ибо для любого числа е > 0 найдено б = е/2 такое, что для всех х Ф — 2 и удовлетворяющих неравенству |.v-j-2| < е / 2 , выпол
няется неравенство | (2х-\-Ъ) — 1 1 = |2(,i'-f-2) | = 2 |л ' + 2 | < е . Полагая в формуле 6( e) = е/2 е = 0,1; е = 0,01; е = 0,001, на
ходим 6 (0,1) = 0 ,0 5 ; 6 (0,01) = 0,005; 6(0,001) =0,0005.
Пример 2. Доказать, исходя из определения предела ф у н к ции, что lim ( х “ — 4 х 5) — 2.
Р е ш е н и е . Возьмем произвольное число е > 0 и выясним, существует ли такое число 6 > 0 , что из неравенства \ х— 1 1 <16, х ф 1 , следует неравенство \ х2— 4 , v - j - 3 |< e . Если положить х—
— 1 = £, то доказательство сводится к решению вопроса: найдет
ся ли такое число б ! > 0 , чтобы из неравенства | ^| < 6 вытека
ло, что | t 2—2t \ < е ?
С этого момента рассуждения можно вести по-разному. И с
пользуя известное неравенство, \ci-\-b\ ^ |а j + \ b \ , получим
| t 2—2t | ^ 1t2 1 -f-12t \ и потребуем, чтобы каждое слагаемое, стоящее в правой части, было меньше е/2: | [ < е/2, 12^ | < е/2.
Полученная система неравенств равносильна следующей: | г' [ <С -сУе/2, | / | < е / 4 , и за 6 можно взять любое число меньше У&/2 и е/4, например 6 = min{}'e/10, е/10}.
Или иначе, поскольку 112—2 t \^ 2-j-2| t \ , то при | f | <11 / 2< | / | и \ t 2— 2 t \ c 3 \ t
| * | < е / 3 , то тем более
. Отсюда ясно, что если 3 | ^ | С е , т. с.
t 2— 2 / | < е . Последнее неравенство есть результат одновременного выполнения условий | / J < 1 и | / 1 <С С е / З . Поэтому, взяв 6 = m i n { l , е/3}, для | / | < 6 , т. е. для
\ х— 1 1 <16, будем иметь одновременно и | / | < 1 , и | £ | < е / 2 , пз чего следует, что 112— 2 / | < е , т. е. | ( х2— 4л'-(-5)— 2 | < е . Значит, lim ( х 2 — 4 х + 5) = 2 .
нетрудно проверить, что для любого е > 0 найдено 3 > О,
. [ 1 14 )
зависящ ее от г, а именно о — min у , y s I такое, что для любых х ф 3 нз области определения функции, удовлетворяю щих неравенству \ х — 3 J < о, выполняется неравенство
х + 5 8 ^ л- 4 5 8
2^ +7 - т < « . следовательно, l m S 7 T = T . Пример 4. Доказать, что lim arctg.* = w/4.
Л'-*-1
Р е ш е н и е . Возьмем некоторое число е > 0 . Чтобы убедить
ся в справедливости равенства, достаточно найти такое число 0, для которого неравенство \ х— 1 1 <15 приводит к неравен
ству | arctg д:—я / 4 | < е . Это неравенство верно при любом ,v, если е ^ З я / 4 (ибо — я / 2 < arctg я<Ся/2). Д ля таких значений с в качестве б можно взять любое положительное число. Чтобы найти 6 при 8<СЗя/4, заметим, что условие | arctg л:—я / 4 | < s равносильно такому — е<С arctg х—я/4 < 8 , т. е. я /4 —е < .
< arctg х < я / 4 + е . Если е < я / 4 , то t g ^ / 4 — е) < * < t g ^ / 4 + e ) и t g ( f l/4 — е) — 1 < А — l < t g ^ / 4 + e ) — 1.
Если же я / 4 ^ е < З я / 4 , то двойное неравенство можно з а менить одним, а именно неравенством я /4 — e C a r c t g . v (ибо a r c t gх< я / 4 + e при всех х) или неравенством tg(rc/4— е) — 1<С
— 1. В этом последнем случае, очевидно, можно взять 6 = 1 —
— t g ^ / 4— е). При е < я / 4 и з двух чисел 1—tg(rc/4— е) и tg (я/4 4-е) — 1 первое будет меньшим (это видно из формул 1 - t g (я /4 - e ) = 2 t g e / (1 + tg е ) ; tg (я /4+ e ) — 1 = 2tg е/ (1 - t g e ) ), так что для 6 можно принять то же выражение. Учитывая, что при е^ гЗя /4 в качестве б можно взять любое положительное число, получаем окончательно
3_ f 1 — t g ( « / 4 — е) при 0 < £ < Зя/4, 1 1 при е > 3 ~ / 4 .
