Л Е Н И Н Г Р А Д С К И Й О Р Д Е Н А Л Е Н И Н А
И О Р Д Е Н А Т Р У Д О В О Г О К Р А С Н О Г О З Н А М Е Н И
Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т имени А. А. Ж Д А Н О В А
ЗАДАЧНИК- П РАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
М Н О Ж Е С Т В А . Ф У Н К Ц И И . П Р Е Д Е Л . Н Е П Р Е Р Ы В Н О С Т Ь . П Р О И З В О Д Н А Я .
У Ч Е Б Н О Е П О С О Б И Е
Под общей редакцией В„ А. В о л к и с а
Л Е Н И Н Г Р А Д .
И З Д А Т Е Л Ь С Т В О Л Е Н И Н Г Р А Д С К О Г О У I І П В Е Р С І П Е Т А 1988
Р е д а к т о р 3. И. Ц а р ь к о в а
А в т о р ы : В. А. Волков, А. И. Гри горьева, Т. Л. Ефимова,.
3. Д . К о л о м о й ц е в а, А. М. М а р д а н о в
Р е ц е н з е н т ы : к а ф е д р а мат. а н а л и з а Л ен и н г р. ун-та (зав.
каф. проф. С. А. В и н о гр а д о в ) , проф.
В. Г. Д е г т я р е в (Л ен ингр. нн-т точной м ех а н и ки н оптики)
Печатается по постановлению Ред акционно-издат ельского совета
Л ен и н г р а д с к о г о университета
У Д К 517.2: (075.8)
Задачник-практикум по высшей математике: Мно
жества. Функции. Предел. Непрерывность. Производ
ная: Учеб. пособие/В . А. Волков, А. Н. Григорьева,.
Т. А. Ефимова и др. Под ред. В. А. Волкова. — Л.:
Издательство Ленинградского университета, 1988.
224 с.
ISBN 5-288-00121-9
П о со б и е в к л ю ч ает з а д а ч и с ре шениями по теории м н о ж е с т в и н а ч а л ам м атем ати ч еско г о а н ал и з а. К а ж д о м у п а р а г р а ф у п р е д ш ес тв у ю т ос но вны е теорети ческие п о л о ж ен и я и м етод и чески е у к а з а н и я д л я решени я типовы х з а д а ч. З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь ного ре ш ения с о т ве т ам и и не обходи мыми у к а з а н и я м и п о д о б р а ны с учетом специф ик и разл и ч н ы х ф а к у л ь те т о в.
П особие п р е д н а зн ач ен о д л я с тудентов н ем атем ати ческ и х ф а кул ьтетов, а т а к ж е техни че ских и педагогич ес ких вузо в, ос обенно вечерних и за о ч н ы х от делений.
Б н б л н о гр . 10 на зв . Т аб л. 7. Ил. 167.
„ 1702010000— 138 0 7 6 ( 0 2 ) — 88 1 3 2 - 8 8
И з д а т е л ь с т в о р Л ен н н г р ад ск о і
^ у н и ве р с и те та , 1988
I S B N 5-288-00121-9
О Г Л А В Л Е Н И Е
Г л а в а I. М н о ж е с т в а и ф у н к ц и я ...
§ 1. П о н яти е м н о ж е с т в а , п о д м н о ж е с т в а , в ключе ни я .
§ 2. Опер аци и н а д м н о ж е с т ва м и . . . . . .
§ 3. Э к в и в а л е н т н о с ть м н о ж е с т в ...
§ 4. П о н я т и е ф у н к ц и и ...
1. О б ла с ти о п р е д е л ен и я и значений. Г р а ф и к функ ции . С л о ж н а я и о б р а т н а я ф унк ции (1 7). 2. Ч е т н ы е и нечетные ф унк ции (29)
«3. П е риоди че ски е функции (3 1). 4. В о зр а с т а ю щ и е , уб ы в а ю щ и е и ог ран и че нн ые функции (33). 5. Ф ункция н а ту р а л ь н о г о а р г у мента (ч и сл о в ая послед оіз ат ел ыюсть ) (36).
Г л а в а II. П р е д е л ...
§ 1. П о н я т и е п р е д е л а функ ции . . . . . . . 1. П р е д е л функц ии (4 2). 2. О д н ост орон н и е пр еделы (44) 3. П р е д е л ф унк ции в- бе сконечно уда л ен н о й т о ч ке (4 6). 4. П р е дел- числовой п ослед овател ьн ост и (47). 5.. Беск онечн о м ал ы е
и бе сконечно бо ль ш ие ф унк ции (4 8 ). 6. О с нов ны е теоре м ы о п ре де лах (52).
§ 2. Вычи сле ни е п ре де лов. Э л е м е н т а р н ы е пр иемы и ис пользова ни е з а м е ч а т е л ь н ы х пр е д е л о в . . ...
1. П о н я т и е н еопреде ле нн ост и (56). 2. Н е опре де ленн ост ь 0 / 0 (58).
3. Н е оп ре де лен н ост ь о о / о о (68). 4. Н е оп ре де лен н ост ь 0 • о о (оо *0) (7 1). 5. Н е о п р е д е л ен н о ст ь о о — о о (7 4 ). 6. Н е о п р е д е ленности 1°°, 0°, о о ° (76).
