158
1) копирование файлов с одного устройства на другое;
2) удаление файлов;
3) распечатка каталога ф айлов пользователя и др.
П рограм м а работы с ф айлами вызывается ком андой PIP програм м ы M CR.
^ P I P < C R >
PIP>
Возможен укороченный вариант команды.
В ответ на подсказку «РІР > » пользователь долж ен ввести командную строку для програм м ы PIP. Ф орм ат командной строки мож ет бы ть различны м в зависимости от функций, которые выполняю тся по этой команде. Выход из програм м ы PIP осу
ществляется вводом C T R L /Z .
Во всех командах, описанных ниже, «ВВФ» и «ВЫ ВФ »— специ
фикации вводных и выводных ф айлов вида:
УСТР: [ КИП] И М Я Ф А Й Л А .Т И П ; В Е Р С И Я /К Л Ю Ч
К о п и р о в а н и е ф а й л о в с о д н о г о у с т р о й с т в а н а д р у г о е Ф орм ат командной строки:
ВЫВФ = ВВФ 1 ,ВВФ2, ...,BBФN Примеры.
1) PIP > D X 0 : P R IM .D A T = D K 2 : T E X T .D A T < C R >
Копирование последней версии ф айла T E X T .D A T с DK2: в файл PR IM .D A T на гибком диске D X 0 :.
2) PIP > М Т 1 : N E W T .F T N = D K 0 :N E W T O N .F T N < CR >
Копирование последней версии файла N EW TO N . FTN с диска DK0: в файл N EW T. FTN на магнитной ленте М Т1:.
3) PIP > LP: = PR O G . FTN < C R >
П ечать на А Ц П У последней версии ф айла P R O G .F T N . 4) PIP > TI: = * . L S T < C R >
П ечать на терминале последних версий всех ф айлов с типом .LST.
У д а л е н и е ф а й л о в Ф орм ат командной строки:
ВВФ1,ВВФ2, ...,B B ® N /D E
В спецификациях ф айлов номер версии долж ен быть указан явно или через * .
Примеры.
1) PIP > D K 2 :T E S T .D A T ;5 /D E < C R >
У далить версию 5 ф айла T E ST .D A T на DK2: из каталога по умолчаңию.
159
2) PIP > * OBJ; * ,* .T M P ; * / D E < C R >
У далить все версии всех файлов типа .OBJ и .ТМ Р из каталога по умолчанию на устройстве по умолчанию.
П е ч а т ь к а т а л о г а Ф орм ат командной строки
ВЫВФ = ВЫ ВФ 1 ,ВЫВФ2, ...,ВВФ1ЧГ/Ы
Если спецификация выводного файла не указана, то распечатка вы водится на терминал пользователя. Распечатка каталога содер
жит следующую информацию о каж дом файле: имя файла, количество блоков, занимаемых файлом на магнитном диске, д ата и время создания файла.
Примеры.
1) P I P > / LI < CR >
Распечатка на терминале текущего каталога пользователя.
2) PIP > * .F T N /L I < C R >
Распечатка на терминале всех файлов из текущего каталога пользователя с типом .F T N на устройстве по умолчанию (SY0:).
О ч и с т к а к а т а л о г а Ф орм ат командной строки:
ВВФ1,ВВФ2, ...,В В Ф ^ Р и
У даляю тся все версии файлов, кроме последней.
Примеры.
1) PIP > DK1: * .F T N /P U < C R >
Удаление всех версий, кроме последних, файлов типа .F T N из текущего каталога пользователя на устройстве D K 1 :.
2) PIP > * . * /P U < CR >
Удаление всех версий, кроме последних, для всех ф айлов из текущ его каталога пользователя на устройстве по умолчанию (SY0:).
О п р е д е л е н и е с в о б о д н о г о п р о с т р а н с т в а н а д и с к е Ф орм ат командной строки:
УСТР: /F R < C R >
Распечатка свободного пространства (в блоках) на м агнитном диске (выводится на терминал).
Примеры.
1) PIP > D K L / F R < C R >
Распечатать свободное пространство на DK1: . 2) PIP > /F R < C R >
Распечатать свободное пространство на системном устройстве (SY0:).