Тогда при таких 6 для любого е > 0 из неравенства \ х— 1 | < б выполняется неравенство | a r c tgх—я/41 <Се, следовательно, lim arctg = тс/4.
2. О д н о ст о р о н н и е пределы. Число А называется левосторонним п р е д е л о м функц ии f ( x ) , или преде лом слева, в точке х = а , если ф у н к ц и я f (х) о п р е де лен а в не которой лев осто рон ней окрестно ст и точки х —а, исключа я, м о ж е т быть, с ам у эту точку, и если д л я лю бого числа е > 0 с у щ е ст в у ет т а к о е чи с
ло б ( е ) > 0 , что из не р ав е н с тв а а— 6 < л ' < а с ледует н еравен ство | f ( x )— Л | < е . Д л я п р е д е л а с ле в а п р и м е н я ю т с я о б о з н а ч е н и я lim / (х), или / ( а — 0),
\->п—о
т а к что п р и в е д е н н о е о п р е д е л е н и е м о ж н о з а п и с а ть , н а п р и м е р , в в и д е р а в е н с т в а lim f ( x ) — A.
х -> а - О
П р а в о с т о р о н н и й п р е д а л ф у н к ц и и , и л и п р е д е л с п рава, о п р е д е л я е т с я а н а л о г и ч н о и о б о з н а ч а е т с я lim f \ x ) или / (а + 0).
.V -> а о
П р и я = 0 п р и м е н я ю т с я о б о з н а ч е н и я П т / (х ), или f ( - 0 ) д л я п р е д е л а л* •> — О
сл о в а и П т / ( х) , или / ( Н - 0) д л я п р е д е л а с п р а в а .
Л---+0
Ф о р м а л ь н о п о н я т и е п р е д е л а с л е в а ( с п р а в а ) п о л у ч а е т с я из о п р е д е л е н и я п р е д е л а ф у н к ц и и пр и у с л о в и и х < a i x > а ) и м о ж е т б ы т ь и з л о ж е н о т а к : р а в е н с т в о lim / ( х ) - Л ' (и ли / (я — 0) = Л ' ) о з н а ч а е т , чт о п р о и з в о л ь н о й
.V - г - а — О
е-о кр е с тн о с т и т о ч к и у = А' м о ж н о п о с т а в и т ь в с о о т в е т с т в и е л е в о с т о р о ш о ю о - о к р ес т н о ст ь т о ч к и х = а, для все х т о ч е к к о т о р о й , к р о м е , м о ж е т бы ть, с ам о й т о ч к и х = а, з н а ч е н и я ф у н к ц и и / (х ) п о п а д а ю т в s - о к р е с т н о с т ь т о ч к и Л ' . А н ал о г и ч н ы й с мы сл и м е е т р а в е н с т в о lim f ( x ) = A" (ил и / (я -j- 0) = А" ).
х -*■ а -)• о
Во общ е говоря, 1(а — 0 ) Ф } ( а + 0 ) . Т а к а я си ту а ц и я и пр е д с та в л ен а на рис. 43, где (а— 6', а) есть л е в о с то р о н н я я fi'-окрестность точки х = а , отве-
Рнс. 43. Рис. 44.
ч а ю щ а я е-окре стности точки у = А ' , а (а, а + 6 " ) ест ь п р а в о ст о р о н н я я чУ'-окрестность то чки х —а, с о о т в е т с т в у к щ а я е -окрестн ости точк и у —А".
Условие f (а — 0) — / ( а -}- 0) я в л я е т с я н е о б х о д и м ы м и д о с т а т о ч н ы м у с л о в и е м с ущ е ст в о в а н и я lim f (х). (Т о г д а lim / (.v) — f ( a — 0i — f ( a + O'.)
x - > a x -» a
Пример 5. Доказать, что lim x j [ к] = 2 , l i mx / [ xj = 1. (Сим-
x->'2—0 .v-*2 + 0
пол [x] означает целую часть числа х , т. е. наибольшее целое число, не превосходящ ее х. )
Р е ш е н и е . Д ля я е [ 1 , 2) [я] = 1 и х / [ х ] — х. При произ
вольном е> 0 неравенство |л:/[л:]—2| < е можно записать так:
2—* < е . Следовательно, если принять 6 = m i n { l , е}, то из не
равенства 2—л ' <6, с одной стороны, следует, что д : е (1, 2) (ибо 6> 0), а с другой 2—х < е , что формально можно з а писать и так: \ х—2| < е или \ х ! [ х \—2| < е , следовательно,
lim х / [ х ] = 2.
