개념익힘탑
3 1 중학수학
Ⅰ . 실수와 그 연산
1
제곱근과 실수
0602
근호를 포함한 식의 계산
063Ⅱ . 식의 계산
1
다항식의 곱셈
0682
다항식의 인수분해
073Ⅲ . 이차방정식
1
이차방정식과 그 풀이
0802
이차방정식의 활용
084Ⅳ . 이차함수
1
이차함수와 그 그래프
090중간 모의고사
098기말 모의고사
099워크북해설(059~104)OK.indd 59 19. 7. 4. 오후 3:32
Ⅰ 실수와 그 연산
01
④02
②03
②04
1405
③06
'40`m07
②08
③09
③10
④11
④12
{-®;9!;`}2`13
⑤14
④15
1216
④17
a18
-4ab19
②20
③21
④22
②23
④24
③25
②26
③27
②28
①29
12030
-4, -'15, '7, 3, '1031
③32
④33
①34
335
636
④37
⑤38
②, ③39
2+'5, 2-'540
P(1+'5 ), Q(1-'5 )41
P(-1-'13), Q(1+'10)42
⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ _43
①, ⑤44
ㄴ, ㄹ개념익힘문제
개념익힘탑 2~8쪽1 제곱근과 실수
02
① 25의 제곱근은 5, -5이다.③ 음수의 제곱근은 없다.
④ 0의 제곱근은 0 하나뿐이다.
⑤ (-7)Û`=49의 제곱근은 7, -7이다.
따라서 옳은 것은 ②이다.
03
36의 제곱근은 6, -6이므로 a=6{-;3!;}2`=;9!;의 제곱근은` ;3!;, -;3!;이므로 b=-;3!;
∴ ab=6_{-;3!;}=-2
04
제곱근 121은 '¶121 =11, '81 =9의 양의 제곱근은 '9 =3 따라서 a=11, b=3이므로 a+b=11+3=1405
①, ②, ④, ⑤ Ñ'7 ③` '706
정사각형 모양의 꽃밭의 한 변의 길이를 x`m라 하면 xÛ`=8_5=40∴ x='40 (∵ x>0)
따라서 정사각형 모양의 꽃밭의 한 변의 길이는 '40`m이다.
07
① 0.5 ③ 15 ④ -;6!; ⑤ ;8#;② '¶2.5 =®É;1@0%; =®;2%;
08
① '36 =6 ② -'¶196 =-14④ 'Ķ0.16 =0.4 ⑤ ®É;10(0; =;1£0;
따라서 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 없는 것은 ③이다.
09
15의 제곱근: Ñ'15;1Á6;의 제곱근: Ñ®É;1Á6; =Ñ;4!;
0.1의 제곱근: Ñ'¶0.1
0.H4의 제곱근: Ñ¿·0.H4 =Ñ®;9$; =Ñ;3@;
;4@9%;의 제곱근: Ñ®É;4@9%; =Ñ;7%;
따라서 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있는 것은
;1Á6;, 0.H4, ;4@9%;의 3개이다.
10
①, ②, ③, ⑤ -5 ④ 511
④ "Ã(-10)Û` =1012
®;4!; =;2!;, {;2!;}2`=;4!;, ®É{-;2!;}2` =;2!;,®É{;3!;}2` =;3!;, {-®;9!;`}2=;9!;
따라서 가장 작은 수는 {-®;9!;`}2`이다.
13
① (주어진 식)=2-3=-1② (주어진 식)=-1.3+0.3=-1
③ (주어진 식)=;3@;_;7!;=;2ª1;
④ (주어진 식)=15Ö5=3
⑤ (주어진 식)=15-4_8=-17
14
(주어진 식)=(-'7 )Û`-"Ã(-3)Û` _{®;3%;` }2`+"8Û`=7-3_;3%;+8=7-5+8=10
개념익힘탑
15
x=-"13Û`+(-'11)Û`=-13+11=-2 y=;4#;_(-8)=-6∴ xy=(-2)_(-6)=12
16
① 3a>0이므로 "Ã(3a)Û` =3a② -4a<0이므로 "Ã(-4a)Û` =-(-4a)=4a
③ 5a>0이므로 -"Ã(5a)Û` =-5a
④ -6a<0이므로 -"Ã(-6a)Û` =-{-(-6a)}=-6a
⑤ 7a>0이므로 -"Ã49aÛ` =-"Ã(7a)Û` =-7a
17
-3a>0, 4a<0, 8a<0이므로(주어진 식) ="Ã(-3a)Û` +"Ã(4a)Û` -"Ã(8a)Û`
=-3a-4a-(-8a)
=-3a-4a+8a=a
18
-a<0, 3b<0, -ab>0이므로"Ã(-a)Û` _"Ã(3b)Û` +(-"Ã-ab )Û` =a_(-3b)+(-ab)
=-3ab-ab
=-4ab
19
2-a<0, 7-a>0이므로(주어진 식)=-(2-a)+(7-a)=-2+a+7-a=5
20
a-4<0, a+1>0, a-7<0이므로(주어진 식) =-(a-4)+(a+1)-{-(a-7)}
=-a+4+a+1+a-7=a-2
21
a-b<0이므로(주어진 식) =-a-(a-b)-b
=-a-a+b-b
=-2a
22
x=2_(제곱인 수)의 꼴이어야 한다.① 2_1Û` ② 2_3 ③ 2_2Û` ④ 2_3Û` ⑤ 2_5Û`
23
160을 소인수분해하면 160=2Þ`_5이므로 160x=2Þ`_5_x소인수의 지수가 모두 짝수가 되게 하는 자연수 x=2_5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
따라서 가장 작은 자연수 x=2_5=10
24
24를 소인수분해하면 24=2Ü`_3이므로®É;;ª[¢;; =¾¨2Ü`_3
x 에서 소인수의 지수가 모두 짝수가 되게 하 는 가장 작은 자연수 x=2_3=6`
25
®É150x 이 자연수가 되려면 150x =2_3_5Û`
x 이 자연수의 제 곱인 수가 되어야 한다.
따라서 이를 만족하는 자연수 x는 2_3=6, 2_3_5Û`=150의 2개이다.
