PDF 研修会資料 151028

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研修会資料 151028

１．需要予測問題

1.1 局所重回帰分析

これまでの重回帰分析や非線形最小 2 乗法の予測手法は、パラメータを含んだ関数形を仮定し、最小 2 乗法によってパラメータの値を定め、予測関数を確定するものであった。

しかし、局所重回帰分析は要求点を与えることによって、その近傍の点による重回帰分析の結果から直接予測値を求める方法で、関数形を必要としない予測手法である。

解説

局所重回帰分析の目的

目的変数の値を、関数形を仮定せず、直接数値を求める方法で予測する。

予測式は？ → 要求点を与えた際の線形重回帰式「局所重回帰分析」ボタン

（偏回帰係数の値は他の要求点では使えない）

予測値は？ → 要求点を与えて求める。「局所重回帰分析」ボタン

バンド幅pとは？ → どの程度要求点の近傍のデータを利用するかを決める値大きいほど遠くまで利用する。∞で通常の重回帰分析要求点を与えた予測の数値を見るには？ → 「予測値と残差」ボタン要求点を与えた予測の状態を見るには？ → 「実測/予測散布図」ボタン

２変量までなら回帰散布図１個抜き交差検証について

１個抜き交差検証（LOOCV）とは？ → 要求点を各データ点にし、その点を除いて予測する検証手法

予測の精度は → 各要求点（=データ点）の実測値と予測値の相関係数（重相関係数）、

及び残差２乗平均の平方根（RMSE：小さいほど良い）

各点の予測と実測の値は？ → １個抜き交差検証内の「予測値と残差」ボタン各点の予測と実測の状態を見るには？ → 同「散布図」

予測へのバンド幅pの依存性は？ → 「p依存性」ボタン（最小のところが良い値）

問題

重回帰分析6（局所）.txtの１頁目を読み込んで以下の問いに答えよ。

１）要求点を先頭のデータ（番号1）の位置にした際の、局所重回帰式を求めよ。

目的変数＝［］説明変数１＋［］説明変数２＋［］２）そのときの先頭のデータの実測値、予測値、残差、ウェイトを求めよ。

実測値［］予測値［］残差［］ウェイト［］３）そのときの実測／予測散布図を見よ。

４）そのときの２変量回帰散布図を見よ。

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５）30番目のデータの実測値、予測値、残差、ウェイトを求めよ。