4.3.12. Диагностика, исправление ошибок. Во время работы пользователя в ОС РВ возможны различные ошибки, которые система обнаруживает и выводит соответствую щ ую диагностику на терминал.
Ошибки, связанные с неверным употреблением команд для интерпретатора M C R или других п рограм м системы (FO R , ТКВ, PIP), сопровож даю тся обычно информацией
IL L E G A L C O M M A N D — неверная команда
Ч тобы получить сведения о правильном синтаксисе и семантике команды, применяется ком анда H E L P — единственная, которую пользователь м ож ет выполнить до входа в систему. Ф орм ат команды
H E L P парам етр 1, ..., парам етр 9
где список парам етров определяет список команд, о которых пользователь желает получить информацию . Н апример, команда
H E L P H E L , ABO, BYE
требует сообщ ить информацию о командах:
H EL — вход в систему,
А В О — снятие задачи с выполнения, BY E— выход из системы.
Выяснив правильные синтаксис и семантику команды , пользователь должен повторить ее на терминале.
Сообщ ения об ош ибках транслятор с ф ортрана делит на два класса. Сообщ ения первой фазы трансляции вы водятся в листинге сразу после ош ибочного оператора и имею т вид
* * * * * Т
где Т — буквенный индекс ошибки (табл. 4.2). Ошибки первой фазы трансляции обнаруж иваю тся просм отром части програм м ы .
Т а б л и ц а 4.2
т Ошибка
в Позиции 1— 5 строки продолжения не пусты
с
Недопустимое продолжениеЕ Отсутствует оператор END
Н Слишком длинная текстовая константа
I Недопустимый символ
К Недопустимое определение метки
м Многократное употребление метки
р Несоответствие скобок
S Синтаксическая ошибка
и Недопустимый оператор
П осле просм отра всей програм м ы обнаруж иваю тся ош ибки второй фазы. Сообщ ения об ош ибках второй ф азы вы водятся в листинге после текста програм м ы перед картой пам яти и им ею т вид
IN LIN E п M SG # т текст
где п — номер ош ибочного оператора, т— ном ер ошибки, текст---- краткое описание ошибки.
6 Ю. П. Боглаев 161
Если во время трансляции, например, главной програм м ы и подпрограм м ы PR O G 1 были обнаружены ош ибки и имею тся предупреждения, то на терминал будет выведено сообщение, например, такого вида
.M A IN . E R R O S : 3 W A R N IN G S : 2 PR O G 1 E R R O S : 1 W A R N IN G S : 1 или
в главной программе ош ибок : 3, предупреждений : 2 в P R O G 1 ош ибок : 1, предупреждений : 1
П редполож им, что команда для транслятора им ела следую щ ую форму:
> F O R P R O G ,P R O G = PR O G
Т огда после получения на терминале сообщения о наличии ош ибок трансляции пользователь должен вывести листинг, например, на терминал
> P I P TI: = PR O G .LST
П росм атри вая такой текст листинга, пользователь получает инфор
м ацию о допущенных ошибках, переходит в режим редактирования
> E D I P R O G .F T N и исправляет их.
Диагностика построителя задач, указы ваю щ ая на ненормальную ф орм у заверш ения компоновки файла задачи, запрещ ает дальнейш ее выполнение програм м ы . Д ля простых по структуре задач, как правило, это связано с отсутствием достаточного непрерывного пространства на диске для образа задачи. В случае такой ситуации необходимо проверить свободное пространство командой
> P I P /F R
и, если необходимо, осуществить очистку диска ком ан дам и PIP удаления файлов.
После запуска задачи на выполнения командой
> R U N PRO G
где PR O G — имя файла, содержащего образ задачи, возм ож но появление ош ибок вычислений.
Если выполнение програм мы продолжается сверх ожидаемого интервала времени без диагностики ОС РВ, то, возможно, произош ло зацикливание, т. е. в програм м е имеется ошибочное условие выхода из цикла, которое с имею щ имися данными не может быть истиной. В такой ситуации следует прервать выполне
ние програм м ы командой
> ABO PR O G
где P R O G — имя прерываемой задачи. Затем следует проверить ф рагменты програм м ы , связанные с организацией циклов.