г -» 2 —0
Чтобы доказать второе равенство, заметим, что для хе
= (2, 3) неравенство \ х ! [ х ] -1| <Ге переходит в неравенство
\ х / 2— 1 ] < е или х—2 с 2 е . Поэтому, взяв 6 = m in { l, 2е} для х—2< 6, т. е. для х ^ ( 2 , 3), получим х—2< 2е, или \ х / 2— 1 1 <
45
< е . Поскольку [ х ] = 2 , то х / 2 = х / [ х ] , и условие \ х / [ х ] — 1 1 <
< е есть следствие неравенства х— 2 < 6 . Значит, l i m л*/[л;] = 1.
х->2-\ О
3. П редел фу нкц ии в бесконечно у д ал ен н о й точке. П о н я т и е п р е д е л а фу нкц ии, ест ес тв енно, о б о б щ а е т с я на тот случай , к о гд а а нс есть конечное число, если ввести пон ятие окрес тно ст и беско нечно у д а л ен н о й то чки к а к м н о ж е с т в а всех зн ач ени й х, д л я к о то р ы х | . v | > 6 , где Ь >О — п р о и зв о ль н о е число. Т о гд а р а в е н с тв о \ \ m f ( x ) — A по о п ределени ю о зн ач ае т, что в сяко-
X -У 0 0
м у чи слу е > 0 м о ж н о поставить в соответствие число /;(<■) > 0 , т ак о е , что при Jлг| > 6 вы п о л н яется н ер авен ство | / ( . v ) —Л | < е .
Ч и с л о Ь ( е ) , з а в и с я щ е е о т в ы б р а н н о г о е, и гр ает в эт ом о п р е д е л ен и и т у ж е роль, что число 6 ( e ) в опреде лении п р ед ел а Hm f ( x ) . К а ж д о м у з н а-
л* -> а
ч е т н о е отве ч а е т бе сконечное м н о ж е с т в о зн ач ен и й Ь, среди к о то р ы х есть н аи м ен ь ш ее, соо тв е тс тв у ю щ ее н а иболь ш ей окрес тно ст и бе сконечно у д а л е н ной точки.
Г еом етри че ский смысл з аписи lim f ( х) = А виде н пз рис. 44: про из-
Д * - >
во л ь н о й е-окрестн ос ти точки у = А м о ж н о соп о ст а ви ть о крестность б е ск о н еч
но у д а л ен н о й точки, т. е. м н о ж е с т в о х таких , чт о 1*1 > 6 , д л я все х т о ч е к к о то р о й А— е < / ( х ) < Л + е, т. е. г р а ф и к фу нкц ии р а з м е щ а е т с я в полосе, огран и чен н о й пр ям ы м и / / = Л ± е .
Б частнос ти, если .v- > + оо или х—> —ос, опреде ление п р е д е л а ф у н к ц и и в ы г л я д и т след у ю щ и м о б р азо м :
чи сло А называется проделом функции } ( х) при . v ^ » + c o ( lim f ( x ) —
X ■’> -f с о
— А) , если д л я л ю б о г о положительного числа г существует число Ь, такое, что к ак только х > Ь , выполняется неравенство |/ ( .v ) —Л | < е (рнс. 4 5 ) ;
число А называется преде лом функ ции f ( x) при х-»— со ( lim f ( x ) ~
X - > — СО
— А ) , если д л я л ю б о г о положительного числа е, существует число Ь, такое, что как только х < Ь , выполняется неравенство | / ( . v j — Л | < е (рпс. 46).
Понятия, о п р е д е л я е м ы е р а в е н с т в а м и lim f ( x ) = A, lim f ( х ) — А,
X - i- с о х -У — с о
о б о б щ а ю т н о н н I и я о д н о с т о р о н н и х п р е д е л о в ф у нкц ии. Рнс. 45 и 46 д а ю т их г е о м е т р и ч е с к у ю и н т е р п р е т а ц и ю .
Пример 6. Доказать, что lim = Каким до л ж н о
Х-у-со **
быть число b, чтобы для | л* | > 6 значения функции отлича
лись от 9.4 меньше, чем на 0,1; 0,002; 0,000005?