26
40보다 큰 제곱수는 49, 64, 81, y이므로 40+x=49, 64, 81, y∴ x=9, 24, 41, y
따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 9이다.
27
58보다 큰 제곱인 수는 64, 81, 100, 121, 144, 169, y이 므로58+x=64, 81, 100, 121, 144, 169, y
∴ x=6, 23, 42, 63, 86, 111, y 따라서 구하는 x의 개수는 5이다.
28
19보다 작은 제곱수는 1, 4, 9, 16이므로 19-x=1, 4, 9, 16∴ x=3, 10, 15, 18
따라서 자연수 x의 개수는 4이다.
29
35보다 작은 제곱인 수는 1, 4, 9, 16, 25이므로 35-x=1, 4, 9, 16, 25∴ x=34, 31, 26, 19, 10 따라서 자연수 x의 값의 합은 10+19+26+31+34=120
30
-4=-'16 , 3='9 이므로음수끼리 대소를 비교하면 -4<-'15 양수끼리 대소를 비교하면 '7 <3<'10 따라서 크기가 작은 것부터 차례로 나열하면 -4, -'15 , '7 , 3, '10 이다.
31
① '16 >'15 이므로 4>'15② '5 <'6 이므로 -'5 >-'6
③ '8 <'9 이므로 '8 <3 ∴ -'8 >-3
④ 0.3='Ä0.09 이므로 'Ä0.09 <'¶0.1 ∴ 0.3<'¶0.1
⑤ ;2!;=®;4!; 이므로 ®;4!; <®;3!; ∴ ;2!;<®;3!;
32
① 5='25② (-'8 )Û`=8='64
③ "Ã(-5.5)Û` ='Ä30.25
따라서 '10 <'25 <'29 <'Ä30.25 <'64 이므로 가장 작 은 수는 ④ '10 이다.
정답과 풀이 61
워크북해설(059~104)OK.indd 61 19. 6. 24. 오후 1:28
33
각 변을 제곱하면 1Û`<('¶2x )Û`<3Û`, 1<2x<9∴ ;2!;<x<;2(;
따라서 자연수 x는 1, 2, 3, 4의 4개이다.
34
각 변을 제곱하면 {;2%;}2`<('Äx+1 )Û`É3Û`, ;;ª4°;;<x+1É9∴ ;;ª4Á;;<xÉ8
따라서 자연수 x는 6, 7, 8의 3개이다.
35
2Û`<{"Ã3(x-1)}Û`<5Û`에서 4<3(x-1)<25즉, ;3&;<x<;;ª3¥;; 이므로 자연수 x는 3, 4, 5, y, 9이다.
따라서 M=9, m=3이므로 M-m=9-3=6
36
③ -'¶144 =-12 ⑤ ®Â;3@6%; =;6%;따라서 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수인 것은 ④이다.
37
㈎에 알맞은 수는 무리수이다.① '¶0.01 =0.1 ② ®Â;6$4(; =;8&; ④ 5-'9 =5-3=2 따라서 ㈎에 알맞은 수는 무리수인 ⑤이다.
38
① 유리수이면서 무리수인 수는 없다.④ 순환하지 않는 무한소수는 모두 무리수이다.
⑤ '4 =2와 같이 근호를 사용하여 나타낸 수 중에는 유리 수도 있다.
39
ACÓ="Ã1Û`+2Û` ='5 이므로 APÓ=AQÓ='5따라서 점 P에 대응하는 수는 2+'5 , 점 Q에 대응하는 수 는 2-'5 이다.
40
ABCD의 넓이는 9-4_{;2!;_2_1}=5이므로 ABÓ=ADÓ='5따라서 APÓ=ABÓ='5, AQÓ=ADÓ='5이므로 P(1+'5 ), Q(1-'5 )이다.
41
ACÓ="Ã2Û`+3Û` ='13 , DFÓ="Ã3Û`+1Û` ='10APÓ=ACÓ='13 이므로 P(-1-'13) DQÓ=DFÓ='10 이므로 Q(1+'10)
42
⑴ 1과 3 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다.⑶ 유리수와 무리수에 대응하는 점으로 수직선을 완전히 메울 수 있다.
43
②, ③ '2 와 2 사이에는 무수히 많은 유리수와 무리수가 있다.④ -'2 와 2 사이에는 -1, 0, 1, 즉 3개의 정수가 있다.
44
ㄱ. '3 <'6 <4 ㄴ. '3 <2<'6 <3 ㄷ. '3 -0.1<'3 <'601
②02
ㄱ, ㄴ, ㅁ03
②04
3개05
-2706
⑤07
1208
④09
1710
4개11
③12
②, ⑤실전연습문제
개념익힘탑 9~10쪽01
① '36 =6③ 49의 제곱근은 Ñ7이다.
④ 제곱근 64는 '64 =8이다.
⑤ -16의 제곱근은 없다.
02
ㄷ. '9 =3의 제곱근은 Ñ'3 이다.ㄹ. 제곱근 25는 '25 =5이다.
ㅁ. 제곱근 100은 '¶100 =10이고, 10의 제곱근은 Ñ'10 이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다.
