Элементтері созылу-сығылу жағдайындағы статикалық түрде анықталмайтын жүйелерді есептеу

[ ] , [ ] ,

3

N N n 180 10 1 5 3

A 1 125 10

  240

 

  

    

aє

м².

Сырық диаметрі келесі шартты қанағаттандыру керек

3

4 A 4 1,125 10 2

d 3,78 10 м 37,9мм.

 

 

  

    

2.5 Элементтері созылу-сығылу жағдайындағы статикалық

мұндағы

 l

_{сер –} сырықтың (2.3.2) немесе (2.3.3) формуламен анықталатын серпімді абсолют ұзаруы;

lt

 _ - сырықтың температуралық абсолют ұзаруы, ол келесі формуламен анықталады

lt l t .

 _     ^ (2.5.2) Статикалық түрде анықталмайтын жүйелерді өндеу кезінде, сырықтарды шеттерімен біріктіруді күштер түсірілмей орындау керек, ол үшін сырықтар өлшемдері нақты болу керек. Керісінше жағдайда монтаждық, яғни бастапқы кернеулер орын алады.

Монтаждық кернеулерді анықтау статика теңдеулері мен деформациялар теңдеулерін қолданумен орындалады. Сол кезде соңғы шарттарда жүйе элементтері ұзындықтарының берілген дəлсіздіктерін ескеру керек. Гук заңы бойынша жазылған ұзарулардың өрнектеріне шынайы емес, жобаланған ұзындықтарын қояды, өйткені олардың өзара айырмашылығы өте аз шама болып келеді.

Қауіпсіз кернеулер бойынша есептеу кезінде ең үлкен кернеуі бар сырықта ^{ }

 

^{ шартының} орындалуын қанағаттандыру керек.

Егер қауіпсіз кернеу

 

^{ аққыштық шегі σақ арқылы} анықталатын болса, онда статикалық түрде анықталмайтын жүйелер үшін беріктік кепілдігінің шынайы мəні статикалық түрде анықталатын жүйелердегі кепілдігінен əрқашан артық болып шығады. Оны келесімен түсіндіруге болады: статикалық түрде анықталатын жүйелердің кемінде бір элементінде кернеу аққыштық шегіне жетуі сəйкес байланыс жоғалатынын білдіреді, сонда жүйе кинематикалық өзгеретін жүйеге айналады. Статикалық түрде анықталмайтын жүйелерде барлық элементтерінде кернеу аққыштық шегіне жеткенде ғана оның жүк көтергіш қабілеті

жойылады, яғни аққыштық тізбек- пен барлық сырықтарда орын ала- тын жағдайда ғана жүйе кинема- тикалық өзгеретін жүйеге айналады.

Жүк көтергіш қабілеті бойын- ша (межелік жағдай бойынша) есептеу келесі жолмен орындалады.

Сырық материалы идеал серпімді- пластикалық болатынын болжамдап

Прандтль диаграммасы

2.5.1-сурет

(материал үшін 2.5.1 суретте көрсетілген Прандтль диаграммасы қабылданады), жүктеменің межелік мəні есептеледі. Сол кезде жүктеменің межелік мəні Fақ тек қана тепе-теңдік теңдеулерінен анықталады (деформациялар теңдеуі керек емес), өйткені межелік жағдайда сырықтардағы N_i бойлық күштері



_ає

 А

_i тең. Берілген [n]

беріктік кепілдігі үшін [F] қауіпсіз күші

 

F n

ає тең.

2.5.1 мысал. АВ қатты денесі А топсалы тірегімен жəне екі болаттан жасалған 1 жəне 2 сырықтарымен ұсталып тұр (2.5.2,а сурет). Сырықтар көлденең қималарының аудандары А1:А2=1:3 қатынасымен байланысатынын қабылдап, олардың көлденең қималарының аудандарын беріктік шартынан таңдау керек. Есепте келесі берілген: F  280 кН,σақ=240 МПа, [n]=1,5, a=d=2 м, b=4,5 м, c=e=2,5 м,  60 .^

Шешуі: Денеге əсер ететін барлық актив жəне реактив күштерін түсіріп (2.5.2,б сурет), тепе-теңдік теңдеулерін құрамыз

kx x 2

F  A N cos  0,



ky y 1 2

F  A  N N sin   F 0,



A 1 2

M  N a N sin      b F c 0.

Үш



тепе-теңдік теңдеуінде 4 белгісіз күш бар, сондықтан жүйе бір рет статикалық түрде анықталмайтын жүйе болып келеді.