46
пли - г г — , < е. П осл едн ее неравенство равно-
4 I „V I
Р е ш е н и е. Пусть s > 0 —- произвольное число. Д оказы вае
мое утверж дение верно, если сущ ествует /; > 0 такое, что прн х \ > b выполняется неравенство | f ( x ) — 9 / 41 < г, т. е.
9л: 4* 5
4,с 4
сильно следую щ ему: [ х | > 5/(4$), так что, положив /; = 5/ (4г), 5 9 х “4“ 9 (
при | л' | > Ь получим как следствие < s, или -7} | < г.
9 к -4- 5 9
Следовательно, lim — т— = - г .
. v - с с 4
На остальные вопросы получаем ответ простым вычислением значений Ь ( е ) = 5 / (4е) при е, равном 0,1, 0,002 и 0,000005, ко
торый можно оформить так: •
г 0,1 0,002 0,000005
1) 12,5 625 2 5 ) 0 0 0
X ~ I * 1 Пример 7. Доказать, что lim — ^— — 0.
Х->—со
Р е ш е н и е - Исходя из определения предела функции, для любого 8 > 0 надо найти такое Ь, что для всех х < . Ь выполня
ется неравенство j ---0 < г.
П реобразуем последнее неравенство:
| ( х 1)!Х “ | = | \ j х 4- 1/л2 1 < I \;'x I 4 - 11 ! x-1 = 1 I л* i 4- l / * 3 < * и потребуем, чтобы каждое нз слагаемых было меньше s/2, тогда пх сумма б у д е т меньше г: l / j , x : | < s / 2 , 1/л*-< s / 2 , или 1 л' j > 2/s, I х I > V 2 j l .
Так как х->— оэ, то можно считать х < 0 и тогда \ х \ — —х , и система неравенств б удет равносильной следующей: — х > 2 / s ,
— л; > ]/.2 / s или х < — 2 / г , х < —l / 2 / г . Вместо b можно взять, например, min { — 2 ' s , — J 2 / г } . Итак, для всех х < min { — 2 / г ,
У 2 /з} при любом г> 0 выполняется неравенство - о < г , следовательно, lim 'у—t_!.. — о,
Л'->-—оз Х
4. П редел чи сл ов ой п о сл ед о вател ьн о сти . Ф у н кц и я, з а д а н н а я на м н о ж ес т в е н а т у р а л ь н ы х чисел, н а з ы в а е т с я числовой последовательностью.
Г о в о р я т, что п о с л ед о в а т ел ь н о ст ь {.v„} имеет п р е д е л о м ч и с л о- 1 ( lim х п — П - > СО
= / ! ’>, если д л я л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о г о чи сла в с у щ е с т в у е т т а к о е число N, чт о д л я все х n > N в ы п о л н я е тс я н е р ав е н с тв о |.v„— Л | < в .
П о с л ед о ва т ел ь н о ст ь , и м е ю щ а я кон ечный пр еде л, н а з ы в а е т с я с х о д я щ е й ся; в с я к а я ин ая п о с л ед о ва т ел ь н о ст ь расходящ аяся.
П р и м е р 8. Д о к а з а т ь , что lim 1, п + 2
Р е ш е н и е . По определению предела последовательности надо по любому числу е > 0 найти такое число N, чтобы для .любых n > N выполнялось неравенство
н -г '2— 1 Если преобразовать левую часть неравенства, то
< 8 . /1 - 2
1
л + : s , откуда а > 4 / е
/г-f- 2
2. Если 4/е — 2 ^ 0 , т. е.
при е ^ 2, то исходное неравенство будет выполняться для всех натуральных п, а если 4/е— 2 > 0 , то в качестве числа N можно рассмотреть число 4/е— 2 или его целую часть, т. е. jV— [4/е— 2].
Заметим, что здесь важно найти какое-либо число N, не обя зательно наименьшее, поэтому можно упростить вычисления для его отыскания. От неравенства 4 /( я + 2 ) < е перейдем к более простому 4 / ( / г + 2 ) <4//г, так как я + 2 > л . Если N выбрать так, чтобы для t i > N выполнялось неравенство 4//г<е, то тем более для этих п будет выполняться и неравенство 4 / ( я - | - 2 ) < е . От неравенства 4/ Ж е перейдем к эквивалентному п >4/е. За чис
ло /V можно взять число 4/е или, например, его целую часть, т. е.
N — [4/е].
Итак, для любого положительного числа е найдено число N такое, что для всех п, больших его, выполняется неравенство
9
— 1 £.
