1)x‹ +1‹ =0에서 (x+1)(x¤ -x+1)=0 x+1=0또는x¤ -x+1=0
∴x= 또는x=
2)x‹ +2‹ =0에서 (x+2)(x¤ -2x+4)=0 x+2=0또는x¤ -2x+4=0
∴x=-2또는x=1—'3i
3)x‹ +3‹ =0에서 (x+3)(x¤ -3x+9)=0 x+3=0또는x¤ -3x+9=0
∴x=-3또는x=
4)x‹ -2‹ =0에서 (x-2)(x¤ +2x+4)=0 x-2=0또는x¤ +2x+4=0
∴x= 또는x=
5)x‹ -6‹ =0에서 (x-6)(x¤ +6x+36)=0 x-6=0또는x¤ +6x+36=0
∴x=6또는x=-3—3'3i
6)(2x)‹ -3‹ =0에서 (2x-3)(4x¤ +6x+9)=0 2x-3=0또는4x¤ +6x+9=0
∴x= 또는x=
7)x‹ -x¤ =0에서x¤(x-1)=0
x¤ =0또는x-1=0 ∴x=0또는x=1 8)x‹ -9x=0에서x(x¤ -9)=0, x(x+3)(x-3)=0 x=0또는x+3=0또는x-3=0
∴x=0또는x=-3또는x=3
122
1)x› -1=0에서 (x¤ +1)(x¤ -1)=0 (x¤ +1)(x-1)(x+1)=0
∴x=—i또는x=—1
2)x› -16=0에서 (x¤ +4)(x¤ -4)=0 (x¤ +4)(x-2)(x+2)=0
∴x=—2i또는x=—2
3)16x› -1=0에서 (4x¤ -1)(4x¤ +1)=0 (4x¤ +1)(2x-1)(2x+1)=0
∴x=— i또는x=—
4)x› -x¤ =0에서x¤(x¤ -1)=0 x¤(x+1)(x-1)=0
∴x=0또는x=—1
5)x› +x‹ -2x¤ =0에서x¤(x¤ +x-2)=0
x¤(x+2)(x-1)=0 ∴x=0또는x=-2또는x=1 1
2 1
2
-3—3'3i 4 3
2
-1—'3i 2
3—3'3i 2
-1 -1 1 -3 1 5
1 1 -1 4 -5 1 1 -4 5 0 -1
1 1 -1 1 -1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0
-1 1 -1 -10 -8 1 1 -1 2 8 1 1 -2 -8 0
1 1 2 -5 2 1 1 1 3 -2 1 1 3 -2 0
1 1 -3 0 3 -1 1 1 1 -2 -2 1 1 1 -2 -2 1 0 1—'3i
2
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125
1)x+1=t라고 하면
t‹ -2‹ =0⇨ (t-2)(t¤ +2t+4)=0에서 (x+1-2){(x+1)¤ +2(x+1)+4}=0
(x-1)(x¤ +4x+7)=0 ∴x=1또는x=-2—'3i 2)x-4=t라고 하면
t‹ +1=0⇨ (t+1)(t¤ -t+1)=0에서 (x-4+1){(x-4)¤ -(x-4)+1}=0
(x-3)(x¤ -9x+21)=0 ∴x=3또는x=
3)x-2=t라고 하면
t‹ -xt=0⇨t(t¤ -x)=0에서
(x-2){(x-2)¤ -x}=0⇨ (x-2)(x¤ -5x+4)=0 (x-2)(x-1)(x-4)=0 ∴x=2또는x=1또는x=4
126
1)x¤ +4x-1=t로 놓으면 t(t+4)-5=0⇨t¤ +4t-5=0
(t+5)(t-1)=0 ∴t=-5또는t=1
⁄t=-5일 때, x¤ +4x-1=-5에서
x¤ +4x+4=0⇨ (x+2)¤ =0 ∴x=-2
¤t=1일 때, x¤ +4x-1=1에서 x¤ +4x-2=0 ∴x=-2—'6
⁄, ¤에서x=-2또는x=-2—'6 2)x¤ +5x+4=t로 놓으면
(t+2)t-3=0, t¤ +2t-3=0
(t+3)(t-1)=0 ∴t=-3또는t=1
⁄t=-3일 때, x¤ +5x+4=-3에서
⁄x¤ +5x+7=0 ∴x=
¤t=1일 때, x¤ +5x+4=1에서
⁄x¤ +5x+3=0 ∴x=
⁄, ¤에서x= 또는x=
127
1)x‹ +x¤ +ax-3=0의 한 근이1이므로 1+1+a-3=0 ∴a=
x‹ +x¤ +x-3=0에서 좌변을 조립제법을 이용하여 인수분해 하면
(x-1)(x¤ +2x+3)=0
∴x=1또는x=
따라서 나머지 두 근은x= -1—'2i 이다.
