◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
log×
의 값은? 1)
[2점][2009년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
2.
두 행렬 에 대하여
,
일 때, 행렬 의 모든 성분의 합은? 2)
[2점][2009년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
3. lim
→∞
의 값은? 3)
[2점][2009년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
4.
실수 가
를 만족시킬 때, 의 값은?4)
[3점][2009년 6월]
①
②
③
④
⑤
5.
두 수열
,
이 모든 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때,lim
→∞
의 값은? 5)
[3점][2009년 6월]
* 배포 *
2009년 6월 고3 모의고사 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
‘나’형
수 리 영 역
2 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
6.
두 행렬
에 대하여
일 때, 의 값은? 6)[3점][2009년 6월]
①
② ③
④ ⑤
7.
수열
에서 log 일 때,
lim
→∞
⋯
의 값
은?7)
[3점][2009년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
8.
수열
에서
일 때,
의 값은? 8)[4점][2009년 6월]
① ② ③
④ ⑤
9.
함수 는 모든 실수 에 대하여 를 만족시 키고,
≦
이다. 자연수 에 대하여 지수함수
의 그래프와 함수
의 그래프의 교점의 개수가 가 되도록 하는 모든 의 값의 합은? 9)
[4점][2009년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
‘나’형 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
10.
보다 작은 두 자연수 에 대하여 log의 가수 와 log의 가수의 합이 이 되는 순서쌍 의 개수는?10)[4점][2009년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
11.
어느 무선 시스템에서 송신기와 수신기 사이의 거리 와 수 신기의 수신 전력 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. log
(단, 는 송신기의 송신 전력, 와 는 각각 주파수와 빛의 속 도를 나타내는 상수이고, 거리의 단위는 m, 송⋅수신 전력의 단 위는 dBm이다.)
어느 실험실에서 송신기의 위치를 고정하고 송신기와 수신기 사 이의 거리에 따른 수신 전력의 변화를 측정하였다. 그 결과 두 지점 에서 측정한 수신 전력이 각각 로 나타났다.
두 지점 에서 송신기까지의 거리를 각각 라 할 때,
의 값은? 11)
[3점][2009년 6월]
①
②
③
④ ⑤
12.
그림과 같이 길이가 인 선분 를 지름으로 하는 원을 그 리고, 선분 의 등분점을 각각 라 하고 선분 을 지름으로 하는 원의 아래쪽 반원, 선분 를 지름으로 한는 원 의 아래쪽 반원, 선분 를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원, 선 분 를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 경계로 하여 만든모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.
그림 에서 선분 위의 색칠되지 않은 두 선분 , 를 각각 지름으로 하는 두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그 림 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 두 모양의 도 형에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자.
그림 에서 두 선분 위의 색칠되지 않은 네 선분을 각각 지름으로 하는 네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림
을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 네 모양의 도형 에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있 는 모든 모양의 도형의 넓이의 합을 이라 할 때,
lim
→∞
의 값은? 12)
[3점][2009년 6월]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
4 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
13.
수열
에서 이고, 자연수 에 대하여
이다.
∞
의 값은? 13)
[4점][2009년 6월]
①
②
③
④
⑤
14.
행렬
에 대하여 집합 가 는 이차정사각행렬이고, 일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, 는 영행렬이다.) 14)
[4점][2009년 6월]
ㄱ. ∈
ㄴ. ∈이고 ∈이면 ∈이다.
ㄷ. ∈이고 이면 이다.
[보 기 ]
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
15.
다음은 이 이상의 자연수일 때
의 값을 구하 는 과정이다.두 다항식의 곱
⋯ ⋯ 에서
의 계수는 ⋯ ⋯⋯ ＊이 다.
등식 의 좌변에서 의 계수는 (가) 이고, ＊을 이용하여 우변에서 의 계수를 구하면
× (나) )이다.따라서 (가)
× (나) ) 이다.한편 ≦ ≦ 일 때, × × 이므로
× × (나) ) ×
× (나) ) (다) 이다.
[증 명 ]
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 15)
[4점][2009년 6월]
(가) (나) (다)
①
×
②
×
③
×
④ ×
⑤ ×
수 리 영 역
‘나’형 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
16.
그림과 같이 함수 log의 그래프 위의 한 점 에서 축에 평행한 직선을 그어 직선 와 만나는 점을 이라 하 고, 점 에서 축에 평행한 직선을 그어 이 그래프와 만나는 점을 라 하자. 이와 같은 과정을 반복하여 점 로부터 점와 점 을, 점 으로부터 점 와 점 를 얻는다. 네 점
, 의 좌표를 차례로 라 하자.
네 점 log log를 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를 함수 을 이용하여 로 나타낸 것 과 같은 것은? 16)
[3점][2009년 6월]
①
∘ ∘
②
∘ ∘
③ ∘ ∘
④ ∘ ∘
⑤ ∘ ∘
17.
집합 가
일 때, 옳은 것 만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? 17)[4점][2009년 6월]
ㄱ. 집합 에 속하는 서로 다른 두 행렬 , 에 대하여 행렬 의 성분은 모두 짝수이다.