§ 3. С ра вн ен и е беско нечно м алы х и беско нечно больших . Э к в и в а лен тн ые беско нечно м а л ы е и бе сконечно бо льшие . В ы делен и е главной части функции. П ри м ен е н и я д л я р а с к р ы т и я не о п р е д е
ленностей . . . . . . . . . . .
$ 4. П р а в и л о Л о п и т а л я р а с к р ы т и я не опр еде ле нн ост ей 0/0 и - о о / о о .
§ 5. П ри м ен е ние ф о р м у л ы Т ей лора д л я р а с к р ы т и я н е о п р е д е ле н н о стей ... » I П редисловие ...
Г л а в а III. Н е п р е р ы в н о с т ь ...
§ 1. Н е п р е р ы вн о ст ь фу нкц ии в точке. Т очк и р а з р ы в а
§ 2. С войства фу нкц ий, неп р ер ы вн ы х на о т р ез к е
17
4 2
8 1 ' 9 9
10/
112 121
$
§ 1. О п р ед е л е н и е пр о и зв о д н о й ...—
§ 2. О с н о в н ы е п р а в и л а д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я ... ) 30 1. Т а б л и ц а п р о и з в о д н ы х основных э л е м ен та р н ы х ф ун кц и й
(130). 2. П р а в и л а вычислен ия пр ои зв одных, с в я з а н н ы е с а р и ф мет ич ес ким и де й с тв и я м и н а д ф у н к ц и я м и (131). 3. П р о и з в о д н а я с л о ж н о й ф ункц ии (133). 4. П р о и з в о д н а я о б р а тн о й ф ункц ии (137). 5. П р о и з в о д н а я ф унк ции, за д а н н о й п а р ам е тр и че ск и (1 37). 6. П р о и з в о д н а я функ ции, з а д а н н о й н еявн о (138).
§ 3. Д и ф ф е р е н ц и а л ф ун кции . . . . . . . . . 1-Ю
§ 4. П р о и з в о д н ы е и д и ф ф е р ен ц и а л ы высш их п о р я д к о в . . . 1 1 4 1. П р о и з в о д н ы е вы сш их п о р я д ко в (14 4). 2. Д и ф ф е р е н ц и а л ы вы сш их
п о р я д к о в (147).
§ 5. Ф о р м у л а Т е й л о р а ...149
§ G. Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е вектор-ф ункци и с к а л я р н о г о а р гу м е н та . !53 1. П о н я ти е вектор-ф ункци и и п р а в и л а ее д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я
(1 53). 2. К а с а т е л ь н а я к п ростран ствен н ой кри вой (1 54).
3. С к о р о с ть и ускорение крнволинеииого д в и ж е н и я (155).
§ 7, К р и в и з н а пл ос кой кривой ... 156
§ 8. З а д а ч и , с вяз ан н ы е с геометрич еским и физическим с мы с лам и п р о и з в о д н о й ... 159 I. К а с а т е л ь н а я н но рм а ль к плоской кривой и с вя з а н н ы е с ни
ми отрезки. Угол м е ж д у д в у м я кривыми (159). 2. З а д а ч и ф и зи че ск ого с о д е р ж а н и я ( І 6 2 ) .
Г л а в а V. Применение пр ои зводны х к исследо вани ю функций . . 166
§ 1. О с нов ны е теоремы о ди ф ф е р ен ц и р у е м ы х ф ун кц и ях . . . —
§ 2. В о з р а с т а н и е и убы вани е ф у н к ц и и ... 168
§ 3. Э к с т р е м у м ы функции . ... 171
§ 4. В ыпу клост ь, вогн утость и точки перег иба функции . . . 176
§ 5. А с и м п т о т ы ... 179
§ 6. О б щ а я с хем а и ссл едо вания функц ий и построение ее г р а ф и к а 183
§ 7. З а д а ч и на наиб ольшее и на именьш ее зн ач ен и я функции . . 191
О т в ет ы и у к а з а н и я •. . . . . . . . . . . 199
И с п о л ь з о в а н н а я ли т е р а т у р а » . . . ... 222 Г л а в а IV. П роизводная и д и ф ф е р е н ц и а л ...125
П Р Е Д И С Л О В И Е
I I а сто я щи й « 3 а д а ч і ш к - пр а кті і ку м » п р е д назначен с тудеіі та м нематематических факультетов университетов, технических и пе
дагогических институтов и является пособием для самостоятель
ного овладения навыками и умениями решения задач матема
тического анализа по указанным в нем темам в объеме дейст
вующих программ курсов высшей математики.
При определении содержания «Задачника-практикума» за основу были приняты программы по высшей математике для химического факультета и специальности «Геофизика» геологи
ческого факультета Ленинградского университета как наиболее насыщенные.
Пособие содержит пять глав. Глава I посвящена задачам по основам теории множеств и элементарным задачам, связанным с понятием функции. В главе II рассматриваются решения з а дач по теории пределов, в главе III собраны задачи по непре
рывности функции. Глава IV посвящена производной и диффе
ренциалу, глава V — их приложениям.
