6. 最適消費と比較静学

6. 最適消費と比較静学

• 最適消費バスケット

• 比較静学

• 所得・消費経路

• 価格・消費経路

• 計算例

• ラグランジェ乗数法

http://www.econ.keio.ac.jp/staff/myano/Class/Micro/Micro.html

6.1 消費バスケットと消費ベクトル

ミカン，y

3 5

(3,5)

5

3 (5,3)

x

y (x, y)

6.2 消費ベクトルの選択と予算制約

予算制約式:

支出総額が予算総額を超えない

x y

20x+10y≦100

5 10

予算線

予算集合

一般均衡モデルにおける消費者の問題：

予算総額と財の価格が与えられたときに、

どの消費バスケットを選ぶかという問題

p = 20 q = 10 X の価格

Y の価格

予算総額 M = 100

予算集合の中で最も望ましい 消費バスケットを選ぶ

6.3 消費バスケットと選好順序

• 予算集合の中のバスケットからどれかを選ぶた めには，消費者は選ぶ基準を持つ必要がある．

• 基準： 消費者の好み（選好順序）によって定まる

– バスケットAの方がバスケットBよりも望ましい場合に は，Aがより強く選好されると言う

A (>) B

– AとBが同じ程度に望ましい場合には，AとBは無差 別であると言う

A (=) B

– AがBより強く選好されるか，無差別の場合には，

A (≧) B

6.4 二つの正の財の無差別曲線

X: 普通の正の財 Y ：普通の正の財

X と Y は不完全代替的 かつ不完全補完的

x y

XとYが完全代替的 X とYが完全補完的

x y

6.5 消費者の最適選択

• 予算集合の中の消費バスケットから，もっとも 望ましいものを選ぶ

p : X の価格 q : Y の価格 x : X の購入量 y : Y の購入量 M: 予算総額 予算制約式

px + qy ≦ M A

B C

E

A，_B，_C は最適でない

最適消費バスケットは無差別曲線と予算線の接点 E M/p

M/q

6.6 消費の最適選択と効用最大化

• 効用（消費から発生する満足感のこと）

– 効用の高い消費ベクターほど望ましい

• 効用関数

– 各消費ベクターからの効用を u = u(x,y) という ように関数で記述する。

• 消費者の選択問題は予算制約の下での効 用最大化問題として記述できる

max u = u(x,y) (x,y)

s.t. px + qy ≦ M

s.t. 記号の後にくる式を 満たす戦略変数の中で 目的関数（max記号の 後の式）を最大化する

6.8 消費に関する比較静学， 1

• 比較静学：外生的要因の変化の影響の分析

• 一般インフレの影響

– 所得とすべての価格が同じ率で上昇する

px + qy ≦ M → (1+π)px + (1+π)qy ≦ (1+π)M

↓

px + qy ≦ M

一般インフレは，選好順序に影響を持たない限り，

経済活動に影響を持たない

インフレ前と後では，予算集合が変化しないから

6.8 消費の比較静学：所得変化

• 所得増加の効果

– 所得の増加

＝ 予算総額の増加 px + qy ≦ M

↓

px + qy ≦ M+∆M

x y

A

B E

Mp Mq

M’p M”p

∆M = M’ - M > 0

∆M = M” - M < 0

所得の増減に伴い，

予算線は平行に 上下に移動する

所得・消費経路 M’q

M”q

6.9 消費の比較静学 : 価格変化

• 価格上昇の効果

px + qy ≦ M

↓

(p+∆p)x + qy ≦ M

x y

A E B

Mp Mq

M p”

M p’

∆p = p’ - p > 0

∆p = p” - p < 0

Xの価格の上昇は

予算線をY軸切片を中心に 内側に回転させる

価格・消費経路

6.10 最適化問題：例

max u=xy s.t. 10x + 5y = 12

(x,y)

予算線の傾き 無差別曲線の傾き =

y=u/x

無差別曲線 傾き y’ = -u/x ² 予算線の傾き 2

y/x = 2 10x + 5y = 12,

= -y/x

予算方程式 10x + 5 (2x) = 12

x = 0.6 y = 1.2 u = 0.72 最適化の条件：

A

B 予算線上のバスケット

A B

6.11 ラグランジェ乗数法の解法

max u(x,y) s.t. px + qy = M

(x,y)

制約付最適化問題の解き方

目的関数 制約式

選択変数

ラグランジェ式

= 目的関数 + ラグランジェ乗数 ［制約式の左辺−右辺］

L = u(x,y) + λ [ px + qy - M ]

ラグランジェ式を各選択変数とラグランジェ乗数について 偏微分してできる式をゼロとおいてできる連立方程式を解く

∂L

∂x = 0 ,

∂L

∂y = 0 ,

∂L

∂λ = 0 ,

偏微分：ひとつの変数以外は定数とみなして微分する

6.12 計算例

L = u(x,y) + λ [ px + qy - M ]

∂L

∂x =

∂L

∂λ =

∂u(x,y)

∂x + λ p = 0

∂L

∂y = ^∂u(x,y)

∂y + λ q = 0 px + qy - M = 0

L = xy + λ [10x +5y - 12 ]

y + 10 λ = 0 x + 5 λ = 0 10x + 5y =12

}

^y

x = 2