Chapter 04 물질의 물리학

Chapter 04 물질의 물리학

4.1 물질: 상태, 형태 그리고 힘 4.2 압력

4.3 밀도

4.4 유체의 압력과 중력 4.5 Archimedes의 원리 4.6 Pascal의 원리

4.7 Bernoulli의 원리

4.1 물질: 상태, 형태 그리고 힘

• 물질

. 질량을 가지며 크기가 있는 모든 것

. 물질의 4 가지 상(相; Phases) 또는 상태

1) 고체(Solid), 2) 액체(Liquid), 3) 기체(Gas), 4) Plasma 1) 고체

- 단단한 물질로서 강한 힘을 가하지 않는 한 그 모양이 변하지 않는다 e.g. 바위, 나무, Plastic, 철 등

2) 액체

- 흐를 수 있는 물질로서 담는 용기에 따라 모양이 변화하는데, 경계(표면)가 명확하며 기체보다 밀도가 높다 e.g. 물, Alcohol, 휘발유, 혈액 등

3) 기체

- 액체와 같이 흐르는 성질을 가지며 담는 용기에 따라 모양이 변화하는데 액체보다 더 상대적으로 용이하게 압축될 수 있다 e.g. 공기, 이산화탄소, 질소, Helium 등

4) Plasma

- 기체와 같은 성질을 가지나 전기를 통하는 특징을 지니며, 자기장의 영향을 쉽게 받는 Ion이나 전자 등의 대전 입자로 구성된 복합 물질로서 매우 온도가 높은 상태에서 존재한다 e.g. 형광등 속의 기체와 같이 증기 상태로 발광하는 물질 , 태양, 별, Aurora 등

. 4가지 상태는 정확하게 구별되지 않는 경우도 있다

e.g. Styrofoam은 고체로 분류할 수 있지만 내부에 기체 상태의 기포를 품고 있으며, 안개나 구름은 수 많은 작은 물방울이 공기와 혼합된 상태, 식물은 내부에 많은 액체를 내재

. 물질의 상(태)은 온도와 압력에 따라 변화

4.1 물질: 상태, 형태 그리고 힘

^(계속)

• 물질 (계속)

. 논의를 단순화하기 위해 “순수” 상태에 있는 물질만을 고려, 특별한 언급이 없는 한 실온(상온)과 정상 압력(상압) 하에서 상태를 의미 . 거시적(Macroscopic)으로 보이는 물질의 상태는 근본적으로 물질의 미시적(Microscopic) 구성에 의해 이루어진다

• 원소(Elements)

. 일상 모든 물질들의 가장 단순하면서 순수한 형태로서, 118 종의 원소들을 확인, 110개의 원소에 명명 ☞ Figure 4S.2 (90 종은 자연 상태로 존재, 나머지는 실험실에서 합성된 원소들)

• 원자의 구조, 질량과 전하량 ☞ Table 4S.1

. 원자는 양성자(Proton)와 중성자(Neutron)로 이루어진 핵(Nucleus)과 주위를 돌고 있는 전자(Electron)로 구성 ☞ Figure 4.3 in p128 & 4.6 in 130

. 원자 번호(Atomic Number)는 원소의 핵 속에 들어있는 양성자 수를 표시, 즉 양성자 수 = 원자 번호

e.g. 양성자 하나인 수소의 원자 번호는 1 (표기; 1H), 양성자 두 개인 Helium의 원자 번호는 2 (표기; 2He)가 된다 ☞ Figure 4S.2, Appendix B in p498

. 원자의 질량수(A_M)는 원자 속의 양성자의 수(Z)와 중성자와 수(N_N)의 합이며 따라서 아래와 같이 표시된다

AM = Z + NN (4S.1)

Table 4S.1 원자 구성 요소와 질량 및 전하량

Figure 4S.2 원자 번호와 질량 표기법

원자 구성 요소 기호 (수) 입자 질량(Mass of Particle) 전하량(Electrical Charge)

핵 양성자 Z

m = mneutron = mproton = 1.67 x 10^-27 kg

1.60 x 10^-19 C(Coulomb) x Z (양전하, Positively Charged)

중성자 N_N 중성 (0, Electrically Neutral)

전자 e 무시할 정도 (9.11 x 10^-31 kg, ~1/1836 of Proton or ~1/1841 of Neutron) - 1.60 x 10^-19 C x Z (음전하, Negatively Charged)

A_M [원자 총 질량] = [양성자 총질량] + [중성자 총질량]

= mZ + mN_N = m(Z + N_N) = mA_M [(총)전하량] = [양성자 보유 총전하] + [전자 보유 총전하] = 0 Figure 4.3 원자의 구조

4.1 물질: 상태, 형태 그리고 힘

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• 주기율표 ☞ Appendix B in p498

Figure Appendix B Periodic Table of Elements

4.1 물질: 상태, 형태 그리고 힘

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• 화합물(Compounds)

