원의 성질

P80~84

01현아, 성일, 준희 02^{9 cm} 03^{20 cm}

048'3 cm 05:¡2∞: 0610'3 cm 0730pcm

07-1^100pcm¤ 08^{12 cm¤} 09⁸'7 10^40˘ 11^52˘ 12^16pcm¤ 13^26˘

14²'∂21 m 15 ^pcm¤ 16²'3 cm 17:¡1™3º:cm 18^2500pm¤ 19^{2 cm} 20^{30 cm} 21²'∂10 cm

22:¡2∞:cm 238 cm 2411 cm 252 cm

26^{14 cm} 27^{34 cm} 28^{76 cm¤} 29²'7 cm 100

9

04

원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분함을 이용한다.

AB”⊥OH”이므로AH”=BH”

△OAH에서AH”="8“¤ -4¤ =4'3(cm)

∴AB”=2AH”=2_4'3=8'3(cm)

05

△OAH는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 이용한다.

오른쪽 그림과 같이OA”를 긋고 원O 의 반지름의 길이를r라고 하면 OA”=r, OH”=r-3

△OAH에서r¤ =6¤ +(r-3)¤

6r=45 ∴r=:¡2∞:

따라서 원O의 반지름의 길이는:¡2∞:이다.

06

원의 중심에서 현에 수선을 그어 본다.

오른쪽 그림과 같이 원의 중심O 에서AB”에 내린 수선의 발을H 라 하고OH”의 연장선이 원O와 만나는 점을P라고 하면

OH”=;2!;OP”=;2!;_10=5(cm)

△OAH에서AH”="1“0¤ -5¤ =5'3(cm)

∴AB”=2AH”=2_5'3=10'3(cm)

07

현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지남을 이용한다.

오른쪽 그림에서 AH”=;2!;AB”=;2!;_18

=9(cm) ⋯⋯20%

CH”의 연장선은 원의 중심을 지나므로 원의 중심을O, 반지름의 길이를rcm라고 하면

OA”=rcm, OH”=(r-3) cm

△OHA에서r¤ =9¤ +(r-3)¤

6r=90 ∴r=15 ⋯⋯ 50%

따라서 원래의 접시의 둘레의 길이는

2p_15=30p(cm) ⋯⋯ 30%

Action

H 10###cm

A P B

O Action

A H B

C O r

3 6 Action

Action

현의 수직이등분선에 의하여 직각삼각형이 만들어지면 피타고라스 정리를 이용한다.

즉, 오른쪽 그림과 같은 원O에서AB”⊥OC”

이면AH”=BH”이고△OAH가 직각삼각형 이므로 피타고라스 정리를 이용한다.

Lecture 현의 수직이등분선과 피타고라스 정리

A H B

C O

A B

H C

O 18###cm

3###cm

r###cm

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07-1

현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지남을 이용한다.

오른쪽 그림에서CD”의 연장선 은 원의 중심을 지나므로 원의 중심을O, 반지름의 길이를 rcm라고 하면

OA”=rcm, OD”=(r-4) cm

△ODA에서r¤ =8¤ +(r-4)¤

8r=80 ∴r=10 따라서 원의 넓이는 p_10¤ =100p(cm¤ )

08

현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지남을 이용한다.

BD”=;2!;AB”=;2!;_12=6(cm) 오른쪽 그림에서CD”의 연장선 은 원의 중심을 지나므로 원의 중심을O, CD”=xcm라고 하 면

OD”=(10-x) cm

△OBD에서10¤ =6¤ +(10-x)¤

x¤ -20x+36=0, (x-2)(x-18)=0

∴x=2(∵0<x<10)

∴ △ABC=;2!;_12_2

=12(cm¤ )

09

^{먼저 직각삼각형OAM에서}AM”의 길이를 구한다.

△OAM에서AM”="8“¤ -6¤ =2'7

∴AB”=2AM”=2_2'7=4'7 OM”=ON”이므로CD”=AB”=4'7

∴AB”+CD”=4'7+4'7=8'7

10

원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같음을 이용한다.

OM”=ON”이므로AB”=AC”

따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로

∠BAC=180˘-2_70˘=40˘

Action Action

x###cm

O

A B

C D 6###cm

10###cm (10-x)###cm

Action

r###cm O

A B

C D 4###cm 8###cm Action

11

먼저 ∠MAN의 크기를 구한다.

AMON에서

∠MAN=360˘-(90˘+104˘+90˘)=76˘

OM”=ON”이므로AB”=AC”

따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로

∠ABC=;2!;_(180˘-76˘)=52˘

12

원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현이 길이는 같음을 이용한다.