Д иагностика ош ибок во время выполнения програм м ы имеет следующий ф ормат:
PR O G — E X IT IN G D U E ТО E R R O R п текст
AT PC = адрес FCS: файл
IN PROG1 A T m l FR O M PR O G 2 A T m2 F R O M P R O G K A T m k
где PR O G — имя выполняемой задачи; n— ном ер ошибки, которую объясняет краткий текст;
E X IT IN G D U E ТО E R R O R — выход по ошибке
A T PC = адрес в счетчике команд во время прерывания арифмети
ческих операций с плаваю щ ей точкой (деление на нуль, переполне
ние и т. д.) FCS: ф ай л — имя файла, с которы м связана ошибка ввода-вывода, если ош ибка связана с в в о д о м — вы водом.
IN PROG1 AT m l
— ош ибка произош ла в програм м ной единице с именем PROG1 в операторе номер m l, далее указывается цепочка вызовов программны х единиц, приведш ая к ошибке
из PR O G 2 вы зов в операторе m2 из P R O G K вы зов в операторе тк
П о этой цепочке вызовов можно пытаться найти причину появления ошибки, анализируя текст програм м ы и требуемую логику ее работы.
6*
Г л а в а 5 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
• 5.1. Примеры
5.1.1. История и содержание предмета. Вычислительной м ат ем а
тикой назы ваю т раздел математики, в котором изучаю тся р азн о
образны е проблемы получения числовых результатов решения математических задач.
Если обратиться к истории м атематики, то мож но зам етить, что вычислительная матем атика превратилась в сам остоятельную ветвь сравнительно недавно, где-то в середине наш его столетия.
Э тот факт в лю б ом направлении науки связывается с появлением собственных внутренних задач, которые м огут стим улировать исследователей этого направления практически без взаимодействия с соседними.
Вычислительная м атем атика как часть матем атики имеет столь же древню ю и богатую историю , как и сама матем атика. М ожно утверж дать, что почти все результаты м атематики, которы е носили конструктивный, формульный характер, ложились «в копилку»
вычислительной математики. Евклидова геометрия и механика Н ью тон а, теория электромагнитного поля и квантовая теория построена на математической основе и даю т мощ ные инструменты вычислений. Есть математические результаты, которы е не м огут бы ть прям о использованы в вычислениях; например, теорем а о неразреш имости в радикалах общего алгебраического уравнения выш е четвертой степени, теорема существования решения уравнения без предъявления алгоритм а его построения и т. п. Следует все-таки признать, что деление м атематики на «чистую», прикладную , вычислительную отвечает скорее узкой специализации м атем атиков, а не задачам , которые м атем атика призвана реш ать. Д ля решения п р о б л е м е с т е с т в о з н а н и я , т е х н и к и м а т е м а т и к а долж на р а с с м а т р и ваться единой и неделимой. Только в этом случае использование результатов матем атики и ее неотъемлемой части — вычислительной м атем атики — будет плодотворны м и эффективным.
С появлением ЭВМ начался золотой век вычислительной м атем атики, она бурно развивается. Ее приложения в науке и технике расш иряю тся с каж дым годом. Однако появилась реальная опасность отождествления с вычислительной м атематикой численных м етодов м атематики, как наиболее приспособленных к работе на маш инах первых четырех поколений.
И до появления ЭВМ инженеры и ученые проводили довольно сложные вычисления и весьма успешно: бы ла построена Эйфелева баш ня, были рассчитаны положения планет П лутон, Нептун, велись аэродинамические расчеты в самолетостроении. В чем же причина успехов вычислительной м атем атики в те времена? О твет здесь однозначный: причина успеха в применении всего арсенала м атем а
тики того времени для решения задачи, в гибком сочетании аналитических и вычислительных методов. Прежде чем считать, необходимо бы ло выполнить больш ую аналитическую работу — ин
струменты для вычислений не м огли компенсировать, как сейчас, слабые м етоды вычислений.
