Айталық , келесі бір өлшемді толқындық теңдеу үшін қойылған Коши есебі берілсін

, 0 ), , ( ),

2 (    

a u xt x R t

u_tt _xx (1)

 

,0 ( ), . ),

( ) 0 ,

(x x u x x x R

u  _t   (2)

Бұл есептің шешімі (Даламбер шешімі)

) ( ) ( ) ,

(xt f x at g x at

u     (3)

түрде өрнектелетіндігі белгілі [1-3], мұндағы

), ( ) 2 (

) 1

(x at x at x at

f       ( ) ( )

2 ) 1

(x at x at x at

g      

және ^



dy a y

. ) 2 (

) 1

( 



Енді (3) шешімге физикалық интерпретация берейік. Ол үшін алдымен u(x,t) f(xat) функциясын қарастырайық, яғни g0 болсын. Бұл функцияның графигі f(x) функциясының графигінің бастапқы профилінің өзгеріссіз O_x өсінің бойымен оңға қарай at шамаға жылжуын береді.

Бұлар тура толқындар деп аталады. Дәл сол сияқты u(x,t)g(xat) функциясының g(x) функциясының профилінің өзгеріссіз солға қарай atшамаға жылжуын береді. Мұндай толқындар кері толқындар деп аталады. Демек, (3) шешімі aжылдамдықпен солға және оңға қарай таралатын толқындардың суперпозициясы екен. Енді осы процесстерді нақты көріп түсіну үшін Maple 11 [4]

бағдарламасының көмегімен келесі нақты мысалды қарастырайық.

Мәселен, (1)- (2) есебі үшін

2 , 0 ) ( 2 .

, 0

2, , 2

cos 2

2, ,

0 )

(  























 x a

x x x

x 



 болсын

(сурет 1).

Онда ( )

2 ) 1

(x at x at

f     және ( )

2 ) 1

(x at x at

g     функцияларының графиктері сәйкес (x) функциясының графигін өзгеріссіз солға (сурет 2) және оңға (сурет 3) қарай atшамаға жылжыту арқылы алынады.

Ал u(x,t) f(xat)g(xat)шешімі бұл функциялардың қосындысы (сурет 4.) болады.

Бұл мысалдың Maple11 пакетінде жазылған бағдарлама коды:

r est a r t : wi th ( p l ot t o ol s) : wi t h ( p l ot s) :

u : = ( x , t ) - > ( f( x - a * t ) + f( x + a * t ) ) / 2 + in t ( 1 / 2 * a ) * g ( v) , v= x - a * t … x + a * t );

a : = 2 : n ch := 3 : T : = 3: n t st ep s: = 2 5 : sh i ft : = tr an sfor m ( ( x , y) - > [ x , y, - 0 . 1 ] ) : od d ex t 0 : = p r oc( ex p r , va r )

u n a p pl y( si g n u m ( va r ) * un a p pl y( ex p r , va r ) ( a bs( va r ) ) , va r ) ; en d pr oc:

e ven ex t 0 : = p r oc( ex p r , va r )

u n a p pl y( u n a p p l y( ex p r , va r ) ( a bs( va r ) ) , va r ) ; en d pr o c:

f: = x - > p i ec e wi s e( x < - 0 . 5 * Pi , 0 , x < 0, 2 * cos( x ) , x < 0 . 5 * Pi , 2 * cos( x ) , 0 ) : g : = x - > 0 : p l ot ( [ f( x ) , g ( x ) ] , x = - 3 .. 5 , col or = [ r ed , gr een ] , th i ck n ess= 2 ) ,

p l ot ( [ f( x ) , g ( x ) ] , x = - 3 .. 5 , col or = r ed , th i ckn ess= 2 ) ,

scalin g=con strain ed,title=” Бастапқы шарттар ”,legen d-[“f(x)”,”g(x)”]);

