정답 및 해설

1 16

2014학년도 9월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

수학 영역

A형 정답

1 ① 2 ② 3 ③ 4 ② 5 ①

6 ④ 7 ③ 8 ② 9 ① 10 ②

11 ① 12 ② 13 ④ 14 ④ 15 ③ 16 ⑤ 17 ④ 18 ⑤ 19 ④ 20 ③ 21 ⑤ 22  23  24  25 

26  27  28  29  30 

수학 영역

A형 해설

1. [출제의도] 지수법칙 이해하기

^



×_^^



 ^



× ^



 ^

 



  2. [출제의도] 행렬이 서로 같을 조건 이해하기

이므로     ,      따라서   ,   

그러므로     

3. [출제의도] 로그의 성질 이해하기



log_^log_ log_

log_  

4. [출제의도] 지수방정식의 해 구하기



^





^



^





^{  에서}



^





^



^





^{   }

그러므로     에서    



5. [출제의도] 역행렬 계산하기

이므로

 ^{ }

 

^{ } 

 



 ^{  }



그러므로           6. [출제의도] 로그부등식의 해 구하기 진수 조건에 의하여          이므로

   ⋯⋯㉠

주어진 로그부등식에서        ≤ 이므로

  ≤  ≤  ⋯⋯㉡

㉠, ㉡에서    ≤ 

그러므로 주어진 로그부등식의 정수해 의 개수는 4 7. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기 주어진 행렬이 나타내는 그래프는 그림과 같다.

A

B C

D E

따라서 해당하는 경로는 AC D , AE D 그러므로 경로의 수는 

8. [출제의도] 로그함수의 성질 이해하기

 log



  ^  밑이 보다 작은 양수이므로

  일 때 최댓값 log



  

9. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

나머지정리에 의하여

^log^{ log}   ^log^{ log}   log_  라고 하면

^        ^       이므로

 log_  



그러므로   ^{ }



 

^ (다른풀이)

    ^   이라 하자. 나머지 정리에 의하여

log_ ^log^이고,     의 그래프의 대칭축이 직선    이므로



log_ log_

   따라서 log_   



그러므로   ^{ }



 

^

10. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 실수의 대소 관계 추론하기

 ^, ^  ^



, ^  ^ 이므로 

^ , ^ 이므로  그러므로 

11. [출제의도] 지수방정식의 해 구하기

  이므로 주어진 방정식은

^^_{ × }

^

  ^  

^  ^^   

^ 이므로 ^^  ^



그러므로   



12. [출제의도] 행렬의 정의를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기





^^ ^^



^



^{ }^ ^



행렬 의 모든 성분의 곱이 ^이므로 ^^ ^ 그러므로   ^



13. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 역행렬을 구하는 과정 추론하기

㉠ 에서 ^{ }  × ⋯⋯ ㉢ 또한  ^{ }^{ }이므로 ㉢에서 

따라서 ㉡ 에서  _{ }



 ×_{ }



이고,

㉠ 에서   ^이므로

 ^_{ }



 ×_{ }





그러므로 ^{ }  × 이다.

따라서   ,   

,    그러므로   ·

·  

14. [출제의도] 로그를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

_

_

     ^

    ^ 



^





^{}

log_

_

log^_{  }



log log

  log

그러므로 _

_

 

15. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기

∈를 



^  ^



라 하자.

ㄱ. ^{ }_{ }

^ 





  ^{ }



 ^ 

  (참) ㄴ. (반례)



^  ^



, 



^  ^



(거짓) ㄷ. ㄱ으로부터 어떤 두 실수   에 대하여 ^ ^ 

(좌변) ^ ^  (우변) ^ ^  (참) 16. [출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 수학

내적 문제 해결하기

행렬



  ^{   } 



의 역행렬이 존재하므로

^^  × ^    ≠ 

  이므로 ^ 라 하면     이고

   ^          ^ 라 할 때,

  ≠ 이므로    ≤  또는      그러므로  ≤  또는   

17. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

연립방정식







^{      }

  에서

^≠   ^≠ 이므로 이 연립방정식이 해를 갖기 위해서는 행렬







^{      }



의 역행렬이 존재하지 않아야 한다. 따라서       

이때 ^

^      이므로 정수   의 순서쌍

   는    ,     그러므로 의 최댓값은  18. [출제의도] 지수함수 이해하기 점 C 의 좌표를     라 하면 C   ^

C D B D 이므로 (∆B D C 의 넓이) 

^  따라서   , 점 C 의 좌표는 ,   

그러므로 (∆O A C 의 넓이) 

19. [출제의도] 역행렬을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

행렬



^   ^



의 역행렬이 존재하지 않으므로

      

따라서 점 P   가 나타내는 도형은 그림과 같이 선분 Q R 이다.

