1 解答 ３年 ６章 円
C
A B
D
Ｏ 80°54°
44°46°
解答 ３年 ６章 円
1 ②
⇒ 点Ａ，Ｄは円周上の点で，点Ｆは円の外部にある 点である。一方，点Ｅは円の内部にある点だから，
∠ＢＥＣは他の３つの角よりも大きい。
2 18°
⇒ 右の図で，
37°×2＋2∠x＝110°
したがって，
∠x＝18°
3 54°
⇒ 半円の弧に対する円周角 は90°だから，
∠ＡＣＢ＝90°
したがって，
∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＢ－∠ＡＣＤ
＝90°－44°
＝46°
三角形の内角の和は180°だから，
∠ＡＢＣ＝180°－(80°＋46°)＝54°
ＡＣに対する円周角は等しいから，
∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝54°
4 20°
⇒ ＡＢに対する円周角は等しいから，
∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＢ＝50°
∠ＣＤＥは△ＡＤＣの外角だから，
∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＥ－∠ＡＣＢ
＝105°－50°
＝55°
ＡＥは∠ＢＡＣの二等分線だから，
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝55°
三角形の内角の和は180°だから，
∠x＝180°－(∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＢ)
＝180°－(∠ＢＡＤ＋∠ＣＤＥ)
＝180°－(55°＋105°)
＝20°
5 70°
⇒ １つの円で，弧に対する中心角は，その弧の長さ に比例するから，
∠ＡＯＣ＝ ∠ＡＯＢ
＝ ×180°
＝80°
（（（（
4 9 4 9
∠ＤＯＢ＝ ∠ＡＯＢ
＝ ×180°
＝60°
円周角の定理から，
∠ＡＢＣ＝∠ＡＯＣ×
＝80°×
＝40°
∠ＤＡＢ＝∠ＤＯＢ×
＝60°×
＝30°
∠ＡＥＣは△ＡＢＥの外角だから，
∠ＡＥＣ＝∠ＡＢＣ＋∠ＤＡＢ
＝40°＋30°
＝70°
6 70°
⇒ ＡＤに対する円周角は等しいから，
∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝46°
等しい弧に対する円周角は等しいから，ＡＢ＝ＡＤ より，∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ＝46°
したがって，
∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ＋∠ＢＤＣ
＝46°＋18°
＝64°
三角形の内角の和は180°だから，
∠x＝180°－(46°＋64°)＝70°
₇ ∠x＝50°，∠y＝70°
⇒ 下の図で，ＡＢに対する円周角は等しいから，
∠x＝∠ＡＤＢ＝50°
∠ＡＤＢは△ＡＤＦの外角だから，
∠ＤＡＦ＝∠ＡＤＢ－∠ＡＦＤ
＝50°－30°
＝20°
また，∠yは△ＡＥＣの外角だから，
∠y＝∠ＤＡＦ＋∠x
＝20°＋50°
＝70°
1 3 1 3
1 1 2 2
1 1 2 2
（（ （（ （（
（（
C B
Ｏ A
37°110°
37°
xx xx
O A
B
E C
D
F 50°
30°
xx yy
2 解答 ３年 ６章 円
₈⑴ ＣＤ＝1 cm，ＡＥ＝3 cm
⑵ ＡＥ：ＦＧ＝7：3
