ми (сверху, снизу, сверху п снизу):
\ ) у — х 2 — 4х + 4; 2) v = ^ b £ ; 3) у = t g x - { - c t g х (lg х > ( );
1 “ Р -V
**) У = lg ( х '~ — 4 х 4- 3), X f (3, -I- с о ); 5} у — 1 I 1 — х- , х £ (— 1,1); 6) у = 1/cos х.
Р е ш е н и е . 1) Выделим полный квадрат: х э— 4 х + 4 =
= (х— 2 ) 2. Наименьшее значение квадратичной функции д о стигается прн х = 2 и равно 0. Множество значений функции есть множество [0, -|-со). Следовательно, функция ограничена снизу.
< ' ' -у ----2 < тс 2. С л ед о ва тел ьн о , sin х 2 > sin х , и ф у н к ц и я
2) Д анн ую функцию представим следующим образом:
У ~ Т Т Т‘ = П ГГ- н 4 • Так как 0 < г ^ < 1, то функция
1 I ограниченная. Поскольку 1 4 - х - ;Г? 2|л*| ((1 ± 2 х 4- л*2) > 0 ) ,
•а + д
Л'
'ТО I -j— Л’ >~2 11 функция л*/(1- j - л*2) также ограниченная,
а тогда и исходная функция ограниченная как сумма дв ух о граниченны х фу нкци й.
3) С п о с об 1. Представим данную функцию как y = z - \ - \ / z — (У*— 1/Уг)2+ 2 , где z — t g x . Поскольку //<= [ 2 , -|-со) (при .г>»0 ), то исходная функция ограничена снизу.
С п о с о б 2. Преобразуем выражение t g x 4 c t g x = 1/sin х c o s x —
— 2 / s m 2 x . Поскольку по условию t g x > - 0 , то n k•< х <С я /2 4 nk ( & e Z ) , значит, l ^ s i n 2 х > 0 , откуда следует, что 2/sin 2хз>2.
Таким образом, функция ограничена снизу и не ограничена .сверху.
4) Пусть z = x 2— 4 x 4 - 3 = (а*— 2 ) 2— 1. На промежутке (3, 4 - 0 0 ) функция z монотонно возрастает, причем 2>*0 и не ограничена сверху. Исходная функция аргумента г (lg 2:) так
ж е монотонно возрастает, принимая все значения (— о о , + ° о ) ,
т. е. она не ограничена.
5) На промежутке (— 1, 1) 1/У 1—а'2> 0 , поскольку 1—а2> 0 .и у і —а2> 0 . Следовательно, исходная функция ограничена сни
зу и не ограничена сверху.
6) Поскольку | c o s x | ^ l , то множество значений исходной функции равно (—о о , — 1 ] U [ 1, + о о ) . Функция не ограничена.
5. Ф у н кц и я н а т у р а л ь н о го а р г у м е н т а (ч и сл о в ая п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ) . Ч а с т н ы м слу ч аем ф ун кц и и я в л я е т с я ф у н к ц и я н а т у р а л ь н о го а р г у м е н т а
y=f(n) ( / i ^ N ) , к о т о р а я обычно о б о з н ач ае т ся х п и н а з ы в а е т с я числовой последовательностью. О б ла с ть ю оп ределен и я так о й фу нкц ии я в л я е т с я м н о ж е с т в о N н а т у р а л ь н ы х чисел, а к а ж д о е зн ач ен и е х п н а з ы в а е т с я членом по
следовательности. Зн ачен и ю а р гу м е н т а п с о о тв е тс тв у е т число х „ , с т о я щ е е на мес те с номером п в этой п о след овательн ости. П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь счи
тается за да нной , если у к аз ан о пр авило, по к о т о р о м у к а ж д о м у з н ач ен и ю а р г у м е н т а п (н а т у р а л ь н о м у чи слу) п о ставл ен о в с о о тв етств и е е д и н ствен н о е зн ач ен и е х „ . Ч и с л о л*„ н а з ы в ае тс я об щ им членом п о с л ед о ва т ел ь н о ст и . Д л я з а д а н и я п о сл ед о вател ьн о сти д о с та т о ч н о з н а т ь ее общий член, ибо, з н а я н о м ер чл ена п о след овательн ости , все гда м о ж н о найти и сам член. Т ак , если х п = >г X — общий член п ослед овательн ости, то ее п ервые члены р а вн ы
п- + о
0, 3 / 9 , 8 /1 4 , . . . , а, например, д е ся т ы й член ,Үю =99/105.