) ( ), (

, f x at g x at

u   ф ункция графиктерінің уа қыт бойынша қозғал уы (сур ет 5):

d i sp l a y( [ s eq ( p l ot ( u ( x , t / n t st ep s) , 1 / 2 * f( x - a * t / n t st ep s) , 1 / 2 * f( x + a * t / n t st ep s) ] , x = - 4 . . 4, col or = [ bl a ck , br o wn , bl u e] , t h i ck n ess= 2 ) ,

t = 0 . .T *n t st ep s) ] , sca l i n g = con str a in ed , in seq u en ce = tr u e) ;

) , (x t

u функциясының 3D графигін кеңістікте салу (сурет 6):

c h a rr: =d i sp l a y ([ se q (p l o t ([ a * t +1 / n c h * x , t ,t =0 . . T], c o l o r=re d , t h ic k n e ss=1 ), x =- 3 . 5 * n c h. . 3 . 5 * nc h )] ):

c h a rr: =d i sp l a y ([ se q (p l o t ( - [ a * t +1 / n c h * x , t ,t =0 . . T] , c ol o r=b l a c k ,t h i ck n e ss=1 ), x =- 3 . 5 * n c h. . 3 . 5 * nc h )] ):

d i sp l a y ([ p l o t 3 d (u (x , t ), x = - 3 . 5 . . 3 . 5 , t =0 .. T, a xe s=b o x e d , sc a li n g =c o n st ra i n e d , n u mp o i n t s=2 0 0 0 , st y l e =p a tc h n o g ri d , sh a d i n g =zh u e ),

sh i f t (c h a rr ), sh i f t (c h a rl )] , o ri e n t at i o n =[ - 9 0, 0] , v iew=[ - 3 . 5 . . 3 . 5 , 0. . T, - 0. 1 .. 2 . 5] );

Мысалы 2. Айталық, (1)-(2 ) есебі үшін

2

a (x)0 және



























x x x

x x

2 , 0

, 2 0 , 2

, 0 2 , 2

2 , 0 )

(

болсын (сурет 7).

Бұл жағдайда



^



















at x

x x

at x

dy a y

at x at x g dy a y

at x at

x f

0 0

, ) 2 (

) 1 ( ) ( , ) 2 (

) 1 ( )

(    



^











at x

dy a y

at x at x t

u ( ) .

2 ) 1 ( ) ( ) ,

(   

Бұл мысалды жоғарыдағыдай Maple11 бағдарламасында орындасақ, төмендегі графиктерді (сурет 8) аламыз. Бұл мысалдың Maple11 пакетінде жазылған бағдарлама коды:

r est a r t : wi th ( p l ot t o ol s) : wi t h ( p l ot s) :

f: = x - > p h i ( x - a *t ) / 2 - in t ( 1/ 2 * a ) * p si ( v) , v= x 0 . . x ) ; g : = x - > ph i ( x + a *t ) / 2 + in t ( 1 / 2 * a ) * p si ( v) , v= x 0 . . x ) ; u : = ( x , t ) - > ( f( x - a * t ) + g ( x + a *t )

a : = 2 : n ch := 3 : T : = 3: n t st ep s: = 2 5 : x 0: = 0 : sh i ft : = tr an sfor m ( ( x , y) - > [ x , y, - 0 . 1 ] ) : od d ex t 0 : = p r oc( ex p r , va r )

u n a p pl y( si g n u m ( va r ) * un a p pl y( ex p r , va r ) ( a bs( va r ) ) , va r ) ; en d p r oc:

e ven ex t 0 : = p r oc( ex p r , va r )

u n a p pl y( u n a p p l y( ex p r , va r ) ( a bs( va r ) ) , va r ); en d pr oc:

p h i: = x - > 0 : p si : = x -> p i ece wi s e( x < - 2 , 0 , x < 0, x + 2, x < 2 , - x + 2, 0 ):

p l ot ( [ p h i ( x ) , p si ( x ) ] , x = - 5 .. 5 , col or = [ bl u e, g r een ] ,t h i ck n ess= 2 ,

