PDF マクスウェルの基礎方程式 - 九州工業大学

1 マクスウェルの基礎方程式

電場のガウスの法則

電場E,~ 電荷Q,誘電率ε⁰, 電荷密度ρ.

積分形(面積分）：^I

閉曲面

E~ ·d ~S = Q ε0

, 微分形：∇·E~ = ρ ε0

(1.1) 磁束密度のガウスの法則

磁束密度B~

積分形(面積分）：^I

閉曲面

B~ ·d ~S= 0, 微分形：∇·B~ = 0 (1.2) ファラデーの法則（電磁誘導の法則）

起電力（電圧）Vr ≡^H E~ ·d~s, 磁束ΦB =^R B~ ·d ~S Vr=−^∂Φ_∂t^B に代入すれば、次式を得る．

積分形（線積分）：^I

閉経路

E~ ·d~s=−∂

∂t

Z

面（領域）

B~ ·d ~~S, 微分形：∇×E~ =−∂ ~B

∂t (1.3) マクスウェル・アンペールの法則

電流I,電流密度~i:I ≡^R~i·d ~S, 透磁率µ⁰

積分形（線積分）：^I

閉経路

B~ ·d~s=µ⁰I+µ⁰ε⁰ ∂

∂t

Z

面（領域）

E~ ·d~~S, 微分形：∇×B~ =µ0~i+µ0ε0

∂ ~E

∂t (1.4)

2 ガウスの定理とストークスの定理  ( 数学）

任意のベクトルA~ = (Ax, Ay, Az)について、

I

閉曲面

A~·d ~S =

Z

閉曲面の囲む体積 ∇·A dV~ (ガウスの発散定理）

I

閉経路

A~·d~s=

Z

閉経路の囲む面(∇×A)~ ·d ~S (ストークスの定理) (2.5) が成り立つ。ただし、

∇·A~= divA~ = ∂Ax

∂x +∂Ay

∂y +∂Az

∂z ,

∇×A~ = rotA~=

~i ~j ~k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

Ax Ay Az

= (∂Az

∂y −∂Ay

∂z ,∂Ax

∂z − ∂Az

∂x ,∂Ay

∂x − ∂Ax

∂y ).(2.6)

1

3 _{波動方程式}

真空中（Q = ρ = 0,~i = I = 0)で、４つの式（マクスウェルの基礎方程式）を組み立 てる．

∇·E~ = 0

∇·B~ = 0

∇×E~ =−∂ ~B

∂t

∇×B~ =µ⁰ε⁰∂ ~E

∂t (3.7)

最後の式を時間tで偏微分すれば、

∇× ∂ ~B

∂t =µ0ε0

∂²E~

∂t² (3.8)

となり、３番目の式を代入すると、

−∇×(∇×E) =~ µ0ε0

∂²E~

∂t² (3.9)

を得る．ここで、任意のベクトルA~について、

∇×(∇×A) =~ ∇(∇·A)~ −(∇·∇)A~ (3.10) だから、（3.9)式は、

−∇(∇·E) + (∇~ ·∇)E~ = (∇·∇)E~ =µ⁰ε⁰∂²E~

∂t² (3.11)

を得る．第一項がなくなったのは、マクスウェルの最初の式（∇·E~ = 0) を用いた．

∇·∇E~ を書き換えると、

(∇·∇)E~ = ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z²

!

E~ =µ0ε0

∂²E~

∂t² (3.12)

となる。これを電場に対する 波動方程式という．同様に磁束密度B~ についても、波動方程 式を得る．

(∇·∇)B~ = ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z²

!

B~ =µ⁰ε⁰∂²B~

∂t² (3.13)

波動方程式の性質から、

c= 1

√µ⁰ε⁰ (3.14)

は、電磁波の速度、即ち光速度になる。

2006.10.26物理学ＩＩＢ（鎌田）

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