О бративш ись к периоду развития вычислительной матем атики после появления ЭВМ , м ож но увидеть, что наиболее яркие достижения в решении задач были получены именно теми учеными и инженерами, кто раб о тал на ЭВМ , применяя все имеющиеся средства математики: «чистой», прикладной, вычислительной.
С точки зрения техники вычислений м атем ати ка дает в ее распоряжение методы , которы е условно можно разбить на следую
щие четыре группы: качественные, аналитические, методы возмуще
ний и численные методы.
5.1.2. Примеры качественных методов. П рим ером качественных методов мож ет служить следую щ ая теорем а алгебры:
всякий многочлен степени и ^ 1 с любыми числовыми коэффициен
тами имеет п корней, считая корень столько раз, какова его кратность.
Эта теорем а не дает подходов для нахождения корней, но позволяет вычислителю определить число корней алгебраических уравнений.
Для отыскания замкнутых траекторий (предельных циклов) на плоскости применяется следую щ ая теорем а Бендиксона:
пусть в кольцевой области G нет точек х х, х 2 таких, что / , (л',, х 2) - 0 , f 2( xь х 2) = 0,— точек покоя системы
Пусть все траектории этой системы, начинающиеся при ( = 0 на границе G, остаются внутри G при всех t> 0. Тогда в G имеется по крайней мере один цикл.
Э та теорем а относится к качественным м етод ам исследования дифференциальных уравнений.
Т еорем а линейной алгебры о приводимости м атрицы оператора А, действую щ его в «-м ерном пространстве, имею щ его п линейно независимых собственных векторов с собственными числами Х,х, Хг, К , к диагональном у виду
относится также к качественным м етод ам линейной алгебры.
Э та теорема указывает канонический (простейший) вид матрицы 165
оператора в базисе из собственных векторов, но не дает м етода построения этого базиса.
5.1.3. Примеры аналитических методов. П рим ером аналитических методов являются формулы решения квадратного уравнения х 2+ р х +
+ qx = 0:
* і , 2 = - р / 2 ± У ( / > / 2 ) 2- 9
— или формулы К ардано решения кубического уравнения.
П рим ером аналитических методов решения дифференциальных уравнений является м етод разделения переменных. Н априм ер, реш ая этим м етодом задачу
j ( o ) = 1, 0 < х < 1 , имеем формулу
у = 2 / ( 2 - х 2).
Решение общих линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в виде конечного числа формул мож ет бы ть получено для систем не выше четвертого порядка (и ^ 4 )
Т - = X аи У ] + М х 1 у і(0) = 0
а х J = 1
и только для тех правых частей /|(х ), которы е интегрирую тся аналитически с множ ителями х т ехр (к х). Э то легко понять, если учесть, что для получения формул решения необходимо найти собственные числа матрицы А = ау, т. е. реш ить алгебраическое уравнение d e t(^ —А.£) = 0 п-й степени, а это м ож но сделать в конечном виде только для и ^ 4 . Не следует при этом забы вать, что для частных линейных систем мож ет оказаться возм ож ны м представить решение конечным числом ф ормул и для п >4.
О днако аналитические м етоды не ограничиваю тся рассм отрени
ем алгоритм ов с применением конечного числа ф ормул, вводятся бесконечные процессы, предельные переходы, т. е. весь арсенал матем атического анализа.
Так, например, аналитическим является м етод последовательных приближений П еррона решения рассмотренной выше задачи К ош и для системы линейных уравнений
УІ+ і(х) =
I
aijy(jk){s) + f ( s) Ь'=1ds, 1 к = 0, 1, ..., М0)М = о ,
если правые части f { x ) допускаю т аналитическое интегрирование бесконечное число раз, т. е. известны ф ормулы для интегралов
* X s0 X s0 Sk- 1
lf]{s0)ds0, $ds0 $ f ( s l )d s1 ...\d s 0 \ d s l ... j f { s k)dsk.
