PDF 2007年度大学入試センター試験解説〈数学ⅱb〉

(1)

第１問

〔１〕 sin 2x >

を変形して

2 sin x • cos x >

4 sin x•cos x + 2 sin x - 2 cos x - 1 > 0 ……① a = sin x,b = cos xとおくと

①より 4ab + 2a - 2b - 1 > 0 ……ア，イ，ウ 左辺を因数分解すると

(2a - 1)(2b + 1) > 0

よって 2a - 1 > 0 かつ 2b + 1 > 0

o または

2a - 1 < 0 かつ 2b + 1 < 0 すなわち

かつ ……②

r または

かつ ……③

0 £x <2pで②③を満たすxの範囲は右図のよ うになる．

よって,求めるxの範囲は

または 5 p p ……

エ〜コ

6

4

<x< 3

p p

6

2

<x< 3

x< - 1 cos 2

x< 1 sin 2

x> - 1 cos 2

x> 1 sin 2

2 1

2 0 sinx∑cosx-cosx+sinx- >

2 4 4

1 cos cos sin sin 2

ª

x∑ p - x∑ p

º

+

2 1

cos

ª

x+ p₄

º

+ 2

- 1 1

O

- 1 1

O

太線になっている ところをチェック!!

-1 2

1 2

1 2 -1

2

(左辺)は2倍角,(右辺)には加法定理を用いて sinx ,cosx だけの式にしたい!!

a b

= =

(2)

〔２〕 ……④

底の条件よりn かつすなわち y > 0,y ®1 ……サ，シ y > 0,y ®1

真数条件より よって x < 2 ……⑤ ……

ス

また,底の変換公式 を用いて

……セ

……

ソ

より,④を変形すると

[底をそろえた!!]

整理すると

……⑥ ……

タ

よって,⑥は

⁄ log3y > 0 すなわち y > 1 のとき ……チ

……ツ

よって ……⑦ (底3 > 1より)

¤ log3y < 0 すなわち 0 < y < 1のとき ……

テ

log3y > log3

よって ……⑧ (底3 > 1より)

以上より,求める領域を図示すると (⑤かつ⑦かつ⑧より)

右図の斜線部分となる．① ……ト

(ただし,境界線はすべて含まない) 3

2 3

> - +

y x

” ª

3 1

º’

- 2x

ª º

3 1 2

3

2 3

y x

x

< - = - +

log3 3 1

” ª

^- 2^x

º’

ª º

log3 1 log3 1

y< + - 2x =

ª º

1 1 1

2

3

< +

- log

log y log

x y

ª º

2 2 4

2

1 2

3 3

3

+ < + ∑

- log log

log y y log

x y

log log

log log log

log log

y

y y y

y y

3 3 1

1 2

2

81 81 4

3

3 3 3

3

3 3

= = =

= =

Ï Ì ÔÔ ÔÔÔ

Ó ÔÔ ÔÔ Ô

log log

a log

c c

b b

= a 1- 2x > 0

y > 0, y ®1

2 3 81 2 1

+log _y < logy + logy

ª

- 2x

º

3

x = 2 y

x + 3 y = - 3

2

(3)

第２問

(1) g(x) - f(x) = f(x - a) + 2a - f(x)

= (x - a)³- (x - a) + 2a - (x³- x)

= - 3ax²+ 3a²x - a³+ 3a

= a(- 3x²+ 3ax - a²+ 3) ……

ア〜エ

= - a(3x²- 3ax + a²- 3) ……①

g(x) - f(x) = 0が異なる2実解をもつには (3x²- 3ax + a²- 3 = 0の判別式) > 0 であればよいので

9a²- 12(a²- 3) > 0 a²< 12

よって

これとa > 0とから

0 < a < ……

オ，カ

また

[平方完成]

a > 0より,- 3a < 0であるから, y = g(x) - f(x) のグラフは,右図の

ような(上に凸である) 放物線である．

したがって

x = のとき ……キ，ク

g(x) - f(x) は最大値 = ……ケ〜シ

をとる．

a a

4

(

12- ²

)