⇒ ⑴ △ＡＢＣと△ＢＣＤは，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝ＢＤの二 等辺三角形だから，
∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ，∠ＡＣＢ＝∠ＢＤＣ よって，２組の角がそれぞれ等しいから，
△ＡＢＣ∽△ＢＣＤ
相似な図形の対応する辺の比は等しいから，
ＡＢ：ＢＣ＝ＢＣ：ＣＤ 4：2＝2：ＣＤ
ＣＤ＝1
また，△ＡＥＤと△ＢＣＤで，
ＡＢに対する円周角は等しいから，
∠ＡＥＤ＝∠ＢＣＤ 対頂角は等しいから，
∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＣ
よって，２組の角がそれぞれ等しいから，
△ＢＣＤ∽△ＡＥＤ
したがって，△ＡＥＤは二等辺三角形だから，
ＡＥ＝ＡＤ
＝ＡＣ－ＣＤ
＝4－1
＝3
⑵ △ＣＧＤと△ＡＥＤにおいて，
平行線の錯角は等しいから，ＡＥ//ＦＣより，
∠ＣＧＤ＝∠ＡＥＤ 対頂角は等しいから，
∠ＣＤＧ＝∠ＡＤＥ
よって，２組の角がそれぞれ等しいから，
△ＣＧＤ∽△ＡＥＤ
したがって，△ＡＢＥで，ＡＥ//ＦＧより，
ＡＥ：ＦＧ＝ＢＥ：ＢＧ ＝(ＢＤ＋ＤＥ)：ＢＧ ここで，ＢＤ＝2，ＤＥ＝ＡＥ× ＝ ， ＢＧ＝ＢＤ－ＤＧ＝ＢＤ－ＣＤ× ＝ だから，
ＡＥ：ＦＧ＝
(
2＋)
： ＝7：3₉⑴ (150－a)°
⑵① 〈証明〉
（△ＡＢＰと△ＡＣＲにおいて，）
△ＡＢＣは二等辺三角形だから，
ＡＢ＝ＡＣ ……㋐
仮定から，ＢＰ＝ＣＲ ……㋑
ＡＰに対する円周角は等しいから，
（（
1 2 3
2 1
2 3 2 3
2 3 2
（（
∠ＡＢＰ＝∠ＡＣＲ ……㋒
㋐，㋑，㋒より，２辺とその間の角がそれぞれ 等しいから，
（ △ＡＢＰ≡△ＡＣＲ ）
② 5 cm
⇒ ⑴ ＡＰに対する円周角は等しいから，
∠ＡＣＰ＝∠ＡＢＰ＝a°
ＢＣに対する円周角は等しいから，
∠ＢＰＣ＝∠ＢＡＣ＝180°－(75°×2)＝30°
したがって，
∠ＰＱＣ＝180°－(30°＋a°)＝150°－a°
⑵② △ＡＢＣと△ＡＰＲにおいて，
△ＢＡＣ≡△ＡＢＰ≡△ＡＣＲで，それぞれ二等 辺三角形だから，
∠ＡＢＣ＝∠ＣＡＲ ……㋓
また，
∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＰ－∠ＣＡＰ ∠ＰＡＲ＝∠ＣＡＲ－∠ＣＡＰ よって，∠ＢＡＰ＝∠ＣＡＲだから，
∠ＢＡＣ＝∠ＰＡＲ ……㋔
㋓，㋔より，２組の角がそれぞれ等しいから，
△ＡＢＣ∽△ＡＰＲ よって，
ＡＣ：ＡＲ＝ＢＣ：ＰＲ
9：6＝6：ＰＲ
ＰＲ＝4
したがって，ＣＰ＝ＣＲ－ＰＲ＝9－4＝5 〈証明〉
△ＡＢＣと△ＤＦＥにおいて，
まず，ＡＢに対する円周角は等しいから，
∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＢ
よって，∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＦ ……① 次に，線分ＣＥを引くと，ＢＣに対する円周角は等し いから，∠ＢＡＣ＝∠ＢＥＣ ……② また，△ＡＣＥにおいて，点Ｄは辺ＡＣの中点，点Ｆ は辺ＡＥの中点であるから，中点連結定理より，
ＣＥ//ＤＦ ……③ ③より，平行線の錯角は等しいから，
∠ＣＥＤ＝∠ＦＤＥ
よって，∠ＢＥＣ＝∠ＦＤＥ ……④ ②，④より，∠ＢＡＣ＝∠ＦＤＥ ……⑤ ①，⑤より，２組の角がそれぞれ等しいから，
△ＡＢＣ∽△ＤＦＥ
（（（（ （ （