OM”=ON”이므로AB”=CD”=4'3(cm)

∴BM”=;2!;AB”=;2!;_4'3=2'3(cm)

△OMB에서

OB”= =2'3_ =4(cm) 따라서 원O의 넓이는

p_4¤ =16p(cm¤ )

13

원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름에 수직임을 이용 한다.

∠PAO=∠PBO=90˘이므로 APBO에서

∠AOB=360˘-(90˘+52˘+90˘)=128˘

△OAB에서OA”=OB”이므로

∠OBA=;2!;_(180˘-128˘)=26˘

14

원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름에 수직임을 이용 한다.

OC”=OB”=4(m)이므로

OP”=4+6=10(m) ⋯⋯40%

이때 ∠PBO=90˘이므로 △PBO에서

PB”="“10¤ -4¤ =2'∂21(m) ⋯⋯40%

∴PA”=PB”=2'∂21(m) ⋯⋯20%

Action Action

2 '3 BM”

cos 30˘

Action Action

⑴ 오른쪽 그림의 원O에서 OM”=ON”이므로AB”=AC”

△ABC는 이등변삼각형

⑵ 오른쪽 그림의 원O에서 OM”=ON”=OL”이므로 AB”=AC”=BC”

△ABC는 정삼각형

Lecture 현의 길이와 삼각형

A

M N

B C

O

이등변삼각형

A

B C

O

정삼각형

M N

L 원의 일부분이 주어진 경우에는 현의 수직

이등분선은 그 원의 중심을 지남을 이용하 여 원의 중심을 찾는다. 이때 직각삼각형을 찾아 피타고라스 정리를 이용하여 원의 반 지름의 길이를 구한다.

Lecture 원의 일부분이 주어진 경우

A H B

C

O

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Ⅳ-`1. 원과 직선 51

15

∠AOB의 크기를 구한 후 색칠한 부분인 부채꼴의 중심각 의 크기를 구한다.

∠PAO=∠PBO=90˘이므로 APBO에서

∠AOB=360˘-(90˘+70˘+90˘)=110˘

따라서 색칠한 부분인 부채꼴의 중심각의 크기는 360˘-110˘=250˘이므로 색칠한 부분의 넓이는 p_4¤ _ = p(cm¤ )

16

△PAO™△PBO(RHS합동)임을 이용한다.

△PAO와 △PBO에서

∠PAO=∠PBO=90˘, OA”=OB”, PO”는 공통이므로

△PAO™△PBO (RHS합동)

∴ ∠APO=∠BPO=;2!;_60˘=30˘

△PAO에서

OA”=PA” tan 30˘=6_ =2'3(cm) 따라서 원O의 반지름의 길이는2'3 cm이다.

17

^{PO”와AB”의 교점을H로 놓고}AH”의 길이를 구한다.

오른쪽 그림과 같이PO”를 그 으면 ∠PAO=90˘이므로

△PAO에서

PO”="5“¤ +12¤ =13(cm) PO”와AB”의 교점을H라고 하면 PO”⊥AB”, AH”=BH”

△PAO=;2!;_AP”_AO”=;2!;_PO”_AH”이므로

;2!;_12_5=;2!;_13_AH” ∴AH”=;1^3);(cm)

∴AB”=2AH”=2_;1^3);=:¡1™3º:(cm)

18

큰 원의 반지름의 길이를xm, 작은 원의 반지름의 길이를 ym로 놓고 직각삼각형OAH에서 피타고라스 정리를 이용한다.

오른쪽 그림과 같이OA”, OH”를 그 으면OH”⊥AB”이므로

AH”=;2!;AB”

=;2!;_100=50(m) ⋯⋯ 30%

큰 원의 반지름의 길이를xm, 작은 원의 반지름의 길이 를ym라고 하면 △OAH에서x¤ =50¤ +y¤

∴x¤ -y¤ =2500 ⋯⋯40%

따라서 색칠한 트랙의 넓이는

px¤ -py¤ =p(x¤ -y¤ )=2500p(m¤ ) ⋯⋯30%

100###m

A H B

x###mO y###m Action

H A

B

P O

5###cm 12###cm

Action

'3 3

Action

100 9 250 360

Action

19

(△ABC의 둘레의 길이)=AE”+AF”=2AE”=2AF”임을 이용한다.

BE”=BD”, CF”=CD”이므로 AE”+AF”=AB”+BC”+CA”

=6+5+7=18(cm) 이때AE”=AF”이므로

AE”=AF”=;2!;_18=9(cm)

∴CF”=AF”-AC”=9-7=2(cm)

20

(△ABC의 둘레의 길이)=AE”+AF”=2AE”=2AF”임을 이용한다.

