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2018年12月24日「経済数学入門」小テスト解答

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が定める2次形式に関して実対称行列A=

が成立するαERを求めましょう．

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から求める条件は二

であることが分かります．

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(12)

2018年12月11日「経済数学」小テスト解答

IIをRの開区間とします./: I→Rが凸関数であるとします．このとき〃1,"2,z3EIが蝋くぉ2＜〃8を満たすとき

沖2)−池')曾施3)−池') (芝)坤3)−加2）

〃2−〃1 〃3−〃1 〃3−〃2

を証明しましよう．最初の不等式(*)は,〃2を

"2=(1‑t)",+"3 と0<t<1を満たすtを用いて表すとき

ノ(錘2)≦(1‑t)/(",)+t/(z3)

が成立することを用います．

解答〃2＝(1−加1+t"3,0<1<tを満たすtERが存在します．このときノが凸関数であることから

／(胸)≦(1−〃(",)+"("3)

が成立します．このとき

／(〃2)ー坤')≦(1‑t)/("1)+t/(z3)−ル1)(1−加1+t"3−〃1

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が成立します．他方

坤3)−坤gl>f("3)‑(1‑t)4("1)‑t/("3)

z3−z2 z3−(1−加,−t"3

(1‑t)(f("3)一/(z,)) /("3)一ノ(",) (1=t)("s=a:,) "3="1

も成立します．

II(2)p>1のときノ(t) :=tm'がI=(0,+")上で狭義の凸関数であることを示しましよう．

(2)",9>0,鰯≠y,0<cl'<1のどき，不等式

（(1−α)"＋α1ﾉ)z'≦(1−α)ayz'+cM3/z'

が成立することを証明しましょう．

解答(1)ノ'(t)=ptp‑',ノ"(t)=p(p‑1)t'‑2>0がt>0に対して成立しますから,/(t)はI=(0,+oo)

上狭義の凸関数であることが分かります．

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(13)

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