() m - Sophia

-1-

5)　ルジャンドルの陪関数 (associated Legendre function)

( )

m l m m m

l dz

P z d

P = 1− ^{2 2} が、

( ) ( ) 0

1 1

1 ₂

2

2 =





− − +

+



 

 − P

z l m

l dz P

z d dz

d を満足することを証明する。

まずルジャンドルの微分方程式

(

^1−z2

)

^{P′′−2zP′+l}

( )

^{l+1P=0をm回微分すると、}

積の多回微分から出てくる_mC₀, _mC₁, _mC₂等の係数に注意して、

_mC_{0 m}C_{1 m}C_{2 m}C_{0 m}C_{1 m}C₀

( )

^{( ) ( )}

( )

^{2 ( ) 2 ( ) 2 ( )}

( )

^{1 ( ) 0}

2 2 1

1− ^{2 m+2} − ^m+1 −m m− P ^m − zP ^m+1 − mP ^m +l l+ P ^m = mzP

P z

∴

(

^1−z2

)

^P(m+2)−2z

(

^m+1

)

^P(m+1)−m

(

^m+1

)

^{P( )m +l}

( )

^{l+1P( )m =0}

ここで、v≡ P^{( )m} = ^P

( )

^z

dz d

m l m

と置けば、

(

^1−z2

)

^v′′−2

(

^m+1

)

^zv′+

[

^l

( ) (

^{l+1 −m m+1}

) ]

^v=0

となるので、さらに、^w=

(

^1−z2

)

^{m2v と置いて、v=}

(

^1−z2

)

^{−m2wを代入すると、}

( ) ( ) ( ) (

¹

)

⁰

1 1 2

1 ₂ ^{2 2}

2

2  − =



 



 



− − +

′+

′′−

− w z ^−m

z l m

l w z w z

(

¹

)

²

( )

¹

(

^{1 2}

)

⁰

2

2 =





− − +

′+

′′−

−

∴ w

z l m

l w z w z

を得る。確かに^Plm

( )

^{z ∝}

(

^1−z2

)

^{m2Pl( )m} でよい。あとは規格化定数を決めるだけ(問6)。

また、P_lは_l次の多項式であるから、_m≤lの条件が自動的に課せられる。

6) ^P

( ) ( )

^{z P}k^{m z dz} m

∫

−⁺ l 1

1 を計算して、直交規格化条件を求める。

[A] l ≠kのとき、

∫

−⁺¹ =

1dzP_l^mP_k^m 0を示す。

k

l ≠ のときP_l^mの満たす微分方程式に左からP_k^mをかけて積分してみる。0の積分は0であるから

-2-

( ) ( ) 0

1 1 1

1

1 2

2

2 =



 



 



− − +

+



 

 −

∫

−⁺

m l m k m

l m

k P P

z l m

l dzP

z d dz P d

dz ─A1

となり、第1項目は部分積分で、(第1項)=−

∫

₋⁺₁¹ _^

( ) (

^{km ′ 1− 2}

)

^Plm_^

dz z d P

dz

と、kとl に関して対称的な形になるので、逆にP_k^mの微分方程式にP_l^mをかけて積分してみると、

( ) ( )

∫

−⁺ =



 



 



− − +

+



 

 −

1

1 2

2

2 0

1 1

1 _k^m _l^m _k^m

m

l P P

z k m

k dzP

z d dz P d

dz ─A2

よって、同じく第1項目は部分積分で、⁼⁻

∫

₋⁺₁¹ _^

( ) (

^{lm ′1− 2}

)

^Pkm_^

dz z d P

dz となり、前のものと、完全に等 しくなる。A1からA2を引くと、結局、

　0=

∫

−⁺¹

[ ( ) (

+ − +

) ]

1dzl l 1 k k 1 P_l^mP_k^m =

[ ( ) (

+ − +

) ] ∫

−⁺¹

1 1

1 k k dzP_l^mP_k^m l

l 　を得る。

[B] l =kの場合の規格化定数を求める。方針は、P_l^mのmに関する漸化式を作る。

m

Pl の定義式

( )

m

l m m m

l dz

P z d

P = 1− ^{2 2} を微分して、

( ) ( ) ( ) 1

2 1 1 2

2 2

1 1

2 2 ⁺

− +

− +

−

−

= ^{m m}_m^{l m m}_m ^l

m

l dz

P z d

dz P z d

m z dzP

d 1

2 2

1 1 1

+

+ −

− −

= l^m

m

l P

z z P

mz

この両辺に 1−z² をかけて、

=

−

∴ P_l^m

dz z² d

1 ¹

1 2

+ +

− − P_l^m P_l^m z

mz

の漸化式を得る。これを両辺自乗すると、

( )

^{1 2 2} ₂ ²

1

1 



 





+ −

−

=

+ m

l m

l m

l P

z P mz

dz z d

P

( )

2

( )

²

2 2 2

2

2 1

1 _l^m

m m l l m

l P

z z m dz mzP dP dz

z dP

+ −

 +

 

− 

=

[C] 漸化式を積分して、部分積分で、微分の項 dz dP_l^m

を消去してしまう。

-3-

( ) ( ) ( )

∫

−⁺

∫

+

−

2 +













+ −

 +

 

