SAGE 알고리즘

3. SAGE 알고리즘

3.2. SAGE 알고리즘

그림 III-6. 수신신호와 각 다중경로 신호의 관계

SAGE 알고리즘은 반복법 (iterative method)의 한 종류로 관측할 수 없는 변수에 의존하는 확률 모델에서 알려지지 않은 정보 혹은 파라미터를 추정하는 알고리즘인 EM 알고리즘과 유사한 프로세스를 갖는다. 특정 확률

분포 특성을 갖고 있는 모델이 있을 때, 그 모델에 대한 적합도 함수 (likelihood function)를 알 수 있다. 즉, 적합도 함수는 모델에 대한 적합도 함수를 정의하여 통계 모델을 구성하는 알려지지 않은 파라미터가 주어진 데이터를 가지고 얼마나 그 모델을 잘 설명하는지를 나타낸다. EM 알고리즘은 파라미터에 대한 추정값으로 적합도함수를 계산하는 E-step (expectation-step)과 이 적합도함수를 최대화하는 파라미터를 구하는 M-step (maximization)으로 구성된다. M-step 에서 업데이트된 변수는 다음 단계의 E-step 의 추정값으로 사용되며, E-step 과 M-step 을 반복적으로 수행 하면서 확률 모델에 가장 근접한 추정값을 최종적으로 산출 할 수 있다.

그림 III-6 은 수신 신호와 다중경로에 신호의 관계를 나타내었다. SAGE 알고리즘은 EM 알고리즘과 같이 관측이 불가한 신호 (unobservable data),

 와 관측 신호 (observable data)  에 의존한다.  는  에서 배경 소음을 제외한 모든 다중 경로에 대한 표적 반사 신호로 수신기를 통해 관측할 수 없다. _ 는 숨겨진 데이터로 (hidden data)  번째 경로를 제외한 다른 경로의 신호들과 함께 수신되기 때문에  와 같이 수신기를 이용한 신호 획득이 어렵기 때문에 숨겨진 데이터라고 한다. 이 신호는  경로에 의한 표적신호와 수중 배경소음의 합으로 정의할 수 있다.

_  



^



^ _(III-5)

이 신호가 중요한 이유는  이 직접파의 경로일 때, SAGE 알고리즘의 최종 목표가 추정한 파라미터 _ 로 구성된 _ 를 생성하여 합성 개구 소나 신호처리에 이용하기 때문이다.

모든  에 해당되는 파라미터를 추정하기 위해 3.1 장의 신호모델로부터 추정 파라미터에 대한 적합도 함수를 만든다. 본 연구에서는 수중 배경 소음이 화이트 가우시안 확률 특성을 갖고 있다는 가정을 한다. 따라서 관측

신호  가 주어질 때, 적합도 함수는 수중 배경소음에 대한 조건 확률 분포로 구할 수 있다.

_{   }



^{ }



^

 exp







^{ }

^∥

^{ }

^

^{  }



_



^{ }

 ∥

_^{ }





^(III-6)

여기서,  _와 ∥ ∥_^ 는 수평 어레이의 수신기 수, 매트릭스의 프로베니어스 놈 (Frobenius norm)이다. _^ 은  의 수신기에 수신된 수중 배경소음의 분산으로 주어진 값으로 가정하였다. 추정하고자 하는 파라미터는  의 경로에 대한 신호를 구성하는 _ 



^ _



이며, MLE (maximum likelihood estimator)를 이용해 아래와 같이 구한다 (식 (III-7)). 이 식은 신호의 확률 특성을 가장 잘 나타내는 적합도 함수를 최대로 만드는 파라미터  를 추정하는 과정을 의미한다.

  arg

max   _(III-7) 식 (III-7)에서  를 추정하기 위한 MLE 과정은 다음과 같은 한계를 가지고 있다. 각각의 반복 단계에서 모든 파라미터에 대한 업데이트를 하기 때문에 모든 파라미터에 대한 경우의 수를 고려해야 한다. 또한   가 변수  에 대한 컨케이브 함수 (concave function)가 아닐 경우 여러 지역해 (local minimum solution)가 존재하여 정확한 추정 값에 도달하는데 많은 반복 단계를 필요로 한다.

SAGE 알고리즘은 위의 두 가지 제약에 강인한 알고리즘이다. SAGE 알고리즘의 키워드는 숨겨진 데이터 (hidden data)와 서브셋 (subset or subsets)이다. 숨겨진 데이터는 관측이 불가한 신호와 유사한 의미로 각 반복 단계에서 추정해야 할 파라미터의 서브셋으로 만들어진다. 즉, E-step 과

M-step 단계에서 파라미터의 서브셋들과 이로 구성된 숨겨진 데이터를 산출하기 위해 반복적으로 수행한다.

SAGE 알고리즘의 각 반복단계는 하나 혹은 여러 개의 사이클 (cycle)로 구성되어 있다. 각 사이클 안에서 E-step 와 M-step 을 수행한다. 즉, 반복 단계 안의 각 사이클에서 각 경로에 대한 파라미터 즉 서브셋이 순차적으로 업데이트된다. ×  사이클 후에는, 모든 파라미터가 업데이트 된다. 모든 경로에 대한 파라미터  를 식 (III-8)처럼 ×  개의 사이클로 나눈다.