-1—'2i 1
-5—'∂13 2 -5—'3i
2
-5—'∂13 2 -5—'3i
2
9—'3i 2 조립제법에 의하여
g(x)=( )(x¤ -3x+1)
∴f(x)=(x-1)(x+1)(x¤ -3x+1) 따라서f(x)=0의 해는
x-1=0또는x+1=0또는x¤ -3x+1=0
∴x=—1또는x=
2)f(x)=x› -5x-6으로 놓으면 f(-1)=1+5-6=0이므로
f(x)=(x+1)(x‹ -x¤ +x-6) g(x)=x‹ -x¤ +x-6으로 놓으면 g(2)=8-4+2-6=0이므로
g(x)=(x-2)(x¤ +x+3)
∴f(x)=(x+1)(x-2)(x¤ +x+3) 따라서f(x)=0의 해는
x=-1또는x=2또는x=
3)f(x)=x› +x‹ -x-1로 놓으면 f(1)=1+1-1-1=0이므로
f(x)=(x-1)(x‹ +2x¤ +2x+1) g(x)=x‹ +2x¤ +2x+1로 놓으면 g(-1)=-1+2-2+1=0이므로
g(x)=(x+1)(x¤ +x+1)
∴f(x)=(x-1)(x+1)(x¤ +x+1) 따라서f(x)=0의 해는
x=—1또는x=-1—'3i 2
-1—'∂11i 2 x+1
-1 1 -2 -2 1 1 1 -1 3 -1 1 1 -3 1 0
-1 1 0 0 -5 -6 1 1 -1 1 -1 6 1 1 -1 1 -6 0
2 1 -1 1 -6 2 1 2 2 6 2 1 1 3 0
-1
1 1 1 0 -1 -1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0
-1 1 2 2 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 0
3—'5 2
1 1 1 1 -3 1 1 1 2 3 1 1 2 3 -0
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⁄t=2일 때, x¤ =2에서x=—'2
¤t=10일 때, x¤ =10에서x=—'∂10 따라서 구하는 해는x=—'2또는x=—'∂10 3)x¤ =t로 놓으면
t¤ +t-12=0, (t+4)(t-3)=0
∴t=-4또는t=3
⁄t=-4일 때, x¤ =-4에서x=—2i
¤t=3일 때, x¤ =3에서x=—'3 따라서 구하는 해는x=—2i또는x=—'3 4)x¤ =t로 놓으면
t¤ -3t+2=0, (t-1)(t-2)=0
∴t=1또는t=2
⁄t=1일 때, x¤ =1에서x=—1
¤t=2일 때, x¤ =2에서x=—'2 따라서 구하는 해는x=—1또는x=—'2 5)x¤ =t로 놓으면
t¤ -13t+36=0, (t-4)(t-9)=0
∴t=4또는t=9
⁄t=4일 때, x¤ =4에서x=—2
¤t=9일 때, x¤ =9에서x=—3 따라서 구하는 해는x=—2또는x=—3 6)x¤ =t로 놓으면
t¤ -5t+6=0, (t-2)(t-3)=0
∴t=2또는t=3
⁄t=2일 때, x¤ =2에서x=—'2
¤t=3일 때, x¤ =3에서x=—'3
따라서 구하는 해는x=—'2또는x=—'3
130
1)x+0이므로 주어진 방정식의 양변을x¤으로 나누면 x¤ +5x-4+ + =0
{x¤ + }+5{x+ }-4=0
{x+ }
¤+5{x+ }-6=0
이때, x+ =t로 놓으면 t¤ +5t-6=0, (t-1)(t+6)=0
∴t=1또는t=-6
⁄t=1일 때, x+ =1에서
⁄x¤ -x+1=0 ∴x=
¤t=-6일 때, x+ =-6에서
⁄x¤ + 6 x+1=0 x= -3—2'2 1
x
1—'3i 2 1
x 1 x
1 x 1
x
1 x 1
x¤
1 x¤
5 x 2)x‹ -3x¤ -x+a=0의 한 근이1이므로
1-3-1+a=0 ∴a=3
x‹ -3x¤ -x+3=0에서 좌변을 조립제법을 이용하여 인수분해 하면
(x-1)(x¤ -2x-3)=0, (x-1)(x-3)(x+1)=0
∴x=1또는x=3또는x=-1
따라서 나머지 두 근은x=3또는x=-1이다.
128
1)x‹ +ax¤ -3x-1=0의 한 근이-1이므로 -1+a+3-1=0 ∴a=-1
x‹ -x¤ -3x-1=0에서 좌변을 조립제법을 이용하여 인수분해 하면
(x+1)(x¤ -2x-1)=0
∴x=-1또는x=1—'2
따라서 나머지 두 근은x=1—'2이다.
2)x‹ +(a+5)x¤ -ax-9+3a=0의 한 근이-1이므로 -1+a+5+a-9+3a=0, 5a=5 ∴a=1
x‹ +6x¤ -x-6=0에서 좌변을 조립제법을 이용하여 인수분해 하면
(x+1)(x¤ +5x-6)=0, (x+1)(x+6)(x-1)=0
∴x=-1또는x=-6또는x=1
따라서 나머지 두 근은x=-6또는x=1이다.