Пример 9. Доказать, что lim Зл2 + 1/I - -f- 4
Р е ш е н и е . В соответствии с определением предела последо
вательности надо по любому числу е > 0 найти такое число N,
Г- \т 3/2 - - f 1
чтобы для всех n > N выполнялось неравенство Преобразуем его левую часть:
п'г + 4 < з .
З а - -f- І о З п - + 1 - 3 / г 2 - 1 2 - 1 1 1 1
п - + 4 п 2 + 4 /!- + 4 п - - |- 4
Зам етим, что 11 — < — . Е с л и ч и с л о N в ы о р а т ь т а к ,1 1 1 1 „ ЛГ п - + 4 ' п - " п
чтобы для выполнялось неравенство 11/ я < е , то тем бо
лее для этих ii будет выполняться неравенство 11/ ( л2 + 4) < е , начиная с п > 11/е, т. е. за число N можно взять, например, 11/е или его целую часть [11/е].
5. Бе ск онечн о м ал ы е и беско нечно бол ьшие функции. Функ ция f ( x ) на
зывается бесконечно малой при х, стремящемся к а, если lim f ( x ) = 0.
х - а
И з о п р ед ел ен и я пр ед ел а фу нкц ии следу ет, что д л я в ы полнения р авенст-
c a lim f i x) = А н еоб ход и м о и д о статочн о, чтоб ы ра зн о с ть f ( x ) — A бы ла х->а
беск он еч но м ал о й при х -> -а .
П р и м ер а м и бесконечно м а л ы х я в л я ю т с я с ле д у ю щ и е фу нкц ии : 2.V+4 при .V —*• — 2, х 2— 4 х + 3 при х -*■ 1, ( х + 5 ) / ( 2 х + 1 )— 8 / 7 при Л'->-3, a r c t g л* — я / 4 при х —*■ 1, х / [ х ] — 2 при .v-► 2— 0, х / [ х ] — 1 при х - у - 2 + 0 , (9 .V + 5 ) /(4л*) — 9 / 4 при л '- ^ о о x + 1 / x 2 при х - *---оо, (п— 2 ) / ( п + 2 ) — 1 при п ->■ со (см. пр и меры 1— 8).
Если f { x) и ф(л' ) — бесконечно м а
лые при х -*■ а, то их сумма и п р о и зв е ден ие есть бесконечно малая, кро ме то
го, пр ои зведени е бес ко не чно малой на велич ину огр ан ичен ную есть бес ко не ч
но малая функция.
Функция { ( х) называется беск онеч
но большой при х, стремящемся к а, если l im /(.v ) = oo (или ± о с ) .
х -> а
Инач е го воря, любой окре стности V точки у = оо (или ± о о ) м о ж н о поста - пит!) в с о ответстви е б-о к р е стп о с ть т о ч ки х —а, д л я всех точе к которой , о т личных от a, | ( . v ) s K Г еометриче ск и эт о озн ач ае т, что д л я , v e ( o — б, я + б ), х ф а , г раф и к ф ун к ц и и y = f ( x ) л е ж и т вне полосы, огран и ченной п рям ы м и у = - - ± Е (рис. 47).
М о ж н о д а т ь опр ед ел ен и е беск он еч но бол ьшой иначе.
I) lim f 'ух) ос, если д л я лю бо го х -> а
числа П Х ) с у щ е с т в у е т чи сло 6 ( Е ) > 0 , так о е, что д л я всех х, у д о в л е т в о р я ю щ и х н ер авен ству \х —а | < 6 и х ф а , в ы п о л н яется нер ав е н с тв о | / ( . v ) | > Z : .
2 lim / ( х ) = -+- оо, если д л я лю б о го числа Л" -> (I
б ( £ ) > 0 , такое, что д л я всех х, у д о в л е т в о р я ю щ и х хФ а , вы п о л н я е тс я н е р ав е н с тв о f ( x ) > E (рис. 4 8 ) ;
Е > 0 су щ е ст в у ет н е р ав е н с тв у |.v— <з|
число
<6 и
4 3.1 ка j Л< 4fV3
Рис. 48. Рис. 49.
49
3) lim f ( x ) — — oo, если д л я любого чи сла Е с у щ е с т в у е т т а к о е ч и с л а х ->а
б ( £ ) > 0 , что д л я все х х, у д о в л е т в о р я ю щ и х н е р а в е н с тв у \ х— а | < 6 и х:фа, в ы п о л н я е т с я н е р ав е н с тв о f ( x ) < E (рис. 49) .
