∑ − X ∑ −

2003年度秋学期末試験 統計学Ⅱ

解答用紙には問題順に解答すること。時間配分には十分注意すること。

１ 回帰分析の問題

（コメント）問題はよく読みましょう (1) 穴埋め問題(各3点)

①数値を入れるべきところに式を書いてある人、ｂの分散を入れるベキなのに標準誤差を 入れる人が多かった。（マイナス１点）

②「1. 残差２乗和」の出来が良くなかった (2)最小２乗法がBLUEとなる条件（５点）

①４つ正しくで5点です。２つしか書いてない人は3点、１つだけ正しい人は１点 (3)検定（10点）

① 帰無仮説と対立仮説が明示されていないor誤っている(H1:β≠0は誤りです)ものは２ 点減点。

② その他おかしな記述があるものは適宜減点しています (4)より正確な推定量を得るための方策（10点）

①標本数の増加 ②Xの散らばりの確保

の２点が含まれていれていて理由が正しいものは満点。

①だけを指摘する答案が多かったですが、データ数が多くても散らばりが小さいと正確な 推定は望めません。

1 あるスーパーが広告費－売上比率Ｘ(%)の利益率Ｙ(%)に及ぼす影響を分析するため に回帰モデル Yi=α+βXi+εi を考え、近隣のスーパー10 社のデータを集めたところ

∑

^{Xi ＝20、}

∑

^{Yi =40、}

∑ ^{( X}

ⁱ

^{− X )}

^2=8、

∑ ^{( Y}

ⁱ

^{− Y )}

^2=22、

∑

^{(Xi −X)(Yi −Y)=12}

のような結果を得た。 1 語句 を最小化する最小２乗法にもとづくとαの推定値 a=

2数値 、βの推定値 b= 3数値 が得られるが、この最小２乗推定量はガウス=マル コフの定理よりある条件のもとで 4語句 となることが知られている。さらに残差εi

の分散σ²の推定量

s

²

= 1 2

となることからｂの分散は 5数値 となる。（40）

(1) 文中の1～5の に適当な語句、数値を入れなさい。（15）

(2) 下線部のある条件とはどのような条件か。列挙せよ。（5）

(3) 「広告費が利益率を増やす」という仮説を有意水準5％で検定しなさい。（10）

(4) より正確な(分散の小さい)βの推定量を得るためには、どのように（X,Y）のデータ を収集すればよいか。その理由についても述べよ。（10）

２ ポアソン分布の問題

（コメント）ここで点数を稼いでる人が多くいました (1)ポアソン分布の定義（10点）

①ポアソン分布が２項分布の極限であること

②単位時間を短くとることでｎ→∞、ｐ→0が成り立つ

上記２点が指摘できていれば満点、①だけなら 5 点。ｎを利用者数の増大とみなす答案は 部分点をあげています（小さい駅ではこうした想定は出来ないので一般的ではない）。

(2)積率母関数を利用した証明（10点）

確率変数の和X+Yの積率母関数はその積Mx(t)×My(t)に等しいことを使って証明します。

よくわからないなりに証明できた人が多かったのではないでしょか？

積率母関数の積なのに和としている人は３点だけ部分点をあげました。

(3)確率計算（10点）

よく出来ていましたが、計算間違いも多かったです（２点減点）。

λ＝２としないで計算したり、Pr(X≧3)=1-{F(0)+f(1)+f(2)}とせずに f(3)をたしているもの には部分点（３点）をあげました。

３ 差の有意性検定

（コメント）確率分布の基礎知識が不足してます (1)分散の均一性検定（5点）

2 2

B A

s

s ～F(49,49)に従う。授業でやりました。不出来でした。

２ 駅前のA 銀行の支店には ATM（現金自動預入支払機）が２台設置されている。こ の支店では１分あたりの ATM 利用者数が平均１人であった。来年度に経営統合が予定 されているB銀行利用者のこの支店でのATM利用者数が１分あたり平均１人であるこ とが予想されている時、ATMの設置台数は十分だろうか？ （30）

(1) 現在の１分あたりのATM 利用者数X は平均１のポアソン分布に従うと考えられる が、その理由を定義に基づいて簡潔に説明せよ。(10)

(2) 来年度のX は平均２のポアソン分布となることを積率母関数を用いて示しなさい。

（10）

(3) 来年度にATMが足りなくなる（１分あたり３人以上の利用者が来店する）確率はど の程度と予想されるか。（10）

※ ポアソン分布の確率関数

f(x)=e

^-λ

λ

^x

/x!

、積率母関数

M

_x

(t)=exp{λ(e

^t

-1)}

３ 中小企業に対する政策融資の効果を検証するため、政策融資を受けた企業50社（標 本Ａ）と受けていない企業 50 社（標本Ｂ）をランダムにえらんで雇用増加率を調べた ところＡは平均x_A=３％（標準偏差s_A=２％）、Ｂは平均x_B=２％（標準偏差s_B=１％）

という結果を得た。(20)

(1) ２つの標本を生じさせた母集団の分散

σ

_A²、

σ

_B²が等しいことを検定するためには、

「どのような統計量がどのような分布に従う」という性質を利用すればよいか。(5) (2) 政策融資を受けた全企業と受けていない全企業の雇用増加率の母平均をそれぞれμ

A、μBとする。２つの母集団の分散が相等しく

σ

²である時、標本平均の差x_A－x_Bは どのような確率分布に従うと考えられるか。その理由についても簡単に説明せよ。(5) (3) 調査結果から「政策融資は雇用をより増やす効果がある」という仮説を有意水準5％

で検定せよ。(10)

これをまずやらないと差の有意性検定でσA=σB=σを前提とした検定が出来ません。

統計量、分布のどちらかが不完全なものは２点減点しました。

(2)平均の差の確率分布（５点）

CLTよりx_A～N(μA,

σ

_A²/nA)、x_B～N(μB,

σ

_B²/nB)だから

B

A x

x − ～N(μA－μB,

σ

²_A/nA＋

σ

_B²/nB)となるが、σA=σB=σの時は特に

B

A x

x − ～N(μA－μB, σ²(1/nA＋1/nB))となる

勝手に標準化してｔ＝…と書いているものについては部分点３点をあげました。

(3)検定の実施（10点）

総じてよく出来ていましたが、対立仮説を明示していないor誤っているもの（H1:μA>μ B）も多く見られました。H1:μA≠μBなら２点減点、H1:x_A^＞x_B^{（これは仮説検定が何} たるかを理解していない）なら５点減点としました。

計算間違いも減点（－２点）としました。

４ 独立性の検定（10点）

（コメント）ポイント演習そのまま。点をあげる問題です。

さすがによく出来ていました。

計算間違いは２点減点。ピアソンの適合度指標の定義の誤りは５点減点です。

４ ある病院の患者100人に喫煙習慣の有無と心臓病罹患との関係について調査したと ころ以下のような調査結果を得た。「両者の間に関連性がある」という仮説を有意水準 ５％で検定せよ。（10）

心臓病 正常 計

喫煙者 35 35 70

非喫煙者 5 25 30

計 40 60 100