점 표적

2. 합성 개구 소나 신호처리

2.1. 빔형성

2.1.4. 파수 영역 알고리즘 (Wavenumber domain algorithm)

2.1.4.1 점 표적

그림 II-5. 합성 개구 소나 시스템 기하학적 형상.

합성 개구 소나 기하학적 형상 (그림 II-5)에 대한 파수영역 영상 구현 알고리즘은 아래와 같이 유도할 수 있다 [3].  와  축은 각각 거리 (range or slant range)와 방위 (azimuth)이며 수중 표적에 대한 영상은 공간 좌표로 표현된다. 변수  는 소나의 궤적으로 ∆_ 의 간격으로 균일하게 샘플링 해야 하며, 각 위치에서  의 신호를 송신한다. 연속적인 송신 신호 사이의 시간 차이를 펄스 반복 시간 (pulse repetition time, PRT)이라 하며, 이의 역수를 펄스 반복 주파수 (pulse repetition frequency, PRF)라 한다. 샘플 간격 ∆_는 펄스 반복 주파수와 속도의 관계로 나타낸다.

∆_ 

_

(II-18)

_ 의 표적 강도를 갖는 점 표적에 대한 단상태 (monostatic) 소나에

입사되는 반사 신호는 식 (II-19)과 같이 나타낸다.

  





_







_{  }







^





^ 



^{ }





_(II-19)

그림 II-7.(a)는 8개의 점 표적에 대한 수신 신호로 식 (II-19)에 해당된다.

송신 신호 가 LFM 신호이며, 신호의 길이가 길 때,  도메인에서 신호가 겹치기 때문에 각 점 표적에 대한 하이퍼볼릭 (hyperbolic) 모양의 신호를 보기가 어렵다.  도메인에서 표적에 대한 하이퍼볼릭 형태의 신호를 보기 위한 방법으로 시간 영역에서 정합 필터 처리를 한다. 정합 필터 식은 아래와 같으며, 시간  _{가 소나의 위치}  에 종속적인 것을 제외하면 거리 분해능을 구할 때 사용한 기법과 동일하다.

_ ^ 





_ ^{}_

^

^{  }

^

^ _





^ 



^{ }





(II-20)

여기서, * 는 컨볼루션 (Convolution)이며, 위 첨자 ^* 는 해당 신호의 공액 복소수 (complex conjugate)를 의미한다. _ 의 시간 도메인에서의 길이는 송신 신호  의 길이보다 작다. 따라서  도메인에서 각 표적에 대한 하이퍼볼릭 모양은  보다 더 명확하게 볼 수 있다. 그림 II-7.(b)는

_의 신호로 II-7.(a)와 비교해 볼 때, 시간 영역에서 신호가 겹치지 않는다.

식 (II-21)는  를  에 대해 푸리에 변환을 하였다.  는 spherical PM 신호, 즉 exp



^{ }

^

^





^ 



^



의 선형 결합으로 표현 할 수 있다.  를 ∈   에 대하여 푸리에 변환을 하였으며 합성 개구 소나 신호의 스펙트럼은 그림 II-7.(c)에 해당한다.

__ 



_{ ∞}^{∞ }exp _





_{ ∞}^{∞ exp}

^

^{ }

^

^{}

^

^{ }

^

^

^

^exp

^

^{ }

^

^

 _



^{ }



exp 

exp



^{ }



^{ }

_ __



(II-21)

식 (II-21)의 적분은 정지상 (stationary phase) 방법을 이용하여 계산한다.

진폭 



^{ }



exp 

은 소나 위치  에 의해 아는 정보이며 또한 천천히 변하기 때문에 영상 구현 알고리즘 과정에서 큰 영향이 없기 때문에 무시하기로 한다. 따라서 신호  에 대한 공간 푸리에 변환은 각 점 표적에 대한 spherical PM 신호의 공간 푸리에 변환의 합으로 표현 한다.

_ 





__







 _exp



^{ }



^{ }

_ __



(II-22)

위 식의 위상, exp



^{ }

^

^{ }

_ __



은 각 표적 위치 __에 대한 선형함수로 구성되며 이 부분은 영상 구현에 있어서 중요한 역할을 한다. 식 (II-23)은



^



의 변수로 구성된 2개의 함수 (식 (II-24))로 표현할 수 있다.

_   _exp



^{ }



^



^ _



^



^



(II-23)

_



^



^



^{ }



_



^



^{ }

(II-24)

위 2개의 함수는 공간 주파수 매핑 혹은 stolt 매핑이라 한다. 그림 II-7.(d)는 stolt 변환을 했을 때의 공간 파수 영역에서 영상 데이터의 수렴 영역이다.

점 표적에 대한 이상 표적 함수 (ideal target function)는 식 (II-25)처럼 각

표적 위치에 대한 델타 함수로 정의한다.

_





_



^{  }   _



(II-25)

위 식의 2D 푸리에 변환은 아래와 같으며, 표적 위치 __ 에 대한 선형함 수의 합으로 해석할 수 있다.

_





_exp



^{ }_ __



(II-26)

앞의 식 (II-22) 



^



을 이용해 송신 신호  와 이상 표적 함수 _{ 의} 관계를 아래와 같이 나타낼 수 있다.

_  _



^



^



^{ }



^



(II-27)

_



^



^



^{ }



^



_{ }^_^_^ (II-28)

따라서, ∈



^ _ _ _



의 주파수를 갖는 신호  를 송신하여 표적에 의해 반사되는 신호에 대한 영상은 식 (II-28)을 통해 구현할 수 있으며, 이를 역 푸리에 변환을 통해 2D 공간에서의 표적 영상을 구현할 수 있다. 그림 II-6은 파수 영역 영상 구현 알고리즘을 도식하였다.

그림 II-7.(e)는 파수 영역에 표적 정보를 갖는 데이터의 수렴이며 (식 (II-29)), 이를 역 푸리에 변환하여 최종적으로 점 표적에 대한 영상은 그림 II-7.(f)를 통해 확인 할 수 있다.





^



^



^{ }



^



^{}



^{ }



 ^





_exp



^{ }_ __



(II-29)

_

 _

  

^





_exp



^{ }_ __



^

     _(II-30)

그림 II-6. 파수 영역 알고리즘 순서도.

그림 II-7. 합성 개구 소나 신호처리 (점 표적 개수 : 8).

(a) 수신 신호,  (b) 정합 필터 후 신호, _ (c) _

그림 II-8. (a) Scattering geometry at a sphere (b) Relative backscattering lengths for a rigid sphere, _



^^