) ( ), (

, f x at g x at

u   функция графиктерінің уақыт бойынша қозғалуы:

display([seq(plot(u(x,t/ntsteps),1/2*f(x-a*t/ntsteps),*g(x+a*t/ntsteps)], x=-5..5, color=[red,green,blue],thickness=2),

t=0..T*ntsteps)], scaling=constrained,insequence=true);

Жарты өсте қойылған толқындық теңдеу үшін Коши есебінің шешімінің физикалық интерпретациясын автордың [2, 85-88 бетер] оқу құралынан көруге болады.

Пaйдaлaнылғaн әдебиеттер тізімі:

1 Тихонов А.Я., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – 4-е изд. – М.: Наука, -1972.

2 Хомпыш Х. Математикалық физика теңдеулері. Теория,жаттығулар мен өзіндік жұмыстар, оқу құралы. Алматы, -2018. Қазақ университеті. -290 б.

3 Kreyszig E. Advanced Engineering Mathematics. – New York: Wiley, 1999.

http://www.wiley.com/college/kreyszig

4 Савотченко С.Е., Кузьмичева Т.Г. С13 Методы решения математических задач в Maple: Учебное пособие – Белгород: Изд. Белаудит, -2001, – 116 с.

УДК 372.851 МРНТИ 27.01.45

Б.М. Қосанов

п.ғ.к., профессор, Абай атындағы Қазақ ұлттық педагогикалық университеті, Алматы қ., Қазақстан

ҚОСПАҒА ОНЫҢ КОМПОНЕНТТЕРІНІҢ БІРІ ҚОСЫЛАТЫН КОНЦЕНТРАЦИЯ ЕСЕПТЕРІ Аңдатпа

Қоспаға (ерітіндіге) оның компоненттерінің бірі қосылатын есептер концентрацияға берілген есептердің ерекше бір түрі болып табылады. Өкінішке орай,оқушылар ғана емес, математика пәнінің кейбір мұғалімдерінің өзі мұндай есептерді шешудің қарапайым техникасын меңгермегендігін атап айту керек. Оның көптеген себептері бар,бірақ басты себептердің бірі, мектеп бағдарламасы мен мектеп математика оқулықтарында есептердің бұл түріне лайықты көңіл бөлінбейді. Мектеп тәжірибесі мектеп бітірушілердің ҰБТ тапсыру барысында концентрацияға берілген есептердің осы түрлерін нашар шығаратындығын көрсетіп жүр. Сондықтан мақалада қоспаға (ерітіндіге) оның компоненттерінің бірі қосылатын есеп концентрацияға берілген есептердің ерекше бір түрі ретінде қарастырылған және осындай есептерді шешудің стандартты емес, тиімді әдісі келтірілген.

Түйін сөздер: есеп, концентрацияға берілген есеп, қоспаға (ерітіндіге) оның компоненттерінің бірі қосылатын есеп, Пирсон конверті.

Аннотация Б.М. Косанов

к.п.н.,профессор, Казахский национальный педагогический университет имени Абая, г.Алматы, Казахстан

ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ, СВЯЗАННЫЕ С ДОБАВЛЕНИЕМ НА СМЕСЬ ОДНОГО ИЗ КОМПОНЕНТОВ СМЕСИ

Задачи на концентрацию, связанные с добавлением на смесь (на раствор) одного из компонентов смеси (раствора) являются особыми видами задач на концентрацию. К сожалению, приходится констатировать, что не только учащиеся, но и некоторые учителя математики не владеют простейшей техникой решения таких задач.

Тому есть много причин, но основная из них, это то, что в школьной программе и школьных учебниках математики этим видам задач не уделяется должное внимание. Школьная практика показывает, что выпускники школ хуже всего решают эти виды задач на концентрацию при сдаче ЕНТ. Поэтому в статье рассматриваются задачи, связанные с добавлением на смесь (на раствор) одного из компонентов смеси (раствора) как особый вид задач на концентрацию и предлагается нестандартный, рациональный метод решения таких задач.