03
제곱근 49는 '49 =7이므로 a=7{-;9!;}2`=;8Á1;의 음의 제곱근은
-®É;8Á1; =-;9!;이므로 b=-;9!;
'81 =9의 양의 제곱근은 '9 =3이므로 c=3
∴ abc=7_{-;9!;}_3=-;3&;
04
20의 제곱근: Ñ'20;4Á9;의 제곱근: Ñ®É;4Á9;=Ñ;7!;
0.9의 제곱근: Ñ'¶0.9
;1@6%;의 제곱근: Ñ®É;1@6%;=Ñ;4%;
0.04의 제곱근: Ñ'¶0.04=Ñ0.2
개념익힘탑
05
(주어진 식) =-"12Û` +('15)Û`-(-'3 )Û`_"Ã(-10)Û`=-12+15-3_10=-12+15-30
=-27
06
① -a>0이므로 "Ã(-a)Û` =-a② 3a<0이므로 "Ã(3a)Û` =-3a
③ -4a>0이므로 "Ã(-4a)Û` =-4a
④ 5a<0이므로 -"Ã25aÛ` =-"ÃÃ(5a)Û` =-(-5a)=5a
⑤ -10a>0이므로 -"Ã(-10a)Û` =-(-10a)=10a
07
300을 소인수분해하면 300=2Û`_3_5Û`이므로 300x=2Û`_3_5Û`_x소인수의 지수가 모두 짝수가 되게 하는 자연수 x=3_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
따라서 가장 작은 두 자리의 자연수 x=3_2Û`=12
08
30-x는 0 또는 30보다 작은 제곱수이므로 30-x=0, 1, 4, 9, 16, 25∴ x=5, 14, 21, 26, 29, 30
따라서 자연수 x 중 가장 큰 값은 30, 가장 작은 값은 5이 므로 그 합은 30+5=35
09
2<'¶2x-1<4에서 3<'¶2x<5각 변을 제곱하면 3Û`<('¶2x`)Û`<5Û`, 9<2x<25
∴ ;2(;<x<;;ª2°;;
따라서 자연수 x의 값 중 최댓값은 12, 최솟값은 5이므로 M=12, m=5
∴ M+m=12+5=17
10
®Â;;Á9¤;; =;3$;`(유리수), '¶0.36 =0.6`(유리수)따라서 무리수는 -'7 , p, '¶2.5 , 3+'5 의 4개이다.
11
PCÓ=BCÓ='2 , FQÓ=FHÓ='2 이므로P(-1-'2 ), Q(2+'2 )
따라서 a=-1-'2, b=2+'2 이므로 a+b=(-1-'2 )+(2+'2 )=1
12
② '2 와 '5 사이에는 2, 즉 1개의 정수가 있다.⑤ 무리수와 유리수에 대응하는 점으로 수직선을 완전히 메울 수 있다.
따라서 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있는 것은
;4Á9;, ;1@6%;, 0.04의 3개이다.
01
① '3 _'7 ='Ä3_7 ='21② 5'3 _4'2 =5_4_'Ä3_2 =20'6
③ ®Â;;ª2Á;; _®;7$; =®É;;ª2Á;;_;7$; ='6
④ 4®;5^; _2®Â;;ª3°;; =4_2_®É;5^;_;;ª3°;; =8'10
⑤ -3'12 _4®;6!; =-3_4_®É12_;6!; =-12'2
01
③02
6'3503
②04
⑤05
2'3006
③07
②08
③09
'¶0.96 , ®Â;1¤6; , ®Â;2¤5;10
④11
②12
③13
④14
④15
⑤16
;3!;17 18
'30`cm19
⑴ 2.514 ⑵ 6.1120
593921
11.6722
⑴ 0.4701 ⑵ 45.1723
③24
③25
②26
⑤27
1028
⑤29
⑤30
②31
④32
③33
③34
②35
②36
③37 38
④39
⑤40
-241
④42
'19 -143
144
②45
⑤46
③47
①48
③49
③50
②'6 2
'15 5
개념익힘문제
개념익힘탑 11~18쪽2 근호를 포함한 식의 계산
02
(주어진 식)=-3_(-2)_®É2_;2&;_5 =6'3503
®;5#; _®Â;;Á3¼;; =®É;5#;_;;Á3¼;; ='2 ∴ a=2®;4&; _3®Â;1¥4; =3®É;4&;_;1¥4; =3 ∴ b=3
∴ ab=2_3=6
04
① ''271=®Â;;ª7Á;; ='3정답과 풀이 63
워크북해설(059~104)OK.indd 63 19. 6. 24. 오후 1:28
② '85 Ö'5 ='85
'5=®Â;;¥5°;; ='17
③ 5'14 Ö'2 =5'14
'2 =5®Â;;Á2¢;; =5'7
④ -6'15 Ö2'3 =-6'15
2'3 =-3®Â;;Á3°;; =-3'5
⑤ ®Â;;ª2¦;; Ö®Â;1»4; =®Â;;ª2¦;; _®Â;;Á9¢;; =®É;;ª2¦;;_;;Á9¢;; ='21
05
(주어진 식)=2'3 _''56_'12 =2®É3_;6%;_12 =2'3006
'12 Ö''32Ö(-2'2 )='12 _''23_{- 12'2}=-1∴ a=-1
07
① 7'2 ="Ã7Û`_2 ='98② '¶180 ="Ã6Û`_5 =6'5
③ ®Â;8!1!; ='11
"Å9Û`='11 9
④ -3®;6%; =-®É3Û`_;6%; =-®Â;;Á2°;;
⑤ '¶0.12 =®É;1Á0ª0; =®Â;2£5; ='3 5
08
'12 _'15 _'35 =2'3 _'Ä3_5 _'Ä5_7=2_"Ã3Û`_5Û`_7
=2_3_5_'7 =30'7
∴ a=30
09
®Â;2¤5; ='56, ®Â;1¤6; ='46, '¶0.96 =2'56분모를 20으로 통분하면 '6
5 =4'6 20 , '6
4 =5'6 20 , 2'6
5 =8'6 20 이므로
큰 수부터 차례대로 나열하면 '¶0.96 , ®Â;1¤6; , ®Â;2¤5;이다.
10
'90 ="Ã2_3Û`_5 =3'Ä2_5 =3'2 '5=3ab11
'¶0.24 =®É;1ª0¢0; =®Â;2¤5; ='5 =6 '2 5 ='3 ;;5õ;;12
'21 ='Ä3_7 ='7a'30 ='Ä2_3_5 ='2 _'3 _'5 ='2ab
∴ '21 +'30 ='7a+'2ab
13
① '52='5_2_''22=5'22② '2
'3='2_'3 '3_'3='6
3
③ 2
5'2= 2_'2 5'2_'2='2
5
④ 3'3
'5=3'3_'5 '5_'5=3'15
5
⑤ 14
'3 '7= 14_'21
'21_'21=14'21 21 =2'21
3
14
'450= 45'2=54_'2_'2'2=410 ='2 2'52∴ k=;5@;
15
①, ②, ③, ④ 4'3⑤ 12'3
'6 =12'18
6 =2'18 =6'2
16
(주어진 식)= 6'15_ 1'24_'63 =2_0 ®É15_2460=2®;6!; = 2_'6 '6_'6=2'6
6 ='6 3
∴ a=;3!;
17
(주어진 식)=5''125_4''131_'40 _33 '5 ='2618
직육면체의 높이를 h`cm라 하면3'2 _2'5 _h=60'3 에서 h= 60'3
3'2_2'5=10'3
'2 '5=10'3
'10 =10'3_'10 '10_'10
=10'30 10 ='30`
따라서 직육면체의 높이는 '30`cm이다.