여기서  는 단일 경로 신호를 구성하는 파라미터의 개수이다. 여기서, _ 는 임의의  사이클 단계에서 추정되는 서브셋 파라미터를 의미한다.



^   ≤  ≤ × 



(III-8)

각 사이클에서 파라미터의 서브셋 (subset(s))을 추정할 때, 그 전 사이클 단계의 서브셋을 유지하여 숨겨진 데이터를 생성한다. 예를 들어, 파라미터  가 식 (III-9)와 같은 서브셋으로 구성되어 있다.

 



^   _{ ×}^{ }  _^ _{ }^ _^



(III-9)

현재 상태가  번째 반복단계에서  의 사이클이 _^ 라면, _^ 를 기준으로 이전 단계에서 추정된 서브셋 _{  }^{  }  _{ × }^{  }  _^ _{  }^ 은 유지한다.

 단계에서 SAGE 알고리즘은 그림 III-7 의 순서도를 통해 설명할 수 있다. 여기서 이전 반복 단계에서의 추정 값은 현재 단계의 초기값으로 설정했다.

_×^{ }  _^ _(III-10)

   × 에 대한 E-step 은 식 (III-11)과 같이 계산할 수 있다.

_



^



^



^ 



(III-11)

식 (III-11)을 풀어 정리하면 아래의 식과 같다.

_



^



^



^



^





_{ }



  







^



^





_(III-12)

여기서 _ 은 전 반복 단계에서 추정한  의 경로의 파라미터이다. 현재 단계에서, M-step 을 통해 파라미터가 업데이트 된다. 파라미터의 서브셋은 식 (III-13)과 같이 업데이트 된다. E-step 과 M-step 은 수렴 조건이 만족할 때까지 반복적으로 수행한다.

_^ 



^



_ arg

max



^



^{  }



^



_^ 



^



_ arg

max



^



^{  }



^



(III-13)

위 식에서, 함수 



^{ }



는 식 (III-14)와 같다.





^{  }



^



^{     (III-14)}

위 식의  는 송신 신호를 의미하며, 는 스티어링 벡터이다.  _는 에르미트 (Hermitian)이다. 그림 III-8 은 



^{ }



을 구하는 순서도이다.

SAGE 의 M-step 의 식 (III-13)을 EM 알고리즘에서의 M-step (식 III-15))과 비교해 볼 때, EM 알고리즘의 2D×L 의 계산 절차를 2 개의 1D 의 계산 절차로 감소함을 알 수 있다. 즉 EM 알고리즘은 숨겨진 데이터 _{ 을} 생성할 수 없기 때문 관측이 불가한 신호  에 대한 모든 파라미터를 한

번에 업데이트를 해야 한다. 반면 SAGE 알고리즘은 _{ 를 기반으로} 파라미터를 서브셋으로 나누어 순차적으로 업데이트를 하여 결과적으로 1D 의 계산 절차를 갖는다.

^



^ 



_ arg

 max



^



^{  }



(III-15)

그림 III-7. SAGE 알고리즘 순서도

그림 II-8. 



^{ }



^.

3.2.1 수렴 조건

실제 파라미터와 가장 가까운 값에 도달하기 위해 적합도 함수가 최대로 수렴해야 한다. 따라서 가장 근사한 파라미터를 추정하기 위해 다음과 같은 수렴 조건을 만족해야 한다.

ln











^{ }



 ln











^



≥  _(III-16)

위 식에서 



 



^_는  의 반복단계에서 구한 적합도 함수이다. 업데이트

파라미터 ^{  } 은 와    반복 단계에서 적합도 함수의 로그 값의 차이가

가장 클 때의 파라미터이다. 따라서 SAGE 알고리즘은 단조성 (monotonicity)를 유지하기 때문에, 이 전 반복 단계보다 적함도 함수의 로그가 감소하지 않는다 [41].

3.2.2 초기값 설정

반복법은 초기값 설정에 따라 수렴하는 속도가 변하기 때문에 알고리즘 성능을 결정하는 중요한 척도 중 하나이며 따라서 초기값 설정이 중요하다.

초기값 설정에 대해 여러 방법이 제안되었다 [37]. 첫째는, 모든 파라미터의 초기값을 0 으로 설정하는 것이다. 다른 방법으로는, 적응 빔포밍을 이용하여 먼저 시간 지연을 추정한 후, SAGE 알고리즘에서 남은 파라미터에 대한 초기값을 구하는 방법이다. 이 방법은 적응 빔포밍을 통해 추정한 시간지연이 업데이트가 가능한 파라미터의 범위를 감소시켜 수렴 속도를 증가시키는 장점이 있다. 그러나 이 방법은 우리 신호 모델에서 적응 빔포밍 알고리즘을 사용하기 위한 수직 방향으로 배열된 어레이가 필요하기 때문에 적용할 수 없다. 본 연구에서는 정확한 파라미터 추정과 수렴 속도를 증가시키기 위해 아래와 같이 초기값을 설정 하였다.



^



^{ arg}_^max

 ^





^   



^(III-17)

위 식 (III-17)은 수신 신호와 송신신호를 상호상관을 의미한다. 여기서  _는

 시간동안 신호를 수신하였다. 이러한 방법 역시 업데이트가 가능한 파라미터의 수를 줄여 반복 횟수를 감소시킨다.