U Ji+VTy
5.3.4. Вычисление элементарных функций комплексного перемен
ного. Э ти функции вычисляются либо прямы м обращ ением к биб
лиотечны м с соответствую щ им описанием аргумента и значения функций как комплексных переменных, либо (в случае отсутствия их в библиотеке) — программированием вычислений. Так как фун
кция комплексного переменного w = f( z ) мож ет быть представлена в виде (w = u + iv, z = x + iy)
то определение и (х ,у ), v (x ,y ) сводится к разделению вещественной и мнимой частей заданной функции; они вы раж аю тся через элементарные функции вещественных аргументов, и п рограм м ирова
ние не вызы вает затруднений. Н апример, функция Ж уковского
вычисляется разделением на вещественную и мнимую части
и объединением двух вещественных величин в комплексную с по
м ощ ью библиотечной функции
Выделение действительной части х у комплексного числа z произ
водится функцией X = R EA L(Z) мнимой части — функцией Y =
= AIM A G (Z).
5.3.5. Аппроксимация функций. Приближение функций, заданной в аналитической форме другой или другими функциями, определя
ется в основном необходимостью ускорить процесс вычислений функций с заданной точностью .
и = и (х,у), v = v(x,y),
W = C M PLX (U , V).
180
Н апример, время вычисления функции / v а ш л г ш а л ' V е* + In (1 Ч-лг)
sinx+ cosx
(5.3.1) в точках 0 < х < 0 , 1 с точностью г м ож но значительно уменьш ить, если заменить у ( х ) приближенно полином ом
Коэффициенты и погреш ность м ож но найти, например, из ряда Тейлора для у (х ). Д опустим, что £ таково, что полином третьей степени обеспечивает точность г, т. е.
Т огда для вычисления у ( х) в лю бой точке х е [0,01 ] с пом ощ ью Р 3(х) требуется три операции сложения и три умножения. Э тот вычислительный процесс займ ет гораздо меньш е времени счета на ЭВМ , чем вычисление по исходной (5.3.1) формуле для у (х ).
Н а интервалах больш ой длины целесообразно приближ ать у (х ) рациональными функциями
М ожно область изменения х разбивать на интервалы и на разных интервалах аппроксим ировать и(х), либо Рп(х), либо wn m(x).
5.3.6. Интегрирование. М етоды аналитического интегрирования подробно изучаю тся в курсе высшей м атем атики. Зная таблицу основных интегралов и правила интегрирования, путем замены переменных, интегрирования по частям и т. п. можно вычислить точно интеграл
зная первообразную F (x ) для широких классов функций. П ричем если Ғ ( х ) вы раж ается через элементарные или специальные функ
ции, для которых м ож но найти F(a), F ( b) с заданной точностью , то считается, что аналитическое интегрирование выполнено. Н а
пример,
Р„{х) = а0 + а х х+ ... + а„х".
шах | ^ ( х ) - Р 3( х ) |< е .
Ь
J y ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) ,
а
егГ(|). | dx = Si(l). (5.3.2) О
В то же время интеграл от простой функции
не выражается в конечном виде через значения известных эле
ментарных и специальных функций. Тем более это будет правилом для более сложных подынтегральных функций.
И нтеграл можно вычислять численно. Н о здесь, как и в ап
проксимации функций, возможно, удастся ускорить процесс вычис
ления, если сначала подынтегральную функцию приблизить с точ
ностью е полиномом Р„(х) или рациональной функцией w m(x), ь
а затем аналитически вычислить известным образом \ P n( x ) d x или Ъ а
\w»,m(?t)dx.
а
5.3.7. Суммирование рядов. Аналитические м етоды не ограни
чиваю тся только конечными вычислительными процессами, д о пускается предельный переход, а также суммирование бесконечных рядов. Н апример, интеграл от у ( х ) можно заменить интегралом от ряда Тейлора
‘f M J f v y * W , u , Z У1» ( b - a f+1 * , ) y ( x ) d x = Z — l ( x - a f d x = I - г ) ---^ П Г = Z A *'
a J k = 0 K ■ fc = О K - k = 0
a
тогд а задача интегрирования сводится к задаче сум м ирования бесконечного числового ряда.