129
1)x¤ =t로 놓으면
x› =(x¤)¤ =t¤이므로 주어진 방정식은 t¤ -3t+2=0, (t-1)(t-2)=0
∴t=1또는t=2
⁄t=1일 때, x¤ =1에서x=
¤t=2일 때, x¤ =2에서x=
따라서 구하는 해는x= 또는x=
2)x¤ =t로 놓으면
t¤ -12t+20=0, (t-2)(t-10)=0
∴t=2또는t=10
—'2
—1
—'2
—1 1 1 -3 -1 3
1 1 1 -2 -3 1 1 -2 -3 0
-1 1 -1 -3 -1 1 1 -1 2 1 1 1 -2 -1 0
-1 1 6 -1 -6 1 1 -1 -5 6 1 1 5 -6 0
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이때, x+ =t로 놓으면 t¤ -3t-4=0, (t-4)(t+1)=0
∴t=4또는t=-1
⁄t=4일 때, x+ =4에서
⁄x¤ -4x+1=0 ∴x=2—'3
¤t=-1일 때, x+ =-1에서
⁄x¤ +x+1=0 ∴x=
따라서 주어진 사차방정식의 해는 x=2—'3또는x=
5)2x› +5x‹ +x¤ +5x+2=0의 양변을x¤``으로 나누면 2x¤ +5x+1+ + =0
2{x¤ + }+5{x+ }+1=0 2{x+ }¤+5{x+ }-3=0 이때, t=x+ 로 놓으면
2t¤ +5t-3=0, (t+3)(2t-1)=0 ∴t=-3또는t=
⁄t= 일 때, x+ = 에서2x¤ -x+2=0
⁄∴x=
¤t=-3일 때, x+ =-3에서x¤ +3x+1=0
⁄∴x=
따라서 주어진 사차방정식의 해는
x= 또는x=
131
1)a+b+c=-4 2)ab+bc+ca=3 3)abc=-(-5)=5 4)(a-1)(b-1)(c-1)
=(ab-a-b+1)(c-1)
=abc-ac-bc+c-ab+a+b-1
=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
=5-3-4-1=-3
5) + + = =
6)a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)
=(-4)¤ -2¥3
=16-6=10
3 5 ab+bc+ca
abc 1
c 1 b 1 a
-3—'5 2 1—'∂15i
4
-3—'5 2
1 x 1—'∂15i
4
1 2 1 x 1
2
1 2 1
x 1 x 1
x
1 x 1
x¤
2 x¤
5 x
-1—'3i 2
-1—'3i 2 1
x 1 x 1 x 따라서 주어진 사차방정식의 해는
x= 또는x= 이다.
2)x› -3x‹ +4x¤ -3x+1=0의 양변을x¤으로 나누면 x¤ -3x+4- + =0
{x¤ + }-3{x+ }+4=0
{x+ }¤ -3{x+ }+2=0
이때, x+ =t로 놓으면 t¤ -3t+2=0, (t-1)(t-2)=0
∴t=1또는t=2
⁄t=1일 때, x+ =1에서
⁄x¤ -x+1=0 ∴x=
¤t=2일 때, x+ =2에서
⁄x¤ -2x+1=0,` (x-1)¤ =0 ∴x=1
따라서 주어진 사차방정식의 해는x= 또는x=1 3)x› +11x‹ +26x¤ +11x+1=0의 양변을x¤으로 나누면 x¤ +11x+26+ + =0
{x¤ + }+11{x+ }+26=0
{x+ }
¤+11{x+ }+24=0
이때, x+ =t로 놓으면 t¤ +11t+24=0, (t+3)(t+8)=0
∴t=-3또는t=-8
⁄t=-3일 때, x+ =-3에서
⁄x¤ +3x+1=0 ∴x=
¤t=-8일 때, x+ =-8에서
⁄x¤ +8x+1=0 ∴x=-4—'∂15 따라서 주어진 사차방정식의 해는 x= 또는x=-4—'∂15
4)x› -3x‹ -2x¤ -3x+1=0의 양변을x¤으로 나누면 x¤ -3x-2- + =0
x¤ + -3{x+ }-2=0
{x+ }¤ -3{x+1}-4=0
x 1
x
1 x 1
x¤
1 x¤
3 x -3—'5
2
1 x
-3—'5 2 1
x 1
x
1 x 1
x
1 x 1
x¤
1 x¤
11 x
1—'3i 2 1
x
1—'3i 2 1
x 1 x
1 x 1
x
1 x 1
x¤
1 x¤
3 x
-3—2'2 1—'3i
2
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132
1)a+b+c=-(-2)=2 2)ab+bc+ca=4 3)abc=-(-8)=8
4)(a-1)(b-1)(c-1)
=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
=8-4+2-1=5
5) + + = = =
6)a¤ +b¤ +c¤
=(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)=2¤ -2¥4=-4 7)a+b+c=2이므로
a+b=2-c, b+c=2-a, c+a=2-b (a+b)(b+c)(c+a)
=(2-c)(2-a)(2-b)
=8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc
=8-4¥2+2¥4-8=0
133
1)x‹ -(-1+2+4)x¤ +(-2+8-4)x-(-1)¥2¥4=0
∴x‹ -5x¤ +2x+8=0
2)x‹ -(0+1-2)x¤ +(0-2+0)x-0¥1¥(-2)=0
∴x‹ +x¤ -2x=0
3)x‹ -(2+5+4)x¤ +(10+20+8)x-2¥5¥4=0
∴x‹ -11x¤ +38x-40=0
4)x‹ -(-1-3-5)x¤ +(3+15+5)x-(-1)(-3)(-5)=0
∴x‹ +9x¤ +23x+15=0
5)x‹ -{ - - }x¤ +{- + - }x
- ¥{- }¥{- }=0
∴x‹ + x¤ - x- =0
134
1)a+b+c=-3, ab+bc+ca=-2, abc=1
⑴x‹ -(-a-b-c)x¤ +(ab+bc+ca)x-(-abc)=0 x‹ +(a+b+c)x¤ +(ab+bc+ca)x+abc=0
∴x‹ -3x¤ -2x+1=0
⑵x‹ -{ + + }x¤ +{ + + }x- =0
+ + = =-2
+ + = =-3
∴x‹ +2x¤ -3x-1=0
2)a+b+c=3, ab+bc+ca=1, abc=1
⑴x‹ -(-a-b-c)x¤ +(ab+bc+ca)x-(-abc)=0 x‹ +(a+b+c)x¤ +(ab+bc+ca)x+abc=0
∴x‹ +3x¤ +x+1=0 a+b+c
abc 1
ca 1 bc 1 ab
ab+bc+ca abc 1
c 1 b 1 a
1 abc 1
ca 1 bc 1 ab 1
c 1 b 1 a
1 16 1 4 1 4
1 2 1 4 1 2
1 4 1 8 1 8 1
2 1 4 1 2
1 2 4 8 ab+bc+ca
abc 1
c 1 b 1 a
⑵x‹ -{ + + }x¤ +{ + + }x- =0
+ + = =1
+ + = =3
∴x‹ -x¤ +3x-1=0
135
1)계수가 실수이고, 한 근이2+i이므로 다른 한 근은2-i이다.