実測値［］予測値［］残差［］ウェイト［］

６）要求点を30番目のデータの位置にした際の、局所重回帰式を求めよ。

目的変数＝［］説明変数１＋［］説明変数２＋［］７）そのときの先頭のデータの実測値、予測値、残差、ウェイトを求めよ。

実測値［］予測値［］残差［］ウェイト［］８）そのときの実測／予測散布図を見よ。

９）そのときの２変量回帰散布図を見よ。

10）要求点を (50,50) にしたときの局所重回帰式を求めよ。

目的変数＝［］説明変数１＋［］説明変数２＋［］ 11）そのときの実測／予測散布図を見よ。

12）バンド幅pを100にした場合の局所回帰式を求めよ。

目的変数＝［］説明変数１＋［］説明変数２＋［］ 13）そのときの実測／予測散布図を見よ。

14）予測値と残差のところで、ウェイトの大きさを見よ。

バンド幅を元に戻して

15）１個抜き交差検証をした場合のRMSEと重相関係数の値を求めよ。

RMSE［］重相関係数［］

16）１個抜き交差検証をした場合の1番の実測値、LOOCV予測値、残差を求めよ。

実測値［］LOOCV予測値［］残差［］ 17）１個抜き交差検証の予測の程度を散布図を使って見よ。

18）バンド幅pを動かして、RMSEが最小となるp値はどこか。p=［］

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3 1.2 時系列分析

時系列分析はあるデータの時間的変化を分析し、モデルを作成して今後の予測を行うことを目的とする。

変動の分解モデル

時系列データを傾向変動、振幅変動、周期変動、残差に分解し、データの性質を調べると同時に予測も行う手法で、データに周期性がある場合に有効

例

Samples¥時系列分析1.txtの売上1データを、傾向変動、周期変動、残差に分解し、来

月の売上を予測せよ。

傾向変動全体的な変化の傾向を表す変動季節変動一定の周期を持つ変動

循環変動一定の周期ではない変動（ここでは考えない）

残差これらの変動を差し引いた残りの変動

時系列データを見る → 「元データ」ラジオボックスを選択し、描画ボタン傾向変動を分解する → 傾向変動１，２で見て、よく適合するモデルを求める。

変動の分解の表示で、元データ、傾向変動１、２、残差をチェックし、実行周期性を見る → コレログラム（自己相関のグラフ）とピリオドグラムで調べる。

季節変動を分解する → 振幅変動の種類を選択し、周期変動分解の周期を入力、これらにチェックを入れ、表示に季節変動を加え実行

再度季節変動を見る → 再度周期性を調べ、必要なら周期変動分解の周期をカンマ区切りで追加し実行

どの程度予測があっているかの目安 → 残差標準偏差の値、R²値

手順

１）ここでは傾向変動の近似モデルは回帰モデルの１次式を選択する。

２）傾向変動と残差をグラフや残差標準偏差（予測の良さ）で確認する。

３）傾向変動を除いた残差から周期性をコレログラムやピリオドグラムで確認する。

４）傾向変動、季節変動、残差をグラフや残差標準偏差（予測の良さ）で確認する。

５）再度残差の周期性をコレログラムやピリオドグラムで確認する。

６）残差標準偏差の値を見て調整する。

７）データの実測値と予測値のR²の値を求める。（予測の良さを表す）

８）モデルの予測値を確認する。

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4 問題１

Samples¥時系列分析1.txtの売上2について、以下の問いに答えよ。但し、ここでは周

期変動２と振幅変動については考えないものとする。

１）このデータの傾向変動を1次式で推定するとどのような式になるか。

売上＝［］×時間＋［］

２）上の傾向変動を除いた場合の残差標準偏差の値はいくらか。［］３）傾向変動を除いた残差から、ピリオドグラム等を用いて周期変動の周期を求めるとい

くらか。［］

４）上の季節変動を除いた場合の残差標準偏差の値はいくらか。［］５）データを上の傾向変動と季節変動で予測するモデルのR²の値はいくらか。

［］

６）このモデルでの1期先の予測値はいくらか。［］７）このモデルでの5期先の予測値はいくらか。［］

問題２

Samples¥時系列分析1.txtの売上4について、以下の問いに答えよ。但し、ここでは周

期変動２と振幅変動については考えないものとする。

１）このデータの傾向変動をバンド幅0.5の局所重回帰分析にしたときの残差標準偏差の値はいくらか。残差標準偏差［］

２）傾向変動を除いたデータから、ピリオドグラム等を用いて季節変動の周期を求めるといくらか。［］

３）傾向変動と季節変動を除いた残差標準偏差はいくらか。［］

４）傾向変動と季節変動を除いたデータから、ピリオドグラム等を用いて再度季節変動（長周期の周期変動）の周期を求めるといくらか。［］

５）上の変動をすべて除いた残差標準偏差はいくらか。［］

６）データを上の傾向変動、季節変動、循環変動で予測するモデルのR²の値はいくらか。

［］

７）このモデルでの1期先の予測値はいくらか。［］８）このモデルでの5期先の予測値はいくらか。［］

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5 1.3 パネル重回帰分析

パネル重回帰分析は複数変数の時系列データを用いて、ある１つの変数を予測する重回帰分析である。

問題１

パネル重回帰分析3.txtはある会社の予測したい指標、その他の指標、経済指標の3種類のデータである。3期分のデータを使った1期先を予測するパネル重回帰分析を用いて予測の可能性を以下に従って考えよ。

１）3つのデータの時系列グラフを示せ（目盛は5間隔）。

以後は3期分のデータを使って、「指標」についての1期先の予測を考える。

２）これらの3期分のデータの中で、予測値との相関が一番大きいものはどれか。

［指標・他指標・経済指標の［］期前のデータで、相関係数［］３）回帰式を求めよ。

予測値＝［］指標1期前＋［］他指標1期前

＋［］経済指標1期前＋…＋［］経済指標3期前＋［］４）最も影響力のある変数は何か。

［指標・他指標・経済指標］の［］期前のデータで、

標準化偏回帰係数の値［］、偏回帰係数の検定確率値［］５）予測の寄与率はいくらか。［］

６）1期先はいくらに予測されたか。［］

７）３）の回帰式を用いた実測値と予測値のグラフを描け。

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6

８）これまでの予測は、予測式を求めるときに予測される数値が使われていた。これを防ぐために、予測値の値を求める際、それまでの値しか使わないようにした。そのようにした場合の予測の精度を見たい。50期目の実測値と予測値を比較せよ。但し、交差検証には15期分のデータを使うことにする。

実測値予測値交差検証予測値

９）交差検証による実測、予測の15期分のグラフを描け。

10）1期先のデータ予測について、2頁目のデータでの50期目の予測と1頁目のデータでの交差検証50期目の予測の値は同じか。

2頁目50期目予測 1頁目交差検証同予測

［同じ・同じでない］

11）1期先と5期先との予測の寄与率（R^2）を交差検証の結果を元に比較せよ。

1期先 5期先

12）交差検証の1期先予測の寄与率（R^2）を、周期12期の時系列分析を加えない場合と

加えた場合で比較せよ。

時系列分析を加えない時系列分析を加える

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7 問題２

パネル重回帰分析4.txtはある会社の予測したいアタッチメントの売り上げ、ミニと中型・

大型建機の売り上げのデータである。3期分のデータを使った1期先を予測するパネル重回帰分析を用いて予測の可能性を以下に従って考えよ。

１）時系列分析を行わない場合、50期分のデータを使った交差検証のR^2の値はいくらか。

［］

２）同上の条件で、交差検証による実測、予測の50期分のグラフを描け。

３）バンド幅0.5と周期12の時系列分析を行った場合、50期分のデータを使った交差検証のR^2の値はいくらか。

［］

４）同上の条件で、交差検証による実測、予測の50期分のグラフを描け。

５）同じ時系列分析を行った場合の１期先の予測値を求めよ。

［］

データの期間が短い場合、12 期周期の時系列分析は予測にとって良い結果を与えるとは限らない。（12期周期の場合、最低でも24期分のデータは損なわれる。）

データの期間が長く、周期が明らかな場合は、時系列分析の効果は高い。

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8

２．品質管理

1. パラメータ設計

装置からの出力は、人が制御できる制御因子と制御できない誤差因子に影響され、理想値からのずれが生じる。パラメータ設計とは、データの誤差因子の影響を抑え、理想値に近い観測値が得られるよう制御因子を調整する手法である。パラメータ設計には動特性と静特性がある。