П о н я т и е беск он еч но большой р а сп р о с т р ан я е т ся и на слу чай , к о г д а а=>оо ( а = + оо, а =— оо):
l i m / ( х ) — + оо, если д л я лю б о го числа £ > 0 с у щ е с т в у е т т а к о е
дг-> + оо
числ о Ь, чт о д л я всех х > Ь в ы п о л н я е тс я н еравен ство / ( * ) > £ (рнс. 5 0 );
lim } (.<) — — оо, если д л я лю б о го числа £ с у щ е ст в у ет т а к о е чнс-
Х - У + 00
л о Ь, чт о д л я всех х > Ь в ы п о л н яется н еравен ство f { x ) < E (рис. 5 1 );
Рис. 50. Рн с. 51.
lim f ( x ) = + со, если д л я любого числа £ > 0 с у щ е с т в у е т т а к о е
Х - + — ОЭ
чи сл о Ь, что д л я всех х < Ь вы п о л н я е тс я н ер авен ство f ( x ) > E (рнс. 5 2 ) ;
\ \ m f { x ) — — оо, если д л я лю бого числа £ су щ е ст в у ет т а к о е чи с-
X - > — с о
л о Ь, что д л я всех х < Ь в ы полняется н еравен ство f ( x ) < E (рнс. 53).
С
Рнс. 52. Рис. 53.
М е ж д у бесконеч но бо ль ш им и и бесконечно м ал ы м и с у щ е ст в у ет простая- связ ь: если f ( x ) при х - * - а — бесконечно малая, то 1 / / ( * ) при х - > - а — б ес к о нечно большая, и обратно.
Пример 10. Доказать, что функция х— 1 есть бесконечно малая при х - + 1 . (Иногда задачи такого типа можно встре
тить в такой формулировке: доказать, что функция х— 1 есть бесконечно малая в точке х = \ . Здесь подразумевается не зна
чение функции в точке х — \, а ее изменения при значениях х, близких к единице.)
Р е ш е н и е . Согласно определению бесконечно малой д о статочно показать, что lim (л'—1) = 0.
Зафиксируем число е > 0 и покажем существование такого числа 6(e) > 0, что неравенство | (х—1 ) — 0 1 < е или \ х—1| < е выполняется для всех х, удовлетворяющих неравенству
\ х— 1
| X— 1
< 6. Очевидно, что из неравенства \ х— 1 | < 6 следует, что
< е , значит, lim (х—1) = 0, и функция х—1— бесконеч-
-Г-и
но малая при х - * - 1.
v sin X
Пример 11. Доказать, что lim ' -— г = 0.
. с — с о х ~ + 1
Р е ш е н и е . Обозначим / ( * ) = - 4 г х ~ г * X3 + 1 ’ ? ( х ) —• v ' х- + 1 ’ t!> (лг) = sin х. Т огда / (х) — ср (л*) • 6(х). Заметим, что lim о (лг)=0,
I -*-оо
т. е. ср (лг) — бесконечно малая при лг—>со (докажите это само
стоятельно, используя пример 7), а ф(лт) — ограниченная функ
ция, так как | s i n . * | ^ l . Тогда lim / (лг)== lim [ср (лг) • ф(лг)] == О Л'—>сс дг->-оо
как произведение бесконечно малой на ограниченную функцию.
Пример 12. Доказать, что функция 1 / ( 2 д г + 4 ) бесконечно большая при х —>---2.
Р е ш е н и е . Так как при х-*— 2 функция 2л' + 4 беско
нечно малая, то функция 1/(2л' + 4 ) бесконечно большая.
Пример 1 3. Д оказать, что lim ; == 0.
ДГ-+-СО ^ >
Р е ш е н и е . Так как при х - + о о функция 2 х + 4 бесконечно б о льш ая, то ф ункция 1 / (2лг—J—4) бесконечно м а л а я , а тогда ІІ2, 2 7 + 4 = 0 -
Пример 14. Доказать, что последовательность {2 "} являет
ся бесконечно большой при п - + о о .
у*
Р е ш е н и е . З д е сь необходим о доказать, что lim 2 п — + 00,
П-+-СЭ
т. е. что 2 Л п > Е, где Е > 0 — произвольное число, для в с е х / / , начиная с некоторого номера N . Используя монотонность лога
рифмической функции (основание е > 1), получим 1п2т п > 1п £ \ V n > In E/ ln 2, ti > (In Z:/ln 2)", и за число N можно взять, например, целую часть числа (InZ;/ln2)a, т. е. N — [(In Ej\n 2)2].