П редставление решения в виде ряда имеет преимущ ество по сравнению с другими м етодами решения тогда, когда оценка
00
отброш енной части ряда £ А к легко определяется. Н апример,
* = «+i
для знакопеременного ряда с монотонно убы ваю щ им \Ак\ по
греш ность вычисления £<| у4^+1|. Ч тобы вычислить
‘ » " ( - 1 ) ‘ г d x = ) —
£ 0 (2к+\)к1 о
с точностью до восьми верных знаков, достаточно взять один
надцать слагаемых в сумме
“ (-1)*
к= 0(2к+ \)к\-
Так и следует поступать, если в библиотеке нет програм м ы вычисления erf (х) с двойной точностью , поскольку одинарная точность не дает восьмой верный знак; следовательно, ф ормулой из (5.3.2) воспользоваться нельзя.
Если ряд сходится быстро, то трудности при вычислении суммы ряда не возникаю т. Если же ряд сходится медленно, то суммирование ряда можно пы таться выполнить методом Куммера.
Суть этого м етода состоит в том, чтобы медленно сходящийся
00 00
ряд ]Г А к аппроксимировать рядом £ Вк, для которого известна
к = 0 к = 0
182
сумма S y = X Вк, а скорость сходимости рядов одинакова, т. е.
к = О
найти такие Вк, чтобы lim
к - > оо
= 0. (5.3.3)
Т огда 5 = £ А к м ож но записать в виде S = S i + £ (А к — Вк) и,
к=0 к=О
таким образом , суммирование исходного ряда сводится к сумми
рованию ряда с общ им членом Ск = (А к — Вк), которы й, согласно (5.3.3), сходится быстрее исходного.
Предложенный подход можно повторить, если удается аппрок- 00
симировать ряд £ Ск рядом с известной сумм ой и т. д.
к = О
Д ля ускорения сходимости рядов по м етоду К ум м ера необ
ходимо иметь таблицу рядов с известными сум м ам и. Подробные таблицы рядов представлены в [21— 23].
Н апример, для медленно сходящ егося ряда 00 1 _ е ~к‘
S = ^ ~ k ^к-о К
можно для аппроксимации подобрать ряд с известной суммой
£ 1 1 я . с У —г---- т = ---— cth5ji = S ,.
кг"0 к +5 2• 52 10 1 Теперь имеем
5 = 5 ! + I (5.3.4)
fc = 0 К
Заметим, что ряд в (5.3.4) является быстросходящ имся, но и его сходимость можно ускорить м етодом Куммера. Запишем
е - * 1 1 » е - ‘ 2 . ®
_h, f
1 1k = О ‘k 2 + 52 52 kT ‘1 k 2 \ k 2 + 52 k 2;
00
Ряд S 2= X z ~ k k ~ 2 имеет известную сумму 5"2 = 0,37247207. Отсюда k= 1
искомая сумма ряда представляется следующим образом:
s - s‘ +0-M+s>~ І щ щ ^ у где ряд сходится быстрее, чем в (5.3.4).
5.3.8. Фурье-анализ. П од аналитическим Ф урье-анализом будем понимать: 1) аналитическое определение коэффициентов ряда Фурье по заданной аналитически (т. е. формулой) функции f ( x ) периоди
ческой с периодом 2л, 2) аналитическое суммирование рядов Фурье, т. е. восстановление / ( х ) , заданной тригонометрическим рядом.
Ф урье-анализ (аналитический и численный) ш ироко применяется в науке и технике. О тм етим две области приложений.
1. Разложение сложного колебания на отдельные гармонические колебания.
2. Решение задач математического анализа, дифференциальных уравнений м етодом Фурье, т. е. с помощ ью разложений в ряды Фурье.