20
'¶31.4=5.604, '¶33.5=5.788이므로 a=5.604, b=33.5∴ 1000a+10b=5604+335=5939
21
'¶5.74 는 2.396이므로 a=5.74 '¶5.93 은 2.435이므로 b=5.93∴ a+b=5.74+5.93=11.67
22
⑴ '¶0.221 =®É22.110Û` ='¶22.110제곱근표에서 '¶22.1 의 어림한 값은 4.701이므로 '¶0.221 = 4.70110 =0.4701
⑵ '¶2040 ="Ã20.4_10Û` =10'¶20.4
제곱근표에서 '¶20.4 의 어림한 값은 4.517이므로 '¶2040 =10_4.517=45.17
개념익힘탑
23
① '¶0.5 =®É;1°0¼0; ='10 =50 7.07110 =0.7071② '¶0.05 =®É;10%0; ='5
10 =2.236
10 =0.2236
③ '¶0.005 =®É;10°0¼00; ='50
100 =7.071
100 =0.07071
④ '¶500 ='Ä5_100 =10'5 =10_2.236=22.36
⑤ '¶5000 ='Ä50_100 =10'50 =10_7.071=70.71
24
① '¶700 ='Ä7_100 =10'7 =10_2.646=26.46② '¶70000 ='Ä7_10000 =100'7 =100_2.646=264.6
③ '¶0.7 =®É;1¦0¼0; ='70 10
④ '¶0.07 =®É;10&0; ='7
10 =2.646
10 =0.2646
⑤ '¶0.0007 =®É;100&00; ='7
100 =2.646
100 =0.02646
25
'2 -5'7 -2'2 +3'7 =(1-2)'2 +(-5+3)'7=-'2 -2'7
따라서 a=-1, b=-2이므로 a+b=-1+(-2)=-3
26
A=2'5 +4'5 -3'5 =3'5B=4'3 -3'3 +5'3 =6'3
∴ AB=3'5 _6'3 =18'15
27
9'5 +2'3 -5'5 +a'3 =(9-5)'5 +(2+a)'3=4'5 +(2+a)'3 이므로 4=b, 2+a=-4에서 a=-6, b=4
∴ b-a=4-(-6)=10
28
'8 -'32 +'50 =2'2 -4'2 +5'2=(2-4+5)'2 =3'2 =3a
29
'¶128 +3'27 -'48 -'18 =8'2 +9'3 -4'3 -3'2=8a+9b-4b-3a=5a+5b
30
'147=14_'7_''77=147 =2'7 '7이므로(주어진 식) =5'3 +3'7 -4'3 -2'7
=(5-4)'3 +(3-2)'7
='3 +'7 =a+b
31
'27 + 12'3-'3 (2-4'3 ) =3'3 +123 -2'3 '3 +12=3'3 +4'3 -2'3 +12
=5'3 +12 따라서 a=5, b=12이므로 a+b=5+12=17
32
'2a+'5b ='2 ('2 +'5 )+'5 ('2 -'5 )=2+'10 +'10 -5
=2'10 -3
33
(주어진 식)='45-3 '6+2'5 -'¶150=3'5-'6
3 +2'5 -5'6
='5 -'6
3 +2'5 -5'6
=3'5 -16'6 3
따라서 a=3, b=-;;Á3¤;; 이므로 ab=3_{-;;Á3¤;;}=-16
34
(주어진 식)=2'6 -22 -3'6 +33=('6-1)-('6+1)
=-2
35
'6 (5+'18)-24-'6'72=5'6 +'¶108 -24'6-6'¶432=5'6 +6'3 -(4'6 -2'3 )
=5'6 +6'3 -4'6 +2'3
='6 +8'3 따라서 a=1, b=3이므로 a+b=1+3=4
36
(주어진 식)=2'21 -3'3 -2+'3'7+3'3=2'21 -3'3 -2'3+'21 3 +3'3
=2'21 -2'3 3 -'21
3
=5'21 3 -2'3
3
따라서 a=;3%;, b=-;3@;이므로 a+b=;3%;+{-;3@;}=1
37
x='5 +'2 '3='10 +2 '6,y='5 -'3
'2 ='10 -'6 2 이므로 x+y='10 +'6
2 +'10 -'6
2 =2'10 2 ='10 x-y='10 +'6
2 -'10 -'6 2 =2'6
2 ='6
∴ x-y x+y = '6
'10='60
10 =2'15 10 ='15
5
정답과 풀이 65
워크북해설(059~104)OK.indd 65 19. 6. 24. 오후 1:28
38
'3 ('15 +3'3)-2a-a'5 ='45 +9-2a-a'5=3'5 +9-2a-a'5
=(9-2a)+(3-a)'5 이 식이 유리수가 되려면 3-a=0이어야 하므로 a=3
39
4'8 +3a-'6 (a'3 -2'6 ) =8'2 +3a-a'18 +12=8'2 +3a-3a'2 +12
=(3a+12)+(8-3a)'2 이 식이 유리수가 되려면 8-3a=0이어야 하므로 3a=8 ∴ a=;3*;
40
(주어진 식) =2'2 -12-4a+a'2=(-4a-12)+(a+2)'2 위 식의 값이 유리수가 되려면
a+2=0 ∴ a=-2
41
2<'5 <3이므로 '5의 정수 부분은 2이고 소수 부분은 '5 -2따라서 a=2, b='5-2이므로 a+2b=2+2('5 -2)=2'5 -2
42
3<'10 <4에서 '10 의 정수 부분은 34<'19 <5에서 '19 의 정수 부분은 4이므로 소수 부분은 '19 -4
따라서 a=3, b='19 -4이므로 a+b=3+('19 -4)='19 -1
43
2<'6 <3에서 4<2+'6 <5이므로 2+'6 의 정수 부분은 4이고 소수 부분은 2+'6 -4='6 -2-3<-'6 <-2에서 2<5-'6 <3이므로 5-'6 의 정 수 부분은 2이고 소수 부분은 (5-'6 )-2=3-'6 따라서 a='6 -2, b=3-'6 이므로
a+b=('6 -2)+(3-'6 )=1
44
1<'2 <2에서 '2 의 정수 부분은 1이고 소수 부분은 '2 -1이므로 a='2 -1 ∴ '2 =a+17<'50 <8에서 -8<- '50 <-7, 1<9-'50 <2이므로 9-'50 의 정수 부분은 1이고 소수 부분은
(9-'50)-1 =8-'50 =8-5'2 =8-5(a+1)
=8-5a-5=3-5a
45
① 3-('5 +1)=2-'5 <0 ∴ 3<'5 +1② 7-'15 -3=4-'15 >0 ∴ 7-'15 >3
③ 2+'12 -(2+'11)='12 -'11 >0
∴ 2+'12 >2+'11
④ '2 -3-('2 -'7 )=-3+'7 <0
∴ '2 -3<'2 -'7
⑤ '13 -1-('13 -'2 )=-1+'2 >0
∴ '13 -1>'13 -'2
46
a-b=('5 +'3 )-('5 +1)='3 -1>0 ∴ a>b a-c=('5 +'3 )-(3+'3 )='5 -3<0 ∴ a<c∴ b<a<c
47
-'2 , -3+'3 은 음수이므로 '2 +'3 , 2+'2 , 2+'3중 가장 작은 수를 구하면 된다.