고 2 정답 및 해설

2014학년도 9월 전국연합학력평가

2 16

Q

R

      

O



 



원의 중심과 직선        사이의 거리가

이고 원의 반지름의 길이가 이므로

Q R 



^^   ^

20. [출제의도] 로그함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

두 점 A , B 의 좌표가 이므로 A^{ } , B ^ 

점 C 의 좌표가 점 A 의 좌표와 같으므로 C^{ }  

점 D 의 좌표는 점 C 의 좌표와 같으므로 D^  

C D

A B

 ^ ^{ }

^ ^{ }

 ^ 

^ 

 

에서

  이므로 ^    그러므로   



21. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 관계 추론하기

그림과 같이 두 점 A , B 를 직선   에 대하여 대칭이동시킨 점을 각각 A ′ , B ′



^{  }





이라 하면

   ,     ,

 , 

 _ 







O

A

B C

A ′

B ′D

  ^

 log

  

  ^

ㄱ.  이고 _ 이므로  _  (참) ㄴ.  이고  

 이므로   (참) ㄷ. 두 점 C , D 를 지나는 직선의 기울기가 _ _

 _

이고 두 점 A ′, B ′을 지나는 직선의 기울기는 

이므로  

 _

 

 (참)

22. [출제의도] 로그 계산하기 log_ ×log_ log_ × log_ log_

log_ × log_ log_

 

log_  

그러므로 log_  

23. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기 그래프의 각 꼭짓점의 연결 관계를 나타내는 행렬 의 성질에 의하여   

그래프 는 그림과 같다.

따라서    그러므로 ^ ^ 

24. [출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기 점근선의 방정식이   이므로    함수의 그래프가 점    를 지나므로    그러므로      

25. [출제의도] 행렬의 곱셈의 성질 이해하기

 ^^

^^ 이므로  





^{  } 

 

^{ }  ^







      



  





^{ }  ^

 

^{  } 







   ^{  }



따라서   ,    그러므로 ^ ^ 

26. [출제의도] 행렬을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

월의 두 제품 의 생산량을 각각   라 하면



 ^{ }

  

^ 

 

^

 

^  



 ^{  }

  

^_





^{ }  ^

  

^

따라서    ,    

그러므로 

 

27. [출제의도] 지수부등식과 로그부등식으로 이루어진 연립부등식의 해 구하기

부등식 ^{    }≤



^





^{  에서}

     ≤ ^  이므로

 ≤  ≤  ⋯⋯㉠

부등식 log_ ^ log_     에서

  이고 log_   log_     이므로

     ⋯⋯㉡

㉠, ㉡에 의하여    ≤ 

그러므로 만족하는 모든 자연수 의 값의 곱은 12 28. [출제의도] 지수함수의 성질 이해하기

     는 방정식 ^ ·^{  } 의 근이므로

^ (  )이라 하면 ^     의 두 근

^, ^은   ^   ^

   ^   라 하면

      ,          따라서     

그러므로 만족하는 모든 자연수 의 값의 합은 

29. [출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

점 A 의 좌표를  ^라고 하면 AB ^

AB  B C   이므로 B C ^{  } 따라서 □A B C D 의 넓이는 ^{  } 점 P 의 좌표가   ^{  }이므로 점 E 의 좌표는 ^{  } 즉, E H ^{  }

E H  H G    이므로 H G ^{  } 따라서 □E FG H 의 넓이는 ^{  }

두 직사각형의 넓이의 합은 절대부등식의 성질에 의하여

^{  } ^{  }≥ 



^^{  }․^{  } ^ 



^{단, 등호는   }

일 때만 성립



그러므로 최솟값은 

30. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

(가)에서         이므로

 ≤  ≤    ≤  ≤ 

따라서 만족하는 자연수의 순서쌍   의 개수는 

또한  ≤    ≤ 이므로 (나)에서 i)  ≤    ≤ 일 때

     log   이므로 log    log log

        

따라서   ,   ,   ,   ,   를 제외하고 모두 성립

ii) ≤    ≤  일 때,      log     이므로 log      log log에서     이므로 항상 성립 그러므로 i)과 ii)에서     