Прн составлении «Задачника-практикума» имелось в виду, что им будут пользоваться студенты и заочного, и вечернего от
делений. В связи с этим в начале каждого параграфа помеще
ны основные определенна, теоремы, формулы и другие краткие сведения по теории и методические рекомендации но решению последующих задач; затем приводятся подробные решения ти повых задач с краткими пояснениями теоретических положений;
в конце каждого параграфа содержится достаточное количе
ство задач для самостоятельного решения. Ответы к задачам снабжены указаниями к их решению.
«Задачник-практикум^ составлен на основе опыта проведе
ния практических занятий преподавателями кафедр высшей ма
тематики и математического анализа Ленинградского универ
ситета и отличается от подобных задачников большим количе
ством методических рекомендаций и способов решения типовых задач и их практической направленностью.
Г л а в а I
МНОЖ ЕСТВА И ФУНКЦИИ
§ 1. П О Н Я Т И Е М Н О Ж Е С Т В А , П О Д М Н О Ж Е С Т В А , В К Л Ю Ч Е Н И Я
Множество относится к простейшим, неоп ределя емым понятиям и п о н и м а е т с я к а к с обран ие, совок упно сть, ко л л ек ц и я об ъ ек то в, о б ъ е д и н я е м ы х по к а к о м у - т о п р а в и л у (х а р ак т ер и с т и ч е ск о м у с вой ству).
Множество считается заданны м, если как и м -л и б о о б р а з о м у к а з а н ы все е г о эл ем ен ты . З а д а н и е м н о ж е с т в а пр о и зв о д и тся или перечислением сто э л е м ен то в , или у к аз ан и ем хар ак т ер и с т и ч е ск о го свойства.
М н о ж е с т в а о б о з н ач аю тся обы ч но бо льшими б у к в а м и л ат и н ск о г о а л ф а в и т а , его эл е м ен ты — мал ень ки ми. В случае , когд а эл е м ен т х п р и н а д л е ж и т м н о ж е с т в у А, пи ш ут Д'<=Л, в п р отивном с луч ае х е Л (или х $ А ) .
М н о ж е с т в о , пе с о д е р ж а щ е е элем ен тов, н а з ы в ае тс я пустым и о б о з н а ч а е т с я с и м в о ло м Q .
В том случае, к о гд а д в а м н о ж е с т в а /1 и В с остоят из о дн их п тех ж е э л е м е н т о в , го ворят, что они равны, и пи шут А —В, в п ротивном слу ч ае А Ф В . Д л я доказательства равенства д в у х множеств достаточно показать, что каждый элемент п ервого множества принадлежит второму и обратно, что каждый элемент второго множества принадлежит первому.
Е с л и к а ж д ы й э лем ен т м н о ж е с т в а А я в л я е т с я элем ен том м н о ж е с т в а В, т о м н о ж е с т в о А н а з ы в а е т с я подмноокеством множества В, что о б о з н а ч а е т с я т а к : А ^ В . В сяко е непустое м н о ж е с т в о /1 имеет по край не й м ере д в а п о д м н о ж е с т в а : с а м о м н о ж е с т в о А и пу стое м н о ж ес т во (3 , ко то р ы е н а з ы в а ю т с я несобственными подмнозкествами м н о ж е с т в а А. З а п и с ь А с . В о зн ач ае т, что м н о ж е с т в о А я в л я е т с я п о д м н о ж е с тв о м м н о ж е с т в а В, но А ф В . В эт ом с л у ч а е г о в о р я т , что м н о ж ес т во А есть собственное подмножество м н о ж е с т в а В.
М н о ж е с т в о J н а з ы в а е т с я уни версальны м множеством д л я системы м н о ж е с т в А, В, С , . . . , если к а ж д о е из эти х м н о ж ес т в я в л я е т с я его п о д м н о ж е с т в о м .
Пример 1. Составить список элементов множества А = { х : . v e N , — 3 < j c < 5 } .
Р е ш е н и е . Здесь множество задано характеристическим свойством, а именно: его элементы л- есть натуральные числа (.I'e N ), удовлетворяющие неравенству — 3 < . v ^ 5 . Такими чис
лами могут быть только 1, 2, 3. 4 и 5, следовательно, /1 = {1, 2, 3, 4, 5}.
Пример 2. Описать множество точек А1 числовой прямой, таких, что {/11: |ОЛ/| = 1}, и перечислить его элементы.
Р е ш е н и е . Множество задано характеристическим свой
ством: его элементы есть точки числовой прямой, удаленные от точки отсчета О на расстояние,
равное 1 (рис. 1). Значит, элемеп- 1 тамп этого множества являются ^
числа — 1 и 1, т. е. М = {— 1, 1}. ---* q * Пример 3. Верно ли соотноше
ние {а, Ь, с} = {{а, Ь}, с}? Рис. 1.
Р е ш е н и е . Соотношение невер
но хотя бы потому, что первое множество имеет три элемента:
о, Ь п с, а второе — только два: множество { а, Ь} и элемент с, или потому, что первое множество не содержит элемента {а, /;}, содержащегося во втором множестве.
