M ()N+ N E f A S A - Sophia

統計力学II（2006）試験問題

試験日1月26日 時間09:15-10:45 教室8-208 科目名 統計力学II 担当 後藤（3-335B）

【注意】途中の計算を必ず書いて下さい。結果だけの解答は採点出来ません。A4手書メモ1枚持込可 1. 面積Aの板面に閉じ込められたN個の粒子の状態密度D₀を求めましょう。但しこの問ではスピン縮退

は考えなくとも良いです（問2以降では、自分で判断して下さい）。

2. 粒子が¹₂のスピンを持つフェルミオンであるとします。磁場 H を印加した場合の粒子数保存の式を導 きましょう。

ヒント─スピンのz成分がS_z =±¹₂である粒子のエネルギーε_±はε_± =ε ±µ_BH のようになります。

3. 上式を、縦軸＝エネルギー、横軸＝状態密度のグラフにして下さい。ヒント─横軸を左右両側に取っ て、左側をS_z =+¹₂の粒子の状態密度、右側をS_z =−¹₂の粒子の状態密度にしましょう。

4. 問2の粒子数の表式から、絶対零度における化学ポテンシャルの磁場依存性を求めましょう。

ヒント─絶対零度です。

5. 磁化Mを求めましょう。

ヒント─磁化の定義はM =

(

N+ −N−

)

^µ_Bです。

6. 内部エネルギーEを求めましょう。ヒント─積分の中で ^f

( )

^{ε のε} は磁場で値がずれません。

7. 熱力学の公式

N

A S

P E

,

⎟⎠

⎞

∂

−∂

= から粒子数一定とした場合の圧力（縮退圧）の磁場依存性を求めましょう。

ヒント─二次元ですから、体積でなく面積Aで微分することになります。

8. おまけ問題）フェルミエネルギε_Fを、波数、波長、角周波数、温度、エレクトロンボルト、速度、運動量 の次元に直した式を書きましょう。

9. ボースアインシュタイン凝縮１

スピンを持たないボソンが、問 1で示した状態密度を持つ場合、ボースアインシュタイン凝縮を示すか どうかを、粒子数保存の式N ⁼

∫

0^∞D

( ) ( )

ε fB ε dεから調べましょう。

ヒント─x=βε とおいて変数変換して、分母をテイラー展開しましょう。

10. ボースアインシュタイン凝縮２

状態密度がD

( )

ε =εⁿのようにエネルギーのべきで表される場合、ボースアインシュタイン凝縮が起こ る条件を調べましょう。また、物理的な理由を考えて見ましょう。

ヒント─知っている例(１～３次元の井戸型ポテンシャル、１～３次元の調和振動子)について調べて見 て、どこに凝縮するかを考えましょう。

1. 面積Aの板面に閉じ込められたN個の粒子の状態密度D₀を求めましょう。問1ではスピン縮退は考 えなくとも良いです。

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε π ^ε

ε π ε π π π

π

π ^d

m d A

m k k d A

d dk k A k d k A k d k A k Ad

D3 2 h 1 h

r

0

2 2

2 2

2

2 1

2 2

2 2 2

2 = = = = =

※ここで間違えた人も、間違えた状態密度をきちんと代入して計算した場合は加点しました。

2. 粒子が¹₂のスピンを持つフェルミオンであるとします。磁場 H を印加した場合の粒子数保存の式を導 きましょう。ヒント─_{Sz =±}¹₂である粒子のエネルギーε_±^{は磁場で、}ε_± =ε_mµ_BHになるとします。

( ) ( )

( ) ( )

∫

−^+∞∞ + + −

= D ε D ε f ε dε

N , 但しD_±

( )

ε = D

(

ε ±µ_BH

)

3. 上式を、縦軸＝エネルギー、横軸＝状態密度のグラフにして下さい。

ヒント─横軸を左右両側に取って、左側を_{Sz =+}¹₂の粒子、右側を

12

−

z =

S の粒子の状態密度にすると判りやすいです。

※D

( )

ε が不連続なのに、テイラー展開してM=0とした人多数。orz 4. 粒子数の表式から、絶対零度における化学ポテンシャルの磁場依存

性を求めましょう。ヒント─絶対零度なので、フェルミ分布関数は_0~ε_Fの積分に置き換えられて簡単 になります。

− + +

= N N

N

( )

