Операции с матрицами и векторами. Конечное число матричных и векторных операций представляет собой простые

U Ji+VTy

5.3.10. Операции с матрицами и векторами. Конечное число матричных и векторных операций представляет собой простые

комбинации элементарных арифметических операций. Например, сумма двух прямоугольны х матриц

произведение квадратной м атрицы A = (al J), l ^ i , j ^ n , на вектор х = (х;),

и т. д. И склю чением является операция обращ ения квадратной м атрицы А с del А # 0 , аналитические м етоды выполнения которой рассм атриваю тся в п. 5.3.11.

Если элементы м атриц и векторов -числа, то конечное число операций с м атри цам и и векторам и следует отнести к численным м етодам. Если же допускается бесконечное число операций, то в этом случае м огут применяться аналитические методы. Важным классом бесконечных процессов с м атрицам и является процедура определения функций от м атриц рядами.

Д ля определения сходимости последовательности м атри ц и м а т

ричных рядов напомним понятие нормы.

Пусть имеется «-мерное пространство Е". Если для лю бого вектора х е Е " существует число ||х || такое, что:

1) ||а х || = | а | ||х || для лю бого числа х;

2) IIх + у||sS ||x || + 1|/1| для лю бых х, у е Е п\

3) || х || = 0, если х = 0,

то ||х || назы вается нормой вектора х = ( х , ..., х„). Н априм ер, норм ой вектора х являю тся следующие:

в) || х || ^ = шах (|х,|).

1^/^п

Пусть А — матрица, х — лю бой вектор Е п, ||х | | # 0 , нормой м атрицы || А || назы вается наименьш ее из чисел с в неравенстве

|| А х || < с || х ||.

А = ( а и ), B = ( b u ), C = (c ;j ) , 1 < / < т , 1 < /< Л , С = А + В, cij = a i j + b i y,

произведение двух прям оугольны х м атриц n

C = A B , cu = £ ai s bs J , ! < / < £ ;

S = 1

а) евклидова норм а п

б) 11x11!= 2 Iх,-1;

І = 1

187

В зависимости от применяемой нормы вектора будут получаться различные значения нормы матрицы. Из определения || А || имеем

II А х И М II В* II.

В дальнейш ем будем применять норму вектора || х || „ и опускать индекс оо:

|| х || = шах (| Xj |).

1</<и

Соответствую щ ая этой норме м атричная норм а || А || мож ет вычисляться по элементам aUj следую щим образом:

\\А || = m ax ( £ I 1<«Л V/ = 1

Определим последовательность матриц {Sik)}, задавая пх п число

вых последовательностей

{Sfj}, l ^ i j ^ n , k = 1, 2, 3, ... .

П оследовательность { S m } сходится к матрице S с элем ентам и Sjj, если сходятся пхп числовых последовательностей:

при &-> оо или

|| S (k) — S ||->0 при к->оо.

Н апом ним определение собственных чисел Я., и собственных векторов матрицы А. Собственные числа (А) м атрицы А и соответствующ ие векторы удовлетворяю т равенству

Аеі = Хі (А ) е і, І ^ і ^ т , е(ф0.

П усть функция/(А,) разлагается в степенной ряд в круге сходимости

| \ А-о | < /*:

f ( X ) = І а( ( Х - К У ,

i = 0

где Я; — числовые коэффициенты (возможно, и комплексные). С опо

ставим этому ряду последовательность частичных сумм — м атри ч ную последовательность

S “ >= £ а , ( А - \ 0Е ) ‘. (5.3.9)

і = 0

Т е о р е м а 5.1. Д л я сходимости S m -* S необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения к 1 (А) лежали внутри круга сходимости | А.,- (А)—А,0 1 < г.

Пусть выполнено условие теоремы 5.1; тогда S ik>—>S, т. е.

сходится матричный ряд

5 = £ а , ( А - 1 0Еу-,

i = 0

188

его сумму (матрицу S) обозначаю т f ( A), f ( A ) = t а і( А - Х 0Е у .

і = 0

Так по функции / (х) определяется функция / от матрицы А, которая обозначается f ( A).

Д ля применения теорем ы 5.1 важно ум еть оценивать расположе

ние собственных значений А,(Л) на комплексной плоскости. П рос

тейшую оценку м ож но получить из следующей теоремы.

Т е о р е м а 5.2. Собственные числа Х{( А) имеют оценку т а х | ^ ( Л ) | < | | Л | | . (5.3.10)

(

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из определения собственных значений и векторов имеем

A e i = X ,(A )e i.

О тсю да для лю бого i

|| A et || = || Ъ ( А ) е , || = 14^)111 в | ||.