나머지 한 근을a라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여 (2+i)+(2-i)+a=5 ∴a=1
(2+i)(2-i)+(2+i)¥1+(2-i)¥1=a ∴a=
(2+i)(2-i)¥1=-b ∴b=
2)계수가 실수이고, 한 근이1+i이므로 다른 한 근은1-i이다.
나머지 한 근을a라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여 (1+i)+(1-i)+a=6 ∴a=4
(1+i)(1-i)+(1+i)¥4+(1-i)¥4=a ∴a=10 (1+i)(1-i)¥4=-b ∴b=-8
3)계수가 실수이고, 한 근이-i이므로 다른 한 근은i이다.
나머지 한 근을a라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여 (-i)+i+a=1 ∴a=1
(-i)¥i+(-i)¥1+i¥1=a ∴a=1 (-i)¥i¥1=-b ∴b=-1
4)세 근을 각각1-2i, 1+2i, a라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여
(1-2i)(1+2i)¥a=10 ∴a=2 (1-2i)+(1+2i)+2=-a ∴a=-4
(1-2i)(1+2i)+2(1-2i)+2(1+2i)=b ∴b=9 5)세 근을 각각2-i, 2+i, a라고 하면
근과 계수의 관계에 의하여
(2-i)(2+i)¥a=-5 ∴a=-1 (2-i)+(2+i)+(-1)=-a ∴a=-3 (2-i)(2+i)+(2-i)(-1)+(2+i)(-1)=b
∴b=1
136
세 근을 각각1-i, 1+i, a라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여
(1-i)+(1+i)+a=4 ∴a=2
(1-i)(1+i)+2(1-i)+2(1+i)=a ∴a=6 (1-i)(1+i)¥2=-b ∴b=-4
∴ab=6¥(-4)=-24 ①
-5
9 a+b+c
abc 1
ca 1 bc 1 ab
ab+bc+ca abc 1
c 1 b 1 a
1 abc 1
ca 1 bc 1 ab 1
c 1 b 1 a
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137
x‹ =1에서x‹ -1=0, (x-1)(x¤ +x+1)=0 방정식x‹ =1의 한 허근이x이므로
x¤ +x+1=0, x‹ =1
x¤ +x+1=0의 두 근이x, x’이므로, 근과 계수의 관계에 의하 여x+x’=-1, xx’=1
1)x‹ =1 2)x¤ +x+1=0 3)x+x’=-1 4)xx’=1
5)x+ =x+x’=-1
6)x¤ ‚ +x⁄ ‚ +1=(x‹)fl¥x¤ +(x‹)‹¥x+1
=x¤ +x+1=0 7)xfi +x› +x‹ +x¤ +x+1
=x‹(x¤ +x+1)+(x¤ +x+1)=0(∵x¤ +x+1=0) 8)x⁄ ¤ ‹ =(x‹)› ⁄ =1
138
x‹ =-1에서x‹ +1=0, (x+1)(x¤ -x+1)=0 방정식x‹ =-1의 한 허근이x이므로
x¤ -x+1=0, x‹ =-1
x¤ -x+1=0의 두 근이x, x’이므로, 근과 계수의 관계에 의하 여x+x’=1, xx’=1
1)x‹ =-1 2)x¤ -x+1=0 3)x+x’=1 4)xx’=1 5)x+ =x+x’=1
6)x¤ ‚ +x⁄ ‚ +1=(x‹)fl¥x¤ +(x‹)‹¥x+1=x¤ -x+1=0 7)xfi +x› +x‹ +x¤ +x+1
=x‹(x¤ +x+1)+(x¤ +x+1)
=-(x¤ +x+1)+(x¤ +x+1)=0 8)x⁄ ¤ ‹ =(x‹)› ⁄ =(-1)› ⁄ =-1
139
1)㉠을 ㉡에 대입하면3y-1=3-y 4y=4 ∴y=1
이것을 ㉡에 대입하면x=2
2)㉠을 ㉡에 대입하면y=4(y-1)-2 3y=6 ∴y=2
이것을 ㉠에 대입하면x=1
3)㉡을 ㉠에 대입하면2x-(x+1)=2 x-1=2 ∴x=3
이것을 ㉡에 대입하면y=4
4)㉡을 ㉠에 대입하면2(3y+1)-4y=0 2y=-2 ∴y=-1
이것을 ㉡에 대입하면x=-2 1
x 1 x
5)㉠+㉡을 하면4x=4 ∴x=1 이것을 ㉠에 대입하면y=-1 6)㉠+㉡을 하면5x=5 ∴x=1 이것을 ㉡에 대입하면y=0
7)㉠+㉡_2를 하면10x=-5 ∴x=- 이것을 ㉠(또는 ㉡)에 대입하면y=- 8)㉠_2+㉡을 하면-3y=3 ∴y=-1 이것을 ㉠에 대입하면x=0