ε ε ^ε

( )

ε ε

µ ε

µ D d D d

H

H

∫

∫

− + + + −

= ^F

B F

B =

∫

− +

∫

+^F

B F

B 0

0

ε µ ε

µ ε ε

H

H d D d

D

(

_{F B}

)

₀

(

_{F B}

)

_{0 F}

0 ε µ H D ε µ H 2D ε

D ⋅ + + ⋅ − =

= よって、ε_F^{に磁場依存性はない。}

5. 磁化Mを求めましょう。ヒント─磁化の定義はM =

(

N₊ −N₋

)

µ_Bです。

(

₊− ₋

)

µB

= N N

M =D₀⋅

(

ε_F +µ_BH

)

µ_B− D₀⋅

(

ε_F −µ_BH

)

µ_B =2D₀µ_B²H

6. 内部エネルギーEを求めましょう。ヒント─積分の中で f

( )

ε とε は磁場で値がずれません。

( ) ( )

( ) ( )

∫

^{+ + −}

= D ε ε D ε ε f ε dε E

( )

ε ε ε ^ε

( )

ε ε ε

µ ε

µ D d D d

H

H

∫

∫

− + + + −

= ^F

B F

B =

∫

− +

∫

+^F

B F

B 0

0

ε µ ε

µ ε ε ε ε

H

H d D d

D

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= − +

F B F

B

2 2 2 1

2 1 0

ε µ ε

µ ε

ε H H

D

( )

(

B ²

)

2 F

0 H

D ε − µ

= ； ₀ 2 ₂

h A D ₌ πm

（片スピン分）

+µ_BH

−µ_BH ε

D₋(ε) D₊(ε)

7. 熱力学の公式

N

A S

P E

,

⎟⎠

⎞

∂

−∂

= から粒子数一定とした場合の圧力を求めましょう。ヒント─二次元ですか ら、体積でなく面積Aで微分することになります。

( )

(

2 B ²

)

F

0 H

D

E = ε − µ

(

2

(

B

)

²

)

F

2NF ε µ H

ε ⁻

= より、

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂

⋅ ∂

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

= ^{F F-1} _B ²

, 2 H

A A N A

P E

N S

ε µ ε

Am N D

N ²

0

F 2

πh

ε = = などを使って、

( )

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− −

⋅

−

= ₂ ^{2 B} ₂ ²

2 h

h π

µ π

N H m m A N

P N

( )

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⋅

= AN

H D A D

N

N _{0 B} ²

0

2 2

2

µ

( )

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= ₂

F 2 B

F 1

2 ε

µ

ε H

A N

※O(H²)の項を出せた人は結局居ませんでした。初項の正解者は 2 名（K君、S 君）でした。多くの人

はε_F =ε_F

( )

A であることを忘れて不の圧力を堂々と答案に書いてしまっていたようです。orz 8. おまけ

フェルミエネルギーを、波数、波長、周波数、角周波数、温度、エレクトロンボルト、速度の単位で表し た式を書きましょう。

2 2

2

2 2 B

2 2

2 ν ω υ

ε λ h k T eV ^m

m h m

k = = = = = =

=h h

9. ボースアインシュタイン凝縮１

スピンを持たないボソンが、問 1で示した状態密度を持つ場合、ボースアインシュタイン凝縮を示すか どうか粒子数保存の式N ⁼

∫

0^∞D

( ) ( )

ε fB ε dεから調べましょう。ヒント─x=βε とおいて変数変換して、

分母をテイラー展開しましょう。

→0

µ で級数和がいくらでも大きくなれるのでBECはおきない。計算略、講義で何回もやりました。

10. ボースアインシュタイン凝縮２

状態密度がD

( )

^{ε =εα}のようにエネルギーのべきで表される場合、ボースアインシュタイン凝縮が起こ る条件を調べましょう。また、物理的な理由を考えて見ましょう。ヒント─知っている例(１～３次元の井 戸型ポテンシャル、１～３次元の調和振動子)について調べて見て、どこに凝縮するかを考えましょう。

井戸型は一次元(D~1 ε )、二次元(D~ε⁰)、調和振動子は一次元(D~ε⁰)でBECは起こらない。これ らの系ではε ₌₀で零でない状態密度が存在するので、_{T →0}にしてもµ →0^{に漸近させれば励起} 状態の粒子数を保持できる。