. 이종(異種)의 원소끼리 합쳐져^*1 두 개 이상의 원자로 구성된 분자(Molecule) 상태로 존재하는 물질

*1 이러한 상태는 화학적으로 결합(Bond)이라는 방법으로 원자끼리 묶여져 있는데, 결합은 화학의 범주로서 본 학과목에서는 다루지 않는다

. 화합물은 화합물 분자 내의 원자의 수와 종류를 식별할 수 있는 기호로 표시된다 e.g. 일산화탄소(CO)의 분자는 탄소 원자와 산소 원자가 하나의 분자를 형성하고 있으며, 물 분자(H₂O)는 수소 원자 두 개와 산소 원자 하나가 공유 결합이라는 방법으로 서로 결합되어(묶여져) 있다 ☞ Figure 4.4 in p129

. 화합물을 구성하고 있는 개별 원소의 성질과 화합물을 구성했을 때의 성질은 크게 다르다 e.g. Na, Cl 등 개별 원소와 두 원소의 화합물인 NaCl

• 혼합물(Mixtures)

. 둘 또는 그 이상의 다른 화합물 들이 물리적으로 혼합된 물질

. 화합물처럼 원자들끼리 결합한 분자 상태의 물질이 모여서 이루어진 것이 아니라 단순히 혼재되어 있는 상태

e.g. 공기나 돌, 바닷물 등 많은 물질들이 혼합물이나 용액(Solution) 상태로 존재 ☞ Table 4.2 in p129

Figure 4.4 물 분자 내의 산소와 수소 원자의 결합

Table 4.2 맑고 건조한 공기 속의 주요 원소들

4.1 물질: 상태, 형태 그리고 힘

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• 원자와 분자의 성질

. 원자나 분자들은 서로 전기적인 힘을 미치게 되는데, 이 힘은 각 원자 내의 전자 배열에 따라 달라지게 되며 이 힘의 본질이 물질의 성질을 결정한다

. 앞서 언급한 물질의 4가지 형태 중 고/액/기체의 상태를 입자들 간의 힘과 관련 지어 표현할 수 있다 1) 고체

- 구성 입자들 간의 인력이 매우 강하여 서로 단단히 결합된 상태로 존재하며 단지 진동만이 가능

2) 액체

- 입자들 간 결합 상태가 고체보다는 상대적으로 약하며, 각 원자(분자)들은 이웃한 원자(분자)에 대해 상대적으로 움직일 수 있지만 다른 원자(분자)들과 접촉 상태를 유지하고 있다

3) 기체

- 구성 입자들 사이의 인력이 매우 작아서 충돌 시에 서로 접촉만 할 뿐 결합되어 있지 많으며 원자(분자)들은 빠른 속력으로 이동할 수 있고 따라서 넓게 퍼져 있게 된다

• 결정성 화합물(Crystalline Compounds)과 비정질(Noncrystalline, Amorphous) 고체

. 화합물을 이루는 구성 원소들이 정해진 규칙에 따라 반복적으로 구조 내에 배열되어 있는 화합물 ☞ Figure 4.7 in p131

e.g. 소금(NaCl)은 Sodium(Na) 원자와 염소(Chlorine, Cl) 원자가 정해진 규칙에 따라 교대로 공간 상에 3차원적으로 배열되어 있다

. 이에 반해 규칙적인 결정 구조를 가지지 않고 원자나 분자들이 임의로 무질서하게 뒤섞여 있는 것을 비정질 고체라고 한다

e.g. 유리

Figure 4.7 (a) 고체 내의 원자의 규칙적인 배열, (b) 결정 구조 내 원자들의 용수철 모형,

(c) Silicon 원자들의 배열을 주사 전자 현미경으로 찍은 사진 (IBM Watson Labs)

4.1 물질: 상태, 형태 그리고 힘

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• 동질이상(同質異像; Isomorphic → Allotropes)

. 같은 원소로 구성되어 있지만 3차원적인 배열의 방법이 달라서 다른 형태를 가지는 것을 동질이상이라고 한다

e.g. 대표적인 물질이 탄소(C)인데 다양한 구조를 가지며, 따라서 이러한 경우는 특히 Polymorphism(동질다상)이라고 부른다 ☞ Figure 4S.3 & 4S.4, RA p131-132

Figure 4S.3 탄소의 결정질 상태의 동질이상 (a) 금강석(Diamond), (b) 흑연(Graphite) (a)

(b)

Figure 4S.4 탄소의 거대 분자(Macromolecules)의 동질이상 (a) Fullerene (“Bucky Ball”), (b) Graphene

(a)

(b)

4.1 물질: 상태, 형태 그리고 힘

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• 액체와 기체 상태의 비교

. 액체에서는 입자 간 결합력이 그리 강하지 않아 고체처럼 단단하게 결합하지 못 하고 원자나 분자들은 진동하면서 서로 쉽게 가까이 움직이기도 하는데, 입자 간의 힘은 표면장력 (Surface Tension ; 액체의 표면과 인접한 다른 표면과의 본질적 인력)과 입자의 모양과 관련이 있다