動特性：入力に対して理想的な出力を定義する場合（例えばy



M）

静特性：出力値をある理想的な値（ある値、ゼロ、大きな値など）に近づける場合評価に用いる指標

SN比 測定誤差の分散に対する有効な信号の変化の大きさに関係する値。大きい値を取るほど良い。10×対数スケールを用いる。

感度

S

有効な信号の変化の大きさに関係する量。問題により、大きい方、目標値なった方、小さい方がよいなど様々。10×対数スケールを用いる。

他の影響を排除したある制御因子の各水準のSN比は？ → SN比補助表他の影響を排除したある制御因子の各水準の感度は？ → 感度補助表

問題１動特性のパラメータ設計

パラメータ設計1.txtの2頁目のデータを用いて以下の問いに答えよ。

１）2分類の制御因子が1つ、3分類の制御因子が7つの場合の直交表がデータで与えたようになることを確認せよ。

２）最初の3つの実験のSN比と感度を求めよ。

SN比感度

1 2 3

３）他の因子の影響を排除した制御因子Aの2つの水準のSN比の値を求めよ。（補助表）

水準1［］水準2［］

４）他の因子の影響を排除した制御因子Aの2つの水準の感度の値を求めよ。（補助表）

水準1［］水準2［］

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9

５）SN比の補助表による以下の要因効果図を表示せよ。最も変化の大きい制御因子は何か。

制御因子［］６）最もSN比の良い制御因子の番号を書け。

A［］B［］C［］D［］E［］F［］G［］H［］

７）SN比の平均と最適値を求めよ。また最適値のときの感度を求めよ。

平均［］最適値［］感度［］８）現状で制御因子がすべて2の場合、SN比と感度を求めよ。

SN比［］感度［］９）最適値と現状との差を示せ。

SN比［］感度［］

10）制御因子をすべて最適値及び指定値にそろえてSN比と感度の再現性を調べたところ、

グリッドエディタの下から2行の数値になった。実験値に対するSN比を最適条件、

比較条件、利得に分けて求めよ。

SN比実験値感度実験値最適条件

比較条件利得

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10 問題２静特性のパラメータ設計

パラメータ設計2.txtのデータを用いて一般の望目特性（出力が安定していることが良い）

として以下の問いに答えよ。

１）最初の3つの実験のSN比と感度を求めよ。（信号水準１，誤差水準2）

SN比感度

1 2 3

２）他の因子の影響を排除した制御因子Bの3つの水準のSN比の値を求めよ。（補助表）

水準1［］水準2［］水準3［］

３）他の因子の影響を排除した制御因子Bの3つの水準の感度の値を求めよ。（補助表）

水準1［］水準2［］水準3［］

４）SN比の補助表による以下の要因効果図を表示せよ。最も変化の大きい制御因子は何か。

制御因子［］５）設定条件があり、決まっているところもあるが、最適な制御因子の番号を埋めよ。

A［２］B［３］C［］D［２］E［］F［］G［］H［２］

６）SN比の平均と最適値を求めよ。また最適値のときの感度を求めよ。

平均［］最適値［］感度［］７）現状で制御因子がA1B1C1D1E2F2G2H2の場合、SN比と感度を求めよ。

SN比［］感度［］８）最適値と現状との差を示せ。

SN比［］感度［］

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11 2.2 オンライン品質工学

工場の生産ラインでは、目標特性の製品を作るために、品質特性値を計測し、ラインを調整する。これらには時間と人手を要し、そこには費用が発生する。オンライン品質工学では、品質を金額ベースで表し、最適な計測間隔と調整間隔を求め、現行の値と比較し、

どの程度の金額の削減につながるかを検討する。計算には以下の量を利用する。

目的特性の規格値：

m  

不良品損失：A（円），計測コスト：B（円），調整コスト：

C

（円）

計測間隔：n₀^{（個），調整限界：}D₀^{，調整間隔：}u₀^（個）^{，計測タイムラグ：}

l

（個）

バッチ処理の場合は、バッチ内標準偏差s_m 全費用の最小化

2 2

2

1

3 2

B C A D n D

L l

n u u

    

             

^{（円／個）}

仮定 u



D²^（

  const .

）問題１

オンライン品質工学1.txtのデータを用いて以下の問いに答えよ。これには単位時間当たりの生産数が含まれている。また、1日当たりの就業時間を8時間とせよ。

１）以下の値について現行値と最適値を求めよ。但し、最適値は少数でもよいとして、全費用をできるだけ少なくすること。

現行最適現行最適

計測間隔N 工程能力指数

調整限界D RMS（σ）

調整間隔U 累積計測回数

パラメータλ 累積調整回数

計測費/個累積計測費

調整費/個累積調整費

品質損失/個累積品質損失

総損失/個累積総損失

２）この結果より、計測間隔を200、調整限界を4にする場合、調整間隔はいくらになるか。

u



D²の関係式を用いて計算せよ。［］

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12

３）新しい計測間隔、調整限界、調整間隔を入れて、新しいデータとして再計算して、新しい現行値を求めよ。

新設定新設定

調整間隔U 累積計測回数パラメータλ 累積調整回数計測費/個累積計測費調整費/個累積調整費品質損失/個累積品質損失総損失/個累積総損失

４）現行と新しい設定とで、1個当たりの総損失はどのように変化したか。

現行［］新設定［］

５）現行と新しい設定とで、1日当たりの総損失はどのように変化し、いくら改善されたか。

現行［］新設定［］改善／日［］

６）年間2,000時間として現行と新しい設定とで、1年当たりの総損失はどのように変化し、

いくら改善されたか。

現行［］新設定［］改善／年［］

問題２

オンライン品質工学2.txtのデータを用いて以下の問いに答えよ。但し、1日当たりの就業時間を8時間とせよ。

１）以下の値について現行値と最適値を求めよ。但し、最適値は少数でもよいとして、全費用をできるだけ少なくすること。

現行最適現行最適

調整間隔U 累積計測回数

パラメータλ 累積調整回数

計測費/個累積計測費

調整費/個累積調整費

品質損失/個累積品質損失

総損失/個累積総損失

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13

補遺１パラメータ設計の考え方とプログラム

装置からの出力は、人が制御できる制御因子と制御できない誤差因子に影響され、理想値からのずれが生じる。パラメータ設計とは、データの誤差因子の影響を抑え、理想値に近い観測値が得られるよう制御因子を調整する手法である。パラメータ設計には動特性と静特性がある。