С у щ ес тв у е т т а к ж е рекуррентный способ з а д а н и я п о след овательн ости , к о гд а п о след ую щ ий член в ы р а ж е н через один или неск о л ь ко п р е д ы д у щ и х члено в и з а д а н ы од ин или н есколь ко н а ч а л ь н ы х чл ено в п ослед овательн ости.
Н а п р и м е р , с ле д у ю щ и е п о сл ед о вател ьн о сти з а д а н ы рекуррентно: 1) а\ = 0;
■Яп н = ( а п + 1 ) / 2 ; 2) bi = 2; b n -i-i= { b n + 2 / b n) / 2. Н е т р у д н о в ы п и сать не
ско л ь к о их первых членов: 1) 0; 1/2; 3 / 4 ; 7 / 8 ; . . . 2) 2; 3 / 2 ; 17/12 ; 5 7 7 /4 0 8 : . . .
П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь х п (n<=N) н а з ы в ае тс я ограниченной снизу ( с в е р х у ) ,
если с у щ е ст в у ет число т (М) так о е, что д л я всех /;<=N с п р а в е д л и в о н е р а вен ство х п > т ( л - п с М ) .
П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь х п н а з ы в а е т с я огр аниченной, если с у щ е ст в у ет чис
ло L такое, что с п р а в е д л и в о н еравен ство | . v „ | < L .
П о сл ед н ее о п ределени е р а вн оси ль н о тому, что п о с л ед о ва т ел ь н о ст ь х п ог рани чена и снизу и сверх у.
П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь х „ н а з ы в а е т с я возрастающей (н е у б ы в а ю щ е й ) , если д л я всех f i e N с п р а в е д л и в о нер ав е н с тв о Хплл^-Хп, и у б ы в а ю щ е й ( н е в о з р а с та ю щ е й ), если д л я всех / z e N с п р а в е д л и в о н е р ав е н с тв о x n + i < x n. Если верн ы с оответственно строги е не р ав е н с тв а x n + i > x n или х„ н < . х п, то п о с л е до в а те л ь н о с т и н а з ы в а ю т с я строго возрастающей или строго убыва ющ ей.
Пример 12. 1) Найти формулу общего члена последователь' ности х п, если Х\ = а, а х п — х п- \
2) Доказать, что последовательность д*л — ограничена.
3) Доказать, что последовательность х п= \ Q n— Ig ( n— 1) мо
нотонна, начиная с некоторого номера п ( « > 1).
4) Найти наибольший член последовательности х и = п 2/ 2 п.
5) Найти наименьший член последовательности .v,, = /i2—
— 0/2- —j— 1.
6) Доказать, что последовательность х п — п (~ ]) не ограни
чена.
Р е ш е н и е . 1) Данная последовательность является арифме
тической прогрессией. Методом математической индукции д о кажем, что ее общий член равен х п = а - \ - ( п— 1 )cl. База индук
ции очевидна: / 1 = 1 , Х\ = а. Покажем, что из справедливости равенства для какого-либо произвольного натурального t i = k
(т. е. x k = a - \ - { k— l ) d ) следует, что оно справедливо для п —
= к -И . По определению последовательности x k+ ] = X i t-\-d. Ис>
пользуя для Хк индукционное предположение, получаем х^+\ =
= Хк + d = a -+- ( k— 1 ) d - \ - d — a-\-kd. Следовательно, равенство- x n = ci-\-(ti— 1 ) d справедливо для любого натурального п.