140
1)
먼저 미지수z를 소거하기 위하여
㉠+㉡을 하면3x+2y=9yy㉣
㉡+㉢을 하면5x-y=2 yy㉤
㉣+㉤_2를 하면13x= ∴x=
이것을 ㉤에 대입하면y=
구한x, y의 값을 ㉠에 대입하면z=
2)
㉠+㉡을 하면5x+2y=16 yy㉣
㉡+㉢을 하면7x-y=11 yy㉤
㉣+㉤_2를 하면19x=38 ∴x=2 x=2를 ㉤에 대입하면y=3
x=2, y=3을 ㉠에 대입하면z=1
∴x=2, y=3, z=1 3)
㉠+㉡을 하면4x+3y=18 yy㉣
㉡+㉢을 하면2x-y=4 yy㉤
㉣+㉤_3을 하면10x=30 ∴x=3 x=3을 ㉤에 대입하면y=2
x=3, y=2를 ㉡에 대입하면z=-1
∴x=3, y=2, z=-1
141
1)
㉠-㉡을 하면2y-z=2yy㉣
㉡+㉢을 하면
4y-2z=2 ∴2y-z= yy㉤
㉣-㉤을 하면0= 이 되어 모순이다.
따라서 주어진 연립방정식의 해는 없다. 1
1 x+y-2z=2 yy㉠ x-y-z=0 yy㉡ -x+5y-z=2 yy㉢
[
3x+2y+z=12 yy㉠ x+y-z=6 yy㉡ x-2y+z=-2 yy㉢
[
x+y+z=6 yy㉠ 4x+y-z=10 yy㉡ 3x-2y+z=1 yy㉢
[
-1 3
1 13
x+y+z=3 yy㉠ 2x+y-z=6 yy㉡ 3x-2y+z=-4 yy㉢
[
3 2
1 2
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2)
㉠-㉡을 하면 x+y=1yy㉣
㉡+㉢을 하면
3x+3y=3에서x+y=1yy㉤
㉣과 ㉤이 일치하므로 이를 동시에 만족하는x, y의 값은 무수히 많다.
이때, x=k(k는 임의의 실수)라고 하면
㉣에서y=
x=k, y= 을 ㉢에 대입하면 z=
따라서 주어진 연립방정식의 해는
x=k, y= , z= (k는 임의의 실수) 꼴로 무수히 많다.
142
1)
㉠+㉡+㉢을 하면2(x+y+z)=26
∴x+y+z= yy㉣
㉣-㉡을 하면x=
㉣-㉢을 하면y=
㉣-㉠을 하면z=
2)
㉠+㉡+㉢을 하면2(x+y+z)=20
∴x+y+z=10yy㉣
㉣-㉡을 하면x=5
㉣-㉢을 하면y=2
㉣-㉠을 하면z=3 3)
㉠+㉡+㉢을 하면 2(x+y+z)=18
∴x+y+z=9yy㉣
㉣-㉡을 하면x=3
㉣-㉢을 하면y=2
㉣-㉠을 하면z=4 4)
㉠+㉡+㉢을 하면2(x+3y+2z)=4
∴x+3y+2z=2yy㉣ x+3y=6 yy㉠ 3y+2z=-1 yy㉡ 2z+x=-1 yy㉢
[
x+y=5 yy㉠ y+z=6 yy㉡ z+x=7 yy㉢
[
x+y=7 yy㉠ y+z=5 yy㉡ z+x=8 yy㉢
[
6 4 3 13 x+y=7 yy㉠ y+z=10 yy㉡ z+x=9 yy㉢
[
k-1 -k+1
k-1 -k+1
-k+1 3x+2y-z=3 yy㉠ 2x+y-z=2 yy㉡ x+2y+z=1 yy㉢
[
㉣-㉡을 하면x=3
㉣-㉢을 하면3y=3 ∴y=1
㉣-㉠을 하면2z=-4 ∴z=-2 5)x+y-1=y+z-5=z+x-3=3에서
˙k
㉠+㉡+㉢을 하면2(x+y+z)=18
∴x+y+z=9yy㉣
㉣-㉡을 하면x=1
㉣-㉢을 하면y=3
㉣-㉠을 하면z=5
6)x+y=y+z-3=z+x+3=2에서
˙k
㉠+㉡+㉢을 하면2(x+y+z)=6
∴x+y+z=3yy㉣
㉣-㉡을 하면x=-2
㉣-㉢을 하면y=4
㉣-㉠을 하면z=1
7) = = =1에서
㉠+㉡+㉢을 하면2(x+y+z)=14
∴x+y+z=7yy㉣
㉣-㉡을 하면x=2
㉣-㉢을 하면y=1
㉣-㉠을 하면z=4
8) = = =2에서
㉠+㉡+㉢을 하면2(x+y+z)=18
∴x+y+z=9yy㉣
㉣-㉡을 하면x=3
㉣-㉢을 하면y=1
㉣-㉠을 하면z=5
143
1)[
㉠에서y=5-2xyy㉢
㉢을 ㉡에 대입하면x¤ +(5-2x)¤ =25 5x¤ -20x=0, 5x(x-4)=0
∴x=0또는x= 4 2x+y=5 yy㉠ x¤ +y¤ =25 yy㉡ x+y=4yy㉠ y+z=6 yy㉡ z+x=8 yy㉢
[
z+x 4 y+z
3 x+y
2
x+y=3yy㉠ y+z=5 yy㉡ z+x=6 yy㉢
[
z+x 6 y+z
5 x+y
3
x+y=2 yy㉠ y+z=5 yy㉡ z+x=-1yy㉢
[
x+y=2 y+z-3=2 z+x+3=2
[
x+y=4 yy㉠ y+z=8 yy㉡ z+x=6 yy㉢
[
x+y-1=3 y+z-5=3 z+x-3=3
[