動特性：入力に対して理想的な出力を定義する場合（例えばy



M）

静特性：出力値をある理想的な値（ある値、ゼロ、大きな値など）に近づける場合評価に用いる指標

SN比 測定誤差の分散に対する有効な信号の変化の大きさに関係する値。大きい値を取るほど良い。10×対数スケールを用いる。

感度

S

有効な信号の変化の大きさに関係する量。問題により、大きい方、目標値なった方、小さい方がよいなど様々。10×対数スケールを用いる。

他の影響を排除したある制御因子の各水準のSN比は？ → SN比補助表他の影響を排除したある制御因子の各水準の感度は？ → 感度補助表ここでは、動特性のパラメータ設計について考える。

2.1 パラメータ設計の理論と考え方

ここではまずゼロ点比例式の動特性パラメータ設計について考えるが、その前にSN比と感度について、理論的な考察を加えておく。

1 つの実験では、信号水準M_j（

j  1, , p

）と誤差水準

N

_^（

  1, , n

）によって、

表1のように

pn

個のデータy_j_が得られる。誤差水準はできるだけ広く散らばるよう配慮されるものとする。

表1 パラメータ設計におけるデータ

M

1 … Mp

N

1 … N_n …

N

₁ … N_n

y11 … y_1n … yp1 … ypn

この実験についての、誤差水準



のゼロ比例式回帰直線を考える。実測値y_j_ ^{についての} 推定回帰式をY_j_ b M_ _jとすると、実測値との差の2乗和は以下となる。

2 2

1 1

( ) ( )

p p

j j j j

j j

EV

_

y

_

Y

_

y

_

b M

_

 

     

これを最小とするには、

1

2 ( ) 0

p

j j j

j

EV M y b M

b

_ ^ _ ^ ^

    

 

として、以下を得る。

(14)

14

2

1 1

p p

j j j

j j

b M y M L

r

  

 

   

^{，ここに、}

1 p

j j j

L

_

M y

_



  ， 2

1 p

j j

r M



 

全体のゼロ比例式回帰直線については、推定回帰式をY_j bM_jとすると、実測値との差の 2乗和は以下となる。

2 2

1 1 1 1

( ) ( )

p n p n

j j j j

j j

EV y

_

Y y

_

bM

 

   

     

これを最小とするには、

1 1

2 ( ) 0

p n

j j j

j

EV M y bM

b

_ __ ^

    

 

として、以下を得る。

2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

p n p n p n n n

j j j j j

j j j

b M y M M y L b

nr nr n

   

    

       

        

次にデータの変動について考察する。まず、

y  0

^{からの全体の変動}

S

_Tは以下となる。

2

1 1

p n

T j

j

S y

_



 

  自由度pn

また、

y  0

^{からの全体の回帰変動}S_は以下となる。

2

2 2

1 1 1

( ) 1

p n n

j j

S bM nrb L



nr



 

  

 

    

 

 

^自由度^1（

b

^のみ）

これより、

b

²

 S

_

nr

となる。

誤差水準



の回帰直線の全体の回帰直線からの変動S_N_ は以下となる。

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

( ) ( )

p n n n n

N j j

j

S

_

b M

_

bM r b

_

b r b

_

nrb L

_

r S

_

   

    

           

自由度n1 束縛条件

1

( ) 0

n

b_ b



 



¹^個

各点の誤差水準



^{の回帰直線からの変動}S_eは以下となる。

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2

1

( ) [ ( ) ]

( ) 2

2 2( )

p n p n

e j j j j j

j j

p n p n p n p n

j j j j j

j j j j

n

T NB T NB NB T NB

S y b M y b b M bM

y b b M b M y b M

S S S L r S S S S S S S S

   

 

   

   

    



   

       



     

    

           

 

   



自由度

pn n 

束縛条件

1

( ) 0

p

j j j

j

M y

_

b M

_



 

 n個

各点の誤差水準



の回帰直線からの不偏分散V_eは、変動を自由度で割って以下となる。

( )

e e

V  S np n 

(15)

15 これが不偏分散となることは補遺で詳しく説明する。

ここまでの議論で、全変動

S

T^{は、全体の回帰変動}S_ 、全体の回帰直線からの誤差水準



の回帰変動S_N_^{、各点の誤差水準}



^{の回帰直線からの変動}S_eの和で以下のように表されることが分かった。

T N e

S S_ S _ S

各点の全体の回帰直線からの変動S_Nは以下となる。

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

2 2

( ) 2

2

p n p n p p n

N j j j j j j

j j j j

T T N e

S y bM y nb M b y M

S nrb nrb S S S S

  

 

      

    

      

   

自由度

pn  1

束縛条件

1 1

( ) 0

p n

j j j

j

M y

_

bM



 

 



各点の全体の回帰直線からの不偏分散V_Nは、変動を自由度で割って以下となる。

( 1)

N N

V  S pn 

これらを使って、SN比



と感度

S

を定義する。SN比は、測定誤差の分散



²に対する有効な信号の変化の大きさ



²の比を用いて、また感度S^は



²の値を用いて以下のように定義される。

SN比：

2 10 2

10 log 

  

^{，感度：}

2

10 log10

S



実際の計算では



²と



²の値は不明であるので、これらの不偏推定量を用いて置き換える。

SN比：

10

( )

10 log

^e

N

S V nr V

   



  

 

^{，感度：}^S^^{10 log}¹⁰^^⁽^S^ ^^V^e⁾ ^nr^^

一般にSN比は大きな値ほど、有効な信号を誤差の中から拾いやすくなり、良好な結果である。また、感度は対象により、大きな値がよい場合、小さな値がよい場合、目標値がよい場合など様々であるが、感度があまり変化しない制御因子を用いてSN比を上げることを考えることもある。