Ключевые слова: задача, задача на концентрацию, задача на концентрацию, связанная с добавлением на смесь (на раствор) одного из компонентов смеси (раствора, конверт Пирсона.

Abstract

CONCENTRATION PROBLEMS ASSOCIATED WITH THE ADDITION INTO THE MIXTURE (SOLUTION) ONE OF THE COMPONENTS OF THE MIXTURE (SOLUTION)

B.M. Kosanov

2Cand.Sci. (Pedagogical), Associate Professor of the Abai Kazakh national pedagogical University, Almaty, Kazakhstan

Concentration problems associated with the addition of one of the mixture components (solution) into the mixture (solution) are special types of concentration word problems. Unfortunately, we have to admit that not only students, but also some math teachers do not own the simplest technique for solving such problems. There are many reasons for this, but the main one is that the school curriculum and school mathematics textbooks do not pay due attention to these types of word problems. Statistics show that graduates of schools worst of all solve these types of word problems for concentration when passing UNT, due to the fact that they do not own the simplest technique for solving these types of problems. Therefore, in the article, word problems related to adding one of the components of a mixture (solution) into a mixture (solution) are considered as a special kind of concentration word problems and a non-standard and efficient method of solving such problems is proposed.

Keywords: word problems, word problems for concentration, word problems for concentration, related to addition of

Концентрация мен проценттік құрамға берілген есептер мектеп математика курсындағы негізгі және аса қиын тақырыптардың бірі болып табылады. Ұлттық бірыңғай тестілеудің нәтижелері мектеп бітірушілердің басым бөлігінің осы есептерді шығара алмайтындығын көрсетіп жүр. Мұның басты себептерінің бірі, оқушыларды математикадан Ұлттық бірыңғай тестілеуге дайындауға арналған оқу- әдістемелік құралдарда концентрация мен проценттік құрамға берілген есептер жүйеге түсіріліп, белгілі бір топтарға бөлініп қарастырылмаған. Сонымен қатар оларда бұл есептерді шығарудың химиялық формулаларға негізделген аса қиын әдісі ұсынылған [1,2].

Біздің ойымызша, концентрация мен проценттік құрамға берілген есептерді мына сияқты төрт түрге бөліп қарастырған жөн:

1) Екі қоспаны (ерітіндіні) араластырып, жаңа қоспа (ерітінді) алумен байланысты есептер;

2) Қоспаға (ерітіндіге) оның компоненттерінің бірі қосылатын есептер;

3) Қоспадан (ерітіндіден) оның компоненттерінің бірі айырылатын есептер;

4) Қоспалардың (ерітінділердің) компоненттерінің ара қатынасына берілген есептер.

Бұл есептердің алғашқы түрін шығарудың оңай жолы болып табылатын «Пирсон конверті» деп аталатын әдіс «Хабаршы-вестник» журналының 2016 жылғы №1 санында жарияланған болатын [3].

Енді концентрация есептерінің екінші түрін Пирсон әдісінің көмегімен шығару мәселесін қарастырайық.

Айталық, қандай да бір қоспаға (ерітіндіге) оның компоненттерінің бірі араластырылып, жаңа қоспа (ерітінді) алынды делік. Қоспаны (ерітіндіні) схемалы түрде бір тіктөртбұрыш, оған қосылатын компонентті екінші бір тіктөртбұрыш және алынатын жаңа қоспаны (ерітіндіні) үшінші бір тіктөртбұрыш ретінде кескіндеу арқылы есептің төмендегідей моделін алуға болады:

Қоспа (ерітінді) Қосылатын компонент Жаңа қоспа(ерітінді)

+ =

𝑚₁ 𝑚₂ 𝑚_ж

Сурет 1. Қоспаға (ерітіндіге) оның компоненттерінің бірі қосылатын есептің моделі

Мұндағы Р₁% қоспадағы (ерітіндідегі) қандай да бір заттың массалық үлесі, 0%-оған қосылатын компоненттің массалық үлесі, ал 𝑚₁, 𝑚₂ және 𝑚_ж – сәйкесінше, қоспаның (ерітіндінің), оған қосылатын компоненттің және жаңа қоспаның (ерітіндінің) массалары.

