

となる. 上式の 1 行目から2 行目の計算の際にはそれぞれの積分区間内で

∂(A₁h₁)

∂u₂ , ∂(A₂h₂)

∂u₁ は一定と仮定した.

(1)と(2)を比較すると，

(∇×A)₃ = 1 h₁h₂

Ã∂(A₂h₂)

∂u₁ −∂(A₁h₁)

∂u₂

!

が導かれる. ∇×Aの各u_i成分の一般的な表式は (∇×A)_i =ε_ijk 1

h_jh_k

∂A_kh_k

∂u_j である.

(3) 円筒座標における∇×Aの表式を求めよ.

解答:

問題5.3 (5)より,円筒座標(r, φ, z)のスケール因子はh_r = 1,h_φ =r,h_z = 1 より,

(∇×A)_r = 1 r

̶ Az

∂θ − ∂(rAθ)

∂z

!

= 1 r

∂ A_z

∂θ − ∂ A_θ

∂z , (∇×A)_φ = ∂ A_r

∂z − ∂ A_z

∂r , (∇×A)_z = 1

r

Ã∂(rA_θ)

∂r − ∂ A_r

∂θ

!

(4) 球座標における∇×Aの表式を求めよ.

解答: 問題5.3 (6) より, 球座標 (r, θ, φ) のスケール因子はh_r = 1, h_θ = r,

h_φ =rsinθより,

(∇×A)_r = 1 r²sinθ

Ã∂(rsinθA_φ)

∂θ − ∂(rA_θ)

∂φ

!

= 1

rsinθ

Ã∂(sinθA_φ)

∂θ −∂ A_θ

∂φ

!

, (∇×A)_θ = 1

rsinθ

̶ A_r

∂φ − ∂(rsinθA_φ)

∂r

!

= 1

rsinθ

∂ A_r

∂φ − 1 r

∂(rA_φ)

∂r , (∇×A) = 1^Ã∂(rA_θ)

−∂ A_r^!

5.8 直交曲線座標におけるラプラシアン ( 解答 )

(1) 勾配と発散一般形から直交曲線座標におけるラプラシアン∇²ϕ = ∇·(∇ϕ) の一般形を導け.

解答:

問題5.5 (2)より,

(∇ϕ)_uj = 1 h_j

∂ ϕ

∂u_j を用いると,問題5.6の結果から.

∇·(∇ϕ) = 1 h1h2h3

"

∂

∂u1

Ãh₂h₃ h1

∂ ϕ

∂u1

!

+ ∂

∂u2

Ãh₃h₁ h2

∂ ϕ

∂u2

!

+ ∂

∂u3

Ãh₁h₂ h3

∂ ϕ

∂u3

!#

(2) 円筒座標における∇²ϕの表式を求めよ.

解答:

問題5.3 (5)より,円筒座標(r, φ, z)のスケール因子はhr = 1,hφ =r,hz = 1 より,

∇·(∇ϕ) = 1 r

"

∂

∂r

Ã

r∂ ϕ

∂r

!

+ ∂

∂φ

Ã1 r

∂ ϕ

∂φ

!

+ ∂

∂z

Ã

r∂ ϕ

∂z

!#

= 1 r

∂

∂r

Ã

r∂ ϕ

∂r

!

+ 1 r²

∂²ϕ

∂φ² + ∂²ϕ

∂z² (3) 球座標における∇²ϕの表式を求めよ.

解答:

問題5.3 (6)より,球座標(r, θ, φ)のスケール因子はh_r= 1,h_θ =r,h_φ=rsinθ より,

∇·(∇ϕ) = 1 r²sinθ

"

∂

∂r

Ã

r²sinθ∂ ϕ

∂r

!

+ ∂

∂θ

Ãrsinθ r

∂ ϕ

∂θ

!

+ ∂

∂φ

à r rsinθ

∂ ϕ

∂φ

!#

= 1 r²

∂

∂r

Ã

r²∂ ϕ

∂r

!

+ 1

r²sinθ

∂

∂θ

Ã

sinθ∂ ϕ

∂θ

!

+ 1

r²sin²θ

∂²ϕ

∂φ²