Умов–Пойтингтің теоремасы өрістегі энергетикалық ара қатыстарды бейнелейді және электромагнит өрістегі энергияны сақтаудың заңын білдіреді. Теорема қандай да болған көлемде энергияның өзгеруін осы көлемді қоршайтын беттік арқылы энергияның ағынымен байланыстырады.
V көлемдегі электромагнит өрістің энергиясы тең
(23.28)
Энергия уақыт бойынша үздіксіз өзгереді. Көрсетілген көлемде энергияның өзгеруі (үлкеюі)
. (23.29)
және орта үшін Максвеллдің теңдеулерін жазайық
Бұл теңдеулерден табамыз
.
Онда электромагнит өрістің энергиясы өзгеруді былай жазуға болады
Векторлық анализден белгілі
Сондықтан,
Векторлық көбейтіндіні былай белгілейміз
векторды Пойнтингтің векторы деп атайды
Сонымен, Пойнтинг векторының өлшемі беттік бірлікке қаратылған қуатқа тең.
Остроградскийдің теоремасы бойынша
сондықтан,
(23.30)
Табылған көрініс Умов – Пойнтингтің теоремасы деп аталады. Бекітулі беттік ішіне кіретін Пойнтинг векторының ағыны екі қуаттық қосындысына тең:
. беттікпен шектелген көлемдегі жылулық шығындардың қуаты, екіншісі сол көлемдегі электромагнит өрістің энергия өзгеруіне сәйкесті.
Жылулық шығындардың қуаты барлық кезде болымды. Электромагнит өрістің энергия өзгеруіне сәйкесті қуат болымды да, теріс те болуы мүмкін. Егер де болымды болса, онда көлемдегі электромагнитті энергия үлкейеді. Бұл жағдайда беттік арқылы кіретін вектордың ағыны болымды болады. Егер де көлемде энергия көздері болса, олардың лезді қуаттары тең болса, онда теорема былай жазылады
(24.31)
көлемдегі көздердің қуаты жылулық шығындардың қуатының, электромагнит өрісінің энергия өзгеруінің және қаралып тұрған көлемнің шекаралық беттікпен шығатын қуаттың қосындысына тең
Умов – Пойнтингтің теоремасы комплексті түрде Айнымалы токтың комплексті түрдегі толық қуаты тең
Егер де айнымалы токтың тізбегінде тізбектеп қосылған кедергі, индуктивтік және сыйымдылық болса, онда реактивтік қуат
мұндағы
және .
Сонымен, реактивтік қуат тізбектің магнит энергияның және электр энергияның - ға көбейтілген айырымына тең
және .
Сондықтан, және
(23.32)
Оң жақтағы бірінші қосынды активтік қуат, екінші – реактивтік қуат. Сонымен, Умов- Пойнтингтің теоремасы клмплексті түрде былай жазылады
(23.33)
24.Біркелкі өткізгіш орталардағы айнымалы электромагнит өрісі 24.1 Өткізгіш орта үшін Максвеллдің теңдеулері
өткізгіштігі және магнит өтімділігі бар өткізгіш ортада электромагнит толқынның таратылуының ерекшеліктерін қарайық
(24.1) (24.2)
Өткізгіш ортада өткізгіштік өте үлкен болған
кезде көбейтінді өткізгіштік көп есе аз болады ( есе). Сол себептен қосындыны еске алмай жазуға болады
(24.3) (24.4)
(24.2) және (24.1) теңдеулер екі белгісіз және бар теңдеулер. Олардың бірлескен шешуін өткіземіз. Ол үшін (24.1) теңдеуден роторды аламыз
болғандықтан екенін еске алып табамыз.
; .
(24.5) (25.3)
(24.6)
мұнда U – жылдамдық
Үш немесе екі координаттардан тәуелді болғанда (24.6) шешу өте қиын. Сол себептен (24.4) теңдеудің шешуін жазық толқын үшін қараймыз.
24.2 Жазық электромагниттік толқын
Жазық электромагниттік толқынның жазықтықтың барлық нүктелерінде (мысалы хоу жазықтықта) толқынның таратылу бағытында ( білік бойынша) дәл осы уақытта электр өрістің кернеулігі және магнит өрістің кернеулігі бірдей (шамасы және бағыты бойынша) және хоу жазықтықта жатады. (24.1 сурет)
24.1 сурет
Білік магнит өрістің кернеулігімен бағыттас етіп алайық. Бұл жағдайда . Мұндағы - декарт координат жүйедегі бірлік орта.