∠AFO=90˘이므로 △AFO에서 AF”="1“7¤ -8¤ =15(cm)

BD”=BE”, CD”=CF”이므로 △ABC의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CA”=AE”+AF”=2AF”

=2_15=30(cm)

21

^점A에서CD”에 내린 수선의 발을H로 놓고 직각삼각형 AHD에서 피타고라스 정리를 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 점A에 서CD”에 내린 수선의 발을 H라고 하면

DH”=DC”-HC”

=8-5=3(cm)

AE”=AB”=5(cm), DE”=DC”=8(cm)이므로 AD”=AE”+DE”=5+8=13(cm)

△AHD에서AH”="1“3¤ -3¤ =4'∂10(cm)

H8###cm 5###cm

A

B C

D E

O Action

Action Action

오른쪽 그림과 같이 중심이 같고 반지름의 길이가 다른 두 원에서 큰 원의 현AB가 작은 원의 접선이고 점H가 접점일 때

⑴OH”⊥AB”

⑵AH”=BH”

⑶OA”¤ =AH”¤ +OH”¤

Lecture 중심이 같은 원

A H B

O

오른쪽 그림에서AE≥, AF≥, BC”는 원O의 접선이고 세 점 D, E, F는 접점일 때, AE”=AF”, BD”=BE”, CD”=CF”이므로

(△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+CA”

=AB”+(BD”+CD”)+CA”

=(AB”+BE”)+(CF”+CA”)

=AE”+AF”=2AE”=2AF”

Lecture 원의 접선의 성질의 응용

A

B C D

E F

O

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따라서 반원O의 반지름의 길이는

;2!;BC”=;2!;AH”=;2!;_4'∂10=2'∂10(cm)

22

^점E에서AB”에 내린 수선의 발을H로 놓고 직각삼각형 AHE에서 피타고라스 정리를 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 점E에서 AB”에 내린 수선의 발을H라 하고EC”=xcm라고 하면 EF”=EC”=x(cm), AF”=AB”=6(cm)이므로 AE”=AF”+EF”=6+x(cm) AH”=AB”-HB”=6-x(cm) HE”=BC”=6(cm)

△AHE에서(6+x)¤ =(6-x)¤ +6¤

24x=36 ∴x=;2#;

∴AE”=6+;2#;=:¡2∞:(cm)

23

^{BE”=xcm로 놓고AF”, CF”를}x에 대한 식으로 나타낸다.

BE”=xcm라고 하면BD”=BE”=x(cm)

AF”=AD”=10-x(cm), CF”=CE”=14-x(cm) AC”=AF”+CF”이므로

(10-x)+(14-x)=8, 2x=16 ∴x=8

∴BE”=8(cm)

24

AD”=AF”, BD”=BE”, CE”=CF”임을 이용한다.

BD”=xcm라고 하면BE”=BD”=x(cm) AF”=AD”=6(cm), CE”=CF”=5(cm)

△ABC의 둘레의 길이가34 cm이므로 AB”+BC”+CA”=2(x+6+5)=34 2x=12 ∴x=6

∴BC”=BE”+CE”=6+5=11(cm)

Action Action Action

25

DBEO가 정사각형임을 이용한다.

△ABC에서BC”="1“0¤ -6¤ =8(cm) 오른쪽 그림과 같이OD”, OE”

를 긋고 원O의 반지름의 길 이를rcm라고 하면

DBEO가 정사각형이므로 BD”=BE”=r(cm) AF”=AD”=6-r(cm) CF”=CE”=8-r(cm) AC”=AF”+CF”이므로

(6-r)+(8-r)=10, 2r=4 ∴r=2 따라서 원O의 반지름의 길이는2 cm이다.

26

^{BH”=xcm로 놓고AI”, CI”를}x에 대한 식으로 나타낸다.

BH”=xcm라고 하면BF”=BH”=x(cm) AI”=AF”=8-x(cm)

CI”=CH”=12-x(cm) AC”=AI”+CI”이므로

(8-x)+(12-x)=6, 2x=14 ∴x=7

EG”=EH”, DG”=DF”이므로 △DBE의 둘레의 길이는 DB”+BE”+ED”=BH”+BF”=2BH”

=2_7=14(cm)

27

AB”+CD”=AD”+BC”임을 이용한다.

AB”+CD”=AD”+BC”=7+10=17(cm) 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CD”+DA”=2_17=34(cm)

28

(사다리꼴의 넓이)=;2!;_{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}

_(높이)임을 이용한다.