Орын ауыстырулардың (деформациялардың) теңдеуін құру үшін жүйенін бастапқы күйі мен оның деформацияланған күйін қарас- тырайық (2.5.2,в сурет). Сырықтардың ұзару нəтижесінде АВ денесі А топсадан түзу болып айналады. Орын ауыстырулардың кішілігіне байланысты АВ дененің барлық нүктелері вертикаль төмен қозғалады деп есептейміз. Сонда D топсаның орын ауыстыруы 1 сырықтың абсолют ұзаруына тең: DD^'  l .₁ 2 сырықтың ұзаруын, С нүктесінен сырықтың жаңа орнына перпендикуляр түсіріп аламыз, сонда

2 1 2

l C C .

  CC C_{1 2} қарастырып жəне β бұрышы кішкене деп, яғни φ бұрышы деформацияланған күйде бұрыңғыдай қалады деп алып, анықтаймыз ₁ C C^{1 2} l²

CC .

cos( 90 ) sin



 

 



 ADD1 жəне ACC1

үшбұрыштарының ұқсастығынан аламыз ¹

1

DD a

CC  b немесе

1 2

l sin a l b,

 



  осыдан деформациялардың теңдеуін келесі түрде

аламыз

Гук заңы бойынша жазамыз ₁ ¹

1

l N d ,

  E A^



2 2

2

l N e ,

  E A^

 оларды деформациялардың теңдеуіне қойып, табамыз

1 2

1 2

N d a N e

E A b sin E A .

   

  

Осыдан, А2=3А1 қатынасын ескеріп, N₁ N₂ ^{a e} 3 b d sin

 

   аламыз.

Осы өрнекті соңғы тепе-теңдік теңдеуіне қойып, табамыз

2 2 2

F c 280 2,5

N 162кН,

a e 2 2,5

b sin 4,5 0,866

3b d sin  3 4,5 2 0,866



 

  

     

    

жəне бойлық күштер қатынасынан

1

2 2,5

N 162 34,6 кН.

3 4,5 2 0,866

  

  

Қауіпсіз кернеу əдісі бойынша сырықтардың созылу кезіндегі беріктік шартынан ( ^N

 

  A   ) сырықтар көлденең қималарының аудандарын анықтаймыз

 

3

4 2

1 1

N 34,6 10

A 2,16 10 м ,

 160

 

    

 

3

4 2

2 2

N 162 10

A 10,1 10 м .

 160

 

    

2 1

l

l a .

b sin

 

  

Бірақ көлденең қималардың аудандары А2=3А1 берілген қатынасын да қанағаттандыру керек. Сондықтан бір жолата аламыз

4 2

A2 10,1 10 ^ м , ₁ А^{2 4 4 2} А 3,36 10 2,16 10 м .

3

 

    

Сол кезде сырықтардағы кернеулер келесіге тең болады

3 1

1 4

1

N 34,6 10

100,5 МПа, A 3,36 10

   ^ _^ 



Fмеж

2.5.2-сурет

3 2

2 4

2

N 162 10

160 МПа.

A 10,1 10

   ^{ }_ 



2.5.2 мысал. 2.5.1 мысалда қарастырылған құрылым үшін табылған аудандарды жəне F  0 қабылдап, сырықтар температу- расының t^  50 C^ өзгеру себебінен пайда болатын кернеулерді анықтау керек.

Шешуі: Егер D жəне C нүктелерінде сырық деформацияларына еш нəрсе кедергі жасамаса, онда температураның өзгеруіне бай- ланысты олар сəйкес DD₁  l_1t    d t^ жəне CC₄  l_2t    e t^ шамаларына ұзаратын еді (2.5.2,г сурет). Болат үшін α = 1,25·10^-51/ºС.

Жалпы жағдайда осы ұзарулар деформациялар теңдеуін қанағат- тандырмайтын болғандықтан, сырықтарда N₁ жəне N₂ күштері пайда болады. Белгілілік үшін 1 сырық созылады, ал 2 сырық сығылады деп алайық, яғни AB денесі кейбір AB₁ орнын алады дейміз, сонда D₁ нүктесі D ,₂ нүктесінен төмен, ал C₁ нүктесі C₄ нүктесінен жоғары орналасады. Егер есептеу нəтижесінде күштің таңбасы теріс шықса, онда оның шынайы бағыты қабылданған бағытқа қарсы болады.

Тепе-теңдік теңдеуін келесі түрде жазамыз

A k 1 2

m ( F ) N a N b sin      0,



осыдан _{1 2} b sin

N N .

a



  

ADD1 жəне ACC_i үшбұрыштарының ұқсастығынан  кішілігін ескеріп, аламыз СС4=C2C3, жəне

1 1 2 2 1 2 1

1 1 2 2 3 3 1 4 3 1

DD DD sin ( DD D D )sin ( DD DD )sin a

b CC C C ( C C C C ) ( CC C C )

    

    

 

1

1t 1сер 1

2t 2сер 2

2

( d t N d )sin

( l l ) sin E A

N e .

