y=(1+sin x) cos x (0< = x< =2 π) 最大最小値

増減を調べるため微分する。導関数の公式 {f(x)g(x)}^′=f^′(x) g(x)+f(x)g^′(x) を使うと

y^′ = {(1+sin x) cos x}^′

= (1+sin x)^′ cos x+(1+sin x)·(cos x)^′

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y^′ = (1+sin x)^′ cosx+(1+sin x)·(cos x)^′

= cosx·cosx+(1+sin x)·(− sinx)

= cos² x −sinx−sin² x ^{sin2x+cos2x= 1}

= (1−sin² x)−sinx−sin² x

= −2 sin² x−sinx+1 ^{sinx=X とおく}

y = −2X −X+1

= −(2X²+X−1)

= −(2X−1)(X+1)

= −(2 sin x−1)(sin x+1) ^一旦停止 0< x <2π ^で y^′= 0 ^{となるのは}

2 sin x−1 = 0 ^または sin x+1 = 0 ^より sin x= ¹₂ ^または sin x=−1 ^だから

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sin x= 1

2 または sinx=−1 x= π

6 , 5

6 π ^または x= 3 2 π

増減表をかくと

x 0 ^… ₆ ^… ₆ π ^… ₂ π ^… 2π

y^′ 0 0 0

y

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0< x < π

6 では 0<sinx < 1

2 ^だから ( sin x≒0.1 ^と思うと )

y^′=−(2 sinx−1)(sin x+1)>0 となるから y^{′ は} + ^になる。

6 < x <

6 π ^では sin x >

2 ^だから ( sin x= 1 ^と思うと )

y^′=−(2 sinx−1)(sin x+1)<0 となるから y^{′ は} − ^になる。

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5

6 π < x < 3

2 π ^では −1<sinx < 1

2 だから ( sin x= 0 と思うと )

y^′=−(2 sinx−1)(sin x+1)>0 となるから y^{′ は} + ^になる。

2 π < x <2π ^では −1<sin x <0 ^だから ( sin x≒−0.5 ^と思うと )

y^′=−(2 sinx−1)(sin x+1)>0 となるから y^{′ は} + ^になる。

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次に x= 0, π

6 , 5

6 π, 3

2 π, 2π ^のときの y ^の 値を求めよう。

x= 0 のときの y の値は

y = (1+sin 0) cos 0

= (1+ 0 )· 1

= 1 ^一旦停止

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x= ^π₆ ^のときの y ^の値は

y = (1+sin ^π₆ ) cos ^π₆

= (1+ ¹₂ )· ^√₂³

= ³₂ · ^√₂³

= ³

√3 一旦

x= ₆ π ^のときの y ^の値は

y = (1+sin ⁵₆ π) cos ⁵₆ π

= (1+ ¹₂ )·(− ^√₂³)

= ³₂ ·(− ^√₂³)

= − ^3√₄^{3 一旦停止}

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x= ³₂ π ^のときの y ^の値は

y = (1+sin ³₂ π) cos ³₂ π

= (1 −1 )· 0

= 0 · 0

= 0 ^一旦停止

x= 2π のときの y の値は

y = (1+sin 2π) cos 2π

= (1+ 0 )· 1

= 1 · 1

= 1 ^一旦停止

よって増減表は次のようになるから

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x 0 ^{… π}₆ ^{… 5}₆ π ^{… 3}₂ π ^… 2π

y^′ + 0 − 0 + 0 +

y 1 ^↗

極大 3√

3 4

↘ ^極小

−^3√₄^{3 ↗} 0 ^↗ 1 x= ^π₆ ^{で最大値 3}

√3 4

− ^√

x 3 3

4

π 6

−3√ 3 4

5 6 π 1

2π 3

2π

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