수리영역

◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

◦ 답안지에 성명과 수험 번호를 써 넣고, 또 수험 번호, 문제유 형, 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표 시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참 고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

^



×^



÷^



의 값은? ¹⁾

[점][2007년 7월]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

2.

두 행렬 가 ^{ }













^{, }



 

 







^{일 때, 행렬}

의 모든 성분의 합은? (단, ^{ }는 의 역행렬) ²⁾

[_점][2007년 7월]

① _ ② _ ③ _ ④ _ ⑤ _

3. _lim

 → ∞



 

^^   



^^  



의 값은^은? ³⁾

[점][2007년 7월]

① _ ② _



 ③ _ ④ _



 ⑤ _

4.

등차수열



^



^,



^



의 공차가 각각   일 때, 등차수열



^ _



^{의 공차는? 4)}

[점][2007년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2007학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역

성명 수험번호 3

1

나 형 제 2 교시

1

2 ^{수리 영역 나 형}

5.

로그함수 _{ log}에 대하여    일 때,

^{ }의 값을 _{ }으로 올바르게 나타낸 것은? (단, _^{ }는

의 역함수) ⁵⁾

[점][2007년 7월]

① _^ ② _^_ ③ _^_^

④ ^^ ⑤ ^^

6.

로그부등식 log



    log



   의 해가     일 때, 의 값은? ⁶⁾

[점][2007년 7월]

① _ ② _ ③ _ ④ _ ⑤ _

7.

자연수 _에 대하여 이차정사각행렬 _ _ _ ⋯ _을 각 각

 

^{ } 

 

^{ } 

 

^{ }  ⋯ 

 

^{ } 이라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, ^{ }는 의 역행렬) ⁷⁾

[점][2007년 7월]

<보 기>

ㄱ. 자연수  에 대하여 ___{  }이 성립한다.

ㄴ. 자연수  에 대하여 ___이 성립한다.

ㄷ. 자연수 에 대하여 _^{ }_{ }



_이 성립한다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8.

그림과 같은 _좌석씩 _줄인 _개의 좌석에서 남자 _명, 여자

명이 함께 영화를 관람하려 할 때, 남자끼리 좌우에 이웃하여 앉지 않고, 여자끼리 좌우에 이웃하여 앉지 않는 방법의 수는? ⁸⁾

[점][2007년 7월]

①  × ②  × × ③  × ×

④  × ⑤  × ×

나 형 수리 영역 3

9.

그림에서 함수 _{  }^ 의 그래프 위의 서로 다른 두 점 P Q의 좌표를 각각  라 할 때,

_{ }



^ 

 _{ }



^ 

 _{ }

  

^ ^

의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? (단,       ) ⁹⁾

[점][2007년 7월]





O  

Q P

  ^ 



①  ② 

③  ④ 

⑤ 

10.

함수 _{  log}, _{  log}가 _{    }에서

  이 성립하기 위한 조건으로 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ¹⁰⁾

[_점][2007년 7월]

<보 기>

ㄱ.      ㄴ.        ㄷ.       

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

4 ^{수리 영역 나 형}

11.

자연수 _에 대하여 점_A은 직선 _{  }위에 있다. 선분 A_A_의 기울기가 _



 이고, 선분_{AA  }의 기울기는 선분 A_{  }A_의 기울기의 _



 배이다. 점A_의 좌표를 _이라 할 때,

lim

 → ∞

_의 값은? (단, 원점 O  A_) ¹¹⁾

[_점][2007년 7월]







O

A_ A_



① _



 ②  ③ _



 ④ _



 ⑤ 

12.

주머니에 흰 공 개, 검은 공 개가 들어 있다. 공을 개 뽑아 흰 공이면 주머니에 넣지 않고 검은 공이면 다시 넣는 과 정을 반복한다. _회 시행 후 처음으로 주머니에 검은 공만 남아 있을 확률은? ¹²⁾

[점][2007년 7월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





13.

 ≧ 인 자연수일 때, 부등식

  







^  

  





^{ }





^{  }





^…㉠

을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

(ⅰ)   일 때, 좌변은



^{  }





^



^

 





^{ }

 이고 우 변은 _







  



^{ }

 이므로 성립한다.