0 0 0 0 0 0
166
Н апример, это м огут бы ть многочлены, тригонометрические функции и т. п. Тогда решение (.х) записывается в виде (если существует предел)
Уі(х) = l i m >>?(*), к —* оо
А налитическим м етод ом решения систем линейных уравнений А х = Ь
с определителем del А # 0 является правило К рам ера
v
УА
v Vl ~ d ' 2~ d ' n~ d ’ где d— определитель м атрицы А;
f l i . i • • « и •■ a i , „
d = a 2 , l •• a 2 J • « 2 а л , 1 •■ a n , j • a n .n
определитель dj получается из d заменой /-го столбца столбцом из свободных членов.
В тех случаях, когда правило К рам ера легко применить (п мало), оно дает явное выражение решения системы через коэф
фициенты— элементы м атрицы А и вектора Ь. П ри больших значениях п практически оно неприменимо и провести вычисления с его пом ощ ью не представляется возмож ны м, так как количество слагаемых в определителях с ростом п растет как п\.
Это один из многочисленных примеров, когда аналитический м етод не мож ет бы ть положен в основу вычислений.
5.1.4. Примеры методов возмущений. Следую щ ая группа методов, названная методами возмущений, занимает промежуточное полож е
ние между м етодам и, даю щ им и точное и приближенное решение задач. Х отя м етоды возмущ ений относятся к аналитическим методам , они выделяю тся в особое направление как по больш ому и разнообразном у математическому аппарату, так и том у месту в м етодах вычислений, которые они заним аю т.
Фактически м етоды возмущ ений представляю т собой промежу
точное, связующ ее звено между аналитическими и численными м етодам и.
Термин «возмущение» обусловлен тем, что рассматривается обычно задача Ue, зависящ ая от м алого п арам етра | е | « : 1 (е м ож ет бы ть вектором), которая является возмущ ением предельной, невозмущ енной (е = 0) задачи U0. Решение задачи U0 предполагается известным. М етоды возмущ ений даю т различные подходы к реше
нию Ue, при этом используется м алость п арам етра возмущ ения
е и информация о решении предельной задачи U0.
Приведем пример одного из методов возмущ ений, ш ироко использующ егося в вычислениях. Будем рассм атривать невозмущ ен
ное уравнение, иллю стрирую щ ее аналитические методы.
167
П усть требуется реш ить алгебраическое уравнение
Uc: Ex5+ x 2 + p x + q = 0. (5.1.1)
где е — м алы й параметр. Пусть невозмущенное уравнение
£/„: x2+ p x + q =0, (5.1.2) не имеет кратных корней (р2/4) — q ^ 0
х ? ] = - Р І 2 + J p 2! 4 - q , xg» = - p / 2 - y / p 2/ 4 - q .
Д ля двух из пяти корней уравнения (5.1.1) м ож но найти ф ормулы в виде рядов по £ (рядов возмущений), в пределе при е->0 даю щ ие корни невозмущ енного уравнения (5.1.2): х ^ \ х(20).
М етод возмущ ений сводится к представлению двух корней х , (г), х2 (е) (5.1.1) в виде рядов
(е)= х*!01+ех\* ’+ е2х\2)+е3х^3) + ..., (5.1.3) х 2 (е) = х!г0) + ех^1 ’ + е2х^2) + е3х^3) + ... (5 .1 .4 ) с неизвестными коэффициентами хЧ\ хЧ\ г= 1, 2, .... П одставим (5.1.3), (5.1.4) в (5.1.1), приравняем коэффициенты при одинаковых степенях м алого парам етра е и, таким образом , получим выражения д ля последовательного определения xj*, x f . Н апример, при е 1 имеем
е(хН 5 + 82хМ )+ёМ 1) = 0, E ( x f ) 5+ e 2 x ^ 1) + £ M 1, = 0.