Пример 4. Найти все подмножества множества { □ , Д , — }.
Р е ш е н и е . Сначала выпишем несобственные подмножества данного множества: Q и { □ , А , — }, а затем все его собствен
ные подмножества: { □ } , { Д } , {—}, { □ , Д}, { □ , —}, {Д , — }.
Итак, данное множество имеет восемь подмножеств.
З а м е ч а н и е. Отметим, что количество подмножеств мно
жества, содержащего п элементов, равно 2 п.
Пример 5. Верно ли утверждение: если Л<=В и В ^ С } то Л е С для любых множеств А, В и С?
Р е ш е н и е . Утверждение неверно, о чем свидетельствует та
кой контрпример: если /1 = 0 , В = { 0 } , a C = { { Q } } , то Л е й
>и В<=С, но Л щ С .
1. Составить список элементов множеств, заданных харак
теристическими свойствами: 1) Л — { х : х2—8 х-1 -1 5 = 0 } ; 2) А —
— {.V : a 'g N , — 11 C - i sc;— 3}.
2. Доказать, что если А — { х : х -— 7л:-Һ6 = 0} и £ = { 1 , 6}, то А — В.
3. Описать множества точек М плоскости, таких, что:
1) { Л/ : | О М\ = / ? } ; 2) {М : | О М\ < / ? } ; 3) { М : \ А М \ = \ В М \ } , где А и В — заданные точки.
4. Какая разница в записях А а В и /1<ее£?
5. Д о к а з а т ь , что { { 1 , 2} , {2, 3 } } {1, 2, 3}-
6. Верно ли, что {1, 2 } е { { 1 , 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}? Верно ли, что {1, 2 } £ = { { 1 ,2 , 3}, { 1 , 3 } , 1, 2}?
7. Привести примеры таких множеств Л, В и С, что: 1) Л<=
<=В, ВееС и Л ё С ; 2) Л е в , В<=С, Л е С ; 3) Л е В , А а В . 8. Является ли множество, состоящее пз числа 0, пустым?
9. Доказать справедливость соотношения Q ¥ = { Ө } -
10. Доказать, что существует только одно множество, не имеющее элементов.
11. Найти все подмножества множеств: 1) Q ; 2) { ^ } ; 3 ) { 1 , 2 } ; 4 ) { a , b , c , d ) .
12. Доказать, что если Л<=В, В ^ А , то А = В, п обратно, если А — В, то А<=В и В ^ А .
13. Доказать, что для любых множеств А\, А->, . . . , А п, если А ] ^ А 2^ . . . е Л гіе Л і , то Л і = А2= . . . = А п.
14. Доказать, что если для любых элементов а, Ь, с и d {{а}, {а, Ь } } = {{с}, {с, d } } , то а = с и b = d, и обратно.
15. Доказать, что для любых множеств А, В и С: 1) Лд=Л (рефлексивность); 2) если А ^ В и В ^ С , то А ^ С (транзитив
ность) .
16. Доказать, что для любого множества Л из данного уни
версального множества J: 1) 0 е Л^Л; 2) если Л д Q , то Л =
= 0 ; 3 ) если Л^Л, то Л = J.
17. Верны лп утверждения для любых множеств Л, В и С:
1) если А ^ В и В (ее С, то Л е С ; 2) если А Ф В и В ф С , то А ф С ? 18. Доказать, что число подмножеств множества, состоя
щего из п элементов, равно 2".
§ 2. О П Е Р А Ц И И Н А Д М Н О Ж Е С Т В А М И
О бъеди нен ием А\^В м н о ж ес т в Л и В н а зы в ае тс я м нож ество, с о с т о я щ е е нз элем ен тов, в х о д я щ и х в м н о ж е с т в а Л или В, и то ль к о из них, т. е.
/1U# = {.* : * е Л или х е В ) .
Есл и оди н н т о г ж е элемен т с о д е р ж и т с я и во м н о ж ес т в е Л и во м н о ж е с т в е В, то в их объед инение он в х о д и т то ль к о один раз. С х е м ат и ч е с ки о б ъ ед и н е н и е м н о ж ес т в Л и В и з о б р а ж е н о па рпс. 2.
Объеди нен ием ІІК? г Л/ м н о ж еств Л< ( / е Г ) н а з ы в а е т с я м н о ж ес т во , с о с т о я щ е е из элемен то в, в х о д я щ и х в м н о ж е с т в а Л * ( / е 7 ' ) , н т о л ь к о из них (зд ес ь п р е д п о л а га е тс я , что индекс / пр об егает все зн ачен и я нз н е к о то р о г о м н о ж е с т в а Т).
Пересе чен ие м Л{]В м н о ж ес т в Л и В н а з ы в ае тс я м н о ж ес т во , с о с т о я щ е е
Рнс. 2. Рпс. 3.
Рис. 4.
из эл ем ен тов, п р и н а д л е ж а щ и х к а к м н о ж е с т в у А, т а к и м н о ж е с т в у В, и т о ль к о из них, т. е. А { \ В = { х: х щ А и х е В } . С хем атически пе ресечение м н о ж е с т в А и В и з о б р а ж е н о на рис. 3.