С другой стороны, по определению норм ы матрицы , II ^ К М І І II е, II.

Сравнивая два последних соотнош ения, получаем (5.3.10).

Н апример, в круге сходимости | X | < 1 имеет место разложение f ( x ) = ( i - x ) - l = j r x .

І = О Пусть имеем м атрицу А

/ 0,3 — 0 ,1 \ ( - 0 , 1 0 , 2 /

О пределим ||,4 ||= 0 ,4 . И спользуя (5.3.10), находим max | Xj ( А) | < 0,4.

П о теореме 5.1 матричны й ряд £ А' сходится к сумме — м атрице ( Е - А ) - 1:

( Е —А ) ~ 1= £ А 1.

і = 0

Если радиус сходимости для / ( X ) равен бесконечности, то мож но получить функцию / ( А ) , определенную для лю бы х м атри ц А. И меем

5.3.11. Решение систем линейных уравнений. Как уже упоминалось в п. 5.1.3, аналитическим м етодом решения систем линейных уравнений

А х = Ь, (5.3.11)

где A = ( a i j), 1 < г, j <п, Ь = {ЬХ, ..., Ь„), х— вектор неизвестных х = {хь ..., х п) с определителем det А / 0 . является правило К рам ера.

О днако для больш их п оно неприменимо, так как становится гром оздким .

Д ругим аналитическим м етодом решения системы (5.3.11) явля

ется ф ормула Фробениуса для обращ ения блочных матриц.

Определим блочную матрицу. Пусть дана прямоугольная м атрица

A = (aUj), ls S i'^ w , l ^ y П редставим ту же самую м атрицу в виде

A = ( A qr), K r s S s ,

где каждый элемент A qr мож ет быть прям оугольной матрицей.

Н апример,

А =

« 1 , 1 « 1 , 2 « 1 , 3 « 1 , 4 « 1 , 5

« 2 , 1 « 2 , 2 « 2 , 3 « 2 , 4 « 2 , 5

« 3 , 1 « 3 , 2 « 3 , 3 « 3 , 4 « 3 , 5

. « 4 , 1 « 4 , 2 « 4 , 3 « 4 , 4 « 4 , 5

Лі. (5.3.12)

где

Л і,і =

А 2,і =

« ы

«2,1

«1.2 а 2,2.

3,1

'4 , 1

а_{3 ,2}

4 , 2

^1,2 —

^ 2,2 —

« 1 , 3 « 1 , 4 « 1 , 5

« 2 , 3 « 2 , 4 « 2 , 5 ,

« 3 , 3 « 3 , 4 « 3 , 5

« 4 , 3 « 4 , 4 « 4 , 5 ,

Действия над блочными м атрицам и производятся по тем же правилам, как и в случае, когда вместо блоков имею тся числа.

Н еобходим о только, чтобы разбиение на блоки было одинаковым.

Пусть имеем матрицу В = (Ь и ), 1 I < разбитую на блоки тех же размеров, что и А, т. е.

B = (B qr), 1 l«S/-sg.y.

С ум м а С в блочном представлении получается сложением соответ

ствующих блоков

С - А + В = ( А „ + В „ ) .

Д ля умножения блочных м атри ц А и В необходимо, чтобы все горизонтальны е разм еры в разбиении А совпадали с соответствую-

щ ими вертикальны ми разм ерам и в разбиении В. Т огда ф орм ула д ля блочного представления

I ,к^к,г C = ( C J = X А ,

к= 1

аналогична формуле для м атриц, состоящ их из чисел. Пусть имеем м атрицу

В =

' * 1 . 1 * 1 , 2 * 1 , 3 * 1 , 4 * і /

* 2 , 1 * 2 , 2 * 2 , 3 * 2 , 4 * 2 , 5

* 3 , 1 * 3 , 2 * 3 , 3 * 3 , 4 * 3 . 5

- (

* 4 , 1 * 4 , 2 * 4 , 3 * 4 , 4 * 4 , 5

1 * 5 . 1 * 5 , 2 * 5 , 3 * 5 , 4 * 5 , 5 ,

V В 1 , К .

в₂_.₂_, (5.3.13)

где

* i .i =

В 2,1 ~

' *1.1

*

2,1

V i

> 5.1

*^1,2

ъ_{2 , 2} " 2 , 3

* 1 , 3

J 3 .2

^4,2

' 5 , 2

у3,3

^4,3

' 5 , 3

*1.2 =

*2.2 —

/ ’* 1 . 4 * 1 , 5 N

\ * 2 , 4 * 2 , 5 у

/ * 3 , 4 * 3 . 5 ( * 4 , 4 * 4 , 5

* 5 , 4 * 5 , 5

П ри таком разбиении м атри ц А, В блочное представление матрицы С = А В , равное произведению (5.3.12) и (5.3.13), находится по ф ормулам

С = С1Л С 12

^2,1 ^2,2

^1,1 *1,1+ ^1,2*2,1 А2,1 *1 ,1 + ^ 2 , 2 *2 ,1 I ‘

П редставим формулу Фробениуса обращ ения блочной матрицы.