О тсю да находим
„<1>_ ( - 1) /у(0)\5_ ( - p / 2 + ^ p 2/ 4 - q ) 5 1 ~ 2 Л 0)+ Р(ХІ > ~ 2 ^ 7 1 ^ 4 ’
Э ти ф ормулы д аю т выражения для двух корней (5.1.1) в первом приближении
* , М— + + (5.1.5)
2 s / p 2l 4 - q
х 2 (е) = - р/2 + J p2/4 - q - E Ы 2 - v V / ^ - g ) 5 + 0 ( 5 1 6 ) Ч Р ! 4 ~ q
М ожно доказать сходимость рядов (5.1.3), (5.1.4) для достаточно малы х значений |е|. Однако формулы для приближений выше первого становятся гром оздким и и на практике редко применяются.
Ряды (5.1.3), (5.1.4) определяю т аналитическую функцию по е, а м етоды возмущений, приводящ ие к таким рядам , называю тся регулярными методами возмущений.
Заметим, что оставшиеся три корня (5.1.1) не м огут быть определены функциями без особенностей по е. Три оставшихся
корня х 3 (е), х 4 (е), х 5 (е) по £ долж ны им еть особенность при е = 0, т. е.
lim д:; (е) = оо, у = 3, 4, 5.
£ *0
Ч тобы найти характер этой особенности, произведем в (5.1.1) замену
х = —у. 1 ev Получим
^ Т У 5+ ^ У 2+ ^ У + Я = 0 . (5.1.7) Н айдем показатель особенности v из условия, чтобы коэффициенты при старш их степенях у в (5.1.7) имели одну и ту же особенность, т. е.
5 v — 1 = 2 v, v = 1/3.
Тогда замена приведет уравнение (5.1.1) к уравнению Қ : ^ 5 +>>2 + E1/3/?J + e 2/3? = 0,
для которого невозмущ енное уравнение имеет вид V0 : У5+У2 = 0.
Выбирая из решений V0 ненулевые, находим у ¥ > = - 1 , ^ = 1 1 ^ ' , ^°>=
Теперь к задаче Vc м ож но применить регулярный м етод возмущ е
ний. И щ ем три корня Ус—у э (е), у4 (й)> >’5(Е) в виде рядов по степеням е1/3:
Уз (е) = ^ 0) + е1/М 1) + е2/3Л 2) + £3/Уз3) + • ••, у 4 (е)=/ о )+ е1/ ^ 1’+ e2/V42) + е3/3^ 3) + ...,
У 5 (е ) = ^ о ) + e i / 3^ > + е 213у Ч ] + е 3/3^ 3> + . . . .
Так же как и выше, подставим эти ряды в КЕ, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е1/3 и определим >’з \ у уф, i = l , 2, .... П ри е1/3 имеем:
Е 1/3 ■5 + г 1132уф}у ^ + z p y f ' = О,
£ 1/3’ 5 ().iO,)4H I, + E1/> W 1, + E1/> i O, = 0, е 1/3 • 5 ( y f Y y V ' + е 1132 у ^ у ^ + б1/3 р у ^ = 0.
О тсю да находим
v <i) J L V(D= _____ Р___ V(D= _____ Р___
П 3 ’ У4 5(y<4° f + 2 ’ УЪ 5 ( у ^ ) 3 + 2 ‘
169
У читывая связь между х и у, запиш ем приближения для трех корней уравнения (5.1.1) с точностью до 0 ( е 1/3):
* . й = ; і т ( - 1 + * , П 5 ) + 0 ( е П (5 ,1 .8 )
, д . , ) + ° ( в - ' 3), (5 .1 .9 )
1+ 2 ) +
v j + 0 { e ' n )- ( 5 U 0 ) Ряды вида (5.1.8) — (5.1.10) определяю т функции х3 (е), х4 (е) , х 5(е) с особенностью по s. М етоды возмущений, приводящ ие к таким рядам , назы ваю тся сингулярными методами возмущений.
П рием, которы й сводит сингулярный м етод возмущ ений к ре
гулярному, назы ваю т регуляризацией. Замена x = e~ vy есть регуля
ризация.
М ожно доказать сходимость рядов в (5.1.8) — (5.1.10) для достаточно малы х |е|.
И так, м етоды возмущений позволили для алгебраического уравнения 5-й степени (5.1.1) записать при малы х значениях |е | приближенные формулы всех пяти корней (5.1.5), (5.1.6), (5.1.8)— -
(5.1.10).