(24.6) теңдеуге қойып ашамыз.
. (24.7)
және есепке алған кезде шығады
(24.8) (24.8) теңдеу екінші дәрежелі сызықты дифференциалды теңдеу.
Оның шешімі былай жазылады
(24.9)
Мұндағы және - интегралдаудың тұрақтылары, олар шекаралық жағдайдан белгіленеді.
Электр өрістің кернеулігі (24.1) тең
. ;
(24.10)
. ;
Электр өрістің кернеулігі білігі бойынша таратылады, оны орт. көрсетіп тұр және кернеулікпен кеңістік ығысу бар. білікке проекциясы тең:
мұндағы құл
,
Ү білікке проекциясы тең
құл , мұндағы
24.3 Біртекті өткізгіш ортада электромагнит толқынның таратылуы
24.2 сурет
Электромагнит толқын диэлектриктен өткізгіш ортаға өтеді және сол ортада тарайды. Орта шексіз болғандықтан, қайтарылған толқын бұл жағдайда болмайды. Тең құлау толқын болғандықтан
және
интегралдаудың тұрақтысын шекаралық жағдайлардан табамыз.
Өткізгіш ортаның бетіндегі магнит өрістің кернеулігін деп белгілесек, онда кезде
Сондықтан (24.8) – ді есепке алып
(24.11)
. және лезді мәндері
(24.12)
үлкейген сайын көбейткіш көрсеткіш заң бойынша
азаяды. Сон дықтан, өткізгіш ортада электромагнит толқын таралған кезде және амплитудалар көрсеткіш заң бойынша азаяды.
24.3 сурет
24.4 Беттік әсер
24.4.1 Беттік әсердің құбылысы
Өткізгіш арқылы өтетін айнымалы ток өткізгіштің кесіндісі бойынша біркелкі болып таратылмайды. Кесіндінің әртүрлі нүктелерінде токтың тығыздығы бірдей болмайды. Неғұрлым өткізгіштіктің өткізгіштігі және магниттік өтімділігі жоғары, ал токтың жиілігі үлкен болған сайын кесінді бойынша токтың соғұрлым таратылуы біркелкі болмайды. Бұл құбылыс токтың беттік әсері деп аталады. Егер өткізгіш арқылы айнымалы магнит ағын өтсе, онда беттік әсер магниттік беттік әсер деп аталады. Беттік әсердің әрекеті арқылы өткізгіштіктің активтік кедергісі және индуктивтігі өзгереді.
Жиілік өскенде кедергі үлкейеді, индуктивтігі азаяды. Бірнеше токтары бар өткізгіш жақын орнатылса, онда кесінді бойынша токтардың таратылуына көршілес сымдардың токтары ықпал етеді. Бұл құбылыс жақындық әсер деп аталады.
24.4.2 Цилиндрлік сымдағы беттік әсер
24.4 сурет
Радиусы ға тең сым бойынша жиілігі бар синусоидалы ток ағып тұр.
Сымның кесіндісінің қандай да болған нүктесінде кернеуліктің және ток тығыздығын белгілейтін кейіптемеде шығару керек.
Шешімді координаттардың цилиндрлік жүйесінде өткіземіз (24.4 сурет) Токтың тығыздығы білік бойынша бағытталған, сондықтан
Максвеллды бірінші және екінші теңдеулері .
Екінші теңдеудің екі жағын көбейтсек,
,шығады немесе яғни
Қалыптасқан ережеде , сондықтан .
координаттардың цилиндрлік жүйесін ашқанда,
, шығады немесе
деп белгілейік,
онда немесе
(24.13) (24.13) теңдеу – Бессельдің теңдеуі
(24.13) теңдеудің шешімі
(24.14)
(24.15) - Бессель функцияның нөлдік реті;
- Бессель функцияның бірінші реті;
Интегралдаудың тұрақтысын белгілейік. Бұл үшін толық ток заңы бойынша сымның бетіндегі кернеулік табамыз.
,
табылған мәнін (24.14) және (24.15) теңдеулерге қойып, табамыз
(24.16)
(24.17)
(24.16) және (24.17) теңдеулер арқылы ток тығыздығының комплексін және магнит өрістің кернеулігін сымның кесіндісінің қандайда болған нүктесінде табамыз.