(ⅱ) _{  } (_{ ≧ })일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

  







^  

  





^{ }





^{  }





^…㉡

㉡식의 양변에 (가) 를 더하면



  

  



^  

  





^{ }





  



^(가)

한편







^{  }





^{(가) 에서}     임을 이용하여







^{  }





^{(가)  }





^{  }





^(나)

 _



   

 따라서     일 때도 ㉠이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 부등식 ㉠은  ≧ 인 모든 자연수에 대하여 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? ¹³⁾

[점][2007년 7월]

(가) (나)

① _

  



 



② _

  

  



③ _

  

  



④ _

  

  



⑤ _

  

  



나 형 수리 영역 5

14.

 ≧ 에 대하여 _개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 눈의 수의 최대값과 최소값의 차를 확률변수 라 할 때, 확률 P 을 구하는 과정이다.

개의 주사위를 동시에 던질 때, 나올 수 있는 모든 경 우의 수는 _^가지이다.

 의 여사건의 경우는 ≦ 인 경우로

 ,  의 두 가지이다.

(ⅰ)  인 경우

개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 모두 같아야 되 므로 경우의 수는 (가) 가지이다.

(ⅱ)  인 경우

연속인 두 눈의 수가 나와야 한다. 즉, 과 , 와

, 과 , 와 , 와 이 나와야 한다.

그런데 _개의 주사위를 던졌을 때 나오는 눈의 수가 _또 는 인 것은 (나) 가지이고, 이 중에서 모두 인 것과 인 것은 제외해야 하므로 ( (나)  )가지이다.

와 _, _과 _, _와 _, _와 _인 경우도 마찬가지이 므로

모든 경우의 수는 ( (나)  ×이다.

따라서, P_{≦  }

^

  ×

(나) 이므로 (가)

P    P≦ (다) 이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? ¹⁴⁾

[_점][2007년 7월]

(가) (나) (다)

①  ^   ^

 ^



②  ^   ^

  ^



③ _{ }^ _{  }

^

 

^



④     ^

  ^



⑤     ^

 ^



15.

정수 부분이 각각 두 자리, 세 자리인 양수 의 상용로그 의 가수를 각각  라 하자. 의 정수 부분이 다섯 자리일 때, 점  가 존재하는 영역을 어두운 부분으로 바르게 표시 한 것은? ¹⁵⁾

[_점][2007년 7월]

① ②





O 







O 



③ ④





O 







O 



⑤





O 



6 ^{수리 영역 나 형}

16.

그림과 같은 수의 배열을 파스칼의 삼각형이라고 한다.

어두운 부분의 모든 수들의 합은? ¹⁶⁾

[_점][2007년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

17.

그림과 같이 한 변의 길이가 _인 정사각형 _{ABCD}이 있 다. 정사각형 A_B_C_D_의 내부에 선분 B_C_을 한 변으로 하는 정삼각형 P_B_C_을 만든다. 다시 선분 B_C_ 위에 정삼각형 P_B_C_에 내접하는 정사각형 A_B_C_D_를 만든다. 이와 같은 방법으로 만들어지는 정사각형 A_B_C_D_의 넓이를 _이라 할 때, _{  }



^{∞ 의 값은? 17)}

[_점][2007년 7월]

A_

B_ C_

D_ P_

A_ D_

B_ C_

P_

① ^_{  } ② ^_{  } ③ ^_{  }

④ ^_{  } ⑤ ^_{  }

나 형 수리 영역 7

단답형(18 ~ 25)

18.

log_^log의 값을 구하시오. ¹⁸⁾

[점][2007년 7월]

19.

그림과 같이 컴퓨터의 로그인 화면을 실행하기 위하여 부터

까지 자연수 중에서 서로 다른 두 개의 숫자를 선택한 후 이 두 수를 사용하여 네 자리 수의 암호(PW)를 만들 때, 네 자리 모두 같은 수의 배열은 제외하여 암호를 만들려고 한다. 이 때, 만들 수 있는 모든 암호의 경우의 수를 구하시오. ¹⁹⁾

[점][2007년 7월]

20.

반사계수(_)란 임피던스(교류 회로에서의 전압과 전류의 비) 차에 의해 발생하는 반사량을 단순히 반사전압(_) 대 입 력전압(_) 비, 즉 _{  }

_

_

로 계산한 값이다. 반사손실()이 란 반사계수()를 전력의 로그 스케일로 변환한 값을 말하며 반사계수()와 반사손실()과의 관계식은 다음과 같다.

