미분 (음함수, 매개변수 미분)

1.

반지름의 길이  m인 원판에 기대어 있는 막대 ^OP의 한 끝은 아래 그림과 같이 평평한 지면 위의 한 점 O에 고정되어 있다.

원판이 지면과 접하는 점을 Q라 하자. 원판의 중심이 오른쪽으 로 지면과 평행하게 등속도  m/초로 움직인다. ^OQ   m되는 순간, 막대 ^OP가 지면과 이루는 각의 크기 의 시간에 대한 순 간변화율은?¹⁾ (단, 단위는 라디안/초이다)

[2점][1996학년도 수능]

①　_{ }



 ②　_{ }



 ③　_{ }





④　_{ }



^

⑤　_{ }

^



2.

그림과 같이 높이가 cm이고 윗면은 반지름이 cm, 아랫면은 반지름이 cm 인 원으로 된 원뿔대 모양의 물통에 물이 가득 차 있었다. 이 물통의 바닥에 구멍이 나서 바닥에서부터 수면까지의 높이가

 cm일 때 매초 ^ cm^의 양으로 물이 새어 나가고 있다.   일 때 높이의 순 간 변화율은?2) (단위는 cmsec)

[4점][1997학년도 수능]

①　_{ }



^

× ^{ } ②　_{ }



^

× ^{ }

③　_{ }

 

^

× ^{ } ④　_{ }

 

^

× ^{ }

⑤　_{ }

 

^

× ^{ }

3.

^{3 )} 단면의 넓이가  m^로 일정한 원 통형의 물탱크에 물이  m까지 차있 다. 이 물탱크의 바닥 중앙에 있는 넓 이 _



m^인 구멍으로 물이 빠지고 있 다. 물탱크의 바닥으로부터 수면까지의 높이가 m일 때, 빠져나가는 물의 속력 m초는  ^ 로 주어진 다고 하자. 다음은 이 식을 이용해서 물의 높이가  m에서 _



m로 줄어들 때까지 걸리는 시간을 계산한 것이다.

<풀이>

와 가 시간에 따라 변하므로 와 의 관계식

 ^ 를 에 관하여 미분하여 와 의 시간에 따른 변화율 사이의 관계식을 구하면

_



 

^





 







 ⋯⋯ 

한편, 물탱크에 있는 물의 양의 순간변화율은 그 순간 빠져나가는 물의 양과 부호만 다르므로

(가) ⋯⋯ 

(2)식에서 얻은 _



를 (1) 식에 대입하여 정리하면

_



 



따라서 구하는 시간은 나 (초)이다.

위의 풀이에서 (가), (나)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?

[4점][2004년 9월]

(가) (나)

① _{ }



 

 

② _{ }



 

 

③ _



 



 

④ _{ }



 



 

⑤ _{ }



 

 

단원 : 미분 (음함수, 매개변수 미분)

4.

높이가  m인 번지점프대에 길이가  m인 원기둥 모양의 탄력줄이 연결되어 있다. 이 탄력줄은

힘을 주어 길이가 늘어나도 원기둥 모양이 유지되며 그 부피는 변하지 않는다고 한다.

어떤 사람이 탄력줄을 매고 점프대를 출발한 후  m였던 탄력줄의 길이 가  m로 되는 순간에 탄력줄의 길 이가 늘어나는 속도는  m초이고, 탄력줄의 반지름의 길이는 _



 m이 다. 이 순간에 탄력줄의 반지름의 길 이의 변화율을 _{ }



 m초라 할 때,

  의 값을 구하시오. (단,  는 서로소인 자연수이다.) 4)

[4점][2005년 10월]

5.