Сонда мынадай теңдік орындалады:

𝑚₁ 𝑃₁ + 𝑚₂ · 0 = 𝑚_ж 𝑃_ж .

Қоспаға (ерітіндіге) оның компоненттерінің бірін қосу кезінде алынған жаңа қоспаның (ерітіндінің) массасы қоспа (ерітінді) мен оған қосылатын компоненттің массаларының қосындысына тең, яғни 𝑚₁ + 𝑚₂= 𝑚_ж болатындықтан:

𝑚₁ 𝑃₁ + 𝑚₂· 0 = (𝑚₁+ 𝑚₂) 𝑃_ж 𝑚₁𝑃₁+ 𝑚₂· 0 = 𝑚₁𝑃_ж + 𝑚₂𝑃_ж

𝑚₁𝑃₁– 𝑚₁𝑃_ж = 𝑚₂𝑃_ж – 𝑚₂· 0 𝑚₁(𝑃₁ – 𝑃_ж) = 𝑚₂(𝑃_ж – 0) Соңғы теңдіктен

2 1 1

0 m m P P

P





Пирсон әдісі арқылы қатынастар теңдігі түріндегі соңғы теңдікті тез шығарып алу үшін төмендегідей ретпен әрекет жасаған тиімді болады:

1) 1-жолға Р₁-ді, біраз орын қалдыра отырып, оның тұсына 𝑚₁-ді жазады:

𝑃₁ 𝑚₁

2) Астынан бір жол қалдырып, 3-жолға сәйкесінше, 0 мен 𝑚₂-ні жазады:

𝑃1% 0 %

𝑃ж%

𝑃₁ 𝑚₁

0 𝑚₂

3) 2-жолға, сол жаққа қарай ала отырып, 𝑃₁ мен 0-дің ортасына 𝑃_ж-ны жазады:

𝑃₁ 𝑚₁ 𝑃_ж

0 𝑚₂

4) 𝑃_ж саны 𝑃₁ мен 0-дің арасындағы сан болады, яғни 0 < 𝑃_ж <𝑃₁ сондықтан 𝑃₁ мен 𝑚₁-дің арасына 𝑃_ж − 0 айырмасын, ал 0 мен 𝑚₂-нің ортасына 𝑃₁ - 𝑃_ж айырмасын тауып жазады:

𝑃₁ 𝑃_ж– 0 𝑚₁ 𝑃_ж

0 𝑃₁– 𝑃_ж 𝑚₂

5) 𝑃_ж – 0 және 𝑃₁– 𝑃_ж айырмаларының және 𝑚₁ мен 𝑚₂-нің араларына бөлшек сызығын қойып, алынған бөлшектерді теңестіреді:

𝑃₁ 𝑃_ж – 0 𝑚₁ 𝑃_ж = ;

0 𝑃₁ – 𝑃_ж 𝑚₂ 6) Алынған соңғы теңдеуді шешеді.

Енді қоспаға (ерітіндіге) оның компоненттерінің бірі қосылатын кейбір есептерді осы әдіспен шығарып көрсетейік.

1-есеп. Теңіз суында массасы бойынша 5% тұз бар. Құрамындағы тұздың концентрациясы 1,5%

болу үшін 30 кг теңіз суына қанша тұщы су қосу керек?