- a + a

3

4 3

a 2

g x f x a x ax a a

a x a a

a a

a x a a

a ( )- ( )= -

(

-

)

- +

= - - - - +

= - - - +

3 3

3 2 4 3

2 3

2 2

3

2 3

”ª º ’

ª º

2 3 -2 3 < a<2 3

f x x x

g x f x a a

( )= - ( )= ( - )+ Ï

ÌÔÔ ÓÔ Ô

3

2

x y = g (x) - f (x)

a 2

(4)

(2) より

したがって右下のグラフから

a = 2のとき (h(a) の最大値) = h(2) = 4 ……ス，セ

となる．

(3) のとき,①より

したがって,

g(x) - (f) = 0 の解は

よって,2曲線y = f(x)とy = g(x) の2つの交点P,Qは

それぞれP(0,0),Q( , ) ……

ソ〜ツ

また2曲線y = f(x),y = g(x) で囲まれた部分の面積Sは,

……

テ，ト

である．

S g x f x dx

x x dx

x x

= { ( )- ( )}

= -

(

-

)

= - -

= - ∑ -

=

Ú Ú

0 3

2

3

2 0

3

3 3 3

3 2

3 3 3 3

2 3 9

2

“ ‘

ª º

3 2 3

x= 0, 3

g x^{( )}-f x( )= - 3 3

(

x² -3 3x

)

^{= -}3 3x x

(

^- 3

)

a= 3

h'^{( )}a =3- 3 a = - (a+ )(a- ) 4

3

4 2 2

2

h a a

a a

( )=

(

-

) (

< <

)

4 12 ² 0 2 3

- 2 2

4

2

a y

O

2 3

x

y = g (x) - f (x) y

O 3

S

^……(＊)

(5)

(＊) の[別解]

= ……テ，ト

さらに

より,交点P( = 原点) における2曲線y = f(x), y = g(x) の接線の傾きは,それぞれ

……(＊＊) である．

そこで右図のようにa,bを定めると, tan a= - 1,tan b= 8 ……② よって,②より

= ……

ナ，ニ

(＊＊) の[別解]

y = g(x) のグラフはy = f(x) のグラフを lx軸方向に

平行移動したもの

y軸方向に

だから,

(y = g(x) の原点における接線の傾き) = (y = f(x) の における接線の傾き)

である．

よって,

g'^{( )}0 =f'

(

- 3

)

^{= ∑ -}3

(

3

)

² ^-1⁼ 8

x= - 3 a=

2 2 3

a= 3 9

7

= - - - ∑

1 8 1 1 8

tan tan tan tan

tan tan

q a b a b

a b

=

(

-

)

= -

+ ∑

1 f

g ' '

( )= - ( )= Ï

ÌÔÔ ÓÔÔ

0 1

0 8

f x x

g x x x

' '

( )= -

( )= - +

Ï ÌÔÔ ÓÔ Ô

3 1

3 6 3 8

2

9 2

S = {g x( )-f x( )}dx= - x x

(

-

)

dx

= - ∑ - ∑

(

-

)

Ú Ú

0 3

3

3 3 3

3 3 1

6 3 0

ª º

の利用!!

a b

a b b a

Ú

⁽^x^- ⁾⁽^x^- ⁾^dx^{= -} ¹₆ ⁽ ^- ⁾³

なす角は, tanの加法定理 で捉える

y = f (x) y = g (x) y = f (x)

y = g (x)

- 1

1 a

q

P

Q

3 2 3

x y

O b 傾き8

傾き- 1

(6)

第３問

(1)

を変形すると

よって数列{an+ 30} は,初項a1+ 30 = 3,公比3の等比数列であるから an+ 30 = (a1+ 30) • 3^{n - 1}

= 3ⁿ (# a1= - 27) である．

よって an= 3ⁿ- 30 ……

ア，イ，ウ

したがって,数列{an} の初項から第n項までの和Snは,

[項別にS計算]