지점 O와 지점 E 사이의 거리는 m이 다. 오른쪽 그림과 같이 갑은 지점 O에서 출발하여 선분 OE에 수직인 반직선 OS를 따라 초속  m의 일정한 속력으로 달리고, 을은 갑이 출발한 지 초가 되는 순간 지 점 E에서 출발하여 선분 OE에 수직인 반 직선 EN을 따라 초속  m의 일정한 속력 으로 달리고 있다. 갑과 을의 지점을 연결 하여 만든 선분과 선분 OE가 만나서 이루 는 각을 (라디안)라 할 때, 갑이 출발한 지 초가 되는 순간 의 변화율은?5)

[4점][2006학년도 수능]

① _



 라디안/초 ② _



 라디안/초

③ _



 라디안/초 ④ _



 라디안/초

⑤ _



 라디안/초

6.

곡선 ^ ^  위의 점   에서의 접선의 기울기는?⁶⁾ [3점][2000학년도 수능]

①　_{ }



 ②　_{ }



 ③　 ④　_



 ⑤　_





7.

가 의 함수일 때, 곡선 ^ln   위의 점   에서의 접 선의 기울기는? 7)

[3점][2006년 9월]

①   ② _{ }



 ③ _



 ④  ⑤ 

8.

그림과 같이 좌표평면에서 원 ^ ^  위의 점 P가 점

 에서 출발하여 원점을 중심으로 매초 _



 (라디안)의 일정 한 속력으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 P 에서 축에 평행한 직선을 그을 때, 원과 직선으로 둘러싸인 어 두운 부분의 넓이를 라 하자. 점 P가 점



^

^

 





^{을 지나는}

순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은 _



이다.   의 값 을 구하시오.^{8 )} (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2007학년도 수능]

9.

곡선   ^



위의 점 P가 시간이 지남에 따라 원점으로부터 멀어지고 있다.   이 되는 순간 선분 OP의 시각에 대한 길 이의 순간변화율이 일 때, 점 P의 좌표의 시각에 대한 순 간변화율은? ⁹⁾

[점][2007년 7월]





P  ^





  ^



O

①  ②  ③  ④  ⑤ 

10.

좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 °이고 반지 름의 길이가인 부채꼴OAB가 있다. 점 P가 점 A에서 출발 하여 호AB를 따라 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때,

∠AOP  °가 되는 순간 점 P의 좌표의 시간(초)에 대한 변 화율은? ¹⁰⁾

[3점][2007년 9월]

① _{ }



 ② _{ }





^

③ _{ }





^

④   ⑤  

11.

좌표평면에서 축 위를 움직이는 점 P의 시각 (    ) 에서의 좌표는



^

^

 



^{이다. 점 P를 지나고 축에 수직인 직}

선이 곡선   sin 와 만나는 점을 Q라 할 때, 점 P를 중심으 로 하고 선분 PQ를 반지름으로 하는 원의 넓이를 라 하자.

_{  }



 인 순간, 넓이 의 에 대한 변화율은? 11)

[4점][2007년 10월]

①   ② _{ }



 ③  ④ _



 ⑤ 

12.

점 P는 원점 O를 출발하여 곡선  ^를 따라 원점에서 멀어지고 있다. 점 P의 좌표가 매초 의 속도로 일정하게 변 할 때, 직선 OP의 기울기가 이 되는 순간 점 P의 좌표의 시간(초)에 대한 순간변화율을 구하시오. 12)

[점][2008년 7월]

 ^

13.

지면에서 회전 중심축까지의 높이가 이고, 길이가 인 풍력 발전기의 날개가 축을 중심으로 일정한 속력으로 시계반대 방향으로 돌고 있다. 지면에서 날개 끝까지의 높이가 가 될 때, 시간(초)에 따른 높이의 변화율이   이고, 풍력 발전 기의 날개가 한 바퀴 도는데 걸리는 시간을 초라 하자. ^ 

 ( 는 서로소)일 때,   의 값을 구하시오. ¹³⁾(단, 축은 지 면과 평행하고 축과 날개의 두께는 고려하지 않는다.)

[4점][2009년 7월]

14.