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이것을 ㉢에 대입하여y의 값을 구하면
⁄x=0일 때, y=5
¤x= 일 때, y=
∴[ 또는[
2)[
㉠에서x=2+yyy㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 (2+y)¤ +y¤ =10 4+4y+2y¤ =10⇨y¤ +2y-3=0 (y+3)(y-1)=0 ∴y=-3또는y=1 이것을 ㉢에 대입하면[ 또는[ 3)[
㉠에서x=4-yyy㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 (4-y)¤ +y(4-y)+y¤ =13 16-8y+y¤ +4y-y¤ +y¤ =13⇨y¤ -4y+3=0 (y-1)(y-3)=0 ∴y=1또는y=3 이것을 ㉢에 대입하면[ 또는[ 4)[
㉠에서y=3-2xyy㉢
㉢을 ㉡에 대입하면x¤ +x(3-2x)+(3-2x)¤ =3 x¤ +3x-2x¤ +9-12x+4x¤ =3
3x¤ -9x+6=0⇨x¤ -3x+2=0 (x-1)(x-2)=0 ∴x=1또는x=2 이것을 ㉢에 대입하면
[ 또는[
5)[
㉠에서x=3yyy㉢
㉢을 ㉡에 대입하면 (3y)¤ -2y=11 9y¤ -2y-11=0⇨ (9y-11)(y+1)=0
∴y= 또는y=-1 이것을 ㉢에 대입하면
또는[
144
1)[
㉠에서 (x+y)(x-3y)=0 ∴x=-y또는x=3y x¤ -2xy-3y¤ =0 yy㉠
x¤ +y¤ =10 yy㉡ x=-3 y=-1 x=:¡3¡:
y=:¡9¡:
((
{{
99 11
9
x-3y=0 yy㉠ x¤ -2y=11 yy㉡
x=2 y=-1 x=1
y=1
2x+y=3 yy㉠ x¤ +xy+y¤ =3yy㉡
x=1 y=3 x=3
y=1
x+y=4 yy㉠
x¤ +xy+y¤ =13yy㉡
x=3 y=1 x=-1
y=-3 x-y=2 yy㉠ x¤ +y¤ =10 yy㉡
x=0 y=5
-3 4
⁄x=-y를 ㉡에 대입하면y¤ +y¤ =10, y¤ =5 ∴y=—'5
⁄∴x=—'5, y=–'5(복부호동순)
¤x=3y를 ㉡에 대입하면9y¤ +y¤ =10
⁄y¤ =1 ∴y=—1
⁄∴x= , y=—1(복부호동순)
⁄, ¤에서 구하는 연립방정식의 해는
[ 또는[ 또는[ 또는[
2)[
㉠에서x(x-y)=0
∴x=0또는x=y
⁄x=0을 ㉡에 대입하면-y¤ =3⇨y¤ =-3 ∴y=—'3i
⁄∴x=0, y=—'3i
¤x=y를 ㉡에 대입하면2y¤ -y¤ =3⇨y¤ =3 ∴y=—'3
⁄∴x=—'3, y=—'3(복부호동순)
⁄, ¤에서 구하는 연립방정식의 해는
[ 또는[ 또는[ 또는[
3)[
㉠에서 (x-2y)(x+y)=0
∴x=2y또는x=-y
⁄x=2y를 ㉡에 대입하면
⁄8y¤ +y¤ =9⇨9y¤ =9 ∴y=—1
⁄∴x=—2, y=—1(복부호 동순)
¤x=-y를 ㉡에 대입하면
⁄2y¤ +y¤ =9⇨3y¤ =9 ∴y=—'3
⁄∴x=—'3, y=–'3(복부호동순)
⁄, ¤에서 구하는 연립방정식의 해는
[ 또는[ 또는[ 또는[
4)[
㉠에서 (x-5y)(x-y)=0
∴x=5y또는x=y
⁄x=5y를 ㉡에 대입하면
⁄25y¤ +y¤ =26⇨26y¤ =26 ∴y=—1
⁄∴x=—5, y=—1(복부호 동순)
¤x=y를 ㉡에 대입하면 2y¤ =26⇨y¤ =13 ∴y=—'∂13
⁄∴x=—'∂13, y=—'∂13(복부호동순)
⁄, ¤에서 구하는 연립방정식의 해는
[ 또는[ 또는[ 또는[
x=-'∂13 y=-'∂13 x='∂13
y='∂13 x=-5
y=-1 x=5
y=1
x¤ -6xy+5y¤ =0 yy㉠ x¤ +y¤ =26 yy㉡
x=-'3 y='3 x='3
y=-'3 x=-2
y=-1 x=2
y=1
x¤ -xy-2y¤ =0 yy㉠ 2x¤ +y¤ =9 yy㉡
x=-'3 y=-'3 x='3
y='3 x=0
y=-'3i x=0
y='3i
x¤ -xy=0 yy㉠ 2xy-y¤ =3 yy㉡ x='5 y=-'5 x=-'5
y='5
—3 x=
y= -3 4
x=
y=-1
-3 x=
y=1 3
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5)[
㉠에서 (x+2y)(x-y)=0
∴x=y또는x=-2y
⁄x=y를 ㉡에 대입하면
⁄2y¤ =10, y¤ =5 ∴y=—'5
⁄∴[ 또는[
¤x=-2y를 ㉡에 대입하면