= ……

エ〜キ

である．

また,Sn> 0 より 3ⁿ- 1 > 20n すなわち 3ⁿ> 20n + 1 ……(＊) したがって,

これを満たす最小の自然数n = 5である．……ク

・n = 4のとき (＊) の(左辺) = 3⁴= 81, (右辺) = 81

・n = 5のとき (＊) の(左辺) = 3⁵= 243, (右辺) = 101

(2) ……①

……②

①¥2 + ②より

5bn= 2(n - 1)d + xr^{n - 1}

すなわち ……③

また

……④ したがって,bn+ cnは③+ ④より

bn+ cn= 3 ……

ケ〜シ

5 1 1

5 n- d xrⁿ 1

( ) - ^-

n d xrⁿ

= 1 ( - ) - ^-

5 1 2

5

1

cn =(n-1)d-2bn =(n-1)d- 4 (n- )d- xrn^-

5 1 2

5

1

2 1

5 5

b n 1

d x

n = ( - ) rn

+ ^-

2 0 1 1

2 ¹

b c n d n d

b c x r

n n

n n n

+ = +( - )∑ =( - )∑

- = ∑

Ï ÌÔÔ ÓÔ

Ô ^-

n - n

( )

-

3

2 3 1 30

Sn ak n

k

n k

n

k n

= =

(

-

)

=

(

-

)

- -

= =

Â Â

1 1

3 30 3 3 1

3 1 30

an+₁ +30 =3(an +30) an+₁ =3an +60 a

an an 1

1

27

3 60

= -

= +

Ï ÌÔÔ ÓÔÔ +

bn,cnの連立方程式 を解く

y = 3^x

x y

y = 20x + 1

O 1

1 2 3 4 5 ここから 上下が逆転!!

Ï ÌÔ Ô ÓÔ Ô

(7)

(3) (1),(2)より

さらに数列{bn+ cn} の階差数列が{an} であるから an= (bn + 1+ cn + 1) - (bn+ cn)

= ……⑤ ……

ケ〜シ

一方an= 3ⁿ- 30 ……⑥

⑤,⑥より

よって

ゆえに ……ス〜ト

(2) これらを③,④に代入すると

……ナ〜ネ

cn= - 10(n - 1) + 3•3^{n - 1}= 3ⁿ- 10(n - 1) ……ノ〜ヒ

n

- 3 - ( - )

2 20 1

bn = -20(n-1)- 3 ∑ n^- = 2 3 ¹

r x d

=

= -

= - Ï Ì ÔÔ ÔÔ

Ó ÔÔ ÔÔ

3 15

2 50 x r

r d

- ( )= -

=

- =

Ï Ì ÔÔ Ô Ó ÔÔ Ô

1 15

3 3 150

x r( - 1) r ⁿ^-¹ -3d = -15 ∑ 3 ⁿ^-¹ + 150 3

5 1

5 1 ¹ 3 30

d- x r( - )rⁿ^- = ⁿ -

+ ( - ) ^-

3 5

1

5 1 ¹

d x r rⁿ

=

ª

³ -

º ”

- ( - ) - ^-

’

5

1 5

3

5 1 1

5

nd xrⁿ n d xrⁿ 1

a

b n d xr

c n d xr

n n

= -

= ( - ) +

= ( - ) -

Ï Ì ÔÔ ÔÔÔ

Ó ÔÔ ÔÔ Ô

-

3 30 2

5 1 1

5 1

5 1 2

5

1

両辺を同じ形：

I•G^{n - 1}- H = I’•G’^{n - 1}- H’ にして比べたい!!

(I = I’,G = G’,H = H’) {bn+ cn} b1+ c1,b2+ c2,ø,bn+ cn,bn + 1+ cn + 1

{an} a1 a2 an

この関係が point !!