. 많은 화합물들이 액체 결정(액정; Liquid Crystal)이라고 하는 고체와 액체의 중간 상태로도 존재하는데, 이 상태의 분자들은 약간의 유동성이 있으나 고체처럼 비교적 규칙적으로 배열 되어 있다

. 기체의 경우 원자와 분자들의 간격이 넓어서 충돌할 때를 제외하고는 개별적으로 움직이며, 그 속력이 매우 빠르기도 하지만 상호 충돌에 따라 항상 입자 속력의 증감이 발생한다

. 고체나 액체의 표면은 항상 기체에 대한 경계면이 되는데, 기체 속에서 속력이 매우 빠른 원자나 분자들은 임의의 운동에 의해 표면(액체나 고체와의 계면)에 충돌하게 되며, 이에 따라 표면에 힘을 작용한다 (기체가 압력을 가지게 되는 이유)

e.g. 자동차 바퀴(Tire)의 모양은 바퀴 안쪽 벽과 공기 분자와의 충돌에 의해 지탱된다 ☞ Figure 4.11 in p133

. 상온/상압 조건 하에서 기체의 원자나 분자들 간의 평균 거리는 고체나 액체의 경우의 ~10배가 되므로 기체 내부에는 빈 공간이 아주 넓으며 따라서 쉽게 압축된다 ☞ Figure 4.12 in p133

Figure 4.12 기체 분자와 압력 Figure 4.11 기체 분자와 압력과 고체와의 계면

4.2 압력

• 압력^*1(壓力, Pressure)의 정의

. 어떤 면에 수직으로 작용하는 단위 면적 당 힘 (면에 작용하는 힘의 수직 성분을 표면의 넓이로 나눈 값)

*1 정의에서 보는 것처럼 압력은 힘을 면적으로 나눈 값으로서 [ML^-1T^-2]의 차원을 가지므로 힘과는 단위의 차원이 다르다는 점에 유의, 역학이나 재료공학에서는 이를 Stress, 강도(强度; Strength) 등의 용어로 표현한다

p = 𝑭

𝑨 ^(4.1)

. 압력의 속성과 단위

- 압력은 Scalar로 취급하며 따라서 방향성은 Energy의 경우처럼 필요에 따라서만 표시한다

- 표준 SI 단위는 Pascal(기호; Pa)로서 1 Pa = 1 N/m² = 1 (kg∙m / s²) / m² = 1 (kg/m∙s²)

- 아직도 자동차 바퀴(Tire) 등의 압력의 표시에는 영미의 단위로 psi(Pound per Square Inch)를 많이 사용하므로 알아 둘 필요가 있다

1 psi = 6890 Pa (4.2)

- 때로는 atm(“기압”으로 읽는다)의 단위를 쓰기도 하는데, 상압(대기압)을 1 atm(기압)으로 규정할 때 대기압에 대한 압력의 상대적 비율을 표시할 수 있어 유용하게 사용하는 단위 (이에 대해서는 Section 4.4에서 다시 상세히 다루기로 한다)

1 atm = 1.01 x 10⁵ Pa = 14.7 psi (4.3)

- ☞ (4.1)은 F = pA 로 전환할 수 있음에 주목 - 이는 자동차 바퀴처럼 기체가 들어 차있는 압력 용기의 안쪽 벽면에 가해지는 힘을 다루는데 매우 유용하게 쓰이는 관계식

또한 앞서 ‘질량을 가진 물체의 운동’이라는 관점에서 살펴 본 “F = ma”라는 표현식에 대해 힘(Force)에 대한 다른 관점의 표현식이라는 것에 주목할 필요! (압력은 힘의 개념의 확장)

F = pA (4.1a)

1 psi = 1 lb x 9.8 (m/s²) / (inch)²

= 9.8 x 0.4535 (kg∙m/s²) / (0.0254 m)²

= 9.8 x 0.454 (kg∙m/s²) / (0.0254 m)² = 6890 (kg/m∙s²) = 6890 Pa

4.2 압력

^(계속)

• 힘의 집중과 분산

. 예제 4.1 in p136에서 보면 같은 힘이라도 작용하는 면적에 따라 압력이 달라진다는 것을 알 수 있는데, 따라서 압력은 물체에 작용하는 힘이 얼마나 집중되어 있는가의 척도로 생각할 수 있다

예제 4.1

몸무게 686 N인 사람이 바닥과 접촉한 넓이가 140 cm²인 신을 신고 1) 두 발로 마루 위에 서 있을 때, 2) 한 발로 서 있을 때 마루에 작용하는 압력을 구하라.

3) 만일 이 사람이 뒷굽이 높은 신을 신고 한 발로 서 있을 때 뒷굽의 넓이가 1.2 cm x 1.2 cm라면 바닥에 작용하는 압력은 어떻게 될까?

예제 4.2

고도가 높은 곳(약 7500 m)에서 비행기 객실 내의 압력은 외부에 비해 약 0.41 x 10⁵ N/m² (0.41 기압) 높다. 넓이가 0.3 m x 0.3 m인 창문과 1 m x 2 m인 출입문에 밖으로 작용하는 힘의 크기를 구하라.