Т аким образом , методы возмущений расш иряю т возм ож ности аналитических м етодов и вклю чаю т в сферу приложений те классы задач, которы е м огут быть приближенно решены аналитически.
Наконец, когда в уравнении (5.1.1) значение |е | не м ало, методы возмущ ений неприменимы. Точное значение s 0, при ко
тором м етод возмущений перестает работать, связано с оценкой погреш ности ф орм ул для корней x i(е), 1 ^ / < 5 и с требуем ой точностью вычисления корней.
В диапазоне изменения е, в котором не могут применяться м етоды возмущ ений, используются численные методы.
5.1.5. Пример численного метода. Численные методы — это такие методы решения задач, которы е сводятся или м огут быть сведены к арифметическим действиям над числами.
Рассмотрим задачу
^ = ХУ2-b esin x , у(0) = 1, 0 ^ х < 1 , (5.1.11) для которой невозмущ енная (е = 0) задача имеет аналитическое решение, приведенное выше. Д ля малых е м ож но найти ряд возмущ ений по аналогии с задачей (5.1.1):
у{х, e ) = j <0)(x ) -l-e j<1,(x) + O (e2), (5.1.12)
где J (0)(*) = - — 2 ’ У( и (х ) определяется решением задачи
= 2 x / 0)(x)>’(1) + sinx, j (1)(0) = 0, 2
откуда
х- * 4*.
І — -* 1 es2 - j , sin sds.
о
Последний интеграл м ож но вычислить аналитически, используя элементарные функции. Н о если возм ущ аю щ ая функция е и ( х , у) такова, что интеграл для >,(1) (х) не выражается через известные функции, то для вычислений у ( х , е) по ф орм улам (5.1.12) в какой- либо точке х о е [0 , 1] необходимо применять численные методы.
Э то пример сочетания аналитического м етод а и м етод а воз
мущений.
При е = 1 к задаче (5.1.11) методы возмущений уже не применяются.
Задача (5.1.11) является типичным объектом численного анализа. К ней можно применить, например, известный из курса высшей матем атики явный м етод Эйлера. Приближенные значения у\ к точному решению в точках Xi = ih, i=0, 1, 2, ..., N , h = l/Nнаходятся из соотношений
+ 1 = J'i+ Л(лГіУ?+ sinXf), O ^ i ^ N , y 0 = l . (5.1.13) П огреш ность приближений имеет оценку
max \ у ( х ^ - у і \ = 0 ( һ ) , 0.
О братим внимание на то, что м етод Эйлера (5.1.13) сводит задачу приближенного определения точного решения j'(jCj) в точках х ; к арифметическим операциям и вычислению элементарной функции sin х„ т. е. это действительно численный м етод, так как вычисление sin X; также мож но свести к арифметическим операциям над числами.
5.1.6. Общие замечания. П одводя итог введению, следует зам етить, что, как правило, на практике приходится иметь дело с задачам и, зависящ ими от одного или нескольких парам етров, начальных данных и т. п., которы е леж ат в некоторых интервалах своего изменения.
Д ля одних парам етров, возмож но, удается применить регуляр
ный м етод возмущ ений, для други х— сингулярный, третьи х— чис
ленный м етод. Наилучш ий эффект достигается при сочетании всех рассмотренны х подходов. Во-первых, результаты применения д олж ны совпадать с учетом точности вычислений в общей области действия м етодов; это хорош ий контроль правильности проведен
ных вычислений. Во-вторых, к лю бой задаче следует подходить по принципу «сверху вниз», так же как в алгоритмизации и програм мировании. С начала матем атическая задача изучается
171
качественными м етодами, затем аналитическими, далее м етодам и возмущ ений и, наконец, численными методами.
Численным м етодам в данной книге уделено основное внимание.
К ак отмечалось выше, успех численных м етодов объясняется их сравнительно простой реализацией на ЭВМ.
Однако представляется целесообразным перед тем, как применять численные методы к задаче, ответить на следующие вопросы:
1. К акая «ближайш ая» задача решается аналитически?
