Kwon and Ryu(2015)는 롤즈의 차등의 원칙을 공리주의 모형으로 설명하고자 시도한 바 있다. 본 논문에 나오는 수식들은 Kwon and Ryu(2015)에서 인용하여 변경한 것이다.
한국 사회에 100개의 소득 집단이 존재한다고 가정하고, 그들이 서로 다른 생산 능력을 가 졌다고 가정하자. 그들은 능력에 따라 100개의 상이한 위치에 자리하는데 ( ), 가장 능력이 적은 사람은
에 위치하고, 가장 능력이 많은 사람은
에 위치 한다고 하자. 사람의 소득점유율을 엔트로피 극대화 방식을 이용하여 근사시켰을 때 좋은 결 과를 얻을 수 있다는 것을 Ryu(2013)에서 보인 바 있다. 본 논문에서는 사람들의 능력 분포 함수가 소득점유율 분포함수의 형태를 가진다고 가정한다. 엔트로피 극대 방식(Ryu 1993, 2013)을 이용하여 소득점유율 분포함수를 유도하면, 지수함수의 형태를 가진다는 것을 보일 수 있다.
exp
(1)각 개인의 생산함수는 Cobb-Douglas형태를 가진다고 본다. 능력이 많을수록, 많은 시간을 투입할수록 산출물은 많아진다.
(2)하루는 24시간인데, 휴식시간을
로, 근무시간은
표시하자.조세를 납부하고 남는 소득 비율은 국가가 정한 조세 파리미터
와 능력의 위치를 나타내 는
, 그리고 근무시간
에 의존한다고 가정한다.
(3)즉 세금의 액수는 조세 패러미터가 크면 많아지고, 능력이 많으면 많이 내야하고, 그리고 투입된 노동 시간이 많으면 많은 세금을 내야한다. 그런데 2012년도 국세청 자료를 보면, 중 산층 대부분이 근로소득 세금을 적게 내고 있고 소수의 부유층이 대부분의 세금을 부담하고 있었으며 조세 후 소득비율이 어떤 값에서 급히 감소하여야하기 때문에
의 4차식을 사 용하였다.능력이
인 집단 사람의 소비 수준은 산출물에서 조세를 내고 남은 소득이다.
⋅
(4)효용함수를 Cobb-Douglas 형태를 도입한다.
(5)제약조건
⋅ ⋅
에서, 휴식시간을 16시간이 되게 만족하여 주는 이다. 능력이 인 집단의 사람들의 효용 수준은 소비량을 대입하여
ln
ln ln
ln (6)
만일 조세 패러미터 가 주어졌다면, 효용을 극대화 시키는 휴식시간의 선택은
ln
(7)
(8)
그러나 를 구하기 위하여 우선 초기 값으로 로 놓고, 관측된 log
을 이용 하여 에 대하여 회귀분석을 하면, 식(3)을 이용하여 를 추정하게 된다.log
(9)
Hli
ln
zi Hli(10)
위 식에서 추정된 를 이용하여 (8)식에서 새로운 휴식시간 을 구할 수 있고, 이 값 을 이용하여 새로운 값을 구할 수 있게 된다. 이 과정을 반복한다. 수렴된 값과 휴식시 간 을 이용하여 집단의 산출량은 (2)식에서, 그리고 소비액은 (4)식에서 구할 수 있 다. 조세액은
yi (11)효용수준은
(12)이제 복지정책의 시행으로
명이 복지급여로
를 받으면 총 복지예산은
가 되 고 이 금액은 조세 총액과 일치하여야 한다. 복지수혜자는 일을 하지 않고, 조세도 납부하지 않는다고 가정한다.만일
에 있는 사람이 복지수혜집단에 속하고, 복지급여로
를 받는다면, 그의 효용은
(13)이 된다. 그런데 이 사람이 복지수혜집단과 근로집단의 경계선에 위치한다면, 일을 하건 복 지급여를 받건, 같은 효용을 가져야 한다.
(14)일해서 얻는 효용과 복지수혜로 얻는 효용을 일치시키면,
(15)복지급여는
(16)복지혜택을 받는 사람의 수는
⋅ (17)필요한 복지예산은
Total wel fare
(18)걷힌 총세금은
Total tax
(19)정부예산을 균형시키기 위하여 (18)식과 (19)식을 일치시키는
를 구하면 된다. 나라 전체 의 총효용은 복지 수혜자들과 세금 납부자들의 효용의 합이다.
(20)공리주의는 100명의 총효용을 극대화하는 국가이므로, 국가에서 조세 패러미터 를 선택하 여 총효용을 극대화 시킨다. 자세한 설명은 부록에 첨가하였다.