_{  log }

 



입력전압이 , 반사전압이 일 때의 반사손실을 ,

입력전압이 , 반사전압이 일 때의 반사손실을 라고 할 때, 의 값을 구하시오. ²⁰⁾

[점][2007년 7월]

21.

log_  log_를 만족하는     인 모든 값들의 합 을 라 할 때, 의 값을 구하시오. (단,   는 보다 크지 않은 최대의 정수) ²¹⁾

[_점][2007년 7월]

8 ^{수리 영역 나 형}

22.

무한수열 _ _ ^_ ⋯  ^{  }_ ⋯ 의 첫째항부터 제

항까지의 합이 _ 일 때, _{  }



^{∞ }의 값을 구하시오. ²²⁾

[점][2007년 7월]

23.

그림과 같이 [그림], [그림], [그림],…, [그림]의 직사 각형의 넓이를 각각 _ _ _ ⋯  _이라 하자.

_  _  _  …  _  일 때, 의 값을 구하시오. ²³⁾ [_점][2007년 7월]

24.

어느 게임은 [예시]와 같이 엔터키를 누르면 게임이 시작되 면서 어두운 부분의 막대가 아래쪽으로 계속 내려가고 더 이상 내려가지 않으면 게임은 끝난다. 방향키로는 어두운 부분의 막 대를 왼쪽, 오른쪽으로만 이동시킬 수 있고 마우스를 한 번 클 릭할 때마다 어두운 부분의 막대 맨 위의 숫자가 맨 아래로, 나 머지 숫자들은 한 칸씩 올라간다. 더 이상 내려가지 않는 어두 운 부분의 막대와 이웃한 막대들 속의 세 숫자들이 상하, 좌우 또는 대각선 방향 순서대로 등차수열이 될 때, 그 숫자들을 더 한 점수들의 합을 득점으로 하는 게임이 있다.

[예시]

다음 게임에서 얻을 수 있는 득점의 최대값을 구하시오. ²⁴⁾ [_점][2007년 7월]

나 형 수리 영역 9

25.

그림과 같은 수도관은 물을 흘려 보내면 유실되는 물이 없이 왼쪽으로  , 오른쪽으로  가 흐른다. 일정한 양의 물을 흘 려 보낸 후 물통     의 물의 양을 측정하면 물통

  순으로 등비수열을 이룬다.   ^  ( 는 유리 수) 일 때,   의 값을 구하시오. (단,  ≠) ²⁵⁾

[_점][2007년 7월]

    

  

     

  

5지선다형(26 ~ 29)

26.

이차정사각행렬  에 대하여 ^{ }^{ }^{ },

가 성립할 때, ^^을 간단히 하면?

(단, ^{ }는 의 역행렬, 는 단위행렬, 는 영행렬) ²⁶⁾

[_점][2007년 7월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

27.

무한수열의 극한값과 무한급수의 성질이다. <보기>에서 항 상 옳은 것을 모두 고른 것은? ²⁷⁾

[_점][2007년 7월]

<보 기>

ㄱ. _{  }



^{∞  ,} _{ →∞}

^lim

^{ 이면} _{ →∞}

^lim

^{ 이다.}

(단,   는 상수)

ㄴ. _{  }



^∞

^

^{ }

^

^과 _{  }



^∞

^

^{ }

^

^{이 수렴하면}

  



∞

_과 _{  }



^{∞ 이 수렴한다.}

ㄷ.

lim

 →∞

__ 이면

lim

 →∞

_ 또는

lim

 →∞

_이 수렴한다.

(단, 는 상수)

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ

10 ^{수리 영역 나 형}

28.

꼭지점이 _ _ _ ⋯  _인 정육각형 모양의 게임판에 서 다음 규칙에 따라 게임이 진행된다.

규칙._을 출발점으로 한다.

규칙. 동전을 던져 앞면이 나오면 시계 방향의 이웃한 꼭지점으로 이동하고 뒷면이 나오면 반시계 방향 의 이웃한 꼭지점으로 이동한다.

규칙._에 도달하면 더 이상 동전을 던지지 않고 게 임은 끝난다.

_ _

_

_

_

_

동전을 다섯 번 던져서 게임이 끝날 확률은? ²⁸⁾

[점][2007년 7월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





29.

실수  에 대하여 행렬



  

^   ^ ^



  



이 역행렬을 갖지 않도록 하는 실수 가 존재할 때, 점  가 그 리는 영역의 넓이는? ²⁹⁾

[_점][2007년 7월]

① _



 ②  ③ _



 ④  ⑤ _





단답형(30)

30.