2. Н ельзя ли рассматриваем ую задачу считать возмущ енной
«близкой», реш аемой аналитически?
3. К акая «ближайш ая» задача решается успешно численно и каким методом?
Ч астичным ответом на первый вопрос является сам о определе
ние «близкой» задачи; что под этим термином понимается в конкретной математической модели подробнее см. в п. 5.2.
Следую щ ей частью является фактическое построение аналитичес
кого решения.
Затем, если параметры м одели и требуемая точность вычислений позволяю т применить м етод возмущений (положительный ответ на второй вопрос), го его применяют, приняв аналитическое решение за нулевое приближение для решения исходной задачи.
Если м етод возмущ ений нельзя применять, то «близкая» задача (аналитическое решение) мож ет служить тестовой задачей для кон троля разрабаты ваем ого численного метода.
Если «близкая» задача реш ается только численно и известен м етод ее решения (получен ответ на третий вопрос), то следует пы таться реш ать исходную задачу, сочетая численный м етод и м етод возмущений. Если эту комбинацию не удается применить, то «близкая» задача (численное решение) мож ет служить тестом для контроля разрабаты ваем ого численного метода.
Все эти «меры предосторожности» кажутся излиш ними, тем более что численные методы просто реализовать. Н о эта простота часто имеет обманчивый вид, так как возникает очень трудная практическая оценка погреш ности вычислений.
П оэтом у искусство вычислений состоит фактически не столько в предъявлении числовых результатов в виде таблиц чисел, графиков, сколько в обосновании того, что эти результаты получены с заданной точностью.
• 5.2. Масштабирование и замена переменных
5.2.1. Анализ размерностей. Безразмерные переменные. Выше использовались термины «близкая» задача, парам етр возмущения.
Покажем, как определяется парам етр или параметры возмущения, выясним, какая задача является «близкой» к данной задаче, что следует сделать с конкретной прикладной задачей еще до этапа ее решения каким-либо методом.
172
Конкретная техническая задача при своей математической формулировке записывается в виде соотнош ений, которы е содерж ат пе
ременные, константы в обозначениях и раз
мерностях, принятых в той области техники, к которой эта задача относится.
Пример 1. В механике свободное движение массы т, закрепленной на пружине с коэф
фициентом жесткости к и демпфером с ко
эффициентом вязкости р (рис. 5.1), описыва
ется уравнением
У / / / Ш / г
5 к
1 -А .
_ ч Р і |—L - '/ / / / / / / / / / /
т
y(t)
Рис. 5.1
d 2y n d y ,
mlt^+^7i+ y (5.2.1)
Пусть в м ом ент времени t = 0 заданы начальное смещение у (0), начальная скорость (0) = 0. Т огда найти движение на интервале времени 0 означает проинтегрировать уравнение (5.2.1) с начальными условиями
(5.2.2) В конкретной задаче масса т мож ет вы раж аться в грам м ах (г), у— в сантим етрах (см), t— в секундах (с), (3 — в г/с, к — в г/с2. Н апример, у 0 = 5 см, w = 5 0 r , Г = 2 0 с , [3=10 г/с, А: = 200 г/с2.
В размерных переменных t, у трудно обнаружить, какая задача близка к рассм атри ваем ой — та, в которой можно пренебречь демпфированием, или та, где можно пренебречь собственными колебаниями.
Перейдем к безразм ерны м переменным т, х с пом ощ ью замены z = y /k jm t, х = у / у 0. (5.2.3) Д ля этого введем величину са0 = у /к /т , равную собственной частоте колебаний без демпфирования. Смещение х теперь выражается в единицах начального смещения. Замена по ф орм улам (5.2.3) дает
d y d { y 0 x ) d x
d t d x d t
d x
Т х У о Щ ’ d t 2 d 2y d 2 x
d x У о т
и приводит к уравнению в безразмерных переменных х, т
d 2 x d x
, 2- + ц — + х = 0, 0 < т ^ с о оГ, d I dx
где ц = Р /( т с о 0), с начальными условиями
(5.2.4)
(5 .2 .5 ) 173