− 

1 =

1

1 1

2 2 2 2 2

1 2

2 1

1 P dz

z z m dz mzP dP dz

z dP P

dz _l^m

m l m l m

l m

l

となる。部分積分で、第1、2項のP′²,PP′をP²の形に持って行く。まず、部分積分で 第1項

∫

₋⁺

( )

^



 

 −

−

= ¹

1

1 2 _l^m

m

l P

dz z d dz dzP d

となるが、これは、P_l^mが満たす微分方程式(m≠0)の前半部分である。よって、

第1項

∫

−⁺

( )





 





− − +

= ¹

1 2

2

1 1 _l^m

m

l P

z l m

l

dzP

∫

₋⁺

( )



( )



 





− − +

= ¹

1

2 2

2

1 1 P_l^m

z l m

l

dz を得る。

同様に第2項も部分積分して、

′



 



=

′ ²

2 1P P

P に注意すれば、

第2項⁼⁻

∫

₋⁺₁¹

( )

²

2

2m dz1 P_l^m 　を得る。以上をあわせれば、

( ) ( ) ( )

∫

−⁺

∫

+

−

+ 



 





+ −

− −

− +

1 =

1

1

1 2

2 2 2

2 2 1 2

1 1 1

z z m m z l m

l P dz P

dz _l^m _l^m 　となるが、

ここで、

[ ]

^{の中身は、結局zが消えてしまい、}

[ ] ( ) ( ) ( ) (

_{1 1}

)

1

1 1 ₂

2 2

+

− +

− =

− −

− +

= l l m m

z z m m

l

l ^{=l2 −m2 +l−m=}

(

^l−m

)(

^l+m+1

)

であるので、結局、

( ) ( )( ) ( )

∫

−⁺

∫

+

−

+ = − + +

1 1

1 1

2 1 2

1 _l^m

m

l l m l m dz P

P

dz 　という漸化式を得る。

[D] 漸化式のインデックスmを、m→m−1とずらして行き、P_l⁰ ≡ P_lまで持っていく。

( ) ( )( ) ( )

∫

−⁺

∫

+

−

+ −

+

−

1 =

1

1 1

1 2

2 1 _l^m

m

l l m l m dz P

P dz

( )

^{1 2}

( ( ) )( )

₁¹

( )

¹²

1

1 1 1 1 ^{+ −}

− + −

−

∫

∫

^{dz Plm = l− m− + l+m− dz Plm}

( ) ( )( ) ∫ ( )

∫

−⁺

+

− = − + ¹

1 1 2 1

1 2 2

2

1 _l

l l l dz P

P dz

-4-

( ) ( )( ) ∫ ( )

∫

−⁺

+

− = + ¹

1 0 2 1 2

1

1dz P_l l l 1 dz P_l

となり、^{Pl0 =}

(

^1−z2

)

^{0Pl( )0 =Pl} とルジャンドルの多項式まで行き着くので、整理すれば

( ) ( 1) ( ( 1) 1) ( )( 1) ( )1

1 1

2 = − + − − + ⋅ + + − +

∫

−⁺dz P_l^m l m l m l l m l m l

∫

−⁺

( )

1 1

2

Pl

dz 　　　　　　　

( )

( ) ( )

( ) ∫

−⁺

( )

+

= − ¹

1

2

!

!

!

!

Pl

l dz m l m l

l

( )

(

^ll−+mm

)

^!!

=

∫

−⁺

( )

1 1

2

Pl

dz 　を得る。

[E] 最後にルジャンドル多項式の規格化定数を求めて完成。

やり方：母関数展開の自乗

( ) ( )

^



 







 



= +

−

∑ ∑

=

=0 0

2 2

1 1

m

m m l

l

l z r P z r

r P

rz を z で積分し、直交性から、ク

ロスタームを消してしまう。

( ) [ ( ( ) ) ]

( ) ( )

r r r r

r r r r r

r r r z

r r z

dz rz r

r dz

−

= + +

−

− +

+

−

−

=

+

−

− + =

− −

− =

= + ^{+ +}₋

− +

−

∫

∫

1 log1 2 1

1 1 2 log 2 1

1 1 2 log

1

2 1

2 log 1 2

2 1 1 2

1

2 2

1 1 1 2

1 2

1

1 2

左辺

右辺は、P_lの直交性 (P_l^mと同じ方法で簡単に証明可)を認めれば、

右辺=

∑ ∫

₌ −⁺

( )

0 1 1

2 2

l

l

l dzP z

r 、 となる。両辺をrに関してテイラー展開すると、

#

# ^{2 3 4} 1 1

1 x x x x

x = + +

± 、



 + +

±

± = # #

5 4 3 2 1

log 1

5 4 3

2 x x x

x x

x に注意して、

左辺 

 + +

=

2 5 2 3

1 2 r³ r⁵

r r 

 + +

=

5 1 3

2

4

2 r

r

右辺=S⁰ +r²S¹+r⁴S² ( 但し、 ≡

∫

−⁺¹

( ( ) )

1

z 2

P dz

S_{l l} )

であるので、係数を比較して

1 2

2

= +

S_l l を得る。以上より、

( ) ( ( ) ) ∫ ( )

∫

−⁺

+

− −

= + ¹

1 1 2

1 !

!

l m

l dz P

m l

m P l

dz

( )

( )

^!!

1 2

2

m l

m l

l −

+

= + 　となるので、

( )

( ) (

^cosθ

)

!

! 2

1

2 m

Pl

m l

m l l

+

−

= + Θ