1
1.
사각형 모양의 철판 세 장을 구입하여, 두 장은 원 모양으로 오려 아랫면과 윗면으로, 나머지 한 장 은 몸통으로 하여 오른쪽 그림과 같은 원기둥 모양 의 보일러를 제작하려 한다.철판은 사각형의 가로와 세로의 길이를 임의로 정 해서 구입할 수 있고, 철판의 가격은 m당 만원
이다. 보일러의 부피가 m가 되도록 만들기 위해 필요한 철판 을 구입하는데 드는 최소 비용은?1)
[2점][1995학년도 수능]
① 만원 ② 만원 ③ 만원
④ 만원 ⑤ 만원
2.
실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 에 대하여 점 A 를 곡선 의 변곡점이라 하고, 곡선 위의 점 A에서의 접선의 방정식을 라 하자.
직선 가 함수 의 그래프와 점 B 에서 접할 때, 함수 를 라 하자.
<보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?2) (단, ≠ 이다.) [4점][2007학년도 수능]
[ 보 기 ] ㄱ. ′
ㄴ. 방정식 ′ 은 개 이상의 실근을 갖는다.
ㄷ. 점 는 곡선 의 변곡점이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
3.
함수
의 그래프와 함수 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 상수 의 값은?3 )
[3점][2004학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
4.
아래 그림은 차 다항함수 의 도함수′ 의 그래프이 다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?(단,′ 이고 ″ ″ ″ 이다.) 4)
[4점][2005년 9월]
<보 기>
ㄱ. 는 서로 다른 세 점에서 극값을 갖는다.
ㄴ. ＜＜＜인 에 대하여
＜ 이다.
ㄷ. 일 때, 양의 실수 에 대하여 의 그래프와 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나 면 의 극댓값은 이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ
단원 : 미분 (일반함수 활용)
5.
아래 그림은 밑면 PQRS가 정사각형인 사각기둥에 대한 전개 도이다. 옆면의 대각선의 길이가 일 때, 사각기둥의 부피가 최 대가 되게 하는 밑면의 한 변의 길이는? 5 )[4점][2007년 10월]
①
②
③ ④
⑤
6.
두 다항함수 가 모든 실수 에 대하여 , 를 만족하고
로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 6)
[3점][2008년 7월]
<보 기>
ㄱ. ㄴ. ′ ′
ㄷ. 의 이계도함수 ′′가 에서 극댓값 을 가 질 때, 방정식 ′′ 의 실근은 적어도 3개이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
7.
실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) , ′ (나)
lim
→
′
″의 값은? 7)
[3점][2008년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
8.
모든 실수 에 대하여부등식 ≧ sin
가 성립할 때, 상수 의 최댓값은?8 )
[3점][2009년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
3
9.
실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 모든 실수 , 에 대하여
(나) ln , ′ 이때, ′ln 의 값을 구하시오. 9)
[3점][2011년 3월]
10.
그림과 같이 좌표평면에서 최고차항의 계수가 양수이고 원점 을 지나는 삼차함수 의 그래프가 있다. 곡선 의 변곡점을 A 라 하고 원점을 지나는 직선 가 점 B 에서 곡선 에 접할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, )1 0)
[4점][2011년 4월]
O
B
A
보 기
ㄱ. 곡선 의 변곡점의 좌표는 이다.
ㄴ. 함수 는
에서 극댓값을 갖는다.
ㄷ.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
11.
실수 에 대한 차 방정식 의 실수 의 값에 따른 실근의 개수를 라 하자. 실수 에 대한 방정식 이 실근을 갖게 하는 양의 실수 의 최솟값은?11)
(단, ≠ )
[4점][2011년 10월]
①
②
③
④
⑤
12.
이계도함수를 갖는 함수 의 도함수 ′의 그래프 가 그림과 같고, ′ , ′ ′이다. 옳은 것만을<보기>에서 있는 대로 고른 것은?12) (단, 축은 ′의 점 근선이다.)
[3점][2011년 10월]
<보 기>
ㄱ. 는 함수 의 극댓값이다.
ㄴ. 방정식 은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
ㄷ. 양수 에 대하여 ′′ 이면 에서 는 위로 볼록이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
13.
실수 에 대하여 점 를 지나고 기울기가 인 직선 이 곡선 과 만나는 점의 개수를 이라 하자.함수 이 구간 ∞ 에서 연속이 되게 하는 실수 의 최댓값은?13)
[4점][2012학년도 수능]
① ②
③
④
⑤
14.
14) 다항함수 의 도함수 ′의 그래프가 그림과 같 을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[점][2012년 7월]
O
′
<보 기>
ㄱ. 구간 에서 의 변곡점은 개이다.
ㄴ. 구간 에서 가 극대가 되는 의 개수는 개 이다.
ㄷ. 구간 에서 의 최댓값은 이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
15.
