Материялық нүкте

қозғалысының дифференциалдық теңдеулері

Материялық нүкте қозғалысының (1.24.2)-теңдеуі векторлық теңдеу болып табылады. Оны əр түрлі координаттар өстеріне прое- кциялап жазуға болады. Мысалы, оны қозғалмайды деп алынған декарттық координаттар жүйесіндегі өстерге проекциялайық

, ,

x kx y ky z kz

ma 



F ma 



F ma 



F . (1.25.1) Мұндағы нүкте үдеуінің проекциялары үшін кинематикадан белгілі формулдарын қолданып, аламыз

2

2 _kx,

md x F

dt 



²₂ ky^,

md y F

dt 



²₂ kz

md z F dt 



немесе mx



F_kx,my



F_ky, mz



Fkz . (1.25.2)

(1.25.2)-теңдеулер материялық нүкте қозғалысының декарттық

координаттар өстеріне қатысты алынған дифференциалдық тең- деулері деп аталады.

Нүкте қозғалысының векторлық (1.24.2)-теңдеуін табиғи өстеріне проекциялайық

, ,

k n kn b kb

ma_ 



F_ ma 



F ma 



F . (1.25.3) Нүкте үдеуінің табиғи өстеріне проекциялары келесі белгілі формулдарымен анықталады:

2

, _n , _b 0

dv v

a a a

 ^ dt ^  ^{ .}

Осыны қолданып, материялық нүкте қозғалысының табиғи өстеріне қатысты дифференциалдық теңдеулерін аламыз

2

, , 0

k kn kb

dv v

m F m F F

dt ^



^  ^



^



. (1.25.3)

Нүкте динамикасында негізгі екі есеп бар. Оның біріншісінде материялық нүкте қозғалысының заңы жəне оның массасы m

беріледі. Осы заңдылықта болатын қозғалысты тудыратын күшті табу керек болады. Екіншісінде берілген күштер жəне қозғалыстын бастапқы шарттары бойынша массасы m-ге тең нүкте қозғалысының заңын анықтау керек.

1.25.1-мысал. Массасы 1,02кг жүк жатқан көлденең (го- ризонталь) платформа 4 м с² үдеуімен вертикаль төмен қозғалады.

Олар бірге қозғалғанда жүктің платформаға түсіретін қысым күшін табу керек.

Шешуі: Жүкке бір ғана белсенді күш түсірілген – оның салмағы P mg . Байланыстардан босату аксиомасын пайдаланып, ойша платфор- маны алып тастаймыз да, оның əсерін вертикаль жоғары бағытталған N реакция күшімен ауыс- тырамыз (1.25.1 сурет). x өсін қозғалысқа бағыттас төмен қарай тік бағыттап, жүк қозғалысының векторлық теңдеуін x өсіне проекциялап жазамыз

m a P N   , осы теңдеуден

1,02 9,8 1,02 4 5,92 N    P m a     H.

Сонда жүктің платформаға түсіретін қысым күші де 5,92H-ға тең болады.

1.25.2-мысал. Массасы 2кг материялық нүктенің қозғалысы мынадай теңдеулермен анықталады

3 2 , 4

x  cos t y  sin t (х пен у метрмен өлшенеді). Нүктеге əсер етуші күштің проекцияларының

нүкте координаттарына тəуелділігін анықтау керек.

Шешуі: Алдымен нүкте үдеуінің проекцияларын табамыз. Ол үшін есептің шартында берілген қозғалыс теңдеулерінен уақыт бойынша екі рет туынды аламыз

2 2

12 2 , 4

x   cos t y    sin t

  .

Нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін пайдалану арқылы күштің координаттар өстеріндегі проекцияларын табамыз

2 2

12 2 , 4

x y

F  m x     m cos t F  m y      m sin t немесе F_x   4  ²  m x F, _y   ²  m y.

1.25.1 сурет

1.25.2 сурет

Сан мəндерін орындарына қойып, аламыз 0,0789 , 0,0197

x y

F   x H F   y H .

1.25.3-мысал. Массасы m-ге тең, бойында электрдің e заряды бар материялық нүкте кернеуі E  A sinkt болатын біртекті электр өрісінде орналасқан. Мұндағы A жəне k берілген тұрақты шамалар.