좌표평면에서 곡선 ^ ln  ^     위의 점   에 서의 접선의 기울기는?¹⁴⁾

[3점][2011학년도 수능]

① _{ }



 ② _{ }



 ③ _{ }



 ④ _{ }



 ⑤ _{ }





15.

매개변수 로 나타내어진 함수

  tan ,   cos^



^{단,  }_^{   }_^



에 대하여 이 곡선 위의 점



^{ }





에서의 접선의 기울기는?^{1 5)} [3점][2011년 4월]

①   ② _{ }



 ③  ④ _



 ⑤ 

16.

곡선 ^   ^   과 축이 만나는 점에서의 접선의 기울기는?¹⁶⁾

[3점][2011년 10월]

①   ②   ③   ④   ⑤  

17.

곡선 ^ln   위의 점  ^에서의 접선의 기울기는? 17)

[3점][2012년 4월]

①  ^ ②   ^ ③   ^

④  ^ ⑤   ^

18.

¹⁸⁾ 좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 O와 네 점 A   B   C   D  을 꼭짓점으 로 하는 정사각형 ABCD가 있다. 원 O의 중심이 축을 따라 양의 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직인다. 초 후 원 의 내부와 정사각형 ABCD의 내부가 겹치는 부분의 넓이를  라 하자. 원 O의 중심이



^

 



을 지나는 순간, 넓이 의 시간 (초)에 대한 변화율은? (단,  ≤  ≤ )

[점][2012년 7월]



 

O

 

 





A

B C

D

① _



^

② _



 ③ _



^

④ _



^

⑤ ^

19.

¹⁹⁾ 두 곡선   ^   ^과 축 위의 점 P   (  )가 있 다. 점 P를 지나고 축과 평행한 직선이 두 곡선   ^   ^ 과 만나는 점을 각각 A B라 하자. 또, 점 B를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선   ^과 만나는 점을 C라 하고, 점 C를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선   ^과 만나는 점을 D라 하자.

점 P가 점  를 출발하여 축의 양의 방향으로 매초 의 일정한 속도로 움직인다. 점 P가 점  를 지나는 순간, 삼각 형 ADC의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율은?

[4점][2013년 3월]

① _{  }

ln

 ② _{  }

ln

 ③ _{  }

ln



④ _{  }

ln

 ⑤ _{  }

ln



20.

²⁰⁾ 그림과 같이 두 정점 P, Q 사이의 거리가  m이고, 점 Q를 지나고 선분 PQ에 수직인 직선을 이라 하자. 점 A가 점 Q에 서 출발하여 직선 을 따라 초속  m의 일정한 속력으로 움직일 때, 직선  위의 점 B는 ^AP  PB   m을 만족시키며 점 Q 쪽으로 움직이고 있다. ^AQ   m가 되는 순간, 선분 BQ의 길 이m의 시간(초)에 대한 변화율은?

[4점][2013년 4월]

P

Q

B A 

 m

① _{ }



^ ② _{ }



^ ③ _{ }



^

④ _{ }



^ ⑤ _{ }



^

21.

²¹⁾ 좌표평면에서 곡선   ^ 위의 두 점 , 의 좌표를 각각 ,      라 하자. 양수 에 대하여 두 직선 ,

와 곡선   ^ 로 둘러싸인 부분의 넓이가 가 되도록 하는 점  가 나타내는 곡선을 라 하자. 곡선 위의 점 중에서 점  과의 거리가 최소인 점의 좌표가 _



 일 때,

  

 이다.   의 값을 구하시오. (단, 는 원점이고, 와

는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2013년 6월]

22.

²²⁾ 자연수 에 대하여 함수   를 매개변수 로 나타내 면



^{  } ^   ^ 이고,  ≧ ^{ }



일 때 함수   는   _에서 최솟값 _을 갖는다. _

_

_

 _

_

 _

_

 _

_

의 값은?