2) Поскольку = 1 — 11 О < Ғ Т 2 < 1 . т о О < д ' „ < 1 - 3) Преобразуем выражение х п — lg п — lg (п — 1) = l g /; , Д окаж ем , что начиная с п = 2 последовательность х п моно
тонно убывающая. Разность x /i+t — х п = lg — lg^y-^-j-^
= lg = ^ <
о,
значит, <A'„, что и свидетельствует о монотонном убывании членов последовательности.
4) Сравним два соседних члена последовательности:
{п + I ) 2 п - _ п ' + Чп 4- 1 — 2/; __ ( п — !)•' — 2
"'лt-i -^я у"*! ІҒ* 2,,+i *
Если (п— I ) 2<С2 (т. е. п — I, 2), то разность x,t+i—а н> 0 , сл е
довательно, х п+\ ~ > х п. Если ж е (п— 1 ) 2^ 2 (т. е. / 1 ^ 3 ) . то
37
х п+і<ІХп- Отсюда а'з= 8 / 9 — наибольший член последователь
ности.
5) С п о с о б 1. Сравним два соседних члена х п и х п+\ данной последовательности: х п+ \—х п = [ { п Ң- I ) 2 — 5 ( / i . + 1)4- 1 ] —
— (t i 2—Ьп~{-\) — 2 п— 4, следовательно, х п+ \ < . х п при п < 2; а'71+і=
— х п при / 1 = 2 ; Хп+1> х п при п>-2. Значит, наименьшие члены последовательности-v2 и Л'з (х^— х^ —— 5).
С п о с о б 2. Выделим полный квадрат: х п — п 2— 5/г-(-1 =
— ( п— 5 / 2 ) 2— 21/4. Так как п — натуральное число, то величина ( п— 5 / 2 ) 2 принимает наименьшее значение, равное 1/4, при / г = 2 и /г = 3 (ближайшие целые значения п к точке минимума л = 5/2 квадратичной функции)-
6) Последовательность пе ограничена, так как для любого Л'/>-0 найдется номер п такой, что |jcn |>-A I (возьмем, напри
мер, в качестве п любое четное число, большее М).
1. Периметр осевого сечения цилиндра равен 2р. Выразить его объем и полную поверхность как функции длины его ради
уса основания R.
2. Как зависит объем конуса, вписанного в шар радиусом R, от радиуса его основания х?.
3. Выразить полную поверхность конуса, опнеапного вокруг шара радиусом R, как функцию от угла осевого сечения 2а.
4. Выразить зависимость площади S прямоугольника, впи
санного в круг радиусом R, от длины его высоты х.
5. Из порта с интервалом в два часа вышли два судна в направлениях, угол между которыми составляет 60°. Скорость судна, вышедшего первым, равна v, второго — 2v. Выразить зависимость расстояния у между судами от времени .v д в и ж е
ния первого судна.
6. Авиамодель находилась в свободном падении t\ секунд, а затем снижалась с постоянной скоростью v в течение /о се
кунд. Выразить зависимость длины пути у авиамодели от вре
мени ее полета х.
7. Из пунктов А и В, расположенных па расстоянии /, одн о
временно навстречу друг другу выехали две машины. Найти з а висимость расстояния у, которое проедет первая машина до встречи со второй, двигаясь со скоростью v, от скорости х вто
рой машины.
8. Три прямоугольника, Высоты которых соответственно рав
ны 3, 2 ii 1 м, а основания одинаковы и равны 1 м, отстоят друг от друга на расстоянии 1 м (рнс. 40). Предполагая не
прерывное изменение л* и связанное с ним изменение заштрихо
ванной площади, выразить величину этой заштрихованной пло
щади как функцию расстояния .v.
9. На горизонтальной плоскости Р стоят один на другом три цилиндра, радиусы оснований которых равны: нижнего — 3,
среднего — 2 и верхнего— 1 м, а высоты соответственно — 2, 3 и 1 м.