ㄴ. 집합 에 속하는 행렬 중에서 중복을 허락하여 개 의 행렬 , , ⋯, 을 선택하였을 때,
⋯
가 되도록 하는 이 존재 한다.ㄷ. 집합 에 속하는 행렬 중에서 중복을 허락하여
개의 행렬 , , ⋯, 을 선택하였을 때, 행렬
⋯의 성분이 모두 짝수가 되도 록 하는 의 최솟값은 이다.[보 기 ]
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
18.
지수방정식 의 두 근을 라 할 때, 의 값을 구하시오. 18 )
[3점][2009년 6월]
수 리 영 역
6 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
19.
네 수 가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 를 만족시킨다. 의 값을 구하시오. 1 9)
[3점][2009년 6월]
20.
두 상수 에 대하여 방정식
의 해가 무수히 많을 때, 의 값을 구하시오. 20)[3점][2009년 6월]
21.
부등식 log
log
의 해가 일 때, 의 값을 구하시오. 21 )
[3점][2009년 6월]
22.
함수 는 를 만족하고, 그 그래프는 그림 과 같다. 모든 자연수 에 대하여
인 수열
이 있다.
이 보다 작은 자연수일 때, ⋯ 을 만 족시키는 의 최솟값을 구하시오. 22)
[4점][2009년 6월]
23.
이하의 자연수 중에서
의 값이 의 배수가 되도록 하는 의 개수를 구하시오. 23)
[4점][2009년 6월]
24.
자연수 에 대하여 log 의 지표와 가수를 각각 과이라 하자. 의 최솟값이 log 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.) 24 )
[4점][2009년 6월]
수 리 영 역
‘나’형 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
25.
좌표평면 위의 점들의 집합 ∣와 는 정수가 있다. 집합 에 속하는 한 점에서 에 속하는 다른 점으로 이 동하는 ‘점프’는 다음 규칙을 만족시킨다.점 에서 한 번의 ‘점프’로 점 로 이동할 때, 선분 의 길이는 또는 이다.
* 배포 *
helpmemath
* 작성자 *
점 에서 점 까지 번만 ‘점프’하여 이동하는 경 우의 수를 구하시오. (단, 이동하는 과정에서 지나는 점이 다르 면 다른 경우이다.) 25)
[4점][2009년 6월]
26.
등비수열
에 대하여 일 때,
≧ 을 만족시키는 의 최솟값은? 26)
[3점][2009년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
27.
지수함수 에 대하여
일 때, 의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? 27)
[3점][2009년 6월]
① ②
③ ④
⑤
28.
수열
에 대하여lim
→∞
이 이 아닌 상수일 때,
lim
→∞
의 값은? 28 )
[3점][2009년 6월]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
8 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
29.
그림과 같이 중심이 같고 반지름의 길이가 각각 인 다섯 개의 원이 있다. 이 다섯 개의 원을 경계로 하여 안에 서부터 다섯 개의 영역 로 나누고, 서로 다른 가지 색의 물감을 칠하여 색칠된 문양을 만들려고 한다.
각 영역은 가지 색으로만 칠하고, 이웃한 영역은 서로 다른 색 을 칠한다. 가지 색의 물감은 각각 통 이하만 사용할 수 있 고 물감 통으로는 영역 의 넓이만큼만 칠할 수 있을 때, 만 들 수 있는 서로 다르게 색칠된 문양의 개수는? 29)
[4점][2009년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
30.
다음 순서도에서 인쇄되는 의 값을 구하시오. 30)[4점][2009년 6월]
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
수 리 영 역
‘나’형 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2009년 6월 고3 모의고사 나형 해설지
1) ④ 준식 ×
×
2) ⑤
에서
성분의 합 3) ①
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
분모, 분자를 으로 나누면 (준식)
4) ②
에서 분모, 분자에 를 곱하면
정리하면
∴
5) ③
lim
→∞
,
lim
→∞
… ① ∴
lim
→∞
… ② ∴
lim
→∞
①-②를 하면
∴
lim
→∞
lim
→∞
6) ④
에서 log log log log ⋯ log log
log
lim
→∞
⋯
lim
→∞log
lim
→∞
8) ①
은 연속한 두 자연수의 곱이므로 항상 짝수이다.
그러므로 은 또는 의 꼴의 수이다.
따라서 의 네 가지이다.
(i) 꼴일 때 (ii) 꼴일 때 (iii) 꼴일 때 (iv) 꼴일 때
∴
: , , , , , , , , ···
···
··· 가개
9) ②
의 그래프는
≦
에서
이고주기가 인 주기함수이므로 다음과 같다.
그리고,
의 그래프는 다음과 같다,.
이 때, 와
의 교점의 개수가 개이려면 다음의 그래프와 같이 또는 일 때 뿐이다.
수 리 영 역
10 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
(∵ 와 는 보다 작은 자연수) ⅰ) × →
ⅱ) × →
× →
× →
ⅲ) × →
× →
∴ 의 순서쌍의 개수는 개다.
