2.1 정수압의 특징
정수역학은 흐르지 않고 정지상태에 있는 물이 어떤 점 혹은 어떤 면에 작용하는 힘의 관계를 다루는 분야이다. 정수압이란 정지상태의 유체 속에 작용하는 물의 압력을 말하며, 방향은 모든 면에 대하여 항상 직각으로 작 용한다. 물을 완전유체로 생각했을 때의 특징은 다음과 같다.
우선 정수 중 임의의 한 점에 작용하는 정수압의 강도는 모든 방향에 대 하여 동일하며, 정수 중의 임의의 점이 받는 정수압의 강도는 수심에 비례 하고 같은 수평면상의 수압은 모두 같다. 또한 정수 중의 물체에 작용하는 정수압의 방향은 물체 표면에 수직으로 작용하며, 정수압의 크기는 단위 면 적당 작용하는 힘의 크기로 표시한다. 즉 g중/㎠, ㎏중/㎠, N/㎡, ㎩ 등의 단위를 사용한다.
‘정지 상태의 유체 내부에 작용하는 압력은 작용하는 방향에 관계없이 일 정하다.’는 파스칼의 정리를 증명해보자.
그림 2.1 미소 삼각주
단위두께를 갖는 유체에 있어 미소입방체의 각 변의 길이를 , 사변의 길이를 라 하고, 방향으로 작용하는 압력을 각각 라 할 때 미소 삼각주가 정지수 중에 평형상태에 있으므로 힘의 평형조건 으로부터 각 방향으로 힘의 합은 0이어야 한다.
유체가 정지상태에 있으므로 미소 입방체에 작용하는 힘은 압력에 의한힘 과 중력뿐이다.
우선 x방향으로
을 만족해야 한다.
이므로
정리하면 다음 식을 얻는다.
(2-1)
마찬가지로 방향으로
을 만족해야 한다.
,
이므로 상기 식은 다음과 같다.
미소 삼각주를 무한히 작게 하면 이 되어 상기식은 다음과 같이 표현된다.
(2-2)
식(2-1)과 (2-2)로부터 다음 식을 얻을 수 있다.
(2-3) 결론적으로 정지수 중의 임의의 한 점에 있어서 정수압의 강도는 면의 방향에 관계없이 일정하다는 것을 알 수 있다.
2.2 정수역학의 기본방정식
정지한 유체의 평형, 즉 힘의 평형은 각 방향의
의 조건에서 이 루어진다.그림 2.2 각 방향으로의 압력변화
미소 입방체의 각 변의 길이를 이라 하고 방향으로 작용하는 압력을 각각 라 하면 미소 입방체는 정지수 중에 평형 상태를 유지하고 있으므로 힘의 평형조건으로부터 각 방향으로 힘의 합은 0이어야 한다. 먼저 수평방향에 대하여 고찰하여보자.
수평방향으로 작용하는 모든 힘의 합, 즉
이어야 하므로
여기서
는 x방향에 있어서 단위길이당의 압력변화율을 의미하고 있 다. 상기 식을 정리하면 다음과 같다.
(2-4)
식(2-4)의 물리적 의미를 살펴보면, 수평방향으로는 압력의 변화가 일정 하다(압력의 변화가 없다.)는 것을 의미하고 있다.
같은 방법으로 y방향을 고찰해보면 다음과 같다.
(2-5)
즉, 방향으로도 압력의 변화는 없는 것을 알 수 있다.
연직방향으로는 압력뿐만 아니라 중력을 받고 있으므로 미소입방체의 자 중도 고려해야 한다. 계산의 편의를 위해 중력방향과 일치시켜 아래방향을 (+)로 하기로 하자.
상기 식을 정리하면 다음과 같다.
(2-6)
즉, 정지한 유체의 압력은 오직 중력방향(연직방향)에 의해서만 변하는 것을 알 수 있다.
그림 2.3
임의의 수심 에서의 압력 를 구하기 위하여 식(2-6)을 정수면으로부터 임의의 수심 까지 적분하면 다음과 같다.
(2-7) 식(2-7)의 좌변을 절대압력이라 하고, 우변 첫 번째 항을 대기압이라 하 며 두 번째 항을 계기압력이라 한다. 일반적으로 압력이라고 하면 절대압력 을 의미하는 것으로 대기압에 계기압력을 더하여 구하고 있으나, 앞으로는 특별한 언급이 없으면 압력이라고 하면 계기압력을 의미하는 것으로 한다.
즉,
(2-8)
따라서 정지수 중의 임의의 한 점에 있어서 정수압의 강도는 수심에 비 례함을 알 수 있다.
