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制約条件付き極値問題一ミクロ経済学の例
例19p99>0とする．予算制約
9(",z/)=1‑"‑qg=0 (",zﾉ>0) の下で効用関数
池(",zﾉ)=､/珂
を最大化する． この問題は第1財，第2財の価格がp,9のときに，予算I をすべて支出して第1財を錘,第2財を1ﾉ購入して効用を最大化するとい
う問題である．
L皿gF詞'9母の未定典紅法（その21 5ノユ5
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」
制約条件付き極値問題一ミクロ経済学の例(2)
(",3ﾉ)で極大・極小であるとすると｜ '型"ﾐ調
を満たす入ERが存在します. (1)×妃, (2)×gを考えると
、/面＝2入p"=2入
であることが分かります． (1)を考えると入≠0であることが分かります
から
p"=qg
さらに(3)から
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，錘="=；従つ℃ =‑, ,=万
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三
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｜
制約条件付き極値問題一ミクロ経済学の例(3)
"[J,､j)=
(,,,,"=幸, ，(',',"=全
を需要関数と呼びます． さらに(1)からLagrangeの未定乗数が
１｜麺
一一
１｜酌
伝穂
一一
入
と求まります． この状況で入(p,9,I)を所得の限界効用と呼びます
￨ Lgg『■唖の素定乗亜珪【そめz〕 アノ蝿 E』皿匡ダ
■■■■
所得の限界効用
広畑 ．Ｉ
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■一一一列庁↑脚
一一■
ｕ○Ｊ信也に崎榧
を間接効用関数と呼びます． このとき
釜冒▽両=入(p,q,I)
＝昌二 1となります． これが入(p,9,1)が所得の限界効用と呼ばれる理由です． こ
の等式
釜‑入(p,q,I)
は一般的に成立します．
H/ﾕ回 L…牢、未＝墨盈法（その2】
乢Ⅸ' い＝（o1X‑t‑ l｡83a上証
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極大・極小の十分条件
9(Q,6)=0, 9y(Q,b)≠0
cメ)を仮定して,陰関数定理を適用する｡(a,b)
の近くで
zノーや(錘）
と曲線9(",1ﾉ)=0を表す．
（
("b)で極大（極小）ならば
F(t)=f(t,P(t)) とするとF'(α)＝0が従う．
(=F(cl)=oq上乏F''(q)>0 (respF''(a)<0
ならば(a,b)で極小(resp極大）となります．匡茜侶青 I L目五画喀e⑭未定幾敗法(そ、2）
、
才、（童
9／'5
■■
解法(2)
F(t)=
j‑[t､'yけ､〕
ChainRuleを使うと
F'(t)="(t,P(t))･1+A/(t,P(t))･や'(t)
−− 一
F''(t)=た露(t,や(t))・1＋九g(t,や(t))・や'(t)
、＋や'(t)(ん錘(t,P(t))･1+乃沙(t,<P(3)).<P'(t))
＋ん(t,P(t)) ･や''(t)
＝ん錘(t,や(t))＋2ん沙(t,P(t)) ･や'(t)+乃沙(t,P(t))･や'(t)2 +A,(t,P(t)) ･や''(t)
︷
lロ／16 LzErｪ亜田田未定乗数法（その2）
■■
解法(3)
さらに9(t,や(t))＝0の両辺をtで微分して
9"(t,P(t))･1+9"(t,P(t))･や'(t)=0
9露錘(t,P(t))+29""(t,P(t))･や'(t)＋gシヅ(t,や(t))・や'(t)2 9y(t,P(t)) ･や''(t)=0
を得ます．
（ C 3
(価）
1'／'5 L亟圃唾の未定柴室法〔そ⑮2】
局IIIE室
(Pb) た匙1犀を(,P,). ff((")
寺2:"(P｡) cfI(Q)'‑
u
+3;(Pbyf(")=o
ー一
‑H､．
1,〔,し
■■ 0
解法(4)
了〔α)=‑e(､珠壷
t==αとするとき恥(Q,b)と定めて
IP'(.)=‑9""
9沙(恥）
1
g沙(q,b)
(9謬麺(R)+29錘沙(Fb)･P'(Q)+g""(R) ･や'(q)2)
や''(α） I＝＝
となります．
L唾『郵牢⑮朱足票数法（そのZ） 【2／エ6
I
■■
解法(5)
さらにＦ ″ｆ α ｊ 一一一一
錘十錘 九く 局く恥 ｊ恥１
＋︲ｊ＋２．２ 勉〃軸 慨側侭 ﹄ｊ ●● Ｐや 〃〃
くａα ﹄ｊ ＋＋ ん九 Ｕ〃 １ｌ 恥恥 １ｊ ■● やや ノｆ Ｉく ａα ︺ｊ ２２
九(恥）
"麺(rb)+29錘"(恥) ．や'(a)+9"(n)･や'(a)2 2L",(",入)･や'(Q)+L"(R,入)･や'(a)2
（
9 g9(Ib) (｡L…(恥,入)十
:＝＝
が成立します． ここで
入＝一ん(恥）
gｼ(恥)，
L(",z/,入)=f(",")+入･9(",zJ)としました．
ﾕｮﾉｭ6 1
￨ Lﾖ■r劃n日｡⑰未定栗芭監(その21
｜ Ｗ
Ｊ
ｂ
Ｐ ｃ
漣 蝿
９ 一 一
一
１ 一
座！
学
■■
解法(6)
さらに
F''(α） 2−
=…,入}…""入卜(‑洲)他""入I(‑鶏つ
,，I=F(｡諺蕾(恥､入伽，｡(R)2‑2L""(R,入肥，諺(R)g"(R)
:＝＝
+L"(R,入) g"(Pb)2)
g錘(a,b) L麺錘(cz,6,入）
L 諺(a,6,入）
gg(a,b) L錘w(Q,6,入）
Lシヅ(Q,6,入）
ｊｊ
ｂｂ７７０ααく懇〃９９1
目＝二一
gｼ(恥)2
'4ノ'過 Lｮ低T包嘩の未定墨数法1モ③Z〕
定理
定理
｛洲土雛;三
を満たす入ERが存在するとします． さらに
0 （1）
0 （2）
0 （3）
Fj(｡､）
(L)1l
8<o(FJF(Cm)>o
＝一○
g錘(a,b) L…(q,6,入）
Lｼ懇(Q,6,入）
9y(Q,b) L""(G,6,入）
Lシヅ(a,6,入）
ｊｊ
ｂｂ９︐︵Ｕααくく
露ツ９９ IIB>、ﾋｰﾂPい)くo
(a,6,入) :=
月
に対してB(a,b,入)<0ならば(a,b)で極小となります．
B(q,6,入)>0ならば(q,b)で極大となります． ここで
L(",",入) :=f(",")+入9(",")
と定めています．
15／16
Lagr目雫の去走柴趣珪（そめZ）
三劃嶋壁
ﾛ■
や"(α）
，,(:, )('…(Fb)+2g""(R)･P'(a)+9"(R)や'(Q)2)
や''(α)＝−
，，(よ )愚(，鍾譲(恥) ，,(恥)｡‑2,"(恥' ，雲(恥'9"(恥）
：＝＝
+9"(rb)U"(fb)2)
g錘(a,b) g""(q,b) g沙錘(a,b)
gg(a,b) 9"g(a,b) 9"(cm,b)
ｊｊ
ｂｂ７７︵ＵααＩＩ
錐ＵｇｇⅡ
＝:＝
9g(Q,6)3
Lｮ江面F町未定垂数法(そ鋤2） 出／1唖
（･ろ可 ．
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