Итак, для всех «• > N выполняется неравенство 2V n > E , с л е довательно, последовательность \f2] "} бесконечно большая.
Пример 15. Доказать, что функция (2л'2+1)/л; бесконечно большая при х - ^ о о .
Р е ш е н и е . Взяв некоторое число £ > 0 , выясним, сущест
вует ли такое Ь >0, чтобы прн \ х \ > Ь выполнялось неравенст
во \ ( 2 х 2 + 1 ) / х \ > Е . Ясно, что | (2л*2+ \ ) / х \ — \ 2 х + 1 / х [ > 2 \ х \ , ибо 2 х и 1/х — числа одного знака. Требуемое неравенство верно, если 2 \ х \ > Е , нли \ х \ > Е / 2 . Следовательно, можно по
ложить Ь — Е / 2. Тогда из условия \ х \ > Ь будет вытекать не
равенство \ ( 2 х 2+ 1 ) / х \ > Е . Значит, данная функция бесконеч
но большая при х ->- оо.
Пример 16. Доказать, что lim 4 = 0, а > 1.
«-►со
Р е ш е н и е . Если х п = п / а п, то х п+1 — ( п-}- \ ) / а пП = п / а пН +
+ 1 / а п+і, откуда хл+1 = 1 я я + . (*)
Заметим, что = ■^п *һ+іп ° ^ ПРИ11 03 стремится к 1/а , причем 1/ а < 1, следовательно, для достаточно больших п б у д е т выполняться неравенство х п+1/ х п < 1, т. е. х п+1 < х п>
а тогда последовательность { х п) убывающая, а так как она ограничена снизу нулем, то имеет предел. Обозначим его b,
lim х п — Ь.
П-+ о о
Если теперь в равенстве (*) перейти к пределу, то пол у
чим b = ^ - - b -f-О, что выполняется лишь при 6 = 0.
З а м е ч а н и е . Так как последовательность { п / а п} беско
нечно малая при а > 1, то последовательность { а п/п} бесконеч- ап
но большая, т. е. lim — = со.
л->сэ
r l6. О сновны е тео р ем ы о пределах .
Т е о р е м а 1. Е с л и lim f (х ) с ущ ест вует , т о он еди н ст вен н ы й .
х - > а
Т е о р е м а 2. lim с = с (с — c o n s t) ; х - у а
lim [ /( х ) ± < ? ( х ) ] = lim f ( x ) ± lim <? (*);
х -у а х -» а х —> а
lim [ / ( х) • <f (л')] = l im / ( л ) • lim <р (лг);
х - * а л -> а х -у а
f (,Х)
l i m — г—- = l i m / (л')/ lim ср („*), если lim ? ( л ) ф 0.
х - * а У x -уп х - у а ' х - уа '
Т е о р е м а 3. Е с л и ф у н к ц и я f i x ) п р и х - > а им еет ко н еч н ы й п р е д е л с Ф 0 и с у щ е с т в у е т п р е д е л ф у н к ц и и о ( х ) , то lim [ / (л:) • v (л')] = с lim <*>(.*)►
х - у а ' х - у а
Т е о р е м а *}. Е с л и в н е к о п о р о й о к р е с т н о с т и mo itc.i a f ( x ) ■: 9 (л') С 6 ( х и lim f { x \ — lim у ( х) = А, т о и lim ? { х) = А.
х - > а х - у а х-> а
Т еорем а 5. Если при некотором б > 0 функции f ( x) возрастает на ( а — б, а) (убывает на (а, а + б ) ) и ограничена с в е р х у ( с н и з у), то сущест
вует f ( a —0) ( / ( « + 0 ) ) .
Т ео р ем а 6. Ес ли д л я л ю б о г о е > 0 существует б > 0 такое, что для п р о изво льн ы х х' и х" из интервала (а— б, л + б ), отличных от а, \ { ( х ' )—f ( x") | <
< е , то су щ е ст в у ет lim f ' x ) . х -> а
Т ео рема 7. Д л я существования пр едела lim / (х) — А необхо ди мо и х-> а
достаточно, чтобы всяк ой последовательности {х„}, сходящ ейся к а, отвечала последовательность {/(.*«)}, с ходящ аяся к А.
