数学
例題 次の問いに答えなさい。
⑴ 次の数の並びにおいて，n番目の数を，nを使った式で表しなさい。
① ２，５，８，11，14，17，…
② １，４，９，16，25，36，…
⑵ 右の図のように，自然数を１から順に横に５ずつ書き並べて いく。このとき，次の問いに答えなさい。
① 上から５段目で左から３番目にある数を求めなさい。
② 上からn段目で左から２番目の数を，nを使った式で表し なさい。
解法
⑴① ２からはじまり，３ずつ増えていくので，
n番目の数は，
２＋３（n−１）＝２＋３n−３＝３n−１
答 ３n−１
② 差が一定ではないから，n2を使って表せる かを考える。１番目は１＝１2，２番目は
４＝２2，３番目は９＝３2，４番目は16＝４2…のように数が並んでいる。よって，n番目の数は，n2 答 n2
⑵① 左から３番目の数は，１段目が３であり，その後は５ずつ大きくなっている。よって，上から５段 目で左から３番目の数は，３＋５（５−１）＝23
答 23
② 左から２番目の数は，１段目が２であり，その後は５ずつ大きくなっている。よって，上からn段 目で左から２番目の数は，２＋５（n−１）＝５n−３
答 ５n−３
n 番目の数の文字式での表し方
並んでいる数の前後の差が一定 → １番目の数をa，差をdとすると，n番目の数は，a＋（n−１）d 並んでいる数の前後の差が一定ではない → n番目の数がn2を使って表せるか考える
2 5 8 11 14 17 …
＋3 ＋3 ＋3 ＋3 ＋3 ＋3
12 22 32 42 52 62 …
ここがポイント
１段目 1 2 3 4 5 ２段目 6 7 8 9 10 ３段目 11 12 13 14 15
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数の規則性と文字式
９
Point!
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数 学 例題 下の図１のような１辺３㎝の正方形の紙がたくさんある。これらを図２のように，１辺１㎝の正方
形の部分がのりしろとなるようにつなぎ合わせていく。このとき，次の問いに答えなさい。
⑴ ４枚の紙をつなぎ合わせたとき，できた図形の面積を求めなさい。
⑵ n枚の紙をつなぎ合わせたとき，できた図形の面積をnを用いて表しなさい。
⑶ ４枚の紙をつなぎ合わせたとき，できた図形の周りの長さを求めなさい。
⑷ n枚の紙をつなぎ合わせたとき，できた図形の周りの長さをnを用いて表しなさい。
解法
⑴ できる図形の面積は，正方形の紙が１枚のときは３2＝９（㎠），２枚の紙をつなぎ合わせたときは ９＋９−１2＝17（㎠），３枚の紙をつなぎ合わせたときは17＋９−１＝25（㎠）となり，これらの面積は ８㎠ずつ増えていることがわかる。よって，４枚の紙をつなぎ合わせたときは，25＋８＝33（㎠）
答 33㎠
⑵ 正方形の紙が１枚では９㎠で，その後は８㎠ずつ増えるから，
n枚のとき，９＋８（n−１）＝８n＋１（㎠）
答 ８n＋１㎠
⑶ できる図形の周りの長さは，正方形の紙が１枚のときは３×４＝12（㎝），２枚の紙をつなぎ合わせた ときは12＋12−１×４＝20（㎝），３枚の紙をつなぎ合わせたときは20＋12−１×４＝28（㎝）となり，こ れらの長さは８㎝ずつ増えていることがわかる。よって，４枚の紙をつなぎ合わせたときは，
28＋８＝36（㎝）
答 36㎝
⑷ 正方形の紙が１枚では12㎝で，その後は８㎝ずつ増えるから，
n枚のとき，12＋８（n−１）＝８n＋４（㎝）
答 ８n＋４㎝
規則的に並んだ図形の問題の解き方
図形が１つ変化したことで，値（辺の長さや面積など）がどのように変化したかを調べる
図１ 図２ 3㎝
1㎝
1㎝
3㎝
3㎝ 3㎝
ここがポイント
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