1) Выразить объем части тела, заключенного между плос
костью Р и плоскостью горизонтального сечения, как функцию расстояния от этого сечения до плоскости Р и построить гра
фик этой функции.
2) Выразить площадь горизонтального сечения тела, обра
зованного этими цилиндрами, как функцию расстояния от се
чения до плоскости и построить график этой функции.
10. Д ана последовательность квадратов со сторонами, соот
ветственно равными 1, 1/2, 1/22, 1/2", . . . (рпс. 41). Рассто
яние между /i-м квадратом и (п— 1)-м равно 1/2". Выразить заштрихованную площадь как функцию расстояния л\
11. Найти области определения функций:
1) у — У х - + х — 2; 2) у — 1 ( х - -j- л' + 1); 3) у — logo ( — ■*);
4) у = У 3 х — 5 V; 5) у — logcos _v sin х \ 6) у — ] / t o g 2 ; 7) у — ] "arcsin (logo л'); 8) у = У + I / z f = r :
“ J' г j - <5
9) У = tg у ; 10) V = sin V Z = 5 . 12. Найти множество значений функций:
1) v = sin - х — c.os2 л*; 2) у — — х2 — 5 х б; 3) у = 1 — | Л' | ; 4) >' = (2 х ) , ( х —f— 3); 5) у — х / ( х 2 + 1); 6) у — lg ~ ;
___ _____ V-1 — -V-
7) у — / s i n х — 1; 8) у — 1/arccos (л* + 2).
13. Построить графики функций: 1) у — ( 1—л')3;
2) У — ; 3) ^ = 1 - 1 / | Г = Т Т ; 4 ) у = |-г+ т |;
5) у = — х - -|- 2 I Л-1 -(- 1; 6) у = lo g 1/3 (1 — х) ; 7) у = У \ — sill 2л*; 8) у — arcctg( 1 — х ) —
9) У - | 7 l V i ; 1°) y=-5-1gA '* — 1; 11) y = ( l/3 ) U I ; 12) у = 2 ,| д l_21; 13) у = (sin (л* 2) — cos (л*;2))-;
14) у = V x5 — 4*- - f 4; 15) у = tg (л* -f- -/4).
14. Найти суперпозиции функций f( cp( 0) :
1) / ( * ) = l n * s , <f(t) = c o s t ; 2 ) / ( * ) = = i ^ , <? ( t ) = \ ! t;
3) / ( * ) = 7 3 7 , ? ( 0 = / ( 0 ; 4 ) / ( * ) = a r c s i n * , <р ( £ ) = ^ — 9 ^ + 9 ; 0) / ( * ) = { 0 ’ N < { ; ? Ю = / ( 0 ;
6) / (*) - о ( 0 = + 2.
15. Найти функции, обратные данным:
1) у = 3 * + 2: 2) у = ; 3) у = 2Л‘-1 — 1;
4) у = У х — 2; 5) у = arccos * 3; 6) у = * - —4 * 4 - 6 (* > 2).
16. Установить, какие из следующих функций являются чет
ными, нечетными и функциями общего вида:
1 ) 3 '= = у ; 2) v = Л-2 - 4 х ; 3) у = 2 ' - 2 '* ; 4) у = 2 tg л- + sin 2 Л'; 5) у = і ' ( х + Т ? 4 V ( x — 1 f ; 6) у = 2 ' х' ! х 2-, 7) y = 2 x - f .v3 — З х 5;
8) у = (2ЗЛ‘ — 1) x j 2 x\
9) доказать свойства 4 ) — 7) четных и нечетных функций;
10) доказать, что любую функцию с областью определения, симметричной относительно начала координат, можно предста
вить в виде суммы четной и нечетной функций.