( l l ) e t

E A

  

  

   

   

  

 

    







Жоғарыда N₁ мен N₂ арасындағы алынған қатынасын осыған қойып жəне есептеулерді жүргізіп, аламыз N₂  6 ,95 кН,

N1  13,6 кН.

Сонымен 1 сырықта сығылу кернеулері ₁ ¹

1

N 40,4 МПа,

  A   2 сырықта – созылу кернеулері ₂ ²

2

N 6,88 МПа

  A  орын алады.

2.5.3 мысал. 2.5.1 мысалда қарастырылған құрылым үшін табылған аудандарды жəне F 0 қабылдап, 2 сырық жобаланған ұзындығынан 0,02% қысқа өнделгенін ескеріп, құрастырудан кейін пайда болатын кернеулерді анықтау керек.

Шешуі: Құрылымды құрастырған соң AB денесі 2.5.2,д суретте көрсетілгендей көлбеу орналасады. Сол кезде 1 сырық DD1=Δl1

шамасына қысқарады, ал 2 сырық C2C3= Δl2 шамасына ұзарады, N₁ жəне N₂күштерінің бағыттары бірден дұрыс анықталады. Сонда

0,02 4

е 5 10 м.

 100   ^

Тепе-теңдік теңдеуін келесі түрде жазамыз

A 1 2

M    N a N b sin   0,



^{осыдан N1  N2 b sin} _a ^.

ADD1 жəне ACC₁ үшбұрыштарының ұқсастығын пайдаланып, деформациялар теңдеуін жазуға болады. Аламыз ¹

1

DD a

CC  b; бірақ

3 2 3

1 2

CC C C CC CC

sin sin

   l²

sin ,

 



  осыдан аламыз ¹

2

l sin a l b.

 

 

 

 Ұзаруларды күштер арқылы өрнектеп, жазамыз

1 2

1 2

N d sin a N e

( ).

E A b E A

 

    

 

Осыған тепе-теңдік теңдеуінен алынған _{1 2} b sin

N N

a



  өрнегін

қойып, түрлендіру мен есептеуді жүргізіп анықтаймыз N₂ 20 кН, N1  39 кН. Сонда сырықтардағы кернеулер келесіге тең болады

1 1

1

N 108 МПа,

  A   ₂ ²

2

N 19,8 МПа.

  A 

2.5.4 мысал. 2.5.1 мысалдың шарты бойынша көлденең қималардың аудандарын межелік күйлер əдісін қолданып таңдау керек; екі жағдайдағы материал шығынын салыстыру керек.

Шешуі: Жүйенің межелік жағдайын қарастырып (2.5.2,е сурет), тепе-теңдік теңдеуін келесі түрде жазамыз

A i 1 2 меж

M ( F )  А  А  b sin F  c 0



^{ає ає}

мұндағы Fмеж - жүйенің межелік жүктемесі (жүк көтергіш қабілеті).

Осы теңдеуді [n] мəніне бөліп жəне A₂ 3A₁ алып, ^Fмеж F [ n ]  болатынын ескеріп, жазамыз А¹

( a 3b sin ) F c 0 [ n ]

^{ає }       , осыдан аламыз

3

4 2

1

F c [ n ] 280 2,5 1,5 10

А 3,2 10 м ,

( a 3b sin ) 240 ( 2 3 4,5 0,866 )

 

 

    

   

      

ає

2

2 1

A 3A  9,6 см .

Сырықты өндеу үшін Gқ қауіпсіз кернеу əдісімен жəне Gшек

межелік күй əдісімен анықталатын материал шығынын салыстырамыз

к шек

G 3,36 200 10,1 250

1,05.

G 3,2 200 9,6 250

  

 

  

Сөйтіп, межелік күй əдісі материалдың 5% тең үнемдігін береді.

2.6 «Созылу жəне сығылу» тақырыбы бойынша есептер

2.6.1 есеп. 2.6.1 суретте көрсетілген, қадалған жəне таралған күштермен жүктелген сырықтар үшін бойлық күштер эпюрлерін тұрғызыңыз.

2.6.2 есеп. 2.6.2

суретте көрсетілген қада- лған жəне таралған күш- термен жүктелген сырық- тар үшін бойлық кұш эпюрлерін тұрғызу керек.

Берілгендері 2.6.1 кестеде келтірілген. Оларды 4- цифралы вариант бойын- ша алу керек.