4.2 압력

^(계속)

• 압력의 상대성

. 측정하는 압력은 상대적인 양이라는 것에 주의할 필요가 있다

e.g. 1) 자동차 바퀴의 압력을 말할 때 (내부) 압력을 외부 압력(대기압)과 비교하여 측정, 바퀴의 압력이 2 기압으로 측정되었다면 대기압이 1 기압이므로 실제 바퀴 내 압력은 3 기압 ☞ Figure 4S.5

측정된 압력 값인 2 기압은 상대 압력(Relative Pressure, Gauge Pressure )이라 하며, 실제 바퀴 내의 공기 압력인 3 기압은 절대 압력(Absolute Pressure)이라 한다

2) 예제 4.2에 주어진 비행기 객실 내의 압력 0.41 기압은 계기 압력이므로 객실 내 절대 압력은 고도 7900 m에서 외기압 0.34 기압을 이겨내기 위한 만큼 압력이 더해져야 하므로 0.41 + 0.34 = 0.75 기압이 되어야 한다

Q1. 우리 몸의 피부를 비롯한 모든 기관은 대기압(1 atm)과 같은 압력을 유지하고 있다. 만일 그렇지 않다면 어떤 일이 일어날 것인지 예측해 보아라.

• 압력과 부피의 상관관계

. 기체가 압축되면 부피가 감소한다 (팽창하면 부피는 증가)

. 기체 내의 원자와 분자들의 표면과의 충돌이 압력의 원인, 부피가 감소하면 경계면에 부딪치게 되는 단위 면적 당 입자의 수가 증가 → 단위 면적 당 작용하는 힘(압력)이 증가

. 기체의 온도는 원자나 분자들의 속력에 영향 → 기체의 온도에 의해 압력도 영향을 받는다

온도가 증가한다는 것은 열 Energy가 가해진다는 의미이며 가해진 E에 의해 기체 원자나 분자의 운동 E ( = ^𝟏

𝟐 mv²) 증가 → 속도의 증가

. 일정한 양의 기체의 온도가 일정하게 유지되면 압력 p와 부피 V의 관계는 다음과 같이 서로 반비례한다 ( p ∝ ^𝟏 𝑽 , V ∝ ^𝟏

𝒑 ) ☞ Figure 4S.6

pV = const. (4.4)

1 atm (대기압) 1 atm

3 atm (절대 압력)

Figure 4S.5 바퀴의 내부 압력의 상대성

V

p pV = const.

Figure 4S.6 압력과 부피의 관계 그림

4.3 밀도

• 질량 밀도(Mass Density) . 질량 밀도의 정의

어떤 물질의 단위 부피 당 질량 (물질의 질량 m을 그 물질이 차지하는 부피 V로 나눈 값, 따라서 단위는 kg/m³, g/cm³, 차원은 [M/L³])

D = ^𝒎

𝑽 (4.5)

. 밀도는 질량이 단위 체적 내에 얼마나 밀집해 있는가를 나타내는 척도 (압력이 힘의 밀집도의 척도인 것과 유사)

. 기체는 온도나 압력에 변화를 주면 액체나 고체에 비해 훨씬 쉽게 부피의 변화를 가할 수 있으며 이에 따라 밀도의 변화도 용이하게 되는데, 예를 들어 기체의 압력을 두 배로 높이면 (4.4)를 통해 알 수 있듯이 부피가 반으로 줄기 때문에 (4.5)에 따르면 밀도는 두 배가 된다

예제 4.3

1) 육면체 모양의 수족관의 크기가 0.5 m x 1.0 m x 0.5 m이다. 수족관의 질량은 물을 가득 채웠을 때가 비웠을 때보다 250 kg 많다. 물의 밀도를 구하라.

2) 같은 Tank에 휘발유를 채운다면 휘발유의 질량은 170 kg이다. 휘발유의 밀도를 구하라.

• 물질의 질량 밀도의 유용성 ☞ Table 4.4 in p141

1) 물질의 종류를 쉽게 확인 (일종의 지문 검사, Fingerprint Technique) 2) 혼합물 속에 들어있는 특정 물질의 상대적인 비율이나 양 측정 3) 물질의 부피에 대한 정보로부터 질량 계산

m = DV (4.5a)

• 무게(중량) 밀도, DW

. 밀도를 생각할 때 ‘질량(m)’ 대신 중력 가속도를 고려한 ‘중량’ W = mg 로 대체한 밀도의 값인데, 특수한 경우가 아니면 잘 고려하지 않는다 ☞ Table 4S.2 질량 밀도 D = ^𝒎

𝑽 (4.4)

중량 밀도

정의 D_W = ^𝑾

𝑽 (4.6) 질량 밀도와의

(2.4) → (4.6) 관계식 D_W = ^𝑾 𝑽 = ^𝒎𝒈

𝑽 = ^𝒎

𝑽 g = D∙ g (4.7) Table 4S.2 질량 밀도와 중량 밀도의 정의 및 상호 관계

4.3 밀도

^(계속)