[4점][2013년 9월]

① _



 ②  ③ _



 ④  ⑤ _





23.

^{23) 실수} 에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 tansin인 직선과 원 ^ ^ ^이 만나는 점 중에서 좌표 가 양수인 점을 P라 하고, 점 P가 나타내는 곡선을 라 하자.

  일 때, 곡선  위의 점 P에서의 접선과 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는  ×^이다.   의 값을 구하시오.

(단, 와 는 유리수이다.)

[4점][2014년 3월]

24.

²⁴⁾ 좌표평면에서 곡선 ^ ^  위의 점  에서의 접선 의 기울기를 이라 할 때, 의 값을 구하시오.

[3점][2014년 4월]

25.

²⁵⁾ 곡선  ^ ^   ≥  과 곡선 의 접선

  ^    이 있다. 곡선  위의 점 P에서 축에 평행 한 직선을 그어 접선과 만나는 점을 Q라 하자. 점 P가 점 A   을 출발하여 곡선 위를 매초 의 일정한 속력으로 점 B     까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 PQ의 길이의 순간변화율의 최댓값을 구하시오.

[4점][2014년 7월]

O 



P Q

  

26.

매개변수     으로 나타내어진 함수

  ^ , _{  }



^    

에서   일 때, _



 의 값을 구하시오. ²⁶⁾

[3점][2015년 6월]

27.

²⁷⁾ 그림과 같이 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원이 있다. 직선  ^ 와 원이 제사분면에서 만나는 점을 A라 하자. 점 P는 원점 O를 출발하여 축을 따라 양의 방향으 로 매초 의 일정한 속력으로 움직인다. 점 P가 원점 O를 출발 하여 초가 되는 순간, 점 P를 지나고 직선  ^ 에 평행한 직선이 제사분면에서 원과 만나는 점을 Q라 하자.

세 선분 AO, OP, PQ와 호 QA로 둘러싸인 부분의 넓이를  라 할 때, 점 Q의 좌표가 가 되는 순간, 넓이 의 시간(초) 에 대한 변화율을 구하시오. (단,     )

[4점][2015년 4월]

O 



A Q

P

 ^ 

28.

²⁸⁾ 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 좌표    가    을 매개변수로 하여

    , _{    }





으로 나타내어진다. 점 P가 그리는 곡선 위의 한 점   에 서의 접선의 기울기가  일 때,   의 값은?

[3점][2016년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

29.

²⁹⁾ 매개변수    으로 나타내어진 함수

    

   ^ ^



에서   일 때, _



 의 값은?

[4점][2016년 9월]

① _{ }



 ②   ③ _{ }



 ④ _{ }



 ⑤  

30.

³⁰⁾ 매개변수 로 나타내어진 함수



  sin  

   cos ^ 에 대하여 _{  }



 일 때, _



의 값은?

[3점][2016년 10월]

①  ^ ②  ^ ③ ^

④ ^ ⑤ _{ }



^

31.

³¹⁾ 곡선 ^   ^    위의 점  에서의 접선과  축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[4점][2016년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

32.

^{32) 매개변수} 로 나타내어진 함수

  ^     ^  에서   일 때, _



의 값은?

[3점][2016년 10월]

① _



 ② _



 ③ 1 ④ _



 ⑤ _





1) ①

  라 하면

   tan 



  cot





 

^





여기서 

   sin 

 ^

  csc^

 이므로



  



2) ④

높이가 일 때 수면의 반지름을 , 부피를 라 하자.

오른쪽 그림에서         

∴   

        

∴   

  

_{ }



· 

  ^ 

·^·





 

  ^· 



 ^_{  }



   ^· 



∴ 

   ^

 ^

∴



^





_{  }^{  }_{·}^{ }

^

×^{ } [별해]

_{ }



 

^{  }



    ×







 





^



^{  }





^{× }

  



^{  }





^



^



  일 때,  ^_{  }



× × 



∴

 

× 

 ×  ×^

 

^

× ^{ } 3) ②

 ^를 에 관하여 미분하면



 ^

 ․

 

․

 ⋯⋯(1)

한편, 물탱크에 있는 물의 양의 순간 변화율은 

이고, 빠져나가는

순간의 물의 양은 

× 이다.