Электр өрісінде материялық нүктеге F e E  бағыты E кернеуіне қарай бағытталған күш əсер етеді. Салмақ күшінің əсерін ескермей, бастапқы жылдамдығын нөлге тең деп санау керек. Нүктенің бастапқы орнын координаттардың бас нүктесі ретінде қабылдап, оның қозғалысын анықтау керек.

Шешуі: Материялық нүктеге əсер етуші бір ғана күш бар, ол sin

F e A   kt. Бастапқы жылдамдығын нөлге тең болғандықтан нүкте қозғалысы – түзу сызықты қозғалыс болады. Бойымен нүкте қозғалатын түзуді Ox өсі ретінде қабылдаймыз. Нүкте қозғалысын сипаттайтын дифференциалдық теңдеу біреу ғана

sin

m x e A    kt немесе e A sin

x kt

m

  

 .

Осы теңдікті бір рет интегралдап, аламыз cos 1

x e A kt C k m

    

  .

С¹ тұрақтысын табу үшін бастапқы мəндер t₀  0, v₀  x₀  0 шамаларын жоғарыдағы x өрнегіне қоямыз. Сонда ₁ e A.

C k m

 

Алдыңғы теңдікке C₁ мəнін қойып оны қайта жазуға болады 

cos .

dx e A e A

dt k m kt k m

 

   

 

Соңғы теңдеуді тағы бір рет интегралдап, аламыз

2

sin

e A kt

x t C

k m k

  

     ,

мұндағы тұрақты C₂-нің нөлге тең екендігін, t₀ 0 болғанда

0 0

x x  болатын бастапқы шартынан анықтаймыз.

Сонымен, М нүктенің қозғалыс заңдылығы мынадай өрнекпен беріледі e A sinkt

x t

k m k

  

    .

1.25.4-мысал. Массасы m-ге тең нүкте М үйкеліссіз көкжиекпен

 бұрышын жасайтын көлбеу жазықтық пен кедергілі ортада

қозғалсын (1.25.2-сурет). Ортаның кедергі күші жылдамдықтың бірінші дəрежесіне пропорционал болсын R    k m v, мұндағы k тұрақты шама. Нүктенің қозғалыс заңдылығын анықтау керек.

Шешуі: Ox өсін көлбеу жазықтық бойымен, басын нүктенің бастапқы орнына қойып бағыттайық. Нүкте қозғалысының диф- ференциалдық теңдеуі

sin

m x P    R немесе x g sin  k x. (а)

(а) теңдеуіндегі x жəне t айнымалыларды ажыратып жазамыз

sin .

dx dt

g   k x ^



 (б) (б) теңдеуді бір рет интегралдап мынадай теңдеу аламыз

1

1 ln(g sin k x) t C.

k 

        (в) Бастапқы шарттарды қолданамыз

0

t  болғанда x₀ 0, x₀ 0. (г) Бұл бастапқы мəндерді (в) теңдеуіне қойсақ

1

1 ln(g sin ) C .

k 

   

Олай болса (в) теңдеуі мына түрде қайта жазылады

1 1

ln(g sin k x) t ln(g sin ).

k  k 

          Осыны келесідей өрнектейміз

ln(gsin   k x) ln(gsin )   k t немесе ln sin

sin

g k x

g k t





       

  

 

 , яғни ^sin

sin g k x k t

g e





     



 .

Осыдан g ^sin (1 ^{k t}).

x e

k

 _{ }

   

 (д) (д) теңдеуді тағы бір рет интегралдап мынаны аламыз

2

sin 1

( ^{k t}) .

x g t e C

k k

 _{ }

      (е) (г)-дегі бастапқы шарттарды пайдалана отырып (е) теңдеуінен С2 тұрақтысын табамыз

2 2

sin . C g

k



  

Осыны ескеріп (е) теңдеуін қайта жазамыз

2

sin sin

(1 ^{k t}).

g g

x t e

k k

  _{ }

 

     (ж)

Сөйтіп, нүктенің кедергілі ортада көлбеу жазықтықпен қозғалысының заңын (ж) теңдеуі түрінде анықтадық. Орта кедер- гісінің нүктеге əсері k тұрақты кедергі коэффициентімен сипат- талады. Мұнда нүкте қозғалысының (а) дифференциалдық теңдеуін келесі мысалда көрсетілген əдіспен де шығаруға болатынын айту керек.