15) 점 을 지나고 기울기가 양수인 직선 이 곡선 와 만나는 점을 , 점 에서 축에 내린 수선의 발 을 , 직선 이 축과 만나는 점을 라 하자.
점 에 대하여 삼각형 의 넓이를 라 할 때,
′의 값은?
[3점][2013년 6월]
① ②
③
④ ⑤
16.
16) 보다 큰 실수 에 대하여 그림과 같이 점 P
에서원
에 접선을 그었을 때, 원과 접선이 제사분면에 서 만나는 점을 Q, 원 위의 점
을 R라 하자.OP × OQ를 라 할 때, ′의 값은?
[3점][2015년 4월]
P O
Q
R
① ②
③
④
⑤
5
17.
17) 함수
에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있 는 대로 고른 것은?
[4점][2016년 3월]
ㄱ. ′
ㄴ. 모든 실수 에 대하여 ≥
이다.
ㄷ. 일 때,
이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
18.
18) 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 모든 실수 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.(가) ≠ (나)
(다) ′
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016년 6월]
<보기>
ㄱ. 모든 실수 에 대하여 ≠ 이다.
ㄴ. 함수 는 어떤 열린 구간에서 감소한다.
ㄷ. 곡선 는 세 개의 변곡점을 갖는다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
19.
19) 에서 정의된 함수 와 최고차항의 계수가 인 사 차함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (단, 는 상수이다.)(가) 인 모든 실수 에 대하여 이다.
(나) 서로 다른 두 실수 , 에 대하여 함수 는
, 에서 동일한 극댓값 을 갖는다.
(단, )
(다) 함수 가 극대 또는 극소가 되는 의 개수는 함수 가 극대 또는 극소가 되는 의 개수보다 많다.
일 때, 의 최솟값을 구하시오.
[4점][2017학년도 수능]
7 1) ④
그림과 같이 원기둥의 밑면의 반지름을 높이를 로 놓으면 부피
철판의 넓이를 라 하면
× ․ ․
이것을 로 놓으면
′
에서 극소이면서 최소이다.
의 최솟값은
×
∴ 만원 2) ⑤
가 의 점 에서의 접선이므로
′
또, 가 점 에서 에 접하므로
′ ′ ′
에서 ′ ′ ′ ㄱ. ′ ′ ′
ㄴ. 이고 가 미분가능하므로 롤의 정리에 의하여,
′ 인 가 개구간 에 적어도 하나 존재한다.
∴ ′ ′ ′ 이므로
′ 은 적어도 개의 실근을 갖는다.
ㄷ. ̋ ̋이고, ̋ ̋ 이다.
또한, 점 는 의 변곡점이므로
̋는 의 좌우에서 부호가 반대이다.
따라서, ̋도 같으므로
는 의 변곡점이다.
3) ④
서로 다른 두 점에서 만나려면 인 범위에서 두 그래프가 접할 때이다.
라 하고 접점의 좌표를 라 하면
에서
⋯ ①
′
′ 이므로
′ ′ 에서
⋯ ②
②에서
①에 를 대입하면
이므로
4) ⑤
′의 그래프가 축과 만나는 점의 좌표를 각각 αβ라 놓으면
ㄱ. α에서 극소, β에서 극대이지만 에서는 극대 또는 극소는 아니다. (거짓)
ㄴ. ＜＜에서 ″＞이므로 의 그래프는 아래로 볼록하다.
따라서
＜ (참) ㄷ. 의 그래프의 개형은 그림과 같다.
와 직선 가 서로 다른 두 점에서 만나면
의 극대값은 이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
5) ⑤
PS ,
(기둥높이)
,사각기둥의 부피
이다.미분하면
′
V′ 의 해는 부피를 최대로 만든다.
∴
6) ⑤
에서
ㄱ. 는 원점 대칭이므로 (참) ㄴ. 을 미분하면
′ ′
′ ′ (참)
ㄷ. ′′ ′′ 이므로 ′′는 원점대칭, ′′가 에서 극댓값 을 가지면 에서 극솟값 을 가진다.
따라서 ′′ 는 적어도 개의 실근을 가진다. (참) 7) ①
lim
→
′
lim
→
′ ′
⋅
″′ ″⋅
∴ ″ 1 8) ③
[출제의도] 미분을 이용한 부등식의 수학내적 문제해결하기
sin
′ 이므로
의 최솟값은 일 때,
≦ sin
≦ 이므로
는 의 최댓값이다.
따라서 ≦ 이므로 의 최댓값은
9)
을 대입하면
′
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
′
∴′ln ln [다른 풀이]
(가)에서 양변에 를 더하여 인수분해하면
라 하면
…㉠
㉠에서 이라 하면
′ ′
′ln ln × 10) ⑤
ㄱ. 라 하고 ≠ 라 하자.
두 곡선 와 의 변곡점의 좌표는
이므로
곡선 의 변곡점의 좌표는 이다. (참)
ㄴ. 그림과 같이 함수 의 그래프는 원점을 지나고
에서 축에 접하므로
이다.