最後に、



²の不偏推定量を求めておく。

j j j

y_ 



_M 



_^，E[



_j_]0^，E[

 

_j_ _j_{ }_ ]

 

_jj_ __V[ ]



とすると、

1 1 1

( )

p p p

j j j j j j j

j j j

b M y M M M

r r r

 

















  

       

より

(16)

16

2 2

1 1 1 1

2

1 1 1

2

2 2

2

1 1 1 1

1 1 1

( ) ( )

1

1 2

1

p n p n

e j j j j j

j j

p n p

j j j j

j j

p n p p

j j j j j j j j

j j j

p p

n

j j j j

j j

S M b M b M

M M

r

M M M M

r r

r M M

     

 



   



 



   

 

   

 

   

 

  

   

 

   

 

  

 

       

 

    

 

   

 

    

   

 

 

 

 

  



²

1 1

p n

j j

 



 

  

となり、

 

²

1 1 1 1 1

1 ( ) ( )

p p p

n n

e j j j j j

j j j

E S E M M np n V

r

_ _

 

^ _^ _



^



    

 

      

   

^(A1)

また、

2

1 1 1 1 1 1

p n p n

1

p n

j j j j j

j j j

b M y M M y



nr



  

     

    

より、

2 2

1 1

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 ( M )

1 ( 2 )

1 2

p n

j j j

j

p n p n

j j j j j j j j

j j

p n p n p n

j j j j j

j j j

b M

n r

M M M M M

n r

n r nr M M

n r

 



     

 

  

 

     

    

 

      

 

   

  

 

     

 

   

 

  

 

    

 





 

であるから、

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2

1 1 1 1

2

1 2

1 ( )

p n p n p n

j j j j j

j j j

p n p n

j j jj

j j

E b E n r nr M M

n r

M M V

n r nr V

  

  

    

   

 

  

 

     

  

 

   

 

      

   

 

 



よって、以下となる。

2 2

1

[ ] ( )

E b V

   nr 

(A2)

(A2)と(A1)、及び

b

²

 S

_

nr

の関係から、

 

2

1 1

( ) ( )

e e

E S E S np n E S V nr

nr

^

nr

^

             

^(A3)

すなわち、



²の不偏推定量は (S_ V_e) nrである。

(17)

17

同様の考え方で



²^{の不偏推定量が}

V

_N

 S

_N

( pn  1)

であることも示すことができる。

次に我々はSN比を最大にする制御因子の最適設定について考える。制御因子A, B, …について直交表を作ると、他の制御因子の影響をならした、１つの制御因子の影響を調べることができるようになる。表2に直交表を加えたデータを示す。

表2 パラメータ設計におけるデータ

A B …

M

¹ … Mp

SN比感度

N

1 … N_n … N1 … Nn

1 1 1 … y111 … y11n … y1 1p _… y_1pn



₁ S₁

2 1 1 … y₂₁₁ … y_21n … y2 1p … y2pn



₂ S₂

：：：：：：：：：：：：： D 2 2 … y_d₁₁ …

y

_{d n}₁ … y_dp₁ … y_dpn



_d

S

_d

ここにSN比と感度は上で述べた方法で求めて加えてあるものとする。直交表は、各制御因子の同じ番号の行を見ると、他の制御因子について、すべての番号が同じ数だけ入っているという特徴を持つ。

例えば制御因子Aがk^{になる行について、}SN比及び感度の平均を取ったものをそれぞれ



A k_ 、S_{A k}_ と書くとすると、SN比の補助表は表3のようになる。感度の補助表も同様である。

表3 SN比の補助表

制御因子水準1 … 水準r

A



^A_¹ _…



_{A r}_

B



^B_¹ _：



_{B r}_

：： … ：

ここに水準の少ない制御因子の場合、その部分は空欄にしておく。

この補助表のSN比の中で、制御因子ごとの水準値の最も大きな水準を並べたものを最適条件といい、例えばA1B2C1D3…などと表す。我々のプログラムでは制御因子名は省略して番号だけで表している。この最適な水準のSN比を合計したものをSN比の最適値という。

感度についてもSN比の最適条件を用いて最適値を定義する。

これに対して現実の制御因子の設定を比較条件または現状条件という。この条件を用いてSN比を合計したものをSN比の比較値または現状値という。感度についても同様である。

最適値と比較値の差は、今後の改善の可能性として検討すべき値である。

ここで述べた水準値は理論的な推測値である。この値が妥当なものかどうか、追実験をして検証しておかなければならない。また、現実的に考えて最適な制御条件が最良のものであるとは限らない。その際は、できるだけSN比の値を落とさず、感度で制御因子の調整を行うこともある。

(18)

18 2.2 プログラムの利用法

パラメータ設計のデータ（パラメータ設計1.txt）は図1のように、左の直交表の部分と右の実験結果の部分に分けられる。

図1 パラメータ設計のデータ

ここでは、制御因子がA～Hの8種類、信号因子が3種類、誤差因子が2種類である。信号因子と誤差因子の部分の変数名には信号因子の数値が与えられている。

メニュー［分析－OR－パラメータ設計］を選択すると図2のような分析メニューが表示される。

図2 パラメータ設計分析メニュー

パラメータ設定には動特性と静特性の2種類あるが、今回は動特性のみについて紹介する。

まずメニュー中にある、「制御因子数」、「信号水準数」、「誤差水準数」の値を入力する。

この例題の場合、デフォルトの数値がそのまま利用できる。次に「変数選択」ボタンですべての変数を選択する。現在の例では直交表が付いているが、単純にSN比と感度のみを求める場合には、直交表を省略したデータを用いることもできる。その際には「直交表なし」