• 비중(比重, Specific Gravity)

. 물질들 간의 밀도를 비교할 때, 물을 기준으로 하여 물질의 상대적 밀도를 표시하는 양 → 단위가 없는 무차원 물리량

. 특정 물질의 비중은 그 물질의 밀도와 물의 밀도의 비로 계산 (물의 밀도가 기준이 되므로 결과적으로 물의 비중은 1이 된다)

- 금강석의 밀도는 물의 밀도의 3.4배, 따라서 금강석의 비중은 3.4이고, 이것은 곧 같은 부피의 물에 비해 금강석의 질량(또는 무게)가 3.4배임을 의미 ☞ Table 4.4 in p141

- 비중을 따질 때 물이 기준이 되는 것은 가장 흔하고도 중요한 물질이기 때문 (질량의 단위 1 g은 0 °C에서 물 1 cm³의 질량으로 정의)

- 물의 밀도는 특별히 정한 것이라기 보다 중력 가속도, 대기압 등과 같이 우리가 속해 있는 자연 속의 환경적(자연적) 요소를 고려한 결과

• 밀도의 물리학적 의미

. (질량) 밀도는 질량을 부피[L³]로 나눈 값인데 반해, 경우에 따라 분모를 면적[L²], 선[L¹] 등의 차원으로 생각하는 것이 개념 상 편리한 경우들이 있다 e.g. 넓은 양탄자라면 면적(표면) 밀도, 실이나 전선 같은 경우라면 생김새에 따라 선 밀도를 사용^*1

^*1 일반적으로 “밀도”라고 하면 질량 밀도를 뜻하는 것이지만 교재에서 굳이 이를 밀도라 하지 않고 질량 밀도라고 제목을 붙인 이유

. 질량 밀도/면적 밀도/선 밀도는 비록 그 단위의 차원은 다르지만 길이/넓이/부피 등 물질의 단위 당 질량을 의미한다는 점에서는 물리적 의미는 유사하다

4.4 유체의 압력과 중력

^(계속)

• 유체(流體, Fluid)

. 기체, 액체, Plasma 등과 같이 쉽게 흐를 수 있는 물질

• 유체 내 압력의 두 가지 일반적인 성질 1) 유체의 압력은 유체 내의 모든 방향으로 작용

- 고무 장화 속의 물이 뚫린 구멍을 통해 흘러 나올 때 구멍이 어느 위치에 있든 물이 흘러나오게 된다 ☞ Figure 4.23 in p145

2) 유체 내 압력은 중력의 존재로 인해 깊이에 따라 변화 (유체가 담긴 용기의 모양과는 무관)

- 장화에 뚫린 구멍의 상대적 위치(높이)에 따라 물이 흘러나오는 속력이 달라지는데, 구멍의 위치가 깊을수록 속력이 빨라진다 즉, 일정한 모양의 용기에 담긴 모든 유체 내의 압력은 깊이에 의존한다

• 유체 내 압력과 중력과의 관계

. 유체의 압력에 대한 정의와 물리적 의미

정의) 정지 유체의 임의 깊이에서 (계기) 압력은 그 유체 기둥의 높이에 해당하는 유체 무게를 그 기둥의 단면적으로 나눈 값 물리적 의미) 압력의 원인을 설명하는 것이며 이를 통해 압력의 크기를 결정하는 법칙

. 압력은 아래의 식으로 정의된다 ☞ Figure 4.24 in p145, (4.1) → (2.4) ; (4.1a)

p = ^𝑭 𝑨⁼

𝑾

𝑨 ⁼ (4.1a)

무게 밀도의 정의 (4.6)으로부터 W = D_W ∙ V 이므로

F = W = DW ∙ V = DW ∙ l∙ w∙ h (2.4) & (4.6)

p = ^𝑭= ^𝑾 = ^{𝑫𝑾∙𝒍∙𝒘∙𝒉}= D ∙ h = D∙ g∙ h (4.1, 4.1a, 4.7)

Figure 4.23 고무 장화 속의 물의 압력

[액체의 무게]

[사각형의 넓이]

A = l∙ w V = l∙ w ∙ h D_W = D∙ g (4.7) in 143

4.4 유체의 압력과 중력

^(계속)

• 유체 내 압력과 중력과의 관계 (계속)

. p = DW ∙ h = D∙ g∙ h ☞ (4.7) in p146 물리적 의미

물질(액체)의 종류가 정해지면 (즉, D, DW가 일정) 압력은 오로지 높이 h 에만 의존, 액체의 깊이 h 에서의 절대 압력은 임의의 표면에서의 압력보다 그 액체 무게 밀도에 깊이 h 를 곱한 값만큼 크다 ☞ Figure 4S.7

pH = D_W h + p₀= D∙g

∙

^{h + p}0 (4S.2)

예제 4.6

깊이가 3 m인 어떤 수영장 바닥에서의 계기 압력과 절대 압력은 각각 얼마인가?