Шешуі: Есеп шарты бойынша, теңіз суына оның компоненттерінің бірі болып табылатын тұщы су қосылады. Ал тұщы судың құрамындағы тұздың концентрациясы 0% болатындықтан, есептің моделін былай кескіндеуге болады:

Теңіз суы Тұщы су Жаңа қоспа

+ + = =

30 кг 𝑋кг 𝑚_ж

Сурет 2. Есептің моделі Есепті тез шығару үшін төмендегідей ретпен әрекет жасайық.

1) 1-жолға 5% -ті, біраз орын қалдыра отырып, оның тұсына 30-ды жазамыз:

5% 30

2) Астынан бір жол қалдырып, 3-жолға сәйкесінше, 0 мен 𝑚₂-ні жазамыз:

5% 30 0 𝑋

5% 0 % 1,5%

3) 2-жолға, сол жаққа қарай алып, 5% пен 0-дің ортасына 1,5%-ті жазамыз:

5% 30 1,5%

0% 𝑋

4) 0 < 1,5 < 5, сондықтан 5% пен 30-дың арасына 1,5 − 0, ал 0% пен 𝑋 -тің ортасына 5 – 1,5 айырмасын жазамыз, сонда:

5% 1,5– 0 30 1,5%

0% 5 – 1,5 𝑋

5) 1,5 – 0 және 5 – 1,5 айырмаларының және 30 бен 𝑋 -тің араларына бөлшек сызығын қойып, алынған бөлшектерді теңестіреміз:

5% 1,5 – 0 30 1,5% = ;

0% 5 – 1,5 𝑋

6) Қатынастар теңдігі түрінде алынған соңғы теңдеуді шешеміз. Сонда:

1,5 3,5 = ³⁰

𝑋 ; Бұдан 3X = 7·30; X = 70.

Жауабы: 70 кг.

Келесі есептерде осы ережені қолданып, орындалатын әрекеттерді бір ғана жол етіп қана жазуға болатындығын көрсетеміз.

2-есеп. Массасы 24кг мыс пен қалайы қорытпасының 45%-і мыс. Құрамында 40% мыс болатын жаңа қорытпа алу үшін оған қанша қалайы қосу керек?

Шешуі: Жаңа қорытпа алу үшін I қорытпаға оның компоненттерінің бірі болып табылатын қалайы қосылады, ал ондағы мыстың проценттік үлесі 0% болғандықтан:

I қорытпа Қосылатын қалайы Жаңа қорытпа

+ =

24 кг 𝑋кг 𝑚_ж

Сурет 3. Есептің моделі Ендеше,

45% 40 24

40% = ; Бұдан: 8𝑋= 24; 𝑋 = 3.

0% 5

𝑋

Жауабы: 3 кг.

3-есеп. 5 литр 12%-тік ерітінді бар ыдысқа 7 литр су құйылған. Ерітіндінің проценттік концентрациясы қандай болады?

45% 0 % 40%

Шешуі:

Ерітінді Қосылатын су Жаңа ерітінді

+ =

5л 7л 𝑚_ж

Сурет 4. Есептің моделі Ендеше,

12% 𝑋– 0 5 𝑋% = ; 0% 12 – 𝑋 7

Бұдан: 7𝑋 = 60 – 5𝑋; 12𝑋 = 60; 𝑋 = 5.

Жауабы: 5%.

4-есеп. Ерітіндіде 40% тұз бар. Егер оған 120г тұз қосылса, ерітіндінің құрамындағы тұздың мөлшері 70% болады. Бастапқы ерітіндідегі тұздың массасын табу керек.

Шешуі:

Бастапқы ерітінді Қосылған тұз Жаңа ерітінді

+ =

X 120г (X+120)г Сурет 5. Есептің моделі

Ендеше,

40% 100 – 70 X 70% = ; 100% 70 – 40 120

Бұдан:

1120X ; 𝑋 = 120, яғни бастапқы ерітіндінің массасы 120 г.

Ал оның 40%-і тұз, сондықтан,

120 · 0,4 = 48.

Жауабы: 48г .

Пайдаланылған әдебиет тізімі

1 Рустюмова И.П., Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике. - А., 2010, 715 c.