Пересечением f) t G r A t м н о ж е с т в A t ( t ^ T ) н а з ы в а е т с я мг.ожсство, с о с то я щ ее нз элем ен тов, п р и н а д л е ж а щ и х всем м н о ж е с т в а м A t (t<~T), и т о л ь ко нз них.
Если пересечение м н о ж е с т в не я в л я е т с я пустым, то м н о ж е с т в а н а з ы в а ю тся пересекающимися.
Разностью Л 4- В м н о ж е с т в А и В н а з ы в а е т с я м н о ж ес т во , сост о я щ е е из э лем ен тов м н о ж е с т в а А, не в х о д я щ и х в м н о ж е с т в о В, и т о л ь к о пз них, т. е.
Л : .v e /1 и .veZ)}. С хем атически р а з н о с ть м н о ж е с т в А и В и з о б р а ж е н а на рпс. 4.
Р а з н о ст ь где J — у н и вер сал ьн о е м н о ж ес т во , н а з ы в а е т с я до п о л н е
нием м н о ж ес т в а В и о б о з н а ч а е т с я В'.
Пример 1. Доказать тождество А[ ] Л = А[\А = А .
Р е ш е и и е. Справедливость соотношения вытекает непо
средственно пз определений объединения и пересечения двух множеств: множество А[ ) А состоит из всех элементов множества /1 и только из них, так как в объединение одинаковые элемен
ты входят только один раз; множество Af \ A состоит из всех элементов множества А как множество, содержащ ее в себе одинаковые элементы множеств, составляющих пересечение.
Пример 2. Доказать, что если А><=В для всех / е 7 ' , то U А> <= В.
t е т
Р е ш е н и е . Произвольный элемент нз множества (J А, при
t G Т
надлежит хотя бы одному из множеств A t и тем самым при
надлежит и множеству В, следовательно, { j A i ^ B .
t (- т
Пример 3. Доказать, что если А ^ В [ ) С , то А[\В'<=С, и о б ратно.
Р е ш е н и е . Сначала покажем, что пз соотношения А ^ В [ } (J С следует, что А ( ] В ' ^ С . Если множество Л = 0 , то и
= и соотношение А{\В'<=,С справедливо (пустое мно
жество есть несобственное подмножество любого множества).
Если /4=#=0, то любой элемент х ^ А принадлежит и множеству ZjUC. Так как элемент х принадлежит объединению множеств В и С, то могут представиться три возможности: 1) . v s C . но л'ё=С; 2) х ШВ, но х е С ; 3) . v e S и .« еС ; кроме того, известно, что .ve/1.
Рассмотрим первую возможность ( х ^ В , х ШС, а'ееЛ): так как х ^ В , то .1' ё В', следовательно, х ^ А ( ] В \ а так как .г ё С, то в множестве А {] В' нет элементов, не с о д е р ж а щихся в множестве С, п соотношение А[\ В' <^С справедливо.
Рассмотрим вторую возможность ( хё=В, .v^C , л*еЛ): так как х ш В , то л:еВ ', значит, х е Л П В'. К])оме того, известно, что х е С , следовательно, и в этом случае соотношение А [ \ В ' ^ С справедливо. И наконец, третья возможность ( x z e B , a'GeC, х<=
е=Л): если х е В , то хё=В' , и тогда Л П ^ / = Э , следовательно, А П В'<=С.
9
Теперь докажем обратное утверждение, т. е. что из соотно
шения А П B ' s C следует соотношение Л ^ В U С. Если А П В' =
= то А<=В, и тогда Л е В (J С. Если А [ ) В ' Ф ! $ і , то любой элемент х е Л П В' принадлежит множествам А и В' (по опреде
лению пересечения множеств) и множеству С (по определению подмножества), следовательно, Л ^ В U С.
Пример 4. Доказать тождество /4[J (Bf]C) = (ЛиВ)П П( Л11С) .
Р е ш е н и е . Здесь надо показать равенство двух множеств A U ( В Г) С) и (/1 U В) П( Л U О . для чего достаточно доказать, что любой элемент первого множества принадлежит второму и любой элемент второго множества входит в первое.
Пусть х е Л (J(B П С). Множество A (J ( В f) С) — объедине
ние двух множеств А и В f| С, следовательно, могут предста
виться три возможности: 1) х е Л , х ш В ( ] С ; 2) х<=А, х е В П С;
3) A'G/l, .v gB П С.
Рассмотрим первую возможность ( х е Л , х ё В П С ) : так как то х е / 1 U В и х е Л U С, и тогда х е (A U В) П( Л у С). Р а с смотрим вторую возможность ( х ё Л , х е В П С ) : так как х е е В П С, т о х е В и х е С , значит, х е Л U В и х е Л [} С, следова
тельно, х е (ЛиВ)П ( А[ ] С) . И наконец, третья возможность ( х е Л , х е В П С): и здесь очевидно, что х е ( Л U В) П( Л U С).