(8)

第４問

以下 の成分表示を適宜

と表すことにする．

A(1,0,0),B(0,1,1),C(1,0,1),D(- 2,- 1,- 2)

(1) より,

= (- 2a,- 2a,1 - 4a) ……① ……ア〜カ

さらに より よって

ゆえに 2a - 2a + 1 - 4a = 0

したがって a = ……キ，ク

(2) のとき

p

①に を代入 であり,GはEFをb : (1 - b) に内分するので

EG: EF= b : 1 よって,

= ……

ケ〜セ

と表される．

ª

³^-²^b ^- ^b

º

4

1 2 4

1

, ,4

OG OE EF

L ⁼ L⁺bL⁼

ª

3

º ª

⁺b ^- ^-

º

4 1 4

1 4

1 2

1 2 0

, , , ,

EG^L= bEF^L

º

= 1 a 4

ª

EF

L⁼

ª

^- ¹ ^-

º

2 1 2 0

, ,

OE OA AB

L⁼ L⁺ ¹ L ⁼ ⁺ ^- ⁼

ª º

4 1 0 0 1

4 1 1 1 3

4 1 4

1 ( , , ) ( , , ) , ,4 a= 1

4

1 4

- - -

∑ -

= 2

2 1 4

1 1 1 l L l L 0

a a a EF AB

L L

∑ = 0 EF AB

L L

^

EF OF OE OC CD OA AB

OC OA CD AB

L L L L L L L

L L L L

= - = + - +

= - + -

= -

Ï Ì ÔÔ Ó ÔÔ

¸

˝ ÔÔ

˛ ÔÔ

+ - - -

- Ï -

Ì ÔÔ Ó ÔÔ

¸

˝ ÔÔ

˛ ÔÔ

= +

- - -

( ) ( )

a a

a

a a

l L l L l L l L l L l L 1

0 1

1 0 0

3 1 3

1 1 1

0 0 1

2 2 4

AB CD

L L

= -( 1 1 1, , ), = -( 3,-1,-3) OP

L=

(

x y z

)

⁼

x y z

, , l L

OP^L

A

B

C D

E

F O

a 1 - a

1 - a

a

G

F

E O

b 1

1 - b

(9)

(3) BC上：より

= (s,1 - s,1) ……② かつ

OG上： ……③

((2)より)

②,③より

よって

ゆえに, ……

ソ，テ

したがって,②に を代入して

すなわち点Hの座標は ……

ト〜ネ

また s= 3 より点Hは線分BCを3 : 1に外分する ……ノ

2

ª

³ ^-

º

2 1 2 1

, ,

OH

L ⁼

ª

³ ^-

º

2 1 2 1

, ,

s= 3 2 b= 3 s= t =

4

3

2 4

, ,

3 2

1 2 1

4

- =

- = -

= Ï

Ì ÔÔ Ô Ó ÔÔ Ô

b s

t

3 2 4

1 2 4 1

4 -

( ) =

-

( ) = ( - )

= Ï

Ì ÔÔ Ô Ó ÔÔ Ô

b t s

t

= = ∑ - -

OH OG

L tL t

ª

3 2b b

º

4

1 2 4

1

, ,4

=(1-s) +s 0 1 1

1 0 1 l L l L

=( - ) +

OH OB OC

L L L

s s

1 BH = BC

L L

Ï

s

Ì Ô Ô Ô ÔÔ

Ó Ô Ô Ô Ô Ô

A

B

C H

E

G F D

O

1 3

H

C

B

1 3

Hは

PDF 2007年度大学入試センター試験 解説〈数学ⅱb〉

第１問

エ〜コ

ª

º

ª

º

ス

ソ

タ

テ

” ª

º’

ª º

” ª

º’

ª º

ª º

ª º

ª

º

第２問

ア〜エ

オ，カ

(

)

(

)

”ª º ’

ª º

ソ〜ツ

テ，ト

(

)

Ú Ú

“ ‘

ª º

(

)

(

)

(

) (

)

S

ナ，ニ

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Ú Ú

ª º

Ú

第３問

ア，イ，ウ

エ〜キ

ケ〜シ

( )

(

)

(

)

Â Â

ケ〜シ

ª

º ”

’

第４問

ケ〜セ

ª

º

ª

º ª

º

PDF 2007年度大学入試センター試験解説〈数学ⅱb〉