1.25.5-мысал. Салмағы P-ға тең дененің бағыты көкжиекпен  бұрышын жасайтын бастапқы жылдамдығы v берілген. Бұдан əрі қарай дене тек салмақ күші жəне ауа кедергісі R-дің əсерінен ғана қозғалады. Ауа кедергісін дене жылдамдығының бірінші дəрежесіне пропорционал деп есептеп (R    k P v ), оның қозғалыс теңдеулерін табу керек (1.25.3-сурет).

Шешуі: Координаттардың бас нүктесі ретінде нүктенің алғашқы орнын қабылдап, Ох, Оу өстерін суретте көрсетілгендей бағыт- таймыз. Нүктенің кез келген бір орнын қарастырып, оған сол уақыт cəтінде əсер ететін күштерді көрсетейік. Нүкте қозғалысының негізгі теңдеуі

m a  P R немесе m a P k P v     .

Бұл теңдеулерді Ox Oy, өстеріне проекциялаймыз m x     k P x, my    P k P y.

Теңдеулердің екі жағын m массасына бөліп, оларды келесі түрде жазамыз

0,

x k g x    y k g y    g

    . (а)

Екі теңдеу де коэффициенттері тұрақты, сызықтық теңдеулер болып табылады. Сызықтық теңдеулерді интегралдаудың жалпы теориясы бойынша x e ^t деп белгілеп, (а) жүйесіндегі бірінші теңдеудің сипаттаушы теңдеуін жазамыз

2 k g 0.

    

Бұл сипаттаушы теңдеудің түбірлері ₁ 0, ₂   k g болған- дықтан (а) жүйесіндегі бірінші теңдеудің жалпы шешімі мына түрде анықталады

1 2

k g t

x C C e^{  } , (б) мұндағы C₁ жəне C₂ - интегралдау

тұрақтылары. Осынын туындысы арқылы нүкте жылдамдығының х өсіне проекциясының өрнегін жазамыз

1.25.3-сурет

2 ^{k g t}.

vx     x k g C e^{  } (в) Енді t 0, x₀  0, x₀ v_0x  v₀ cos бастапқы шамаларды (б) мен (в) өрнектерінде пайдалансақ, C₁ жəне C₂ арасындағы тəуелділікті беретін екі теңдеу аламыз

1 2 0,

C C    k g C₂  v₀ cos. Осы жүйеден

0 2

cos , C v

k g



  

 C₁ ^{v0 cos} k g



 

 .

Сондықтан да (а) жүйесінің бірінші теңдеуінің интегралы мынадай

0 cos

(1 ^{k g t}).

x v e

k g

 _{ }

  

 (г) (а) жүйесіндегі екінші теңдеу біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеу болып табылады, сондықтан оның жалпы шешімі y  y₁  y₂, мұндағы y₁ - сəйкес біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, ал y₂ - біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі. Дербес шешім y₂-ні таңдау əдісін қолдану арқылы табамыз

2

1 .

y t

  k (д) Ал y₁-ді сипаттаушы теңдеу арқылы, жоғарыда х-ті табуға қол- данылған əдіспен анықтаймыз

1 3 4 ^{k g t}.

y C C e^{  }

Сөйтіп, (а) жүйесіндегі екінші дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі мынадай

3 4

k g t 1

y C C e t

k

  

    . (е) Нүкте жылдамдығының у өсіне проекциясының өрнегін жазамыз

4

1.

k g t

vy y k g C e

k

  

      (ж) Енді C C₃, ₄ интегралдау тұрақтыларын табу қалды. Ол үшін бастапқы шарттарды пайдаланамыз: t₀  0 болғанда

0 0, dy 0_y 0sin

y v v

dt 

   болады. Осы шамаларды y жəне y өрнегіне қойсақ

3 4 0,

C C  kgC₄ ¹ v₀sin

k 

   ,

теңдеулерін аламыз. Бұлардан

0

3 2

sin

1 v ,

C k g k g



  

  C_{4 2}^{1 v0 sin} k g k g



   

  .