Пусть в (5.3.11) м атри ца А — квадратная, d e t A ^ O и разбита на блоки

А = ^{м л} ^'^1,2 м а т р и ц а А_1.1

‘ 2,1 л 2,2>

к в а д р а т н а я , d o t А1Л =£(). О п р е д е л и м м а т р и ц у В — А 22 — А 2 1 ( А 11) 1А j.

П редполож им , что det Вф(). Т огда блочное представление обратной м атрицы А ~ 1 задается формулой Фробениуса

/ {А1Л) - 1Ц А 1Л) - ' А и2В - ' А 2Л{А1Л) - х I ~ { A u l ) - l A B ~ l - А ~ 1= — — ---_ _ _ _ _ — I — — — -

V - я - Ч д К і ) - 1 I в - 1

которую м ож но проверить прям ы м умножением м атри ц А и А в блочном виде.

Решение исходной системы уравнений (5.3.11) получается умно

жением блочной м атрицы А ~ 1 на вектор правы х частей, разбитый на блоки в соответствии с разбиением ( А ~ 1).

191

Главное достоинство ф ормулы Фробениуса состоит в том , что обращ ение м атрицы размерности п сводится к двум обращ ениям м атри ц А 1 д и В меньшей размерности, а это м ож ет позволить найти аналитическое решение (5.3.11).

М ожно продолж ить процедуру обращ ения Фробениуса, разбивая на блоки м атрицы А 1Л и В и т. д., но, как обычно, с каж ды м ш агом увеличиваются трудности, поскольку приходится манипу

л и ровать гром оздким и ф ормулами.

Н апример, матрицу 16-го порядка за три ш ага м ож но свести к обращ ению м атриц 2-го порядка, для которых легко применить правило К рам ера и, таким образом, получить при условии вы полним ости этих ш агов аналитическое решение системы линейных уравнений (5.3.11), выраженное через элементы м атрицы А и вектора Ь.

К ак отмечалось выше, реш ая систему (5.3.11), необходимо знать, обращ ается или нет в нуль определитель м атрицы А, А 1Л, В.

М атрица А называется вырожденной, если определитель det/4 = 0 , и невырожденной, если det Л # 0 .

И ногд а м ож но по элементам матрицы легко определить, что м атри ца А невырождена. Это случай диагонального преобладания А дам ара.

Т е о р е м а 5.3. Если для матрицы А выполняются п неравенств К г І > Е К Л (5-3.14)

j = i

то матрица А невырождена.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим противное: при выполнении (5.3.14) dot А = 0 . Т огда существует ненулевой вектор х = ( х и ..., х п) такой, что

aijXj=

^0, ^{Ы і ^ п .}

j = i

Выберем число к, соответствующее max | x t \ = \ д ^ |> 0 . И з послед

него равенства для выбранного к получаем

а к.кХ к = ~ X a k , j Xp

7 = 1

І *к откуда

Л Л

Е \akj\-

j= 1 І= 1

ІФк j^k

С окращ ая на \х к \, получим противоречие с (5.3.14). Теорема доказана.

Обозначим А ' транспонированную м атрицу к А, А ' = (aJt), 1 i ^ n . Так как

det А = det А ',

то достаточные условия А д ам ара (5.3.14) для строк, заменяя А на А', м огут быть преобразованы в условия д ля столбцов. М атрица А невырождена, если

К , 1 > 1 Ы . lsSi5£п■

7 = 1

ІФІ

Условия А д ам ара перенумерацией строк (столбцов) можно сф ормулировать в виде det А ф 0, если в каж дой строке (столбце) А имеется преобладаю щ ий элемент и эти элементы расположены в различных столбцах (строках).

Пример, det А ^ 0 для следующей матрицы:

А =

15 1 2 - 4 2 3 - 1 0 4

- 1 7 0 1

1 1 2 10

15 > 1 + 2 + 4, 1 0 > 2 + 3 + 4, 7 > 1 + 0 + 1 , 10> 1 + 1 + 2 .

Те же элементы (15, —10, 7, 10) являю тся преобладаю щ им и и по столбцам.

Dalam dokumen ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА и ПРОГРАММИРОВАНИЕ (Halaman 187-193)