2 Әмзебек Ә.А., Оразкелдиев Н.С. Математикалық сауаттылық-1.- А., 2017, 416 б.

3 Қосанов Б.М. Екі қоспаны араластырып, жаңа қоспа алумен байланысты есептер. «Хабаршы- Вестник», ФМҒ сериясы, №1, 2016, 35-40 б.

12% 0 % 𝑋%

40% 100% 𝑋%

УДК 532.685 МРНТИ 27.35.25

С.Т. Мухамбетжанов ¹, Д.Т. Жанузакова ²

1 д. ф.-м.н., профессор, Атырауский государственный университет имени Х. Досмухамедова г. Атырау, Казахстан

2 магистрант Казахского национального университета имени аль-Фараби, г. Алматы, Казахстан

О КОРРЕКТНОСТИ ОДНОЙ МОДЕЛИ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ ТИПА СТЕФАНА Аннотация

В работе исследована математическая модель теории фильтрации с учетом фазовых переходов. В практике бурения с газожидкостными промывочными смесями во многих случаях с успехом используются смеси поверхностно-активных веществ (ПАВ). При применении ПАВ для разработки нефтегазовых месторождений в пласте происходят сорбционные процессы на границах раздела отдельных фаз (ПАВ и нефть, либо ПАВ и грунт).

В реальных процессах для достижения равновесия между фазами требуется конечное время. Поэтому рассматриваемую математическую модель называли математическая модель с фазовой релаксацией.

Исследованы разрешимость математической модели, предельный переход по времени релаксации. Доказывается, что в предельном случае исходная задача является задачей типа Стефана. Во многих процессах фазовых переходов присутствует гидродинамическое течение в жидкой фазе. Интерес к изучению таких явлений мотивируется многочисленными технологическими приложениями.

Ключевые слова: Сорбция, адсорбция, ПАВ, время релаксации, массообменные процессы, задача Стефана.

Аңдатпа

С.Т.Мухамбетжанов ¹, Д.Т.Жанузакова ²

1 2ф.-м.ғ.д., профессор Х. Досмухамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті, Атырау қ., Қазақстан

2Әл-Фараби атындағы Қазақ Ұлттық университетінің магистранты, Алматы қ., Қазақстан СТЕФАН ТИПІНДЕГІ ФИЛЬТРАЦИЯ ТЕОРИЯСЫНЫҢ БІР МОДЕЛІНІҢ ДҰРЫСТЫҒЫ Бұл жұмыста фазалық ауысуды ескеретін фильтрация теориясының математикалық моделі қарастырылған.

Газды-сұйықтықты тазартатын қоспалармен бұрғылау тәжірибесінде көптеген жағдайларда беттік-белсенді заттардың (ББЗ) қоспалары табысты қолданылады.Мұнай және газ кен орындарын игеру үшін ББЗ қолданғанда резервуарларда жекелеген фазалардың интерфейстерінде сорбциялық процестер орын алады (ББЗ мен майлар, немесе ББЗ мен топырақ). Нақты процестерде фазалардың арасындағы тепе-теңдікті қамтамасыз ету үшін ақырлы уақыт қажет. Сондықтан қарастырылып отырған математикалық модель фазалық релаксация математикалық моделі деп атайды. Математикалық модельдің шешілімділігі және релаксациялық уақыттың шектік өтуі зерттелді. Шектік жағдайда бастапқы есеп Стефан типіндегі есеп екендігі дәлелденеді. Көп фазалық өтпелі процестерде сұйық фазада гидродинамикалық ағын бар. Мұндай құбылыстарды зерттеуге қызығушылық көптеген технологиялық қосымшаларға негізделген.

Түйін сөздер: Сорбция, адсорбция, ББЗ, релаксация уақыты, масса алмастыру үрдістері, Стефан есебі.