Сөйтіп, екінші біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шешімін таптық

0 2

sin

1 1

(1 ^{k g t}) .

y v e t

k g k g k

 _{  }

  

        (з) Нүктенің қозғалысын анықтайтын кинематикалық теңдеулерді қатарлап жазамыз

0 cos

(1 ^{k g t}),

x v e

k g

 _{  }

   

 ₂¹ v^{0 sin} (1 ^{k g t}) ¹ .

y e t

k g k g k

 _{  }

  

        1.25.6-мысал. Массасы 1кг тең М материялық нүктесі вертикаль xOz жазықтығында координат басына бағытталған ^{P  cr} тарту күші əсерінен қозғалады, мұнда

r 

нүктенің радиус-векторы, пропорционалдық коэффициенті c=4Н/м (1.25.4,а-сурет). Ортаның кедергі күші жылдамдық шар- шысына пропорционалды, яғни кедергі күші ^R  ^vv, мұнда μ=0,2кг/м. Нүктенің бастапқы

координаталары x0=0, z0=10м, бастапқы жылдамдығы v0=20 м/с горизонталь бағғыталған. М нүктесінің қозғалыс теңдеулерін жəне траекториясын анықтау керек.

Шешуі: Материялық нүктеге келесі күштер түсірілген: ^mg ауырлық күші,

P

тарту күші жəне нүкте жылдамдығына қарсы бағытталған ортаның кедергі

R

күші (1.25.4,б-сурет). Нүктеге түсірілген күштер жəне оның бастапқы жылдамдығы xOz жазық- тығында орналасады, сондықтан нүкте осы жазықтықта қозғалады.

Нүкте қозғалысының теңдеуін векторлық түрде жазамыз:

ma mg P R   немесе ^ma  ^{mg cr} ^vv .

Осы теңдеуді координаттық осьтерге проекциялаймыз

, .

x x x z z y

ma  cr vv ma  mg cr vv

1.25.4-сурет

Мұнда нүкте үдеуінің проекциялары ^ax  ^x^, a_z  z, нүкте ра- диус-векторының проекциялары rx r^cos  x r^, y r^sin  y^, нүкте жылдамдығының модулі v  vx² v²z жəне оның проекциялары

x , y

v  x v  y болатынын ескеріп, нүкте қозғалысының дифферен- циалдық теңдеулерін келесі түрде аламыз

2 2 , 2 2 .

c c

x x x x z z g z z x z

m m m m

 

        

       

Алынған дифференциалдық теңдеулер сызықты емес, олардың аналитикалық шешімі табылмайды. Теңдеулердің сандық шешімін

Mathcad жүйесінде алуға болады. Ол үшін нүкте қозғалысының 2-ші

ретті дифференциалдық теңдеулерін 1-ші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі түрінде жазу керек

2 2

2 2

,

, ,

.

x

x x x z

z

z z x z

x v

v c x v v v

m m

z v

v g c z v v v

m m







   



    









Сонда белгісіздер векторы келесі болады: U 



x v_x z v_z



^T.

Mathcad жүйесінде Коши есебін, яғни бастапқы шарттармен

дифференциалдық теңдеулерді шешуге арналған бірнеше əдіс бар.

Біз мұнда тұрақты қадаммен Рунге-Кутт əдісін орындайтын rkfixed(U0,0,t2,200,DU) функциясын қолданамыз. Функцияның бірінші параметрі U0 белгісіздер векторының бастапқы шамасын, 0 жəне t2 – интегралдау аралығын, 200 – интегралдаудағы қадамдар санын, DU – дифференциалдық теңдеулер жүйесін беретін векторлық функциясын білдіреді. Сандық шешім нəтижесі, [0,t2] уақыт аралығында  t t2 / 200 қадамымен есептелген t, x, z, v^x ,v^z мəндірінің матрицасы болып келеді. Мұнда 1.25.5-суретте көрсетілгендей нəтижелер матрицасы S əрпімен белгіленді.

Қозғалыс графиктері мен траекторияны тұрғызу үшін айнымалылардың табылған мəндері бойынша интерполяцияны жүргізіп, олардың функцияларын табу керек. Mathcad жүйесінде сызықты интерполяция жүргізетін linterp(x,y,t) функциясы бар. Соны қолданумен тұрғызылған қозғалыс графиктері жəне нүкте траекториясы 1.25.5-суретте көрсетілген.

1.25.5-сурет