('2 +'3 )-(2+'2 )='3 -2<0
∴ '2 +'3 <2+'2
('2 +'3 )-(2+'3 )='2 -2<0
∴ '2 +'3 <2+'3
따라서 구하는 수는 ① '2 +'3 이다.
48
① '5 -1=2.236-1=1.236② '5 -0.3=2.236-0.3=1.936
③ 2+'5
2 =2+2.236
2 =2.118
④ '5 +0.1=2.236+0.1=2.336
⑤ '5 +2=2.236+2=4.236
따라서 두 수 2와 '5 사이에 있는 수는 ③이다.
[다른 풀이]
③ 2+'5
2 는 두 수의 평균이므로 2와 '5 사이에 있다.
49
'a 의 값이 6과 7 사이에 있으므로 6<'a <7 위 부등식의 각 변을 제곱하면 36<a<49따라서 주어진 조건을 만족하는 자연수 a는 37, 38, 39, y, 48의 12개이다.
50
3<'12 <4에서 4<1+'12 <5이고, -4<-'12 <-3 에서-3<1-'12 <-2이므로 구하는 정수를 x라 하면 -2ÉxÉ4이다.
따라서 x는 -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4의 7개이다.
개념익힘탑
01
⑤02
5'3`cm03
①04
③05
506
4'207
③08
③09
④10
③11
812
2-4'613
0.154914
③실전연습문제
개념익힘탑 19~20쪽01
'12 _'18 _'50 =2'3 _3'2 _5'2=(2_3_5)_'Ä3_2_2
=30'12 =30_2'3
=60'3
∴ A=60
02
직육면체의 높이를 x`cm라 하면 3'2 _2'2 _x=60'3 , 12x=60'3∴ x=60'3 12 =5'3`
따라서 직육면체의 높이는 5'3`cm이다.
03
② "abÛ` =b'a③ "aÛ`bÛ` =ab
④ -"abÛ` =-b'a
⑤ (-'ab )Û`=ab
04
③ 4®;3@; _3®Â;;ª8Á;; =12®É;3@;_;;ª8Á;; =12®;4&; = 12'7 2 =6'7④ -'72 Ö(-'12)=®Â;1&2@; ='6
⑤ 3'45 Ö2'15 =;2#;®Â;1$5%; = 3'3 2
05
®Â;;Á3ª6°;; =5'56 이므로 A=;6%;
'¶252 =6'7 이므로 B=6
∴ AB=;6%;_6=5
06
'2 _'10 _'a _'¶10a ='Ä2_10_a_10a="Ã200aÛ` =10a'2`(∵ a>0) 따라서 10a'2 =80이므로 a= 8
'2=4'2
07
'¶135 ="Ã3Ü`_5 =3_'Ä3_5 =3_'3 _'5 =3ab08
(주어진 식)=3''23_ 83'2_''56=8®É;2#;_;2!;_;6%;=8®;8%; =8'5 2'2=4'5
'2=4'10 2 =2'10
09
(사각뿔의 부피)=;3!;_(밑면의 넓이)_'6 =2'15 이므로(밑면의 넓이)=2'15_3
'6 =6'15
'6 =6'90 6
='90 =3'10 (cmÛ`)
10
'45 -'12 - 10'5+ 3'3=3'5 -2'3 -2'5 +'3=-'3 +'5
따라서 a=-1, b=1이므로 a+b=(-1)+1=0
11
(주어진 식)=3'6 +5'21 -7'3 -'42 '7=3'6 +5'21 -7'21 -7'6 7
=3'6 +5'21 -'21 +'6 =4'6 +4'21 따라서 a=4, b=4이므로 a+b=4+4=8
12
(주어진 식)=9-6'6 -3'2+'3 '3 -'33 (6'3 -9'2 )
=9-6'6 -3'6+3
3 -(6-3'6 )
=9-6'6 -'6 -1-6+3'6
=2-4'6
13
'Ä0.024 =¾¨100 2.4 ='¶10 =2.4 1.54910 =0.154914
2<'7 <3에서 1<'7 -1<2이므로'7 -1의 정수 부분은 1이고, 소수 부분은 ('7 -1)-1='7 -2
따라서 a=1, b='7 -2이므로 a-b=1-'7 +2=3-'7
정답과 풀이 67
워크북해설(059~104)OK.indd 67 19. 6. 26. 오후 4:33
II 식의 계산
01
②02
④03
A=3, B=1304
③05
⑤06
-907
4508
③09
⑤10
28x11
2112
③13
⑤14
③15
①16
②17
①18
③, ④19
②20
④21
ㄴ과 ㅁ, ㄷ과 ㄹ22
ㄴ, ㄹ23
④24
-525
③26
-927
④28
-1929
①30
②31
①32
③33