2.6.1-сурет

.

2.6.2-сурет

2.6.1 кесте

2.6.3 есеп. Салмағы G=1,2 кН ауыр қатаң тақта (2.6.3 сурет) F=8 кН күшімен жүктелген.

Беріктік шартынан CD сырығының диаметрін анықтаңыз, егер α=45°, [σ]=150 Н/мм².

Жауабы: 12 мм.

2.6.4 есеп. Арқан диаметрі 2мм болат 100 сымнан тұрады. Арқандағы кернеулерді санап шығарыңыз, егер арқанды созып тұрған күш 50 кН тең болса.

Жауабы: 159 МПа.

2.6.5 есеп. Рычагты механизмнің 1 жəне 2 сырықтарының беріктік шартынан (2.6.4 сурет) F күшінің қауіпсіз шамасын анықтаңыз, егер d=4 мм, [σ]=140 МПа.

Жауабы: 2,64 кН.

Варианттың цифрасы

Цифраның варианттағы реттік нөмірі

1 2 3 4

F1/ql l1/l q1/q q2/q l2/l F2/ql ^{Сұлбаның} _нөмірі 1 –1,0 1,0 –1,0 1,0 2,0 2,0 I 2 2,5 1,5 2,0 –2,0 1,5 –2,5 II 3 –2,0 2,0 1,0 –2,0 2,5 1,0 III 4 1,5 2,5 –2,0 1,0 1,0 –1,5 IV 5 –1,0 3,0 1,0 2,0 1,0 3,0 V 6 1,5 2,0 –1,0 2,0 1,5 –2,0 VI 7 –2,0 2,5 2,0 –1,0 2,5 1,5 VII 8 3,0 1,0 –2,0 –1,0 2,0 –1,0 VIII 9 –1,5 1,5 –1,0 1,0 1,5 2,0 IX 0 2,0 2,0 1,0 2,0 1,0 –3,0 X

2.6.3-сурет

2.6.6 есеп. Сырықтардың (2.6.5 сурет) көлденең қималарындағы кернеулерді санап шығарыңыз.

Жауабы: а) 140 МПа, 97,8 МПа; б) 136 МПа;

в) 120 МПа, 83,6 МПа; г) 115 МПа, д)126 МПа;

е) 177 МПа; ж) 156 МПа, 141 МПа; з) 74,7 МПа.

2.6.5-сурет

2.6.4-сурет

2.6.7 есеп. Р45кН күші абсолют қатаң тақта арқылы көлденең қимасының ауданы 15 см² тұтас болаттан 1 цилиндріне жəне көлденең қимасының ауданы 20 см² жезден жасалған ойық 2 цилиндріне беріледі (2.6.6 сурет). Күш екі цилиндрдің өстерінің бойымен əсе етіп тұр. Табу керегі: болат жəне жез цилиндрлердегі бойлық күштер N1 жəне N2; болат жəне жез цилиндрлердегі бойлық күштерді бірдей қылдыратын (N1 = N2) температура

өзгерісін. Берілгендері: Р = 45 кН; A1 = 15 см²; A2 = 20 см²; E1 = 2·10⁵ МПа; E2 = 1·10⁵ МПа; температуралық ұлғаю еселігі болат үшін 1 = 1,2·10 ^-5 1/град, жез үшін 2 = 1,6·10 ^-5 1/град.

Жауабы: N1=-27 кН, N2=-18 кН; 9,4С; 16С.

2.6.8 есеп. 2.6.7 суретте көрсетілген конструкция бір шетінде топсалы екінші шетінде I жəне II сырықтардың көмегімен бекітілген абсолют қатаң арқалықтан тұрады. Арқалыққа қадалған P күші жəне таралған q күші түсіп тұр.

Берілгендері: [] = = 160 МПа; Р = 5 кН; q = 10 кН/м²; A2 = 2A1; E1 = E2 = 2·10⁵ МПа; a=0,5 м; b=0,4 м; α =45°; β= =51°.

Табу керегі: қауіпсіз кернеулер негізінденгі беріктік шартынан екі сырықтың көлденең қималарының диаметрлерін. Алынған шамаларды 0,5 мм дəлдігімен үлкен жағына дөңгелектендіріңіз.

Жауабы: d1= 5,5 мм, d2= 7,5 мм.

2.6.6-сурет

2.6.7-сурет 2.6.8-сурет

2.2.9 есеп. 2.6.8 суретте көрсетілген конструкция үшін [] қауіпсіз кернеуі берілген деп оған түсірілген күштің [P] қауіпсіз шамасын табыңыз.

Жауабы: [P] =2A(1+cos³α)· [].