절대압력은 완전진공을 기준으로 한 압력이며, 압력측정시 아네로이드 압 력계를 사용하고 대기압을 고려한 압력을 말한다. 계기압력은 대기압을 기 준으로 했을 때의 압력이며, 압력을 측정할 때 버든 압력계를 사용한다. 대 기압은 대기가 누른 압력으로 국소대기압과 표준대기압이 있다. 국소대기압
은 그 지방의 고도와 날씨 등에 따라 변하는 압력이고 표준대기압은 해면 에서의 국소대기압의 평균값 즉, 평균해면에서 대기가 지구표면을 누르는 평균압력을 말하며 대기압을 측정할 때는 수은 압력계를 사용하는 것이 일 반적이다.
일반적으로 표준 대기압은 수은주 높이 가 760㎜인 경우에 해당하며, 그 때의 대기압을 1기압으로 하고 있다.
㎜ 중㎤× ㎝≒ 중㎠
㎏중㎠ × ㎡
≒ × ㎡ × ㎩
∵
∵ ㎜ (2-9)
이제 1기압을 수두로 환산해보자.
를 에 대해서 정리하면 다음과 같다.
(2-10)
이 는 압력 를 발생시키는데 필요한 수심을 의미하고 있으며, 압력을 물의 단위중량으로 나눈 것을 압력수두 또는 간단히 수두라 한다. 물의 단 위중량이 ㎥이므로
×㎥㎡
≒ (2-11)
식(2-11)로부터 알 수 있는 바와 같이 1기압을 수두로 환산하면 10.33m 에 해당되는 것을 알 수 있다.
[예제2-1] 깊이 15m로 바다 속을 항해하고 있는 잠수함에 걸리는 유체압 력은?(단, 대기압은 표준대기압이며, 바닷물의 단위중량은 ㎥이다.) [풀이] 대기압이 주어졌으므로 절대압력을 구하라는 문제이다.
따라서
㎥× ㎡
㎡ ㎏중㎠
[예제2-2] 액체표면에서 150㎝깊이의 점에 있어서 압력강도가 ㎏중㎡
이면 이 액체의 단위중량은?
[풀이] 모든 계산에 있어서 단위는 반드시 통일시켜주어야 한다.
→
㎏중㎡
㎏중㎥
[예제2-3] 수압이 ㎏중㎠일 때 압력수두?
[풀이] 에서 중㎤
중㎠ ㎝
2.3 압력의 전달(파스칼의 원리)
‘밀폐된 용기내에 액체를 가득 채우고 여기에 압력을 가하면 압력은 용기 전체에 걸쳐 균등하게 전달된다.’라는 파스칼의 원리는 이미 잘 알고 있는 사실이다. 수압기는 이와 같은 파스칼의 원리를 응용하여 작은 힘으로 큰 힘을 얻는 장치이다.
그림 2.4 수압기의 원리
양 피스톤의 단면적 에 작용하는 힘을 각각 라 할 때 임의 점 c에 작용하는 압력 는 다음과 같다.
외부로부터 가하는 힘을 충분히 크게 하면 는 외력에 비해 미소하므로 생략할 수 있다. 즉,
(2-12)
용기가 완전한 강체일 때 액체의 체적탄성계수를 라 하면 압력의 전파 속도 는 다음과 같이 표시할 수 있다.
(2-13)표준대기압 하에서 수온이 20℃이면 ×㎏㎡이고,
㎏⋅이므로 ≒ 의 속도로 전파하므로 용기가 매우 크다하 더라도 압력은 용기 전체를 통해서 순간적으로 전파됨을 알 수 있다.
[예제 2-4] 그림에서 과 평형을 이루도록 하기 위해 에 작용시켜야 할 힘은?
[풀이]
에서
×
×
×
× ㎏중 ㎏중
2.4 관내의 압력측정(액주계)
수압의 강도는 의 관계로부터 수심에 비례하기 때문에 개수로에 있어서는 수심을 측정함으로써 수압의 크기를 알 수 있다. 그러나 관수로에 있어서는 측정하고자 하는 곳에 구멍을 뚫어 가느다란 관을 설치하고 관내 를 상승하는 높이를 측정함으로써 수압의 강도를 알 수 있다. 관수로와 개 수로는 뒤에서 설명하기로 하자.
그림 2.5와 같은 가느다란 관을 액주계(manometer) 또는 수압관 (piezometer)이라 한다. 압력을 측정하는 계기로는 대기압보다 약간 높은 압력을 측정하는 수압관과 계기압력을 측정하는 버어돈압력계, 절대압력을
을 이용하여 밀폐된 용기 또는 관속의 압력이라든지 두 단면간의 압력차를 측정하는 액주계 등이 있다.
그림 2.5 액주계
그림(a)에서의 압력은
(2-14)
이며, 그림(b)에서의 압력은 에서 ℓ
이므로
ℓ (2-15) 이다.
그림(c)에서처럼 U자형 액주계를 생각하면 동일액체내의 동일수평면상의 압력은 같다고 하는 정수압의 성질로부터 A, B액체의 경계점에서 수평으로 선을 연결하였을 때 같은 높이의 점에 있는 압력은 같다. 이것을 등압면이 라 한다. 즉, 등압면에서의 압력은 같다.