チェックボックスにチェックを入れておく。

「SN比・感度」ボタンをクリックすると、図3の計算結果が表示される。

図3 各実験のSN比・感度

ここでは各実験に対して、単純にSN比と感度を求めて表示している。

(19)

19

直交表を使った SN 比の補助表は「補助表（SN 比）」ボタンをクリックすることで図 4 のように与えられる。感度の補助表については「補助表（感度）」ボタンをクリックして得られる。

図4 補助表（SN比）

ここで制御因子Aは2水準であるから、空白が１つできている。

補助表をグラフにした図は「グラフ（SN 比）」ボタンをクリックして表示される。描画結果を図5に示す。

図5 補助表のグラフ（SN比）

図4と図5に対する感度の補助表とグラフは、それぞれ図6と図7で与えられる。

図6 補助表（感度）

図7 補助表のグラフ（感度）

(20)

20

SN比の補助表やグラフを使った最適条件は「設定」ボタンをクリックすることでメニュー上の最適条件の部分に図8のように表示される。

図8 SN比の最適条件の設定

比較条件で現在の実験から得られるデータの値を求めることができるが、最適条件との比較も可能である。これらの数値は「最適比較」ボタンで得ることができる。表示結果を図 9 に示す。最適条件の制御因子の組み合わせを変えることで結果を手動で訂正することもできる。

図9 最適条件と比較条件

これらの最適条件と比較条件を実験で再現し、結果を得て、それをデータに追加する。

当然その部分の直交表は空白になっているが、そのまま「再現性確認」ボタンをクリックすると図10に示す再現性確認表が得られる。

図10 再現性確認表

(21)

21

補遺２オンライン品質工学の考え方とプログラム

1. オンライン品質工学の考え方

工場の生産ラインでは、目標特性の製品を作るために、品質特性値を計測し、ラインを調整する。これらには時間と人手を要し、そこには費用が発生する。オンライン品質工学では、品質を金額ベースで表し、最適な計測間隔と調整間隔を求め、現行の値と比較し、

どの程度の金額の削減につながるかを検討する。計算には以下の量を利用する。

目的特性の規格値：

m  

不良品損失：A，計測コスト：B，調整コスト：

C

計測間隔：n，調整間隔：u，調整限界：D，計測タイムラグ：

l

製品１個当たりの計測コストは

B n

、調整コストは

C u

である。また、製品１個当たりの品質損失（品質水準）Qを以下のように与える^[1]。

2 2

2

1

3 2

A D n D

Q l

u

    

           

ここに、最初の項は調整限界内のばらつき、次の項は問題があった計測時の調整限界を超えた製品の予測個数と計測タイムラグによる計測が遅れた製品の個数である。この品質損失の角括弧の中は誤差分散であり、その平方根を誤差標準偏差またはRMSと呼ぶ。

ここで与えた計測調整コストと品質損失を足して、製品１個当たりの総損失Lは以下となる。

2 2

2

1

3 2

B C A D n D

L l

n u u

    

             

⁽¹⁾

さて、計算を進めるために、現在実行している計測と調整の時間を以下のように与える。

現行計測間隔：n₀^{，現行調整間隔：}u₀^{，現行調整限界：}D₀

ここで調整間隔を小さくすると調整限界も小さくなるとして、以下の関係を仮定する。

u D

²

 u

₀

D

₀²

  ( const .)

この関係を利用すると、(1)式は以下のようになる。

2 2 2

0 0

2 2

0 0

1

3 2

CD D

B A D n

L l

n u D u

    

             

⁽²⁾

これをn^とDとで微分して0 とおき、最適計測間隔

n ˆ

と最適調整間隔

u ˆ

を求める。これらは以下のように与えられる。

⁰

0

ˆ 2u B

n A D

   (3)

2 1 4 0 2 0

ˆ 3 C D

D A u

 

     

 

⁽⁴⁾

これより、最適総損失Lˆは以下のようになる。

(22)

22

2 2 2

0 0

2 2 0 0

ˆ ˆ 1

ˆ ˆ ˆ 3 2

CD D

B A D n

L l

n u D u

    

             

⁽⁵⁾

また、現行総損失L₀は以下のようになる。

2 2

0 0 0

0 2

0 0 0

1

3 2

D n D

B C A

L l

n u u

    

             

⁽⁶⁾

その他の指標をみてみよう。

誤差分散



²は(1)式の[ ]の中で、以下のように与えられる。

2 2

2

1

3 2

D n D

l u

          

誤差の標準偏差をRMSと呼び、以下で与えられる。

2 2

1

3 2

D n D

RMS l

    u

       

⁽⁷⁾

また、規格値の範囲とこの標準偏差の

 3 

の範囲との比を工程能力指数

C

_pと呼び、精度評価の１つの基準としている。

2 2

2 6 1

3 2

Cp

D n D

l u

 

  

  

バッチ処理の場合には、A n u, , 等はバッチ単位の値として総損失等は計算される。計測方法としてバッチ内のいくつかの製品についてサンプリング検査されるので、バッチ処理の場合には計測のバッチ内分散

s

_m²も考慮しなくてはならない。そのため、品質損失（品質水準）Q を以下のように考える。

2 2

1

3 2

^m

A D n D

Q l s

u

    

            

⁽⁷⁾

これに関連して、総損失L やRMS、工程能力指数

C

_pも変更を受ける。プログラムではバッチ内分散の値が全体の分散の値に占める比率をバッチ内分散比率r_Bとして以下のように与えている。

2

2 2

1

2

3 2

B B

m

r s

D n D

l s

u

        

 

2. プログラムの利用法

メニュー［分析－ＯＲ－品質管理－オンライン品質工学］を選択すると図 1 に示す分析メニューが表示される。

(23)