⁄4y¤ +y¤ =10, y¤ =2 ∴y=—'2
⁄∴[ 또는[
⁄, ¤에서 구하는 연립방정식의 해는
[ 또는[ 또는[ 또는[
145
1)x, y의 합은8이고 곱이15이므로
두 수x, y는 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 t에 대한 이차방정식t¤ -8t+15=0의 두 근이 된다.
인수분해하면 (t-3)(t-5)=0이므로 t= 또는t=
따라서 구하는 연립방정식의 해는
‡ 또는[
2)두 수x, y는t에 대한 이차방정식t¤ -2t-8=0의 두 근이 된다.
(t-4)(t+2)=0 ∴t=4또는t=-2 따라서 구하는 연립방정식의 해는
[ 또는[
3)두 수x, y는t에 대한 이차방정식t¤ -9t+20=0의 두 근이 된다.
(t-4)(t-5)=0 ∴t=4또는t=5 따라서 구하는 연립방정식의 해는
[ 또는[
4)x+y=u, xy=v로 놓으면 주어진 연립방정식은 [
㉡을 ㉠에 대입하면u¤ -64=80 u¤ =144 ∴u=
⁄u=12, v=32, 즉x+y=12, xy=32일 때x, y는 이차방정 식t¤ -12t+32=0의 두 근이므로
⁄(t-4)(t-8)=0 ∴t=4또는t=8
⁄∴[ 또는[ x=8 y=4 x=4
y=8
—12 u¤ -2v=80 yy㉠
v=32 yy㉡
x=5 y=4 x=4
y=5
x=-2 y=4 x=4
y=-2
x=5 y=3
5 3
x=2'2 y=-'2 x=-2'2
y='2 x=-'5
y=-'5 x='5
y='5
x=2'2 y=-'2 x=-2'2
y='2
x=-'5 y=-'5 x='5
y='5
x¤ +xy-2y¤ =0 yy㉠ x¤ +y¤ =10 yy㉡
¤u=-12, v=32, 즉x+y=-12, xy=32일 때x, y는 이 차방정식t¤ +12t+32=0의 두 근이므로
⁄(t+4)(t+8)=0 ∴t=-4또는t=
⁄∴[ 또는‡
⁄, ¤에서 구하는 연립방정식의 해는
[ 또는[ 또는[ 또는[
5)x+y=u, xy=v로 놓으면 주어진 연립방정식은 [
㉡을 ㉠에 대입하면u¤ -24=40 u¤ =64 ∴u=—8
⁄u=8, v=12, 즉x+y=8, xy=12일 때x, y는 이차방정식 t¤ -8t+12=0의 두 근이므로
⁄(t-2)(t-6)=0 ∴t=2또는t=6
⁄∴[ 또는[
¤u=-8, v=12, 즉x+y=-8, xy=12일 때x, y는 이차 방정식t¤ +8t+12=0의 두 근이므로
⁄(t+2)(t+6)=0 ∴t=-2또는t=-6
⁄∴[ 또는[
⁄, ¤에서 구하는 연립방정식의 해는
[ 또는[ 또는[ 또는[
146
1)길이가160 cm인 철사를 잘라서 한 변의 길이가 각각 acm, bcm인 두 개의 정사각형을 만들었으므로 4a+4b=160 ∴a+b=40yy㉠
이 두 정사각형의 넓이의 합이850 cm¤이므로 a¤ +b¤ = yy㉡
㉠에서a=40-b 이것을 ㉡에 대입하면
(40-b)¤ +b¤ =850, b¤ -40b+375=0 (b-25)(b-15)=0 ∴b=25또는b=15
∴a= , b= (∵a>b) 2)문제의 조건에서 식을 세우면 [
㉠에서a+b=12, b=12-a b=12-a를 ㉡에 대입하면
a¤ +(12-a)¤ =74⇨a¤ -12a+35=0 (a-5)(a-7)=0 ∴a=5또는a=7
∴[ 또는[
그런데a>b이므로a=7, b=5 a=7 b=5 a=5
b=7
4a+4b=48 yy㉠ a¤ +b¤ =74 yy㉡ 15 25
850
x=-6 y=-2 x=-2
y=-6 x=6
y=2 x=2
y=6
x=-6 y=-2 x=-2
y=-6
x=6 y=2 x=2
y=6
u¤ -2v=40 yy㉠
v=12 yy㉡
x=-8 y=-4 x=-4
y=-8 x=8
y=4 x=4
y=8 x=-4 y=-8
-8
x=
y= 5 3
x=-8 y= -4
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3)처음 두 자리 정수의 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 각각x, y라고 하면
‡
㉡을 정리하면x+y=11이므로y=11-x y=11-x를 ㉠에 대입하면
x¤ +(11-x)¤ =73, x¤ -11x+24=0 (x-3)(x-8)=0 ∴x=3또는x=8
∴[ 또는‡ x>y이므로x=8, y=
따라서 처음 정수는 이다.
