다음 함수의 도함수를 구하시오
(미분
)y = (x2 − 3)3
y = x3 +1
y = sin(x)cos(x)
y = sin2(1− 2x)
y = cos(mx)sin(nx)
y = 1
tan(2x)
y = e−x sin x
y = (x − 3)3(x +1)4 (x2 +1) y = ln(3x2 + 9x + 4)
y = ex4−4
y = sin(x2 +1) y = sin−1(x)
다음 함수의 원시함수를 구하시오
(적분
)y = (x +1)2 y = (3x +1)2 y = eax+b
y = ex − e−x 2
y = ex + e−x 2
y = cos(3x + 7)
y = xex2
y = x(x2 + 2)5 y = tan x
y = ln x y = xex
y = ex sin x
미분의 응용
(변화율
)다음과같이 수조에 물을 채울때 시간당 높이의 변화율을 구하시오 높이의 변화율 (dh/dt)
h 40 m
5 m3/s
반지름이 r 인 구의 부피는 (4/3)πr3 이다. 구를 만들 때 생길 수 있는 반지름의 오차가 ±1% 라면 구의 부피에 생길 수 있는 오차 범위를 구하시오.
함수 f(x) = x + sin(x) 는 임의의 모든 구간에서 증가함을 보이시오.
미분의 응용
(함수의 최대값
,최소값
)w
d
직사각형 대들보의 강도가 대들보의 세로방향 길이(d)의 제곱과 가로방향 길이(w)의 곱에 비 례한다고 한다. 이때 지름이 R인 통나무로 강도 가 가장 좋은 대들보를 만들기위해서 대들보의 가로길이는 얼마로 해야하는가?
R
회사가 물건을 x 개 생산할 때 드는 비용이 (x+1)1/2 원이고 물건을 팔아서 얻는 이윤은 2ln(x+1) 이라고 할때 순이익 (=이윤 - 비용)이 최대가 되는 물건의 개수 를 구하시오.
미분의 응용
(함수의 최대값
,최소값
)지면에서 쏘아올린 물체의 높이가 x = 30 t - 5 t2 로 나타날때 물체 가 가장 높은지점에 도달할때의 시 간과 그 최대 높이를 구하시오
0 2.5 5 7.5
8 16 24 32 40 48
h
t
적분의 응용
포물선 y=x2 과 직선 y = x+6 으로 둘러싸인 면적의 크기를 구하시오.
x 축의 반지름이 a 이고
y 축의 반지름이 b 인 타원의 방정식은
다음과 같다. 이를 이용하여 타원의 면적을 구하시오.
적분의 응용
구간 0<x<3 범위에서 함수 y=x 의 그래프와 x 축 사이의 면적을 축을 중심으로 360도 회전하여 얻어지는 회전체의 부피를 구하시오.
반지름의 길이가 r 인 원이 그래프는 아래와 같다. 이를 이용하여 구의 부피가 4/3 πr3 임을 보이시오.
적분을 이용하여 밑면의 반지름이 r 이고 높이가 h 인 원뿔의 부피가 1/3 πr2h 임을 보이시오.