직원뿔대 모양의 커피잔 와 직원기둥 모양의 커피잔 가 있다. 커피잔 의 윗면의 반지름의 길이를 , 아랫면의 반지름 의 길이를 , 커피잔 의 반지름의 길이를 라 할 때,    순으로 등차수열을 이루고       이며 각각의 높이는 윗면 과 아랫면의 반지름의 길이의 합과 같다.   두 커피잔에 커 피를 높이의 _



 까지 부었을 때, 커피의 양을 각각 _, _라 하자. _

_

_

의 값을 _



 (  는 서로소)라 할 때,   의 값을 구하시오. ³⁰⁾

[점][2007년 7월]

 

 



나 형 수리 영역 11

2007년 7월 모의고사 나형 해설지

1 ③ 2 ② 3 ① 4 ④ 5 ②

6 ④ 7 ② 8 ③ 9 ① 10 ③

11 ① 12 ⑤ 13 ② 14 ② 15 ④ 16 ③ 17 ⑤ 18 _ 19 _ 20 _

21 _ 22 _ 23 _ 24 _ 25 _

26 ⑤ 27 ④ 28 ② 29 ③ 30 

1) ③

^



×^



÷^



 ^×^



÷^



 ^{  }

 



 ^ 2) ②

^{ }

 

^{ }  ^에서 

 

^{ }  ^이므로



 

^{ } 

 

^{  }   



  ^{  }



∴ (모든 성분의 합)   3) ①

lim

→∞



 

^^   



^^  





lim

→∞



^^   



^^  





^  







^  





lim

→∞



^_^   



^_^  



  4) ④

수열_의 첫째항을 , 수열_의 첫째항을라고 할 때,

_ _          

     

∴ 수열



^ _



^{의 공차는 }

5) ②

  이므로 ^ 

  이므로 ^ 

^{ }  라 하면   

  ^ ^^^ ^ 6) ④

진수     ,     이므로    주어진 로그의 밑이 ^{보다 작으므로}

  ^   ,      따라서 만족하는 로그부등식의 해는

    

∴   

7) ②

8) ③

먼저 남자 명을 좌석에 배치하는 방법의 수는 가지 경우가 있다.

남 남

남 남

남

남 남

남

남 남

남

남 남

남 남

여기서 남자끼리 자리를 배치하는 방법은 

비어있는 4자리에 여자를 배치하는 방법은 

∴ (전체 경우의 수)  × × (가지)

9) ①

는 원점과 점P^{와의 기울기}

는 원점과 점Q와의 기울기

는 점P와 점Q의 기울기이므로 그림에서

O   



Q P

  ^ 



∴  10) ③

    인 범위에서 log_  log_ 이기 위해서는 log_  log_  이어야 한다. 따라서,

    ,       ,       

∴ 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

11) ①

점A_ A_⋯에서 축에 내린 수선의 발을 C_ C_ ⋯라 하면 이 한없이 커질 때, A_의 좌표는 OC_ C_C_ ⋯

  

   





^





^{⋯ }

  







 



12) ⑤

회와 회의 시행에서 검은 공과 흰 공을 한번 뽑고, 회에는 반드시 흰 공을 뽑을 확률이므로

○ × ○  

× 

× 

 



× ○ ○  

× 

× 

 



∴ 

 

  



13) ②

  







^  

  





^{ }





^{  }





^…㉠

12 ^{수리 영역 나 형}



  





^  

  





^{ }





  



^…㉡

㉡식의 양변에     

 을 더하면



  

  



^  

  





^{ }





  



^{ }   



한편 





^{  }





^{ }   

 에서

   임을 이용하여 





  



^{ }   



 





^{  }





^{ }  

  

   

 따라서     일 때도 ㉠이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 부등식 ㉠은  ≧ 인 모든 자연수에 대하여 성립한다.

14) ②

개의 주사위를 동시에 던질 때, 나올 수 있는 모든 경우의 수는

^가지이다.

 의 여사건의 경우는 ≦ 인 경우로  ,  의 두 가지이다.

(ⅰ)  인 경우

개의 주사위의 눈이 모두 같아야 되므로 경우의 수는 가지이다.

(ⅱ)  인 경우

연속한 두 눈이 나와야 한다. 즉, 과 , 와 , 과 , 와 , 와

이 나와야 한다.

그런데 개의 주사위를 던졌을 때 나오는 눈이  또는 인 것은

^가지이고, 이 중에서 모두 인 것과 인 것은 제외해야 하므로



^ 가지이다. ^와 ^, ^과 ^, ^와 ^, ^와 ^{인 경우도} 마찬가지이므로 모든 경우의 수는 (^ ×이다.