• 물의 깊이에 따른 입력의 증가 ☞ Figure 4.26 in p147

p (atm) = 0.098 (atm/m) x h (m) (4.8)

위의 식은 물에 대해서만 성립하는 식으로서 물에서는 깊이가 10 m씩 증가할 때마다 압력이 약 1 기압(0.98 atm)씩 증가한다 (바닷물의 경우에는 10 m 깊이마다 1.03 atm 만큼씩 증가)

표면 압력 p₀

p₀

h H

높이 h인 점 H에서의 압력, p H

pH = DW h + p₀

= D∙g

∙

^{h + p}₀ ^pH = D_W h +p₀

Figure 4S.7 유체 내 임의의 점에서의 압력

Figure 4.26 물속에서의 깊이 - 압력의 관계

4.4 유체의 압력과 중력

^(계속)

• 유체 내 압력과 중력과의 관계 (계속)

예제 4.7

계기 압력 1 기압에 해당하는 물의 깊이를 구하라.

p (atm) = 0.098 (atm/m) x h (m)

1 atm = 0.098 atm/m x h(m)

h (m) = ^{𝟏 𝐚𝐭𝐦}

𝟎.𝟎𝟗𝟖 𝐚𝐭𝐦/𝐦 = 10.3 m

. 만일 물을 수은으로 대체한다면 수은의 비중(혹은 밀도)이 물의 13.6 배이므로 수은의 기둥은 물기둥의 1/13.6로 감소(10.3 m / 13.6 = 0.76 m)할 것이다 ☞ Figure 4.27 in p147

. 때로는 압력의 단위로 torr를 쓰기도 하는데, 1 torr는 수은(Mercury, 원소 기호 Hg) 기둥 1 mm에 해당하는 양으로서 아래와 같이 표기하며 따라서 mmHg는 바로 압력의 단위로 사용한다

1 torr = 1 mmHg (4S.3)

1 atm = 1.01 x 10⁵ Pa = 14.7 psi (4.3)

= 760 mmHg ( = 76 cmHg = 0.76mHg) (4S.4)

Figure 4.27 1 기압에 해당하는 유체의 종류에 따른 높이

160+ m 10.3 m

0.76 m

4.4 유체의 압력과 중력

^(계속)

• 대기 중의 유체의 압력

. 기체의 밀도가 압력에 따라 달라진다는 것을 앞서 학습한 바 있는데, 지구 대기는 여러가지 기체들이 혼합된 비교적 얇은 층으로서 고도가 높아짐에 따라 공기의 압력은 감소하지만 온도 변화, 지구의 회전이나 기타 다른 요인들에 의해 같은 고도에서도 때에 따라 공기의 압력은 달라진다 ☞ Figure 4.28 in p148

. 대기의 유효 상한

해발^*1160 km의 고도에서 공기의 밀도는 해수면의 10억분의 1로 감소하는데, 이 고도를 대기의 유효 상한으로 간주

*1 해수면 기준으로 하는 높이, 즉 해수면 = 0

. 공기 압력은 기압계(Barometer)로 측정 - 가장 단순한 기압계가 수은 기압계 ☞ Figure 4.29 in p148

- 유리관은 진공 상태에 있으므로 외부 기압이 올라가면, 우측 그림과 같이 관 속의 수은주가 올라가므로 수은주의 높이와 외부 압력을 1:1 대응시키도록 눈금을 정하면 수은주의 높이를 이용하여 압력을 측정할 수 있다 (빨대로 음료수를 흡입하는 것과 마찬가지 원리)

- 앞서 언급한 바와 같이 공기가 1 기압일 때 수은주의 높이는 760 mm가 된다

원리 상으로는 수은 대신 다른 액체를 사용할 수도 있지만, 물의 경우처럼 기둥의 높이가 너무 높아진다면 (10.3m @ 1atm) 압력계를 만들어 사용하는 것이 현실적으로 번거로우므로 상온에서 액체 상태로 존재하기도 하지만 그 중에서도 비중이 가장 큰 물질은 수은을 사용)

- Aneroid 기압계 ☞ Figure 4.30 in p148

압력에 따라 변화하는 얇은 막에 지렛대를 연결하여 바늘이 회전하도록 만들어주면 압력의 변화에 따라 바늘의 끝이 가리키는 점을 압력으로 표시할 수 있도록 해 준다