25.Біркелкі өткізгіш орталардағы айнымалы электромагнит өрісі
25.1 Біртекті және изотропты диэлектриктерде электромагнит толқындардың таратылуы
Өте оңды диэлектриктің өткізгіштігі нөлге тең. Сондықтан Максвеллдың бірінші теңдеуінің оң жағындағы бірінші қосындысы нөлге тең, ал Максвеллдің теңдеулері диэлектрик үшін
(25.1)
және (25.2)
Біртекті және изотропты диэлектриктер үшін ,
сондықтан жағдай тең деп есептеуге болады. (25.1) және (25.2) теңдеулердің бірлескен шешімін өткіземіз. Сол үшін (25.1) теңдеуден роторды алайық.
Шығады
болғандықтан , . болғандықтан ,
немесе
(25.3) көбейтіндісі
(25.4)
яғни өлшемі жылдамдық шаршысының өлшеміне теріс,
сондықтан (26.3) теңдеуге мұндай белгіні кіргізгеннен кейін теңдеу келесі түрде жазылады
Жазық электромагнит толқын білік бойынша таратылады, сондықтан магнит өрістің кернеулігі білікке бағытталған, яғни
Жазық толқын үшін тек координатынан ғана тәуелді болғандықтан, теңдеуді былай жазамыз
(25.5)
(25.5) теңдеуге сипаттамалы теңдеу сәйкес. Оның түбірлері
және (25.5) теңдеудің жалпы шешімі
, (25.6)
мұндағы және - шекаралық жағдайдан тәуелді комплексті коэффициенттер.
Көрсеткіш түрде және
білігінің болымды бағытымен өтіп бара жатқан құлау толқыны; білігінің теріс бағытымен өтіп бара жатқан шағылысқан толқын.
Электр өрістің кернеулігін (26.1) теңдеу бойынша табамыз
болғандықтан
- диэлектриктің толқынды кедергісі.
Толқынды кедергі таза нақтылы сан, өлшемі Ом.
Ом.
Толқынды кедергі жиіліктен тәуелсіз, вакуум (ауа) үшін және ,
сондықтан .
, (25.7)
мұндағы .
- жекелік орта электр өрістің кернеулік векторы білік бойынша бағытталғанын көрсетеді.
Сонымен, өткізгіш ортадағы сияқты диэлектрикте таратылған жазық электромагнит толқында және бір – біріне перпендикуляр білікпен бағытталады,
білікпен.
Құлайтын толқынның және лезді мәндерін жазайық. Ол үшін комплекс көбейтіп, көбейтіндінің жорамал бөлігін аламыз.
Нәтижесінде шығады
(25.8)
Сол сияқты . (25.9)
білігі бойынша құлау толқын жылжығанда Е және Н амплитудалары тұрақты болып қалады, яғни толқынның өшуі жоқ болады. Мұның себебі диэлектрикте өткізгіш токтар жоқ және жылулық түрде энергия бөлініп шықпайды.
25.1, а.б суреттерде және уақыт мезгіл үшін Н және Е лезді мәндерінің графиктері көрсетілген (кеңістік қисықтар).
25.1 сурет-Н және Е лезді мәндерінің графиктері.
Құлау толқынның Поинтинг векторы білік бойынша бағытталған
, болғандықтан
яғни Пойнтинг вектордың тұрақты құрастырушысы және уақыт бойынша екі есе жиілікпен өзгеретін құрастырушысы бар. Диэлектрик ішінде электромагнит толқынның фазалық жылдамдығы
. (25.10) Егер де толқын вакуумда (ауада) таратылса, онда және
Толқынның ұзындығы тербелудің фазасы өзгеретін білігі бойынша аралық, яғни
Бұдан шығады
(25.11)
(25.11) көрініп тұр – диэлектрикте толқынның ұзындығы жиілікке кері пропорционалды.
Егер де жиілік , болса
.
Мысал: , мұнда
Диэлектрик – ауа.
Магнит өрістің Н кернеулігінің және Пойнтинг векторының лезді мәндерін шқ жазықтықта жазу керек.
Шешім:
. Олай болса
шқ тең кезде Поинтинг векторының лезді мәні
.