따라서, P_{≦  }

^

 



^ 



×

이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

P     P≦    ^

  ^



15) ④

는 정수 부분이 두 자리인 양의 정수이고 상용로그의 가수가 이므로 log     ≦   

는 정수 부분이 세 자리인 양의 정수이고 상용로그의 가수가 ^이므로 log     ≦   

의 정수 부분은 다섯 자리이므로

log log log        ≦    

따라서 점  가 존재하는 영역은 그림과 같다.





_{  }



^

^

^{ }

^

_{  }



^



^

 

  



_{  }



^



^

^ 

 



 

(별해) ______ ⋯ ____

_____ ⋯ ____이므로

___ ⋯ ______

 ______ ⋯ ____이므로

___ ⋯ ____  __

따라서 어두운 부분의 합은 

17) ⑤

_ P_

B_ C_

A_{  } D_{  }

B_{  } C_{  }

_{  }

△P_B_C_의 높이는



^

_ _{  } 

^

_{  }^이므로

_

_{  }

  ^_

^_

 ^  

따라서 첫째항은 이고, 공비는



^  



^인 무한등비급수의 합이다.

  



∞

_{ }

 



_^_{  }



^

  ^_{  }

18) 12

log_^log log

^

^log log_^ 

19) 504

부터 까지의 자연수 중에서 서로 다른 두 수 를 선택하는 방법의 수

_  (가지)

4자리의 암호를 만들기 위해 나열하는 방법은

    ^: 

 

    :  

  



나 형 수리 영역 13

_{ log }



^



  log 



_{ log }



^_



  log 



∴   

21) 11

log_ 



^log



^{이므로 log}의 가수는 이다. 따라서 log_  ⁽^{은 음의 정수)}

따라서   

  

^

  

^

  ⋯  

^

  ⋯

_{ }



  

^

  

^

  ⋯  

^

  ⋯  

  







 



∴  

22) 10

_ ^{  }_^{라 하고,}

_ _ _ ^_⋯ ^{  }_  이라 할 때,

___{  }    ≧  __ _ 즉, _ 

^{  }

  ≧ 

따라서 _{  }



^{∞  }

  



  

23) 10

_   이므로

  





_      

∴   

24) 33

∴ (득점의 최대값)        

25) 100

    …㉠

흘려 내린 물의 양을 이라 할 때,

   물의 양은 차례대로





^





^



^





^{, }



^





^





^,





^



^



㉠, ㉡에 의해

  ^_{  }

따라서      

∴     

26) ⑤

이므로

^{ }, ^{ }

^{ }



^{ }^{ }



^{ }^{ }

^^

∴ ^^ 27) ④

ㄱ. _{  }



^{∞  이 수렴이므로} _{ →∞}

^lim

^{ 이고,}

lim

 →∞

_  (상수)이므로

 →∞

lim

__

lim

 →∞

_×

lim

 →∞

_  ×   (참) ㄴ. _{  }



^∞

^

^{ }

^

^_{  }



^{∞  ,}

_{  }



^∞

^

^{ }

^

^_{  }



^{∞  라 하면}

_ 

_ _

_ 

_ _ 에서

  



∞

__{  }



^{∞ }_^{  }_^{  }_^

  



∞

__{  }



^{∞  }_ ^{ }_^_{  }^{ (참)}

ㄷ. (반례) _  ^ _  ^

lim

 →∞

__ 이지만

lim

 →∞

_과

lim

 →∞

_은 모두 수렴하지 않는다. (거짓)

28) ②

가능한 경우의 수는 6가지

첫 번째 경우 : _→_→_→_→_→_

두 번째 경우 : _→_→_→_→_→_

세 번째 경우 : _→_→_→_→_→_

네 번째 경우 : _→_→_→_→_→_

다섯 번째 경우: _→_→_→_→_→_

여섯 번째 경우: _→_→_→_→_→_

∴ ^

 ×  



29) ③

역행렬을 갖지 않도록 하는 실수 가 존재해야 하므로

 



^   ^ ^



   

즉 ^   ^ ^    이 실근을 가져야 하므로

   



^ ^ 



≧ 

14 ^{수리 영역 나 형}

반지름의 길이가   순으로 등차수열을 이루고,       이므로

        

높이는 

높이가 일 때의 커피잔 의 부피는

_{  }



× ^× 

×^×  

^ 커피잔 의 부피는 _  ×^×  ^ 따라서 _

_

 

  



∴     