23

図1 オンライン品質工学分析メニュー

このまま「実行」ボタンをクリックすると、画面上で与えられた数値を使って、図 2 に示す結果が表示される。

図2 画面からの実行結果

累積となっている部分は、メニューの「時間当たり生産数」と「時間」の値を使って全時間で発生する回数と金額を計算している。例えば1日8時間稼働とすると「時間」を8にして、「時間当たり生産数」を1時間当たりの生産数にする。単位時間を1日にして、年間の稼働日数を「時間」として設定してもよい。

現行のデータを複数与えて、最適解を求めるときには、ファイルからチェックボックスをチェックして、変数選択して「実行」ボタンを押す。しかし、このプログラムは最適な結果を出すだけでなく、徐々に最適な結果に近づけて行くときにも利用できる。この方法を参考文献に従って問題形式で考えて行く。

オンライン品質工学1.txtのファイルを開くと、図3のように現行のデータが入力されている。

(24)

24

図3 変更用ファイルデータ

データは 1 品目についてだけであるが、このデータを変更しながら最適な結果に近づけて行く。

質問１最適計測間隔と最適調整限界を求めて現行より、いくらの改善かを推定する。

この問題の解答の最後には簡単な金額計算をする必要があるので、メニュー画面には下に簡単な電卓機能を付けておいた。

図3のデータで変数選択を「All」にして、「ファイルから」チェックボックスにチェックを入れ、「実行」ボタンをクリックすると、図4のような結果が出る。

図4ファイルからの実行結果

変数が現行と最適合わせて4つ表示されるのはすべての変数を選んでいるためで、変数を1 つずつ追加で選択して行く必要がないように、データの「規格Δ」の値が空欄のときは、

関連する 2 列すべてを空欄になるように設定しているためである。もちろん他の列にデータがあるときには、その列も計算する。

最適な結果が出ているので、その値を参考にして、現行の値を変更することができる。

グリッドエディタ上で、現行の値を次の列にコピーして必要な部分を変更した結果を図 5 に示す。

(25)

25

図5 現行値を変更した後のデータ

これを元に計算した結果が図6である。

図6 現行値を変更した後の結果

ここでは現行の総損失の差を見てみる。1個当たりの改善は1.4850円、1時間300個、1 年2000時間として89.1万円となる。これはメニューの「時間」のところを「2000」に変えて出力すると、そのまま全時間の合計が計算されるので、差を見つけ易い。

工程能力指標

C

_pを見てみると現行1.308、改善1.832となる。

最後に、計測に必要なマンパワーを求めてみよう。計測に3分、調整に平均15分かかるとする。計測回数は1日8時間として、1日当たり12回、時間は12×3=36分である。調

整回数は1日当たり3.443回、時間は約3.443×15=47.9分である。両方合わせて、約82.9

分となる。そのため、1日当たり82.9/480=0.173人必要である。

(26)

26

補遺３誤差分散と工程能力指数

個体



^（



1, 2, ,n^{）、測定番号}i（i1, 2, ,r^{）の検査データ}x_i_^{の分散について考} える。全体の分散は以下で与えられる。

2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

1 1

( ) ( )

1 1 1

( ) ( )

n r n r

i i

n r n n

i R I R

i

s x x x x x x

rn rn

x x x x s s s s

rn n n

   

 

   

  

   

     

       

 

  

1 1

1 ⁿ ^r

i i

x x

rn  ^





^，

1

1 ^r

i i

x x

 r 





ここにs_I²はレコード内分散の平均（バッチ内分散に相当），s_R²はレコード間分散である。規格値を用いると工程能力指数C_pは以下のように与えられる。

2

6 6

PDF 研修会資料 151028

研修会資料 151028

1.1 局所重回帰分析

目的変数の値を、関数形を仮定せず、直接数値を求める方法で予測する。

２変量までなら回帰散布図 １個抜き交差検証について

問題

４）そのときの２変量回帰散布図を見よ。

目的変数＝［ ］説明変数１＋［ ］説明変数２＋［ ］ ７）そのときの先頭のデータの実測値、予測値、残差、ウェイトを求めよ。

目的変数＝［ ］説明変数１＋［ ］説明変数２＋［ ］ 13）そのときの実測／予測散布図を見よ。

16）１個抜き交差検証をした場合の1番の実測値、LOOCV予測値、残差を求めよ。

変動の分解モデル

傾向変動 全体的な変化の傾向を表す変動 季節変動 一定の周期を持つ変動

季節変動を分解する → 振幅変動の種類を選択し、周期変動分解の周期を入力、これら にチェックを入れ、表示に季節変動を加え実行

２）傾向変動と残差をグラフや残差標準偏差（予測の良さ）で確認する。

８）モデルの予測値を確認する。

売上＝［ ］×時間＋［ ］

６）このモデルでの1期先の予測値はいくらか。 ［ ］ ７）このモデルでの5期先の予測値はいくらか。 ［ ］

２）傾向変動を除いたデータから、ピリオドグラム等を用いて季節変動の周期を求めると いくらか。 ［ ］

７）このモデルでの1期先の予測値はいくらか。 ［ ］ ８）このモデルでの5期先の予測値はいくらか。 ［ ］

１）3つのデータの時系列グラフを示せ（目盛は5間隔）。

＋［ ］経済指標1期前＋…＋［ ］経済指標3期前＋［ ］ ４）最も影響力のある変数は何か。

［同じ・同じでない］

時系列分析を加えない 時系列分析を加える

２）同上の条件で、交差検証による実測、予測の50期分のグラフを描け。

データの期間が短い場合、12 期周期の時系列分析は予測にとって良い結果を与えるとは限 らない。（12期周期の場合、最低でも24期分のデータは損なわれる。）

２．品質管理

感度

１）2分類の制御因子が1つ、3分類の制御因子が7つの場合の直交表がデータで与えたよ うになることを確認せよ。

水準1［ ］ 水準2［ ］

制御因子［ ］ ６）最もSN比の良い制御因子の番号を書け。

SN比［ ］ 感度［ ］

比較条件 利得

SN比 感度

水準1［ ］ 水準2［ ］ 水準3［ ］

平均［ ］ 最適値［ ］ 感度［ ］ ７）現状で制御因子がA1B1C1D1E2F2G2H2の場合、SN比と感度を求めよ。

どの程度の金額の削減につながるかを検討する。計算には以下の量を利用する。

  const .