이 때, 두 물의 양은 부호만 다르므로



 

 ⋯⋯(2)

(2)식에서 얻은 

를 (1)식에 대입하여 정리하면



 



이 때,   일 때   ,   

일 때,    이므로

   



_^{ }_^{ }

   



∴   

따라서, 구하는 시간은 (초)이다.

4) 503

점프대를 출발한지 초 후의 탄력줄의 길이를 ≧ , 반지름의 길이를

라 하면 탄력줄의 부피 는   ^(일정)이고 과 는 모두 의 함수이다. 이 식을 시각 에 대하여 미분하면





 



^

  





^{ ,}

^

  

 

지점을 지나는 순간   m,  

 m,



 m초이므로



^





^×    × 

 ×  

 에서



 

 m초 ∴        

5) ③

지점 로부터 갑이 출발한 지 초가 지난 후 갑과 을의 위치를 각각

∴  ․sec^ ․  tan^ ⋯⋯ ㉡

㉠에   을 대입하면 tan  

이므로 이를 ㉡에 대입하면



 

․

  



  

․

 

 (라디안/초)

B

C A θ

θ

  



40

O E

6) ①

^ ^ 의 양변을 에 관하여 미분하면

^ ^ ⋅⋅

  

이므로 

 

^ ^ 따라서 구하는 접선의 기울기는



  ⋅ ⋅

⋅  

 



7) ①

양변을 에 대하여 미분하면



 ^ln  



^ln  ^



 



  ln

따라서 점   에서의 접선의 기울기는   8) 

시각 일 때, 선분 OP와 축의 양의 방향이 이루는 각을 라 하면



^{＜＜}







 

이고, 점 P의 좌표는 cos  sin 이다.

이 때, 어두운 부분의 넓이 는

_{ }



   sin cos

점 P가



^{ }



^{을 지날 때}

P ^에 대하여

OP   



^^ ^



 

^ ^^{ }



  ^



  일 때, 

 이므로

∴ 

 

10) ④

∠AOP  라 하면AP  

A의 속력이 2이므로 

   

  ∴ 

  

 P의 좌표는 sin cos 이므로

  cos



  

cos  ․ sin ․

  sin   

11) ⑤

 sin^에서 



  sin cos × 



  

^

로 놓으면 

 

 이고   

일 때    이다.

∴ 









  

  × ^

 × ^

 ×  

12) 10



 이고  ^ 에서   





 ^

 









 



  

  

13) 

[출제의도] 미분을 이용하여 수학외적 문제해결하기

날개의 끝을 점  라 하면 ^   ^  ⋯㉠

  일 때, 

 

 sin  ∴  ^ 따라서 한 바퀴 도는데 걸리는 시간은

  

 

^

∴^ 



∴    

14) ⑤

음함수의 미분법에 의하여

^′ 

  ^

     ′,

^ ′   ^

   , 를 대입하여 정리하면 ′ 

∴′ 



15) ②



 sec^, 

  cos sin이고

  일 때,   

이므로

(접선의 기울기) 

sec^



 cos

sin 



 



16) ①

^   ^   에   을 대입하면   이다.

^   ^   의 양변을 에 대하여 미분하면

^   ′ ^′ 

따라서 점  에서의 접선의 기울기는  이다.

17) ①

ln  ^{ }이고 양변을 에 대하여 미분하면



′  ^{ }

′  ^{ }⋅ ⋯⋯㉠

㉠에      ^을 대입하면 ′  ^ 따라서 점  ^에서의 접선의 기울기는  ^ 18) ④

[출제의도] 도함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

O O′

P







 

Q

원과 정사각형 ABCD가 겹치는 부분의 넓이 _{ }

    sin

 

  

cos  sin   

  

sin 





 





 



^

 

cos



^sin



원 O의 중심이



^

 



^{을 지나는 순간은   }

이다.