- 항공기에서는 압력과 고도의 상관관계를 이용하여 Aneroid 기압계를 변환한 고도계로 사용

Figure 4.28 해수면을 기준으로 한 높이에 따른 절대 공기 압력의 변화

Figure 4.29 수은 기압계의 원리 Figure 4.30 Aneroid 기압계의 원리

4.5 Archimedes의 원리

• 부력(浮力 ; Buoyant Force)의 존재

. 정의) 부분, 또는 전체가 유체 속에 잠긴 물체에 유체가 작용하는 중력과 반대 방향의 힘

. 부력은 기체나 액체 속에 잠긴 모든 물체에 작용

. 물체에 작용하는 다른 힘이 없는 한 유체 속에 잠긴 물체에 일어날 수 있는 일은 3 가지 ☞ Figure 4.32 in p150

1) 부력이 물체의 무게(중력)보다 작으면 물체는 가라앉는다 - 바위의 경우, 2) 부력이 무게와 같으면 물체는 뜬다 - 나무토막의 경우

3) 부력이 무게보다 크면 물체는 위로 상승한다 - Helium을 채운 풍선

• 부력(Fb)의 원인 ☞ Figure 4.34 in p151

. 그림과 같이 완전히 물 속에 잠겨 있는 물체를 본다면 물체의 밑면이 윗면보다 더 깊은 곳에 있으므로 바닥 면에 작용하는 압력이 더 클 텐데, 이 압력에 의해 물체에 밑면에서 위로 향하는 힘 F_위는 윗면에서 아랫면을 향하는 힘 F_아래보다 크다 (즉, F_위 > F_아래, 알짜 힘 Fb = F_위 - F_아래)

. 물체가 액체의 표면에 떠 있을 때는 그 물체의 바닥 면에만 액체의 압력이 작용

• 부력의 크기

. Archimedes의 원리에 의해 정량적으로 계산된다

정지해 있는 유체 속의 물체에 작용하는 부력은 그 물체가 배제한 유체의 무게와 같다

. Archimedes의 원리에 의하면 물체는 유체 속에서 가라앉더라도 부력을 받게 되므로 아래로 향하는 알짜힘은 부력만큼 작아진다(가벼워진다)

Figure 4.32 부력과 중력의 크기에 따른 유체 속에서의 물체의 유동

Figure 4.34 부력의 원인과 그 크기

4.5 Archimedes의 원리

^(계속)

• 부력의 존재를 확인할 수 있는 간단한 실험 ☞ Figure 4.35 in p151

. 10 N의 무게를 저울에 달은 채로 물이 들어 있는 용기에 넣으면 배제한 물의 무게만큼 무게가 감소한다

배제한 물의 무게가 우측 그림과 같이 4 N이라면 물 속의 물체를 매달고 있는 저울은 6 N( = 10 N – 4 N)을 가리키게 된다 물체가 물 속으로 더 깊이 들어간다면 부력은 점점 증가할 것이고 저울 눈금은 더 밑으로 내려갈 것

• 부력의 특징

. 부력의 크기는 물질의 종류에 관계없이 배제되는 물의 양에 해당하는 무게만큼만 작용한다는 점에 유의 즉, 오로지 물에 잠긴 부피(에 해당하는 물의 무게)에 달려 있다

. 물체의 크기(무게)만으로는 이 물체가 물에 뜰 것인지 아닌지를 판단할 수 없다

e.g. 작은 조약돌은 물 속으로 가라 앉지만 무게가 그 보다 훨씬 더 나가는 통나무는 물에 뜬다

[물체의 무게] = [(물체의) 무게 밀도] x [부피]

W = D_W ∙ V (4.6a)

Archimedes의 원리에 의하면 부력은 아래와 같이 표현된다

[부력] = [배제된 유체의 무게] = [(유체의) 무게 밀도] x [부피]

F_b = D_W(유체) ∙ V (4.9)

물에 뜰지 가라앉을지는 W 와 Fb 의 상대적 크기에 따라 결정, 즉 W > Fb 경우에는 가라앉을 것이며, W < Fb 경우에는 뜰 텐데 결국 DW와D_W(유체)의 상대적 크기에 따라 결정된다 따라서 단순히 물질의 질량밀도(혹은 무게 밀도)를 비교하여 보면 부침 여부를 알 수 있다 ☞ Table 4.4 in p141, RA p152 Top thru Bottom

Figure 4.24 부력의 존재를 확인할 수 있는 실험 10 N

6 N

4 N 0

4.5 Archimedes의 원리

^(계속)

• Archimedes 원리를 활용하여 물질의 밀도를 측정할 수 있는 방법 . 고체의 밀도나 비중을 측정하는데 Archimedes 원리를 활용

. 먼저 비중을 측정하고자 하는 물체의 무게(W)를 측정, 다음에 물체를 (비중이 정확하게 1이 되는) 물 속에 완전히 잠기도록 한 후에 저울이 가리키는 무게(W1)를 측정, 두 무게의 차이가 배제된 물의 무게 (W₀) 가 된다

[배제된 물의 무게, W0] = [물체의 무게, W ] - [물 속에서 측정한 물체의 무게, W1] (4.10)

☞ (4.5) 밀도의 정의로부터 D ≡ ^𝒎

𝑽 이므로 물체의 밀도를 D, 물의 밀도를 D0 , 배제된 물의 부피와 물체의 부피는 같으므로 V라고 하면

[물체의 비중] ≡ D / D0 = ( ^𝑾 𝑽 ) / ( ^𝑾𝟎

𝑽 ) = W / W₀ = W / (W – W₁) (4.11)

예제 4.8

뗏목과 사람의 총 중량이 1000 N일 때, 이 뗏목이 물에 뜨도록 하기 위해서는 속이 빈 부피 2000 cm³의 우유통을 몇 개나 붙여야 할까?