Н апом ним , что коэффициенты Фурье вычисляются по ф орм улам ат = - j f( x ) c o s m x d x , т = 0 ,1 ,2 ,...,
Л -я 1 г
bm = — J f { x ) s \n m x d x , т = 1 ,2 ,...,
(5.3.5)
а затем составляется ряд Фурье функции f ( x ) : 00
А * ) ~ Т + Z (amc o s m x + b msrnrnx). (5.3.6)
1 m = 1
Д ля определения коэффициентов ат, Ьт достаточно абсолю тной интегрируемости f ( x ) на интервале [—я,тс]. Д ля сходимости ряда (5.3.6) достаточно, чтобы f ( x ) была кусочно-монотонна на [ — я, л]
и им ела конечное число точек разрыва. Т огда для точки непрерыв
ности х 0
а оо
f ( xо) = ^ + X (amcosm x0 + bmsmrnx0);
1 m = 1 для точки разры ва
f ( x o + 0 ) — f ( x 0 — 0) а 0 V / , V
--- 2 ---' = у + L («mcosw.Y0 + *msm w x 0).
Ш = 1
К ак отмечалось в п. 5.3.6, аналитическое интегрирование (5.3.5) связано с возмож ностью представить первообразную через из
вестные элементарные или специальные функции. Э тот вы вод остается в силе и для определения коэффициентов Фурье ат, Ьт.
П риведем пример определения ат, Ьт для функции е®*,
— п < х < п , а # 0 . Имеем:
Я
е“”—е - ”1 „shout e“ Jx = ---= 2 ---, к
— я
1 л
6т = - п
I a cos mx +ms i nmx „ е cos m x d x =--- ^ ---е
п (а.2 + т 2)
. . 1 a s m m x —mcosmx „ е s m m x d x =--- — --- —--- <?"
п (а + т )
she», - к я(а2 + т 2)
_ ( - l ) m _ 1 2 m s h a j t
я(а2 + т 2) 184
Таким образом , для f ( x ) , у которых интегралы в (5.3.5) можно вычислить аналитически, коэффициенты Фурье определяю тся вы
числением известных функций, зависящ их от номера гармоники т как от парам етра.
Рассм отрим суммирование рядов Фурье. П ри этом будем считать, что факт сходимости ряда (5.3.6) установлен, а наша задача — найти в конечном виде сумму ряда, выразив ее через элементарные функции, если она в таком виде м ож ет быть представлена.
И злож им метод Эйлера суммирования некоторых тригоно
метрических рядов с пом ощ ью аналитических функций комплексной переменной.
П редполож им, что имеем два ряда
j 00 00
- а 0 + X amcosmx; £ amsinm x,
т = 1 т = 1
которые всюду, за исключением конечного числа точек на интервале [0,2л], сходятся: первый — к функции р ( х ) , второй — к q(x).
Рассмотрим степенной ряд
\ ао + 2 a mz m, (5.3.7)
1 т = 1
где z — комплексная переменная.
Н а окружности |z| = l, z = e ‘x этот ряд сходится по предпо
ложению, за исключением конечного числа точек, т. е.
1 00 p ( x ) + iq ( x ) = - a 0 + Z amz m =
L т = 1
1 °°
= - а 0 + Z am(cosmx + isinmx). (5.3.8)
2 т+ 1
Но, согласно известному свойству степенных рядов (5.3.7) сходится при | z |< 1, z = peix, 0 « ? р < 1 , к некоторой функции cp(z). Тогда имеет место
1 00
ф(реіх) = - а 0 + 2 ат р т е,тх.
1 т = 1
Если ряд (5.3.8) сходится, то по теореме А беля его сумма находится предельным переходом
lim ф (р еІХ)= /7 (х ) + г'^(х).
р - * 1
К ак правило, lim ф (р е‘*) = ф (е‘х), а отсю да уже р ( х ) , q (x ) м ож но
р - » 1
получить в конечном виде.
П росум мируем м етодом Эйлера два ряда:
00 j 00 j
» ( х ) = 1 + Z — cosw x; q (x)= Z — sinm x.
m = l m ! m — 1 m '
185
Очевидно, что
О тсю да
ф(е‘*) = ее = е ' = ecosx(cos(sin.x:)4-/sin(sinx)).
С ледовательно,
/7(x) = ecosxcos(sinx), </(.*) = eC0S*sin(sinx).