②34
④35
2xÛ`+14x+4436
2237
③38
③39
②40
③41
⑴ ㄷ ⑵ ㄴ ⑶ ㄱ ⑷ ㄹ42
④43
③44
②45
158446
102.0147
풀이 참조48
④49
②50
④51
-252
-'3-'653
8'654
④55
②56
④57
-;;Á4¦;;58
359
1060
1861
③62
1463
Ñ4'264
3865
566
1167
③68
②69
670
③71
③72
②73
③74
②75
③76
④77
678
;4@0)4@0!;79
-4개념익힘문제
개념익힘탑 21~32쪽1 다항식의 곱셈
01
(3a-b)(-a+5b) =-3aÛ`+15ab+ab-5bÛ`=-3aÛ`+16ab-5bÛ`
02
(넓이) =(-2x+3y)(x+3y-1)=-2xÛ`-6xy+2x+3xy+9yÛ`-3y
=-2xÛ`+9yÛ`-3xy+2x-3y
03
(x+3y)(Ax+4y) =AxÛ`+4xy+3Axy+12yÛ`=AxÛ`+(4+3A)xy+12yÛ`
따라서 A=3, 4+3A=B이므로 A=3, B=13
04
(2x+1)(2x-3)=4xÛ`-6x+2x-3=4xÛ`-4x-3 따라서 A=4, B=-4이므로 A+B=005
(x-2y)(Ax+3y)=AxÛ`+(3-2A)xy-6yÛ` 이므로 A=-2, 3-2A=B따라서 A=-2, B=7이므로`
A+B=-2+7=5
06
xy항이 나오는 부분만 전개하면 -axy-2xy=(-a-2)xy이므로 -a-2=7 ∴ a=-907
전개식에서 xÛ` 항은 3x_3x=9xÛ`이므로 xÛ`의 계수는 9 전개식에서 yz항은(-2y)_(-2z)+(-z)_(-y)=4yz+yz=5yz 이므로 yz의 계수는 5
따라서 A=9, B=5이므로 AB=9_5=45
08
(2x+3y)Û` =(2x)Û`+2_2x_3y+(3y)Û `=4xÛ`+12xy+9yÛ `
=axÛ`+bxy+cyÛ`
따라서 a=4, b=12, c=9이므로 a+b+c=4+12+9=25
09
① {4+;2!;x}2`=16+4x+;4!;xÛ`② (2a+3b)Û`=4aÛ`+12ab+9bÛ`
③ (-x+y)Û`=xÛ`-2xy+yÛ`
④ (-x-y)Û`=xÛ`+2xy+yÛ`
10
(x+7)Û`-(x-7)Û` =(xÛ`+14x+49)-(xÛ`-14x+49)=28x
11
(-2x+5)(2x+5) =(5-2x)(5+2x)=5Û`-(2x)Û`
=25-4xÛ`
따라서 xÛ`의 계수는 -4, 상수항은 25이므로 구하는 합은 -4+25=21
개념익힘탑
12
Q=S이므로 가로, 세로의 길이가 각각 a+b, a-b인 직 사각형의 넓이는 한 변의 길이가 a인 정사각형의 넓이에서 한 변의 길이가 b인 정사각형의 넓이를 뺀 부분과 같다.13
{-x+;2!;y}{-x-;2!;y}=(-x)Û`-{;2!;y}2`=xÛ`-;4!;yÛ`
=3Û`-;4!;_4Û`
=9-4=5
14
(xÛ`+1)(xÛ`-1)(xÝ`+1)=(xÝ`-1)(xÝ`+1)=x¡`-115
(3x-A)Û`=9xÛ`-6Ax+AÛ` 이므로 AÛ`=16에서 A=4`(∵`A>0) 6A=B에서 B=6_4=24∴ B-A=24-4=20
16
(2x+a)Û`=4xÛ`+4ax+aÛ`이므로 aÛ`=49, 4a=-(b-5)a>0이므로 a=7, b=-23
∴ a+b=7+(-23)=-16
17
(x+A)Û`=xÛ`+2Ax+AÛ`이므로 2A=10, AÛ`=B ∴ A=5, B=25∴ A-B=5-25=-20
18
(3x-a)Û`=9xÛ`-6ax+aÛ`이므로 -6a=b, aÛ`=4 ∴ a=-2 또는 2따라서 a=-2일 때 b=12, a=2일 때 b=-12
19
② (-x-y)Û`={-(x+y)}Û`=(x+y)Û`⑤ (x-y)Û`=(-x+y)Û`
20
① (a-b)Û`=aÛ`-2ab+bÛ`② (b-a)Û`=aÛ`-2ab+bÛ`
③ {-(a-b)}Û`=(a-b)Û`=aÛ`-2ab+bÛ`
④ -(-b+a)Û`=-(aÛ`-2ab+bÛ`)=-aÛ`+2ab-bÛ`
⑤ (a+b)Û`-4ab=aÛ`+2ab+bÛ`-4ab=aÛ`-2ab+bÛ`
따라서 나머지 넷과 다른 것은 ④이다.
21
ㄱ. aÛ`-bÛ` ㄴ. -aÛ`-2ab-bÛ`ㄷ. -aÛ`+bÛ` ㄹ. -aÛ`+bÛ`
ㅁ. -aÛ`-2ab-bÛ` ㅂ. -aÛ`+2ab-bÛ`
따라서 전개식이 같은 것은 ㄴ과 ㅁ, ㄷ과 ㄹ이다.