O
′ 이므로 함수 는
에서 극댓값을 갖는다. (참)
ㄷ. 이라 하면 ㄱ 에서 ′′ 이다.
∴
이므로
(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 11) ①
[출제의도] 삼차함수와 지수함수의 그래프의 개형을 그려 실근의 개수를 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다.
방정식 의 실근의 개수는 삼차함수 의 그래프와 와의 교점의 개수가 되므로
, 일 때, 실근의 개수
일 때, 실근의 개수
일 때, 실근의 개수는 개이므로 함수 의 그래프는 다음과 같다.
지수함수 은 을 지나므로
ⅰ) 이면 주어진 방정식은 실근을 갖지 않는다.
ⅱ) 이면 를 지날 때 주어진 방정식은 처음으로 실근을 가진다.
따라서 의 최솟값은
이다.
12) ④
9 13) ④
와 의 교점의 개수는
,
의 실근의 개수와 같다. (∵ ≠ )
로 놓고 미분하면
′
증감표를 그려보면
′ ↘
↗ ↗ ↗
lim
→
∞
lim
→
∞
lim
→ ∞
∞
lim
→ ∞
∞
, 의 그래프를 그리면
은 와 의 교점의 개수이므로
따라서, 의 최댓값은 이다.
14) ③
[출제의도] 도함수를 이용하여 그래프의 개형 추론하기
ㄱ. 함수 는 원점 O와 , , 에서 변곡점을 가진다. (참) ㄴ. 는 에서 극대가 된다. (참)
ㄷ. 구간 에서 최댓값은 이다. (거짓) 15) ⑤
이므로
⋅
′
이므로
′
16) ②
[출제의도] 몫의 미분법 이해하기
OP
, OQ
OP × OQ
′
이므로
′
17) ③
[출제의도] 함수의 도함수와 이계도함수를 이해하여 함수의 그래프와 관련된 성질을 추론한다.
함수
에서
′
⋅
″
⋅
ㄱ ′
에서 ′
(참)
ㄴ ′
에서
또는
함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
… … …
′
↘
↗
↘
따라서 함수 는 에서 극솟값
을 갖고 에서
극댓값
을 갖는다.
lim
→∞
lim
→∞
일 때, 이므로
함수 는 에서 극소이면서 최소이다. 따라서 모든 실수 에 대하여 ≥
이다. (참)
ㄷ. ″
이므로
″ 에서
또는 또는
′의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
… … … …
″ +
′↘
↗ ↘
↗ 따라서 함수 ′는
또는 에서 감소하고,
또는 에서 증가하므로 함수 ′는 열린 구간 에서 감소한다.
따라서 인 모든 실수 에 대하여
′ ′ ⋯⋯ ㉠
함수 가 닫힌 구간 에서 연속이고,
열린 구간 에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여
인 모든 실수 에 대하여
′를 만족시키는 가 열린 구간 에 적어도 하나 존재한다. ⋯⋯㉡
㉠, ㉡에서 일 때,
′ 이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
18) ①
ㄱ. (가), (나)에 의하여
이고 ≠ 이므로 ≠ 이다.
∴ ≠ ∴참
ㄴ. 는 전 구간에서 미분 가능하고 연속인 원점 대칭함수이므로 반드시 원점을 지나야 한다.
또한 ≠ , ≠ 이기 위해 은 과 사이여야 한다.
∴ (다)에서
′
∴ ′
함수 는 전 구간에서 증가한다. ∴거짓 ㄷ. ′
양변을 미분하면 ″ ′
에서만 이계도함수의 부호가 바뀌므로 변곡점은 오직 하나이다.
′
′ ′
ln ln C
이므로 ∴ C
19) 216
[출제의도] 미분법을 활용하여 극솟값의 최솟값을 구할 수 있는가?
에서
′ ′
에서
′ 이므로
′
′
′ 이므로
′
′
이때, ′는 에서 곡선 의 접선의 기울기이고,
′는 에서 곡선 의 접선의 기울기이다. 따라서 곡선
의 그래프는 다음 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.
i
11 함수 의 그래프가 위의 그림과 같을 때, 함수 가 극대 또는 극소가 되는 의 값은 개다. 이때, 함수 의 그래프는 극대 또는 극소가 되는 의 값이 개 이므로 조건 (다)를 만족시킨다.
i ii에서
함수 는 극값을 개 갖는다.
으로 놓으면
이므로
′
이때, ′
즉,
의 서로 다른 실근의 개수는 개 또는 개이어야 한다.
라면 와 는 한점 또는 두 점에서 만나야 한다.
함수 는 극값은 이므로
으로 놓고 함수 의 극값을 구해도 된다.
이때, ′ 이므로
′ 에서
함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.
따라서 의 범위는 ≤ 또는 ≤
이므로 의 최솟값은 이다.
따라서 의 최솟값도 이다.