원O의 반지름의 길이가4 cm이므로 AB”=2_4=8(cm)

AD”+BC”=AB”+CD”=8+11=19(cm) 따라서 ABCD의 넓이는

;2!;_(AD”+BC”)_AB”=;2!;_19_8=76(cm¤ )

29

ABCD는 등변사다리꼴이므로AB”=DC”임을 이용한다.

ABCD는 등변사다리꼴이므로AB”=DC”

이때AB”+CD”=AD”+BC”이므로 2AB”=8+14=22(cm)

∴AB”=11(cm) ⋯⋯30%

Action Action Action Action

A

B C

D E

F O

10###cm 6###cm

r###cm Action

오른쪽 그림에서BC”는 반원O의 지름 이고AB”, AD”, CD”가 반원O의 접선일 때, 점A에서CD”에 내린 수선의 발을 H라고 하면

⑴AB”=AE””, DC”=DE”

∴AD”=AB”+DC”

⑵BC”=AH”="çAD” ¤ -DH” ¤

Lecture 반원에서의 접선

A H

B C

D E

O

x###cm

x###cm H

A

B C

D

E F O 6###cm

6###cm

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Ⅳ-`1. 원과 직선 53 오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점

A, D에서BC”에 내린 수선의 발을 각각E, F라고 하면

△ABE™△DCF(RHA합동) 이므로

BE”=CF”=;2!;_(14-8)=3(cm) ⋯⋯30%

△ABE에서AE”="1“1¤ -3¤ =4'7(cm) ⋯⋯20%

따라서 원O의 반지름의 길이는

;2!;AE”=;2!;_4'7=2'7(cm) ⋯⋯20%

O

14###cm 8###cm A

B C

D

E F

01

∠AOC=∠a로 놓고 ∠BOD를 ∠a에 대한 식으로 나타 낸다.

오른쪽 그림과 같이

∠AOC=∠a라고 하면

△OPC에서CP”=CO”이므로

∠CPO=∠AOC=∠a

△OPC에서 ∠OCD=∠a+∠a=2∠a

△OCD에서OC”=OD”이므로

∠ODC=∠OCD=2∠a

△OPD에서 ∠BOD=∠a+2∠a=3∠a 따라서μAC：μBD=∠AOC：∠BOD이므로 μAC：6=∠a：3∠a, μAC：6=1：3

∴μAC=2(cm)

02

원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분함을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 점O'에서 OM”에 내린 수선의 발을H라 고 하면

OH”=OM”-HM”

=10-5=5(cm)

△OHO'에서HO'”="“13¤ -5¤ =12(cm)

∴MN”=HO'”=12(cm) AM”=PM”, PN”=BN”이므로

AB”=AP”+PB”=2PM”+2PN”=2(PM”+PN”)

=2MN”=2_12=24(cm)

A

M H N

P B O 10###cm O'

13###cm

5###cm Action

Action

최/ 고/ 수/ 준

완성하기

^P85~87

01^{2 cm} 02^{24 cm} 03'∂85 cm 04²⁷'3 cm¤

052'3 cm 0624 cm 0739 cm¤ 0825 cm 09^{3 cm} 10^{23 cm} 113초

12(40-20'3 ) cm

03

^점O에서AB”, CD”에 내린 수선의 발을 각각M, N으로 놓고 직각삼각형OBM에서 피타고라스 정리를 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 점O에서 AB”, CD”에 내린 수선의 발을 각각M, N이라고 하면 AM”=BM”, CN”=DN”이므로 BM”=;2!;AB”

=;2!;_(3+15)=9(cm) OM”=NH”=CN”-CH”=;2!;CD”-CH”

=;2!;_(5+9)-5=2(cm)

△OBM에서

OB”="√9¤ +2¤ ='∂85(cm)

따라서 원O의 반지름의 길이는'∂85 cm이다.

04

△ABC가 어떤 삼각형인지 알아본다.

OM”=ON”이므로AB”=AC”

∠BAC=60˘이므로

∠ABC=∠ACB

=;2!;_(180˘-60˘)=60˘

따라서 △ABC는 정삼각형이다.

오른쪽 그림과 같이OA”를 그으면

△AMO™△ANO(RHS합동) 이므로 ∠OAN=30˘

△AON에서

AN”= =3'3(cm)

AC”=2AN”=2_3'3=6'3(cm)이므로

△ABC= _(6'3 )¤ =27'3(cm¤ )

05

원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름에 수직임을 이용 한다.