17. Исследовать на периодичность следующие функции:
1) у == * / 1 * | ; 2) у = sec 2*; 3) v = 1 4- tg (5* 6 4- 1);
4) у — sin (х/3) 4- ctg (л* 4); 5) у = s i n 4 * — cos4 *;
6) y = 2s,r,‘->v . 2cos2r; 7) v = logo sin 2*; 8) у = | sin * | . 18. Исследовать на монотонность следующие функции:
1)3' — ьііі *, * 6 1 - / 2 , 3 - / 2 |; 2) у — * :1 4- *;
3) у = (1 4- *-)/*; 4) у = * ‘ - 2а-- - 3; 5) у = logj.2 7 ^ 7 7 ’ 6) у = 2 4 х.
19. Установить, являются ли ограниченными следующие функции:
1) У — —— ) ) д' G (0, 1 ]; 2) у = У л*'5 8 + л*;
3) у = log* [X - f 1), л £ [2, -f- °о); 4) v = ; 5) у = І /arctg л-; 6) y = ~ j - ^ .
20. Доказать, что последовательность ограничена:
1) х н = ; 2) л'„ = sin п\ 3) х п = [ 1 — ( — 1)”].
\ tv + 2
21. Найти наибольший член последовательности:
1) х , = 2**71! 2) х„ = ; 3) л» = - я- + 6» - 8.
22. Найти формулу общего члена последовательности х„:
Л'і = b; л'„+| = x„q (q = const, <7^ 0).
23. Найти наименьший член последовательности:
1) х п = п 4- 1 /г; 2) л-„ = оЧГ—[ ; 3) х п = п2 — 4/г.
24. Доказать, что последовательность не является ограни
ченной:
1) .v„ = (— 1 )л/і; 2) . v „ = / i logi 2 tv, 3) x n = tg n.
25. Доказать, что последовательность монотонна:
1) х„ = 3" — 2"; 2) ,r„ =• I ' я- — 1; 3) х п = V k.
Jem■ Л-1
Г л а в а II
П Р Е Д Е Л
§ 1. П О Н Я Т И Е П Р Е Д Е Л А Ф У Н К Ц И И
1. П р ед ел функции. Число А называется пр еделом функции f (х) при х, стремящемся к а, если функ ция f ( x ) опреде лена в некоторой окрестности точки х= а, исключая, может выть, сам у эту точку, и д л я л ю б о г о числа е > 0 существует такое число 6 ( e ) > 0 , что д л я всех х ф а , таких, что
| х — а | < б, выполняется неравенство | / (х) — А | < е .
И н ы м и с ловам и , число А н а з ы в а е т с я пределом ф ун кц и и f ( x ) при х - + а , есл и д л я п рои зволь н ой е-о крестнос тн точки ij—A су щ е ст в у ет 6 -о к р ес т н о ст ь точки х = а , д л я всех т очек которой (кроме, м о ж е т "быть, точк и л- = о) з н а ч е ния ф у н к ц и и f ( x) п о п ад а ю т в е-окрестность точки А.
Р а з м е р 6- окрес тност и ( а— 6, « + 6) о п р е д е л я ет ся р а зм ер о м е -окрестностн (Л— е, Л + е ), т. е. 6 есть ф у н к ц и я о т е, что и п о д ч ер ки в ается обоз начен ие м 6 ( e ) . Рн с. *12, на к отором и з о б р а ж е н г р а ф и к ф ункц ии i/~-f (.v), д а е т гео метр ич ес кую ил л ю стр ац и ю р а ве н с тв а і і і п [ ( л - ) = Л : д л я х ( = ( а —6, Q + 6) г р а ф и к раз- х - * а
м е т а е т с я вн утри полосы, ограниченно!! п р я мыми / / - = Л ± е .