Теперь пусть х е (Л (J £ )Л [A U С ) . Множество (Л U В) f|
П(Л U С) — пересечение множеств А [} В и Л У С, следовательно, х е Л (J В и х е Л U С. Если х е Л, то х е Л (J [ В П С ) . Если х е Л , т о д л я выполнения условий х е Л U В и х е Л U С необхо
димо, чтобы х е В и х е С , а тогда х е В П С , откуда и следует, что х е Л и ( ^ П С) .
Итак, показано, что любой элемент первого множества вхо
дит во второе и каждый элемент второго множества принад
л еж и т первому, следовательно, эти множества равны.
Пример 5. Доказать, что (Л (J В ) ' — А' П В'.
Р е ш е н и е . Как и в предыдущем примере, надо доказать равенство двух множеств. Если х Е ( Л и В ) ' , то х ё Л і і В , зн а
чит, х е Л н х ё В , а тогда х е Л ' и х е В ' , следовательно, х е е Л 'П В '. Если х е Л 'П В ', т о х е Л ' и х е В " , значит, х ё Л и х е
= В, следовательно, х ё Л (J В, а тогда х Е ( Л и В ) ' , и равенство множеств (Л U В ) ' и А' П В' доказано.
Пр и ме р е . Доказать тождество Л \ (B(JC) = Л \ В \ С .
Р е ш е н и е . Если х е Л \ (В U С) , то х е Л и х Ш ( В Ц С ) . Из последнего соотношения х щ В и х ё С. Так как х е Л и х ё В , то х е Л \ В , а так как х щ С , то х е Л \ В \ С .
Если х е Л \ В \ С , т о х е Л \ В и х ё С. Так как х е Л \ В, то х е Л и х ё В. Тогда х ё В U С (ибо х ё В и х ё С ) , а так как х е Л , т о х е Л \ ( В U С) , и доказательство закончено.
Пример 7. Д ана последовательность множеств Лi = [ l , 2], Л2= [1/2, 3], . . . , А ц — [ \ / п, n + l j , . . . Найти и
Р е ш е н и е . Рассмотрим левые концы множеств Л ь Л 2, А,. - . . . При я - > + о о 1//2-Я), следовательно, предельное полож е
ние левых концов сегментов есть точка 0, но они этой точки не достигнут. Правые концы сегментов при п—v-f-c© также стре
мятся к + с о . Тогда U/T-i А п = (0, Наименьшим среди з а данных сегментов есть сегмент [1, 2], и он входит во все дан
ные сегменты, следовательно, Л^ \Ап — [1, 2].
J. А — множество студентов в одной из групп факультета, а В— множество отличников на факультете. Какие множества студентов описывают множества А П В, А \ В и В \ А 7
2. /1 — множество натуральных чисел, делящихся на 2, В — множество натуральных чисел, делящихся на 3. Каково мно
жество А П В?
3. Пусть А — { х : x g N , 2 < x ^ 6 } , B = { x : . v g N , 1 < х < 4 } , C = { . v ' m ' g N , х2— 4 = 0}. Из каких элементов состоят множе
ства: 1) В U С; 2) А [ ) В [ \ С - 3) А \ ] В [ ) С - 4) (Л Л Я) I) (Я U С) ? 4. Даны множества А, В и С. С помощью операций объеди
нения, пересечения и вычитания записать множества, состоящие
;із элементов, принадлежащих:
1) всем трем множествам; 2) ни эдному из множеств; 3) хотя бы эдному множеству; 4) мпоже- :тву А и не принадлежащих мно
жествам В и С; 5) множествам 4 н В и не принадлежащим мно
жеству С; 6) по крайней мере цвум из этих множеств.
5. Множества А н В есть под
множества множества J (рис. 5).
Заштриховать на рнс. 5 следую- цне множества: 1) A\JB; 2) А~[}В\
3) А'; 4) А Ц В'; 5) А'ПВ:
5) ( AUB) ' ; 7) ( ARB) ' ; 8) (А[}В')'- 9) И 'П В )и (Л Л В ').
6. Доказать тождества: 1) А [ } В = В [ ] А , А [ } В — В [ ) А \ 2) ( / 1 U B ) U C ’= / 1 U ( B U C * ) ; 3) ( А Г [ В ) ( ] С = А П ( В Л С ) ;
1) Л П ( В и С ) = ( / Щ В ) и И л С) .
7. Доказать тождества: 1) Л U 0 =•'4, Л U J = J ; 2) Л П0 =
= 0 , Л Л J = Л ; 3) Л U A ' — S, А Л А' — Q ; 4) (Л '), = И;
5) (ЛГ] В) ' = А'[)В'.
8. Доказать, что: 1) если Л е й . то А [ } В = В, А [ \ В = Л\
I) если А а В, то A 'zdB'.
9. Доказать, что: 1) A f t B ^ A ^ A y j B ] 2) Л \ В е Л ; 3) ( Лу й) Л ] Л = ( Л Л 5 ) и Л = Л.
Ю. Доказать, что А { \ В = С ' ; тогда и только тогда, когда 1 \ В = А, либо В \ А = В.
11. Существуют лп такие множества Л, В и С, что А { ] В Ф Л fi C = Q , (Л П £ ) \ С = ® ?