１）以下の値について現行値と最適値を求めよ。但し、最適値は少数でもよいとして、全 費用をできるだけ少なくすること。

計測費/個 累積計測費

３）新しい計測間隔、調整限界、調整間隔を入れて、新しいデータとして再計算して、新 しい現行値を求めよ。

４）現行と新しい設定とで、1個当たりの総損失はどのように変化したか。

いくら改善されたか。

現行 最適 現行 最適

計測費/個 累積計測費

補遺１ パラメータ設計の考え方とプログラム

感度

表1のように

として、以下を得る。

これを最小とするには、

  自由度pn

また、

S bM nrb L

これより、

ここまでの議論で、全変動

S nrb nrb S S S S

自由度

これらを使って、SN比

最後に、

同様の考え方で

表2 パラメータ設計におけるデータ

表3 SN比の補助表

感度についてもSN比の最適条件を用いて最適値を定義する。

図1 パラメータ設計のデータ

まずメニュー中にある、「制御因子数」、「信号水準数」、「誤差水準数」の値を入力する。

ここでは各実験に対して、単純にSN比と感度を求めて表示している。

補助表をグラフにした図は「グラフ（SN 比）」ボタンをクリックして表示される。描画 結果を図5に示す。

SN比の補助表やグラフを使った最適条件は「設定」ボタンをクリックすることでメニュ ー上の最適条件の部分に図8のように表示される。

当然その部分の直交表は空白になっているが、そのまま「再現性確認」ボタンをクリック すると図10に示す再現性確認表が得られる。

補遺２ オンライン品質工学の考え方とプログラム

1. オンライン品質工学の考え方

不良品損失：A，計測コスト：B，調整コスト：

ここで与えた計測調整コストと品質損失を足して、製品１個当たりの総損失Lは以下と なる。

ここで調整間隔を小さくすると調整限界も小さくなるとして、以下の関係を仮定する。

これより、最適総損失Lˆは以下のようになる。

また、規格値の範囲とこの標準偏差の

これに関連して、総損失L やRMS、工程能力指数

図1 オンライン品質工学分析メニュー

図3 変更用ファイルデータ

図4ファイルからの実行結果

図5 現行値を変更した後のデータ

２変量までなら回帰散布図１個抜き交差検証について

目的変数＝［］説明変数１＋［］説明変数２＋［］７）そのときの先頭のデータの実測値、予測値、残差、ウェイトを求めよ。

目的変数＝［］説明変数１＋［］説明変数２＋［］ 13）そのときの実測／予測散布図を見よ。

傾向変動全体的な変化の傾向を表す変動季節変動一定の周期を持つ変動

季節変動を分解する → 振幅変動の種類を選択し、周期変動分解の周期を入力、これらにチェックを入れ、表示に季節変動を加え実行

売上＝［］×時間＋［］

６）このモデルでの1期先の予測値はいくらか。［］７）このモデルでの5期先の予測値はいくらか。［］

２）傾向変動を除いたデータから、ピリオドグラム等を用いて季節変動の周期を求めるといくらか。［］

７）このモデルでの1期先の予測値はいくらか。［］８）このモデルでの5期先の予測値はいくらか。［］

＋［］経済指標1期前＋…＋［］経済指標3期前＋［］４）最も影響力のある変数は何か。

時系列分析を加えない時系列分析を加える

データの期間が短い場合、12 期周期の時系列分析は予測にとって良い結果を与えるとは限らない。（12期周期の場合、最低でも24期分のデータは損なわれる。）

１）2分類の制御因子が1つ、3分類の制御因子が7つの場合の直交表がデータで与えたようになることを確認せよ。

水準1［］水準2［］

制御因子［］６）最もSN比の良い制御因子の番号を書け。

SN比［］感度［］

比較条件利得

SN比感度

水準1［］水準2［］水準3［］

平均［］最適値［］感度［］７）現状で制御因子がA1B1C1D1E2F2G2H2の場合、SN比と感度を求めよ。

１）以下の値について現行値と最適値を求めよ。但し、最適値は少数でもよいとして、全費用をできるだけ少なくすること。

計測費/個累積計測費

３）新しい計測間隔、調整限界、調整間隔を入れて、新しいデータとして再計算して、新しい現行値を求めよ。

現行最適現行最適

計測費/個累積計測費

補遺１パラメータ設計の考え方とプログラム

補助表をグラフにした図は「グラフ（SN 比）」ボタンをクリックして表示される。描画結果を図5に示す。

SN比の補助表やグラフを使った最適条件は「設定」ボタンをクリックすることでメニュー上の最適条件の部分に図8のように表示される。

当然その部分の直交表は空白になっているが、そのまま「再現性確認」ボタンをクリックすると図10に示す再現性確認表が得られる。

補遺２オンライン品質工学の考え方とプログラム

ここで与えた計測調整コストと品質損失を足して、製品１個当たりの総損失Lは以下となる。

最後に、計測に必要なマンパワーを求めてみよう。計測に3分、調整に平均15分かかるとする。計測回数は1日8時間として、1日当たり12回、時間は12×3=36分である。調

補遺３誤差分散と工程能力指数