С л ед у ет им еть в виду, что с у щ е с т в у е т б есконеч но е м н о ж ес т во зн ач ен и й 6, о т в е ч а ю щих з а д а н н о м у е, среди к о то р ы х ест ь н а и бо льшее. О д н а к о если речь идет о п р о в е р к е р а в е н с тв а l i m / ( , v ) — Л, то д о с т а т о ч н о найти
I V Y W — х~у(і ^
—1--- а - 5 а а + 5 о ди о зпачс1,ие ^ ( |1ЛИ д о к а з а т ь его с у щ е ст в о -
^ о ^ п ан н е), соо тв е тс тв у ю щ ее п р о и з в о л ь н о м у е > 0 , з а м ен и в н еравен ство | / ( .v ) — Л | < е б о л ее про- _ _ стым, к нему п р и во д я щ и м . П р и этом ч асто
* пс- б ы в а ет удо б ной за м е н а перем енной л*— a — t.
Пример 1. Доказать, пользуясь определением предела ф ун к ции, что lim (2л'-}-5) = 1. Каким должно быть число 3 > 0, чтобы для А-е (— 2— 6, — 2 + 6 ) значения функции 2,v-j-5 отли
чались от 1 меньше, чем на 0,1; 0,01; 0,001?
Р е ш е н и е . Рассмотрим произвольное число е> -0 . Надо у б е диться в существовании такого числа 6( e) > 0 , чтобы из нера
венства |х - { - 21 < 6 , х ф —2, следовало неравенство 12,v-j-5— 1 1 <
< е , т. е. \ 2 x - \ - 4 \<Се. Последнее неравенство равносильно сле
дующему: |л'+ 2 |< С е/2 , так что можно взять 6( e) — г/2 или л ю бое положительное число меньше его. Значит, lim (2,v-f5) = 1,
,v->—2
ибо для любого числа е > 0 найдено б = е/2 такое, что для всех х Ф — 2 и удовлетворяющих неравенству |.v-j-2| < е / 2 , выпол
няется неравенство | (2х-\-Ъ) — 1 1 = |2(,i'-f-2) | = 2 |л ' + 2 | < е . Полагая в формуле 6( e) = е/2 е = 0,1; е = 0,01; е = 0,001, на
ходим 6 (0,1) = 0 ,0 5 ; 6 (0,01) = 0,005; 6(0,001) =0,0005.
Пример 2. Доказать, исходя из определения предела ф у н к ции, что lim ( х “ — 4 х 5) — 2.
Р е ш е н и е . Возьмем произвольное число е > 0 и выясним, существует ли такое число 6 > 0 , что из неравенства \ х— 1 1 <16, х ф 1 , следует неравенство \ х2— 4 , v - j - 3 |< e . Если положить х—
— 1 = £, то доказательство сводится к решению вопроса: найдет
ся ли такое число б ! > 0 , чтобы из неравенства | ^| < 6 вытека
ло, что | t 2—2t \ < е ?
С этого момента рассуждения можно вести по-разному. И с
пользуя известное неравенство, \ci-\-b\ ^ |а j + \ b \ , получим
| t 2—2t | ^ 1t2 1 -f-12t \ и потребуем, чтобы каждое слагаемое, стоящее в правой части, было меньше е/2: | [ < е/2, 12^ | < е/2.
Полученная система неравенств равносильна следующей: | г' [ <С -сУе/2, | / | < е / 4 , и за 6 можно взять любое число меньше У&/2 и е/4, например 6 = min{}'e/10, е/10}.
Или иначе, поскольку 112—2 t \^ 2-j-2| t \ , то при | f | <11 / 2< | / | и \ t 2— 2 t \ c 3 \ t
| * | < е / 3 , то тем более
. Отсюда ясно, что если 3 | ^ | С е , т. с.
t 2— 2 / | < е . Последнее неравенство есть результат одновременного выполнения условий | / J < 1 и | / 1 <С С е / З . Поэтому, взяв 6 = m i n { l , е/3}, для | / | < 6 , т. е. для
\ х— 1 1 <16, будем иметь одновременно и | / | < 1 , и | £ | < е / 2 , пз чего следует, что 112— 2 / | < е , т. е. | ( х2— 4л'-(-5)— 2 | < е . Значит, lim ( х 2 — 4 х + 5) = 2 .