12. Доказать, что всякое множество есть: 1) объединен»!
всех сво»х подмножеств; 2) объединение всех своих конечны:
подмножеств; 3) объединение всех своих одноэлементных под множеств.
13. Доказать, что: 1) если A U В — А Г) В, то А = В\ 2) сслі А = В', то Л Л В — Q и A U В = 3.
14. Доказать, что если Л е В , то: 1) A (J С е В (J С; 2) А [ \ С ^ с = В ( ) С - 3 ) ( Л \ С ) < = ( В \ С ) ; 4) (С \ В) <= ( С \ Л ).
15. Доказать, что: 1) если А [ ) В ^ С , то Л е С и В е С и об ратно; 2) если А < ^ В [ \ С, то Л е В и Л е С и обратно; 3) еслі А Л В е С , то Л е В ' U С и обратно.
16. Доказать тождества: 1) / 1 \(В U С) = (Л 4~В) П ( Л \ С ) 2) Л \ (ВЛС) = (Л \ B ) \ J ( A \ C) ; 3) А \ ( А \ В ) = А (] В; 4) Л \ В = А \ ( А [ ) В ) ; 5) А \ ] В = А [ } ( В \ А ) \ 6) (Л' U В) Л Л = Л Л В 17. В каком из отношений ( Х а Ү , XгэУ, Х — Ү) находятся множества X и У, если: 1) Х = А U ( В \ С ), Y = (A U В ) \ (ЛиС) 2) Х = ( А ( ) В ) \ С , У = ( Л \ С ) Л ( В \ С ) ; 3) Х = А \ ( В [ ] С ) , У =
= ( Л \ В ) и ( Л \ С ) .
18. Доказать, что: 1)если для всех t Q З С Л/5 то В С п Л, 2) если для всех £ £ 7' Л, С В., то (J r-L U B t и Г) Л, С п В,
Hr ! i С- Г tQT /с- т 3) U ^ / \ U - ^ - = U ( \ , \ В , ) ; 4) (J -\, есть наименьшее мно-
а т ц-т ' /с-r /кг
ж ество, включающее все множества Л,; 5) П A t есть ианмень
/( • т
шее множество, содерж ащ ееся во всех множествах . I,.
19. Дана последовательность множеств А„ = [0, 1 jn\
/г = 1, 2, . . . Вычислить и ; ,Лл и Г) *=/'„■
20. Дана последовательность множеств А п — ( 0, 1 /г) // — 1, 2, . . . Вычислить и П “„Ил-
21. Вычислить U;)3-, 1« + 1/л, £ — 1/ л| и П * , і І а — ' я b -J- 1 j t i \.
§ 3. Э К В И В А Л Е Н Т Н О С Т Ь Л Ш О Ж Е С Т В
Пели к а ж д о м у эл е м е н т у м н о ж е с т в а /1 по к а к о м у -т о п р а в и л у м олено со п о стави ть од и н и тольк о один эл е м е н т м н о ж ест в а В и о б р а т н о к а ж д о м j эл е м е н т у м н о ж е с т в а В м о ж н о со п о ст а в и т ь оди н и тольк о о д и н эл е м е н т м н о ж е с т в а А, т о говор я т, что м е ж д у м н о ж ест в а м и /1 и В у ст а н о в л ен о взаимно однознач но е соответствие.
М н о ж е с т в а А и В н азы в аю тся эквивалентными, А ~ В , если м е ж д у нимі м о ж н о у ст ан ови ть в за и м н о -о д н о зн а ч н о е со о т в етс тв и е, в противном случа<
м н о ж е с т в а н азы в аю тся неэквивалентными, Л ~ В.
Д л я установления факта эквивалентности д в у х множеств достаточнс указать како е-ли бо прави ло установления их вз аим но-о дн озн ачного соответ
ствия.
О тн ош ен и е эк в и в ал ен тн ое™ м е ж д у м н о ж ест в а м и о б л а д а е т свой ств ам и 1) рефлексивности — А — А ; 2 ) симметричности — если А —В, то В — А 3) транзитивности — если А—В, а В— С, то А~С.
Мощностью м н о ж ес т в а А н а з ы в а е т с я клас с всех м н ож еств, э к в и в а л е н т а х м н о ж е с т в у А, т. е. м ощ н ость есть то общее, чем х а р а к т е р и з у ю т с я все к в н в а л с н т н ы е м е ж д у собой м н о ж ества.
Если Л ~ В и Л ~ /І[С = Й , то мощность множества А считается меньшей ющности множества В
Н епусто е м н о ж е с т в о А н а з ы в а е т с я конечным, если су щ е ст в у ет т а к о е нат
у р а л ь н о е число n<=N, что Л — {1, 2, , п}. В эт ом с л у ч ае г овор ят , что т о ж е с т в о А имеет мощ н ост ь, р а вн у ю н, или что оно имеет п эл ементов.
П усто е м н о ж е с т в о т а к ж е с ч и тается конечным, и его м о щ н о сть равн а улю.
М н о ж е ств о , не я в л я ю щ е е с я конечным, н а з ы в а е т с я бесконечным.