Т е о р е м а 8. Е с л и в н е к о т о р о й о к р ест н о ст и т о ч к и х — а, к р о м е , м о ж е т быть, с а м о й э т о й т очки , / лг) -> <р (л'), то и lim f ( х ) > lim <? (.v),
х -> а x - x i если эт и п р е д е л ы с ущ е с т в у ю т и к онечны .
З а м е ч а н и е . Эти тео р е м ы верны и в том случае , к о гд а а не есть к о нечное число (и н ог д а с о чевидн ым и и зменениями ф о р м у л и р о в о к ) .
Пример 17. Вычислить lim (л' 2 — 5 х -f- 6).
Х->— .*»
Р е ш е н и е . По теореме 2 lim ( х1 — 5л: -J- б) = lim л' 2 —
Х-+—Я х-*-—3
— lim 5х -f- lim 6 = 9 -f- 15 -f- 6 — 30.
.Г-— 3 ,V- —3
Пример 18. Доказать, что последовательность 3^ | имеет предел, равный нулю.
Р е ш е н и е . Заметим, что 0 < < ү ц г— у , отсюда
° < Ш
< ( т ) ‘ -По теореме 4 о п е р е х о д е к пределу в неравенствах получаем lim 0 < l i m l s - ~ ~ x)n ч- lim (ІҮ*,
„.>00 „->« у п + 3/ ^ „ . > ( D \ T j
а так как lim 0= 0 и lim (-=-\l = 0 , t o lim ( n ” . o Y* = 0 .
« - > 0 017/ l 7« + «v
Пример 19. Доказать, что lim — + 03•
Р е ш е н и е . Заметим, что 3 > — - j > 1, отсюда
7п \« /7 \« 0
о/2_ з ) > - , и по теорем е 8 о п ереходе к пределу в нера- венствах Н т ( ^ ) " > Н т ( £ ) * = + с о , отсюда lim ( ^ ) " -
= -I- °°.
5 3
Пример 20. Вычислить lim _ ij п (по определению n ! = 1 • 2 • 3 • . . . • /г; (2/г—T )!! = 1 . 3 * 5 . . . . • (2/i — 1);
(2/г)II = 2 • 4 • 6 • . . . • (2/г)).
Р е ш е н и е . Пусть = х п. Из подробной записи l - 2 - З■ . . . п 2 з п п 1 • 3 • 5 • . . . • (2/г - I) 3 5 • * ’ ‘2 п — 1
•следует, что (1 /2; " -1 < х п < (2/3)м~ \ ибо каждая из дробей 2/3, 3/5, 4/7, . . . , /г/(2/г— 1) больше 1/2 и не превосходит 2/3.
П ользуясь определением предела, нетрудно установить, что lim (1/2),,_| = lim (2/3>л“ 1 = 0 . Тогда по теореме 4 и 1ітл'„ = 0.
■tl-*- ОО П-УОО П-+-Со
Пример 21. Вычислить lim — ( а > 1).
л -*--1-00 Й'
Р е ш е н и е . Функция, стоящая под знаком предела, по сво
ей конструкции напоминает общий член последовательности из примера 16, и при любом л; > 0 всегда можно указать такое на
туральное число /г, что п—\ < х ^ . п , а следовательно, и ( п—1) 1ап< х / а х < п / а п~1.
Теперь, если воспользоваться результатом решения примера 16, то
lim — — lim - - р,-- = 0 и lim —~ = a lim -4г = О
л л ..>со и * л" 1 а"
ап п
(есл и lim— = о о , то lim — = 0 по свойству бесконечно малых
л - > с о ^ л - > - о о а
и бесконечно больших), а тогда по теореме 4 lim —^ = 0 .X Л -+оо а
З а м е ч а н и е . Более короткий и эффективный способ ре
шения этого примера без использования результата решения примера 16 дает правило Лопиталя (см. § 4):
lim = lim т4тт- — lim - Л — = 0.
д г - М - с о а Д Г -У + ОО ) Л Г - У + О О а
Пример 22. Доказать, что последовательность {х„}, где -Хп—ү + 3^5 + . . . + 3-.5--.-7. . . І". (2/Г+ 17 ’ является сходящ ейся.
Р е ш е н и е . Очевидно, что л:л+1 > х п, т. е. последователь
ность возрастающая. С другой стороны, х п < - j + 4- 33 +
• • • + • •• + ^ і + з ^ Т + • •• в правой части неравенства сумма бесконечной геометрической прогрессии
1/3 1
со знаменателем 1/3, и она равна у— ~Ш = ~ ' Итак, последо-
вательность {х„} возрастает и ограничена сверху, что и св иде
тельствует о существовании е е предела.