오른쪽 그림과 같이OT”를 그 으면 ∠PTO=90˘이므로

△OPT에서

∠BOT=30˘+90˘=120˘

△OTB는 이등변삼각형이므로

∠OBT=;2!;_(180˘-120˘)=30˘

따라서 △BPT는 이등변삼각형이므로 BT”=PT”=2'3(cm)

2 3cm 30˘

A 120˘

T B

P

O Action

'3 4 ON”

tan 30˘

60˘

3###cm A

M N

B C

O Action

9###cm 15###cm 5###cm

3###cm

A H B

N M C

D O Action

a

a 3a 2a 2a A

B

P C D

O

6###cm

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06

삼각형의 닮음을 이용하여 점O'과PQ”사이의 거리를 구한 다.

위의 그림과 같이BO''”을 그으면 ∠ABO''=90˘

점O'에서PQ”에 내린 수선의 발을H라고 하면

△AO'H와 △AO''B에서

∠A는 공통, ∠AHO'=∠ABO''=90˘이므로

△AO'Hª△AO''B (AA닮음) 따라서AO'”：AO''”=HO'”：BO''”이므로 45：75=HO'”：15, 3：5=HO'”：15

∴HO'”=9(cm)

△PO'H에서

PH”="“15¤ -9¤ =12(cm)

∴PQ”=2PH”=2_12=24(cm)

07

^점D에서AB”에 내린 수선의 발을H로 놓고 직각삼각형 AHD에서 피타고라스 정리를 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 점 D에 서AB”에 내린 수선의 발을 H, 반원O와AD”의 교점을 T라고 하면

AT”=AB”=9(cm), DT”=DC”=4(cm)이므로 AD”=AT”+DT”=9+4=13(cm)

BH”=CD”=4(cm)이므로 AH”=AB”-BH”=9-4=5(cm)

△AHD에서

HD”="1“3¤ -5¤ =12(cm) BC”=HD”=12(cm)이므로

OT”=OC”=;2!;BC”=;2!;_12=6(cm)

∴ △AOD=;2!;_AD”_OT”

=;2!;_13_6=39(cm¤ )

T H

O A

B C

9###cm D

4###cm Action

H A

B P

Q

O O' O"

15###cm

15###cm 15###cm

Action

△ABO™△ATO(RHS합동),

△DCO™△DTO(RHS합동)이므로

△AOD=△ATO+△DTO=;2!; ABCD

=;2!;_[;2!;_(4+9)_12]=39(cm¤ )

Lecture

08

원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같음을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 원O와

△ABC의 접점을 차례로P, Q, R라고 하면

(△ADI의 둘레의 길이)

=AD”+DI”+IA”

=AP”+AR”

(△BFE의 둘레의 길이)=BF”+FE”+EB”

=BP”+BQ””

(△CHG의 둘레의 길이)=CH”+HG”+GC”

=CQ”+CR”

따라서 △ADI, △BFE, △CHG의 둘레의 길이의 합은 (AP”+AR”)+(BP”+BQ”)+(CQ”+CR”)

=AB”+BC”+CA”

=10+7+8=25(cm)

09

AD”=AE”, CF”=CE”임을 이용하여BD”의 길이를 구한다.

AD”=AE”, CF”=CE”이므로 BD”+BF”=AB”+BC”+CA”

=5+8+7=20(cm) BD”=BF”=;2!;_20=10(cm)이므로 AE”=AD”=BD”-AB”=10-5=5(cm) AP”=xcm라고 하면AR”=AP”=x(cm) BQ”=BP”=5-x(cm), CQ”=CR”=7-x(cm) BC”=BQ”+CQ”이므로

(5-x)+(7-x)=8, 2x=4 ∴x=2

∴RE”=AE”-AR”=5-2=3(cm)

10

원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같음을 이용한다.

오른쪽그림과같이네 원 과 삼각형의 접점을 차 례로G, H, I, J, K, L, M, N, O라 하고 AG”=xcm라고 하면 BH”=BG”

=30-x(cm)

CJ”=CI”=CH”=18-(30-x)=x-12(cm) DL”=DK”=DJ”=14-(x-12)=26-x(cm) EN”=EM”=EL”=10-(26-x)=x-16(cm) FO”=FN”=7-(x-16)=23-x(cm)

이때AG”=AI”=AK”=AM”=AO”=x(cm)이므로 AF”=AO”+FO”=x+(23-x)=23(cm)

30###cm

18###cm

14###cm 10###cm

7###cm A

B C

D E F

J K

L M

H

G I

O N Action

Action

P

Q R O

A

H

B C

D E

F G

I 8###cm 10###cm

7###cm Action

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