예제 4.9

각각 수소와 Helium을 채워 넣은 비행선의 1 m³ 당 부력을 구하라.

. 설명 필요 ; 수소와 He의 1 m³ 당 무게 계산

4.6 Pascal의 원리

• Pascal의 원리

. 압력은 밀폐된 용기 내의 어느 곳에서나 일정하게 작용

. 힘은 단지 그 힘이 작용하는 방향으로만 작용/전달되지만, 압력은 용기 내부의 모든 부분과 용기의 벽에도 일정하게 작용한다

. 같은 압력 p가 작용하더라도 F = pA 이므로 면적에 비례하여 작용하는 힘이 커진다 ☞ (4.1a) in p136 & Figure 4.40 in p156

A₁ < A₂ (설계 시 미리 고려)

F1 = pA1 < F2 = pA₂

. 이 원리는 자동차의 제동 장치(Brake)와 같은 유압 장치(Hydraulic Systems)에 널리 사용된다 ☞ Figure 4.41 in p156

Figure 4.30 자동차의 유압식 제동 장치의 원리도 주 Cylinder

바퀴 Cylinder 제동 발판

(Brake Pedal)

Brake Pad

바퀴

회전자(Disc) 바퀴

Figure 4.40 작은 Piston에 작용하는 동일한 압력으로 큰 힘을 낼 수 있는 원리 A₁ < A₂

F₁ = pA₁ < F₂ = pA₂

F₂ F₁

4.6 Pascal의 원리

^(계속)

예제 4.9

Figure 4.42와 같은 유압식 자동차 Lift에서 1차 Piston의 단면적은 A1 = 0.0025 m²이며 그 무게는 무시할 만큼 작다.

Lift 쪽 2차 Piston의 단면적은 A2 = 0.0625 m², 자동차와 그 받침을 합한 무게는 17500 N이라고 한다. 두 Piston의 높이는 그림처럼 같다고 할 때 Lift를 들어 올리기 위해서 1차 Piston에 가해주어야 하는 힘의 크기는 얼마인가?

4.7 Bernoulli의 원리

• Bernoulli의 원리

. 정상류^*1의 유체에서 유체의 흐름이 빠른 곳에서는 압력이 낮다

^*1 유체 내에 소용돌이(난류)가 없으며 흐름률을 변화시키는 외력이 작용하지 않는 흐름

• 유체의 운동 Energy와 위치 E

. B의 원리는 Energy 보존 법칙에 기반을 둔 이론으로서 새로운 이론이라기 보다는 E 보존 법칙을 유체의 상황에 맞게 재구성한 것

. 압력을 받고 있는 유체는 압력 위치 E(Pressure Potential Energy)를 가지는데, 유체의 압력이 높으면 임의의 부피의 위치 E가 크다

e.g. 수도꼭지에서 물이 흘러 나올 때 압력이 높으면 물이 세게 흘러 나오고 압력이 낮으면 물은 느린 속도로 흘러 나온다 (운동 E의 크기가 달라진다)

. 일정 시간에 관을 통과하는 유체의 부피는 일정하므로 관의 단면적이 좁아지면 유속은 빨라진다 ☞ Figure 4.43

. 흐르는 물질(유체)은 운동 E와 위치 E를 가지고 있는데, 유체의 속력이 증가하면

운동 E도 증가하지만 E 보존 법칙에 의해 위치 E는 감소하게 되고 따라서 압력도 감소하게 된다

Figure 4.42 유압식 Lift를 이용한 힘의 증가

Figure 4.43 Bernoulli의 원리에 의한 유속과 압력의 관계

4.7 Bernoulli의 원리

^(계속)

• B 원리의 실생활 응용

. B의 원리는 실생활에 많은 응용 예를 찾아 볼 수 있는 데, 일상에서 널리 사용하는 분무기는 바로 이 원리를 응용한 장치들이다 ☞ Figure 4.44 in p159

. 비행기는 속력이 빨라질 때 날개에서 생기는 양력(Lift Force)은 바로 B의 원리에 따라 생기는 힘이며 비행기를 공중으로 뜨게 해 주는 원인이 되는 힘이다

. 야구공이나 축구공의 회전(자전)에 따른 공의 방향 변화를 설명하는 Magnus 효과도 B의 원리에 근간을 둔 B 원리의 파생 이론 ☞ Figure 4S.8

예제 4.11

일반적으로 정원에서 사용하는 Hose의 단면적은 5.1 x 10^-4 m²라고 한다. 수돗물을 틀면 물은 Hose 입구를

0.85 m/s의 속력으로 뿜어져 나간다. 만일 정원사가 손가락으로 Hose 입구를 눌러 그 단면적을 2.0 x 10^-4 m²로

줄이면 물의 속력은 어떻게 되는가?

Figure 4S.8 Magnus 효과 공기 흐름의 속도

공기 흐름의 속도 공의 회전에 의해

추가되는 속도 Vector