22
ㄱ. (-x+3)(x+4)=-xÛ`-x+12 ㄷ. (x+7)(x+2)=xÛ`+9x+14ㅁ. (2x-3y)(3x-5y)=6xÛ`-19xy+15yÛ`
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
23
{x-;2!;y}{x-;4!;y}=xÛ`-;4#;xy+;8!;yÛ` 이므로a=-;4#;, b=;8!;
∴ a+b=-;4#;+;8!;=-;8%;
24
(3x-y)Û`에서 `yÛ`의 계수는 1(x-3y)(x+2y)에서 yÛ`항은 (-3y)_2y=-6yÛ`이므로
` yÛ``의 계수는 -6
따라서 주어진 식에서 `yÛ`의 계수는 1+(-6)=-5
25
(x+3)(x-a)=xÛ`+(3-a)x-3a에서 3-a=8, -3a=b이므로 a=-5, b=15∴ a+b=-5+15=10
26
(x-1)(x+A)=xÛ`+(A-1)x-A A-1=8이므로 A=9따라서 상수항은 -A=-9
27
AB=20이므로(A, B)= (1, 20), (2, 10), (4, 5), (5, 4), (10, 2), (20, 1), (-1, -20), (-2, -10), (-4, -5), (-5, -4), (-10, -2), (-20, -1)
이때 C=A+B이므로 C의 값은 -21, -12, -9, 9, 12, 21이다.
따라서 C의 값이 될 수 없는 것은 ④ 8이다.
28
(5x+4)(2x-3)=10xÛ`-7x-12따라서 x의 계수는 -7, 상수항은 -12이므로 구하는 합은 -7-12=-19
29
(2x+a)(bx-6)=2bxÛ`+(ab-12)x-6a이므로 2b=6, ab-12=c, -6a=18∴ a=-3, b=3, c=-21
30
(주어진 식) =3(3xÛ`+5x-2)-(6xÛ`-x-2)=9xÛ`+15x-6-6xÛ`+x+2
=3xÛ`+16x-4
정답과 풀이 69
워크북해설(059~104)OK.indd 69 19. 6. 24. 오후 1:28
31
( x-1)(x+2)=AxÛ`+9x-2이므로 2_-1=9 ∴ =5, A=5 (3x-1)(x+)=3xÛ`+2x-B이므로 3_-1=2` ∴ =1, `B=1∴ A+B=5+1=6
32
(x+2a)(x-3a)=xÛ`-ax-6aÛ`33
(5x-2a)(4x-a)=20xÛ`-13ax+2aÛ`34
(색칠한 부분의 넓이) =(3a-b)(5a-2b)+b_2b=15aÛ`-11ab+2bÛ`+2bÛ`
=15aÛ`-11ab+4bÛ`
35
(넓이) =(x+2)(x-2)+(x+8)(x+6)=xÛ`-4+xÛ`+14x+48
=2xÛ`+14x+44
36
새로운 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각 (a+5)`cm, (a-4)`cm이므로새로운 직사각형의 넓이는 (a+5)(a-4)=aÛ`+a-20(cmÛ`) 따라서 aÛ`+2=aÛ`+a-20이므로 a=22
37
(겉넓이)=2(2x+1)(2x-1)+2(2x+1)(2x-1)+2(2x-1)Û`
=2(4xÛ`-1)+2(4xÛ`-1)+2(4xÛ`-4x+1)
=8xÛ`-2+8xÛ`-2+8xÛ`-8x+2
=24xÛ`-8x-2
38
③ (-1+x)(1+x)=xÛ`-139
① (2x-6)Û`=4xÛ`-24x+36② (-4x-3)Û`=16xÛ`+24x+9
③ (5x-1)(5x+3)=25xÛ`+10x-3
④ (6x-1)(7x+4)=42xÛ`+17x-4
⑤ (3x+4)(2x+4)=6xÛ`+20x+16 따라서 x의 계수가 가장 큰 것은 ②이다.
40
①, ②, ④, ⑤ 6③ 9
41
⑴ 19_21=(20-1)(20+1)이므로 ㄷ 이용⑵ 29Û`=(30-1)Û` 이므로 ㄴ 이용
⑶ 203Û`=(200+3)Û` 이므로 ㄱ 이용
⑷ 21_24=(20+1)(20+4)이므로 ㄹ 이용
43
79_81=(80-1)(80+1)=80Û`-1Û`이므로(a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ`을 이용하는 것이 가장 편리하다.
42
① 998Û`=(1000-2)Û`이므로 (a-b)Û`=aÛ`-2ab+bÛ` 이용③ 997_1003=(1000-3)(1000+3)이므로 (a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ` 이용
④ 105_102=(100+5)(100+2)이므로 (x+a)(x+b)=xÛ`+(a+b)x+ab 이용
⑤ 4.02_3.98=(4+0.02)(4-0.02)이므로 (a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ` 이용
44
2019_2021+12020 = (2020-1)(2020+1)+12020
= 2020Û`2020 =2020
45
44_36 =(40+4)(40-4)=40Û`-4Û`
=1600-16=1584
46
10.1Û` =(10+0.1)Û`=10Û`+2_10_0.1+0.1Û`
=102.01
47
두 홀수를 2n-1, 2n+1(단, n은 자연수)이라 하면 (2n+1)Û`-(2n-1)Û` =4nÛ`+4n+1-(4nÛ`-4n+1)=8n
따라서 연속한 두 홀수의 제곱의 차는 8의 배수이다.