Abstract

ON THE CORRECTNESS OF ONE MODEL OF THE STEFAN-TYPE FILTRATION THEORY Mukhambetzhanov S.Т.¹, Zhanuzakova D.Т.²

1 Dr.Sci. (Phys.-Math), Atyrau state university named after H. Dosmukhamedov, Atyrau, Kazakhstan

2 Student of Master Programme, Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan

In this paper one mathematical model of filtration theory with phase transitions is investigated. In the practice of drilling with gas-liquid flushing mixtures, in many cases, mixtures of surface-active substances (surfactants) are successfully used. When using surfactants for the development of oil and gas fields in the reservoir occur sorption processes at the interfaces of individual phases (surfactants and oil, or surfactants and soil). In real processes a finite time is required for achievement equilibrium. Therefore considering the mathematical model was called the mathematical model with phase relaxation. The solvability of the mathematical model, the limiting transition in relaxation time are investigated. It is proved that in the limiting case, the original problem is a problem of Stefan type. In many phase transition processes, there is a hydrodynamic flow in the liquid phase. Interest in the study of such phenomena is motivated by numerous technological applications.

Keywords: Sorption, adsorption, surfactant, relaxation time, mass transfer processes, Stefan problem.

Введение. Настоящая работа является логическим продолжением исследования математической модели, представленной в работе [1]. Однако, между фазами многие авторы считают, что выполняются либо закон Генри, либо закон Ленгмюра. Исходя из результатов работы [2], ниже мы предполагаем, что существует некоторое характерное время релаксации для достижения равновесия между фазами:

𝜕𝑠

𝜕𝑡

=

𝜏

(𝐻(𝑐) − 𝑠),

(1) где τ положительная постоянная и называется временем релаксации. Тогда концентрация ПАВ c(x,t) решением следующего уравнения:

𝑚 ∙

^𝜕𝑐

𝜕𝑡

= 𝐷 ∙ ∆𝑐 − 𝑣 ∙ ∇𝑐 −

^𝜕𝑠

𝜕𝑡

,

(2)

где 𝑚, 𝐷 – положительные константы, 𝑣 – скорость фильтрации жидкости в пористой среде, функция Н(с) = 1 при с(𝑥, 𝑡) > 𝑐_∗, Н(с) = 0 при с(𝑥, 𝑡) < 𝑐_∗ и в случае равновесных процессов 𝑠 = 𝐻(𝑐). Тогда система (1), (2) сводится к известной задаче Стефана. Аналогичные математические модели были исследованы в работах [1,2,7].

1. Постановка задачи. Пусть Ω – ограниченная область в 𝑅^𝑚 c достаточно

гладкой границей Г, 𝑄_𝑇 = 𝛺𝑥(0, 𝑇), Г_𝑇= Г𝑥(0, 𝑇). Требуется найти функции 𝑐(𝑥, 𝑡), 𝑠(𝑥, 𝑡) (концентрации ПАВ в жидкой и твердой фазах), определенные в области 𝑄_𝑇, удовлетворяющие уравнениям (1), (2), начальным условиям

𝑐(𝑥, 0) = 𝑐₀(𝑥), 𝑠(𝑥, 0) = 𝑠₀(𝑥), 𝑥 ∈ 𝛺 (3) и одному из граничных условий

𝑐(𝑥, 𝑡) = 𝑐_Г(𝑥, 𝑡), (𝑥, 𝑡) ∈ Г_𝑇 (4) (𝜕𝑐

𝜕𝑛− 𝑣 ∙ 𝑐(𝑥, 𝑡))= 𝑐_Г(𝑥, 𝑡), (𝑥, 𝑡)∈ Г_𝑇

(5) Здесь n – вектор внутренней нормали к Г.

В дальнейшем под задачей I понимается задача (1) - (4), а под задачей II (1) - (3), (5).

Dalam dokumen Просмотр «Том 65 № 1 (2019): Вестник КазНПУ им.Абая. Серия: физико-математические науки» | «Физико-математические науки» (Halaman 59-70)