11) ④
지점에서의 수신 전력을 ,
지점에서의 수신 전력을 라고 하면
log
log
log
log
log
log
∴
12) ②
× 이고
이후 모양의 도형은 넓이
배, 개수는 배로
변화 하므로
lim
→∞
은 공비가
×
인 무한등비급수가 된다.
∴
lim
→∞
13) ③
⋅
⋯① ⋅
⋯②②÷① :
은 짝수 번째 항의 공비를 의미한다.
①에 을 대입하면 ⋅
이므로
이다.∵
∞
⋯⋯
⋯
(다른 풀이) 축차대입법에 의하여
⋯ 대입하여 나열하면
⋯
∞
⋯⋯은 공비가
인 무한등비급수이므로
14) ⑤
이면
㉠ : 는 이차정사각행렬이고, 에서 대신 를 대입하면 ∵
∴ ∈ (참)
㉡ : ∈ 이고 ∈이면
⋯① ⋯②가 된다.
∈ 이려면 이어야 한다.
∴ ∵ (참) (별해)
이고
라 하면를 만족시키는 행렬 는
가 된다.∵
∈이고 ∈ 이면
,
라고 둘 수 있다.
∴ ∈
㉢ :
라 가정하면∈이려면 가 성립하여야 하므로
이다.
∴
에서
에서
∴
(참) 15) ③ 에서 의 계수는 이고
을 이용하여 의 계수를 구하면
×
이다.따라서
×
이다.한편, ≦ ≦ 일 때, × × 이므로
× ×
×
×
×
×
×
×
×
×
수 리 영 역
‘나’형 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
×은 다음과 같이 설명할 수 있다.
집합 ··· 에서 개의 수를 뽑는 경우의 수는 이다.
이것을 다음과 같이 나누어 구할 수 있다.
① 을 반드시 포함하는 경우의 수는 을 미리 뽑았으므로
나머지 개의 수에서 개의 수를 더 뽑으면 되기 때문에
② 를 포함해서 개의 수를 뽑는 경우의 수는
③ 을 포함해서 개싀 수를 뽑는 경우의 수는 그런데 각각의 수는 모두 가지 경우에 중복되게 계산되었으므로 위 경우의 수의 합은 × ×
이것이 과 같아야 하므로
×
∴
×
16) ①
log의 역함수는 이므로 위 그림에서
∘
∘
위 그림의 사다리꼴의 넓이는
∘ ∘
17) ④
에서ㄱ.
,
이라 하면
이므로 성분이 모두 짝수인 것은 아니다. ∴ 거짓ㄷ.
의 성분이 모두 짝수가 되려면
의 성분이 모두 홀수가 되어야 한다.이 홀수이면 , , , 모두 홀수이어야 되므로 , , ,
모두 짝수이다.
이것은 에서 짝수 네 개의 합은 짝수이므로 모순
∴ 은 짝수, , , , 는 모두 홀수
∴ , , , 일 때,
가 조건을 만족시키는 의 최솟값이 된다.
18)
에서 이라 놓으면
∴ 이므로
따라서,
19)
가 등차수열이므로
에서 … ① (∵ 등차중항)
에서 … ② (∵ 등차중항) … ③
①, ②, ③을 연립하면
∴
20)
에서
⋯ ① ⋯ ② 해가 무수히 많으려면 두 식은 일치해야 하므로
이다.
∴
∴
21)
log
log
에서 (1) 진수조건에 의해 ,
수 리 영 역
12 ‘나’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
그림에서 ≦ ≦
≦ ≦ 이므로
의 최솟값은
23)
⋯
∵ ⋯
이 의 배수이므로
⋯⋯ 일 때이다.
∴ 의 개수는 개이다.
24)
log
은 정수이고 ≦ 이다.
자연수 에 대하여
≦ 이면 이고
≦ 이면 이므로
이면 이고
이면 이다.
따라서 일 때,
log log log
의 값이 최솟값이 된다.
∴
(별해) log의 지표를 , 가수를 라 하면
의 그래프는 다음과 같다.
또한 의 그래프를 그리면 다음과 같다.
자연수 에 대하여 log의 지표를 , 가수를 이라 할 때
의 최솟값은
사이에서 일 때이다.
따라서 log log
이므로
∴
25)
점프방법은 → ↗ ↘ 의 세가지 경우가 있다.
→ : ↗ : ↘ : 로 나타내면 4번을 점프하여 에서 로 이동하는 경우는
를 배열하는 경우의수로 나타낼 수 있다.
i) : 1가지 ii) :
가지
iii) :
∴ 가지 26) ②
, 에서
⋯①
⋯②
②÷① : 이므로 ,
∴
⋅
∴ ≧ 이므로 이다.
27) ⑤
위의 그림에서 이다.
이므로 위의 그림에서 축상의 사이의 대소관계는
이다.
28) ③
lim
→∞
이라 하면
lim
→∞
이다.
에서
수 리 영 역
‘나’형 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
29) ②
영역 의 넓이가 각각 이고,
가지 색의 물감은 각각 이하로 사용해야 하므로, 물감을 각각 라 하고 수형도를 그려보면
`
∴ 가지
와 를 영역에 칠하는 경우도 각각 가지씩 나오므로
×
30)