4)직사각형의 가로의 길이를acm, 세로의 길이를bcm라고 하면
[ ⇨[
㉠에서b=14-a이므로 ㉡에 대입하면 a¤ +(14-a)¤ =100, a¤ -14a+48=0 (a-8)(a-6)=0 ∴a=8또는a=6
∴‡ 또는[ a>b이므로a= , b=
따라서 직사각형의 가로의 길이는 cm이다.
147
1)xy-3x+2y=0에서y(x+2)-3(x+2)=-6 (x+2)(y-3)=-6
이를 만족하는x, y의 순서쌍 (x, y)는
(-8, 4), (-5, 5), (-4, 6), (-3, 9), (-1, ), (0, 0), (1, ), (4, 2)
x, y는 자연수이므로 구하는 해는 (1, ), (4, 2) 2)xy-3x-3y+7=0에서
x(y-3)-3(y-3)=2⇨ (x-3)(y-3)=2
이를 만족하는x, y의 순서쌍 (x, y)는
(1, 2), ( , 1), ( , 5), (5, 4)이고x, y는 모두 자연수이므 로 모두 구하는 해이다.
3)xy-4x-3y+10=0에서
x(y-4)-3(y-4)=2⇨ (x-3)(y-4)=2 4
2
1 1
-3 8
6 8
a=6 b=8
a+b=14 yy㉠ a¤ +b¤ =10¤ yy㉡ 2a+2b=28
a¤ +b¤ =10¤
83 3 x=3
y=8
이를 만족하는 자연수x, y의 순서쌍 (x, y)는 (1, 3), (2, 2), (4, 6), (5, 5)이다.
148
1)주어진 식을 변형하면 (x¤ +2x+1)+(y¤ -4y+4)=0 (x+1)¤ +(y-2)¤ =0
이때, x, y가 실수이므로 x+1=0, y-2=0
∴x=-1, y=2
2)x¤ -4x+y¤ -8y+20=0에서 (x¤ -4x+4)+(y¤ -8y+16)=0 (x-2)¤ +(y-4)¤ =0
이때, x, y가 실수이므로x-2=0, y-4=0
∴x=2, y=4
149
1)좌변을x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x¤ +2(1-2y)x+5y¤ -8y+5=0
x가 실수이므로 주어진 방정식이 실근을 가져야 한다.
=(1-2y)¤ -5y¤ +8y-5æ0 -y¤ +4y-4æ0⇨ (y-2)¤…0 y도 실수이므로y의 값은2뿐이다.
이 값을 주어진 방정식에 대입하면x¤ -6x+9=0 (x-3)¤ =0 ∴x=3
∴ (x, y)=(3,2)
2)x¤ -6yx+10y¤ -2y+1=0 이 방정식이 실근을 가져야 하므로
=9y¤ -10y¤ +2y-1æ0
-y¤ +2y-1æ0⇨ (y-1)¤…0 ∴y=1 y=1을 주어진 방정식에 대입하면
x¤ -6x+9=0
(x-3)¤ =0 ∴x=3
∴ (x, y)=(3,1)
150
x¤ -2xy+5y¤ +4y+1=0에서 (x¤ -2xy+y¤)+(4y¤ +4y+1)=0 (x-y)¤ +(2y+1)¤=0
이때, x, y가 실수이므로x-y=0, 2y+1=0
∴x=- , y=-
∴x+y=-1 ③
1 2 1
2 D
4 D
4 a=
b=6 8
x+2 -6 -3 -2 -1 1 2 3 6
y-3 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1
x¤ +y¤ =73 yy㉠
(10y+x)+(10x+y)=121 yy㉠
x=8 y= 3
x-3 -2 2
y-3 -1 -2 2 1
1 -1
x-3 -2 -1 1 2
y-4 -1 -2 2 1