  

일 때,   

이다.

∴원 O의 중심이



^

 



을 지나는 순간 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은

^

19) ④

[출제의도] 함수의 미분법을 이용하여 넓이의 순간변화율을 구한다.

네 점 A B C D의 좌표는

Alog_  B log_  C log_ ^ D log_ ^ 이다.

CD  log_, BC ^ 이므로 삼각형 ADC의 넓이를 라 하면

_{  }



^ ⋅log_

∴ ′  

 log_  

^ ln



 

 log_  ln

  

∴ ′    ln



이때 



′

이고 

 이므로 구하는 순간변화율은



^{  }ln





^{×   }ln

 [다른 풀이]

점 P가 점  를 출발한 지 초 후의 점 P의 좌표는    

이므로 삼각형 ADC의 넓이는

_{  }



^   ⋅log_  

∴ ′  

  log_  

 

^     ln



 

  log_   ln

   

점 P가 점 를 지나는 순간은   일 때이므로 구하는 순간변화율은

∴ ′  

 ×   log_   ln

   

   ln



20) ①

[출제의도] 미분법을 활용하여 문제해결하기

  일 때   이고,   이므로



^

· 

  

  에서 

   

^

따라서 구하는 변화율은  

^

21) 

구하려고 하는 부분의 넓이는

선분와 포물선으로 둘러싸인 도형

 선분와 포물선으로 둘러싸인 도형

이므로 

^ 

^이다.

(∵포물선과 이차곡선으로 둘러싸인 도형 넓이=

  ^) 이 값이 이므로  가 그리는 도형 의 방정식은

^ ^ 

^ ^ ⋯ ①

곡선 위의 점 중에서 점  과의 거리가 최소인 점의 좌표가



 이려면 그림에서와 같이   

인 그래프 위의 점에서 접선과 수직인 직선이  을 지나야 한다.



 

^ ^ 

①의 식을 미분하면 ^′ ^ ′ ^

^

  

에서    라 두면 접선의 기울기는 ^



따라서 접선에 수직인 접선의 기울기는  

^

직선의 식은     

^  



 을 지나므로

   

^× 



 ≠  이므로   





^





^



^





^{ }

∴   

,   



∴     



 

  ^ ^



 ^ ^



라 두면



 



^

^ 



^

′  

^ ^{ }



×^  ^^ ^{ }



′

  

^



^

^ 



^{ }



^

^ 



^{  라 두면}



  ,

′

  

^{ } ^



따라서 주어진 직선의 기울기를  이라 두면

′

 ×   

∴   

^

따라서 직선의 식은     

^  



 을 지나므로    

^× 

 ≠  이므로   





^

^ 



^{  }





^   



∴   

,   



∴     

(다른 풀이2)

곡선  위의 점   에서   까지의 거리를 이라고 하면

^   ^ ^이다.   ^ ^



을 대입하면 (∵ ①)

^   ^ ^ ^



이다.



′



^





^{ }



^{ }





^{ }





^{  }





^⋅⋅

 에서   

이다.

22) ②

′ ^^    

  에서부터   일 때 ′ 인 경우를 찾으면

  일 때     

  일 때   (중근)

  일 때     



  일 때     

  ^    이라고 하면 그래프와 t축의 교점 중 큰 값이

  의 최솟값의 x좌표가 된다.



 가 되는 에 의해 결정되는 의 값이 

 가 되는 이므로

_

_

 

에서 

 ^   

  일 때   

,   일 때   ,   일 때   ,

  일 때   를 대입하여 계산해주면,

∴        

23) 25

[출제의도] 삼각함수의 성질과 매개변수의 미분법을 이용하여 문제를 해결한다.