48
(3-'5)Û`-('6+2)('6-2) =(9-6'5+5)-(6-4)=14-6'5-2=12-6'5
49
(a-2'7 )(5+'7 ) =5a+a'7-10'7-14=(5a-14)+(a-10)'7 따라서 5a-14=1, a-10=b이므로
a=3, b=3-10=-7
∴ a+b=3+(-7)=-4 따라서 A=3, B=16, C=-4이므로
AC+B=3_(-4)+16=4
개념익힘탑
50
(1+3'3 )(4a-'3 ) =4a-9+(-1+12a)'3 이므로 유리수가 되려면 -1+12a=0이어야 한다.∴ a=;1Á2;
51
{;2!;a+b}{;2!;a-b}=;4!;aÛ`-bÛ`=;4!;_4-3=-252
(x+2y)Û`-(x+y)(x+4y)=xÛ`+4xy+4yÛ`-(xÛ`+5xy+4yÛ`)
=-xy
=-(1+'2 )_'3
=-'3-'6
53
(x+y)Û`-(x-y)Û`=xÛ`+2xy+yÛ`-(xÛ`-2xy+yÛ`)=4xy
=4_2'2_'3=8'6
54
x+;[!;=('2-1)+'2-11=('2-1)+ '2+1 ('2-1)('2+1)
=('2-1)+('2+1)
=2'2
55
''3-3+''1111=('3+(''13-1)(''13-1)Û`'11)=3-2'33+11 3-11
=14-2'33
-8 =-7+'33 4
56
'5-'2'2-'5+'2'2= '2('5+'2 )
('5-'2 )('5+'2 )- '2('5-'2 ) ('5+'2 )('5-'2 )
='10+2
3 -'10-2
3 ='10+2-('10-2) 3 =;3$;
57
;[};+;]{;= xÛ`+yÛ`xy =(x+y)Û`-2xy xy=3Û`-2_(-4)
-4 =-;;Á4¦;;
58
xÛ`+yÛ`=(x-y)Û`+2xy이므로 3=1+2xy ∴ xy=1∴ ;[};+;]{;= xÛ`+yÛ`xy =;1#;=3
59
x+y='2+'3+'2-'3=2'2,xy=('2+'3 )('2-'3 )=2-3=-1이므로 xÛ`+yÛ` =(x+y)Û`-2xy
=(2'2 )Û`-2_(-1)
=10
60
xÛ`+ 1xÛ`={x-;[!;}2`+2=4Û`+2=1861
{x+;[!;}2`={x-;[!;}2`+4=5Û`+4=2962
xÛ`+ 1xÛ`={x+;[!;}2`-2=4Û`-2=1463
{x-;[!;}2`={x+;[!;}2`-4=6Û`-4=32∴ x-;[!;=Ñ'32=Ñ4'2
64
x+0이므로 xÛ`+6x-1=0의 양변을 `x로 나누면 x+6-;[!;=0 ∴ x-;[!;=-6∴ xÛ`+ 1
xÛ`={x-;[!;}2`+2=(-6)Û`+2=38
65
x+0이므로 xÛ`+x-1=0의 양변을 x로 나누면 x+1-;[!;=0 ∴ x-;[!;=-1∴ {x+;[!;}2`={x-;[!;}2`+4=(-1)Û`+4=5
66
x+0이므로 xÛ`-4x+1=0의 양변을 x로 나누면 x-4+;[!;=0 ∴ x+;[!;=4∴ xÛ`-3+ 1
xÛ`=xÛ`+ 1
xÛ`-3={x+;[!;}2`-2-3
=4Û`-5=11
67
x=2+1'3=(2+'2-3 )(2-'3 '3 )=2-'3,y= 1
2-'3= 2+'3
(2-'3 )(2+'3 )=2+'3 이므로 x+y=(2-'3 )+(2+'3 )=4,
xy=(2-'3 )(2+'3 )=1
∴ xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=4Û`-2_1=14
68
a=1+1'2=(1+'1-2 )(1-'2 '2 )=1-'2
-1 =-1+'2,
정답과 풀이 71
워크북해설(059~104)OK.indd 71 19. 6. 24. 오후 1:28
69
x=('2+1)(('2-1)Û`'2-1)=3-2'2∴ x+;[!; =3-2'2+ 3+2'2
(3-2'2 )(3+2'2 )
=3-2'2+3+2'2=6
70
x=3+'3에서 x-3='3이므로 양변을 제곱하면 xÛ`-6x+9=3∴ xÛ`-6x+10=4
따라서 x의 계수는 16, xy의 계수는 -12이므로 그 합은 16+(-12)=4이다.
b= 1
1-'2= 1+'2 (1-'2 )(1+'2 )
=1+'2
-1 =-1-'2 이므로
a+b=(-1+'2 )+(-1-'2 )=-2, ab=(-1+'2 )(-1-'2 )=1-2=-1
∴ ;aB;+;bA;= aÛ`+bÛ`ab =(a+b)Û`-2ab ab
=(-2)Û`-2_(-1)
-1 = 6-1 =-6
71
x-1='3에서 (x-1)Û`=3 xÛ`-2x+1=3∴ xÛ`-2x-2=0
72
x=3+21'2=(3+2'3-22 )(3-2'2 '2 )=3-2'2 이므로x-3=-2'2, (x-3)Û`=(-2'2 )Û`
xÛ`-6x+9=8에서 xÛ`-6x=-1
∴ xÛ`-6x-2=-1-2=-3
73
x=''3+3-''22=('3-(''3+2 )(''2 )Û`3+'2 )=3+2'6+2=5+2'6 이므로
x=5+2'6 에서 x-5=2'6, (x-5)Û`=(2'6)Û`
xÛ`-10x+25=24에서 xÛ`-10x=-1
∴ xÛ`-10x+3=-1+3=2
74
a-b=A로 놓으면(a-b)(a-b+1) =A(A+1)=AÛ`+A
=(a-b)Û`+(a-b)
=aÛ`-2ab+bÛ`+a-b 따라서 ab의 계수는 -2이다.
75
2x-3y=A로 놓으면(2x-3y+4)Û` =(A+4)Û`=AÛ`+8A+16
=(2x-3y)Û`+8(2x-3y)+16
=4xÛ`-12xy+9yÛ`+16x-24y+16
76
y-z=A로 놓으면(x+y-z)(x-y+z)+(y-z)Û` =(x+A)(x-A)+AÛ`
=xÛ`-AÛ`+AÛ`=xÛ`
77
(x-3)(x-2)(x+2)(x+3)={(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}
=(xÛ`-9)(xÛ`-4)
=(3-9)(3-4)
=6
78
(주어진 식)={1-;2!;}{1+;2!;}{1-;3!;}{1+;3!;}{1-;4!;}{1+;4!;}y {1-;20Á19;}{1+;20Á19;}{1-;20Á20;}{1+;20Á20;}
=;2!;_ 32XX_ 23XX_ 43XX_ 34XX_ 54XX_y
_ 20182019ZZ_ 20202019ZZ_ 20192020ZZ_ 20212020
=;2!;_;2@0)2@0!;
=;4@0)4@0!;
79
(x-6)(x-3)(x-1)(x+2)+50={(x-6)(x+2)}{(x-3)(x-1)}+50
=(xÛ`-4x-12)(xÛ`-4x+3)+50 이때 xÛ`-4x-6=0에서 xÛ`-4x=6 (xÛ`-4x-12)(xÛ`-4x+3)+50
=(6-12)(6+3)+50
=-54+50
=-4