원점을 지나고 기울기가 tansin인 직선의 방정식은

  tansin ⋯ ㉠ 점 P는 원과 직선의 교점이므로 원의 방정식 ^ ^ ^과 연립하면

^ tansin^ ^

  tan^sin^ ^

cos^sin

^

 ^

^ ^cos^sin

  ^cossin (∵   ) 이를 ㉠에 대입하면

  ^sinsin

그러므로 점 P의 좌표를  라 하면

  ^cossin,   ^sinsin



 ^cossin ^sinsincos

 ^cossin sinsin× cos



 ^sinsin ^cossincos

 ^sinsin cossin×cos 

  일 때, 점 P의 좌표는

^cossin ^sinsin이므로 P ^ 

  일 때, 곡선  위의 점 P에서의 접선의 기울기는

 



^sinsin  cossin× cos 

둘러싸인 부분의 넓이는



× ^× ^ 

^

따라서   

,   이므로

    



^

 



^{ }

[참고]

원 ^ ^ ^^은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 ^인 원이고, 점 P가 원 위의 점이므로 OP  ^이다.

직선 OP의 기울기가 tansin이므로 직선 OP와 축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 sin이다.

따라서 점 P의 좌표는

P^cossin  ^sinsin 이다.

24) 90

[출제의도] 음함수의 미분법 이해하기

^ ^ 의 양변을 에 대하여 미분하면

^ ^  

 



 

^ ^

따라서 점  에서   

이고   

25) 10

[출제의도] 속도와 가속도를 이용하여 수학내적 문제해결하기

P Q





O



A

∠AOP  라 하면 호의 길이   

점 P cos  sin 가 매초 의 일정한 속력으로 이동하므로 양변을

  sin  cos_



 sin



^{  }





따라서   

일 때, 최댓값은 

26) 6

  ^ 에서 

   ,

  

^    에서 

   ^ 

∴

  









  

 ^ 

  일 때, 

  

 

27) 10

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

초가 되는 순간 점 P의 좌표는  

∠QOP 라 하면, ∠AOQ 

  부채꼴 OQA의 넓이는



× ^×



^

 



^{ }



^

 



삼각형 OPQ의 넓이는



×  × × sin   sin

 



^

 



^{  sin}

양변을 에 대하여 미분하면





 

  sin   cos 

⋯⋯㉠

점 P  을 지나고 직선  ^ 에 평행한 직선을 이라 하면 직선 의 방정식은  ^   이고

직선 과 원이 만나는 점 Q의 좌표는 Qcos  sin이므로 직선 에 대입하면

sin ^ cos   ⋯⋯㉡

㉡의 양변을 에 대하여 미분하면

cos 

^



^{ sin }

 



^⋯⋯㉢

점 Q의 좌표가 이므로 sin  

, cos  

^ 이고

㉡에서   

^ 이고

㉢에서 

 

이다.

㉠에 의하여 



 







^{  }^





^{ }

     

따라서   ,   에서      29) ①

    

 

   ^



    

 

   ^



  일 때, 

   

  

 

이다

30) ①

[출제의도] 매개변수로 나타내어진 함수의 미분계수를 구한다.

  sin  ,   cos ^에서



 cos, 

  sin이므로



 









 cos

 sin

  tan

따라서   

일 때, 

의 값은

 tan 

  ^

31) ①

[출제의도] 음함수의 미분법을 이해하여 삼각형의 넓이를 구한다.

^   ^   의 양변을 에 대하여 미분하면

    

 

 

  

    

점  에서의 접선의 기울기는 이므로 접선의 방정식     의

절편은  , 절편은 이다.

따라서 구하는 넓이는 

×  ×    

32) ①

[출제의도] 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다.

   ^     ^ 에서



       

   ^이므로



  









    

 ^

따라서   일 때 

의 값은   

  