М н о ж е ст в о А, э к в и в а л ен т н о е м н о ж е с т в у М н а т у р а л ь н ы х чисел, иа зы ва- тся счетным, и его м ощ н ость о б о з н а ч а е т с я си м во ло м а,. Д л я устаноале- ия счетности множества достаточно указать п р а ви л о пересчета его элемен- оо всеми натуральными числами.
М н ож ество, э к в и в а л ен т н о е м н о ж е с т в у R в ещ ествен н ы х чисел, н а зы в ае тс я т о ж е с т в о м мощности континуума, и его м о щ н о сть о б о з н а ч а е т с я симво- ІОМ с.
М ощно сти п р о и зв о ль н ы х м н о ж е с т в н а з ы в а ю т с я кар ди на льны ми числами.
Іоніностп конечных м н о ж е с т в в ы р а ж а ю т с я н а т у р а л ь н ы м и чи сл ами (или пу- е.м д л я пустого м н о ж е с т в а ) , т. е. к а р д и н а л ь н ы е числа д л я коне чных м н о жеств— н а т у р а л ь н ы е чи сла (или ну ль д л я пустого м н о ж е с т в а ) .
Н ад мощностями (кар ди нальны .\м числами) вып олним ы только д в е о п е рации— сложение и умножение. Суммой а + | 3 д в у х м ощн ост ей а и (5 мно
жеств А и В, не и м ею щ и х общ их элемен то в, н а з ы в а е т с я м о щ н о ст ь мпож ес т- а С, я в л я ю щ е го с я объ ед и н ен и ем м н о ж ес т в А и В. П р о и зв ед ен и ем сф двух [ощпостей а н р м н о ж е с т в А и В н а з ы в а е т с я м о щ н о ст ь м н о ж е с т в а С, эле- іентамп которо го я в л я ю т с я все упо р яд о ч ен н ы е пары, сост ав л е н н ы е из эле- ІСНТОВ м нож еств /1 и В.
Действия над мощностями:
1) коммутативны — а + Р = Р + а , а р = р а ;
2) ассоциативны— ( а + р ) + ү = с Н - ( Р + ү) > ( а р ) ү = а ( р ү ) ; 3) дистрибутивны— (сс-і-р)ү== ау-|-|іу.
Пример 1. Можно ли сказать, что если А — В, то Л ~ В , и аоборот, если А ~ В , то А — В?
Р е ш е н и е . Первое утверждение верное, ибо А — В означает, то множества А и В состоят из одних и тех ж е элементов. Зна- ит, если элементу множества А поставить в соответствие рав- ый ему элемент множества В, то можно установить взаимно
однозначное соответствие между множествами А и В, что евп- .етельствует об их эквивалентности.
Второе утверждение неверное. Между элементами множеств :ожет быть установлено взаимно-однозначное соответствие, но пожества могут быть неравными. Например, множество /1 =
= {а, Ь, с} эквивалентно множеству В — {I, 2, 3}, но А ф В , гак ак состоят из разных элементов.
Пример 2. Установить взаимно-однозначное соответствие еж ду множествами / l = .{ . v : x e R , 0 ^ .v< 1} и В = {// : i / e zR,
Р е ш е н и е . Взаимно-однозначное соответствие между дан- ыми множествами можно установить, например, так: рас- мотрнм функцию у — {Ь—а ) х - \ - а (рпс. 6). Если х<=А (О ^ Л 'С С 1), то соответствующий ему элемент / / е В , и об
13
ратно, если у<=В [ a ^ y < b ) , то соответствующий ему элемент л := (//— а)/(& — а) принадлежит множеству А, что видно на рис. 6, или так: множество А есть множество точек полусегмен
та [ 0, ' 1) , а множество В — множество всех точек полусегмента [а, Ь ) . Если эти полусегменты расположить так, как указано на рис. 7, то проекцией из точки D каждой точке полусегмента
[О, 1) можно поставит» в соответствие единственную точку по
лусегмента [а, Ь) и обратно.
Пример 3. Доказать, что если из счетного множества уда
лить конечное подмножество, то оставшееся множество будет счетным.
Р е ш е н и е . Спос об 1. Пусть А — некоторое счетное множ е
ство и В — его конечное подмножество. Множество А \ В бес конечное, ибо если бы оно было конечным, то множестве
(A \ B ) \ J B = A было бы конечным как объединение двух конеч
ных множеств. Если а — мощность множества А \ В , то а0^ а так как счетное множество имеет мощность, наименьшую среді всех бесконечных множеств. В то же время <х0^ а , так как мно жество А \ В — подмножество множества А. Из этих двух не равенств вытекает, что а = * о, следовательно, множество A \ t счетное.
С п о с о б 2. Так как множество А счетное, то его элементы с можно перенумеровать всеми натуральными числами, А —
= (ai, а 2, . . . , а a n+ i. . . } .
Удалим нз множества А какое-нибудь его конечное п од
множество, например В — \ а и а2, а п\\ тогда оставшееся множество А \ В = { а и+г, a„+t, . . . J , и оно бу д ет счетным, таі как м е ж д у его элементами и всеми натуральными числами можно установить взаимно-однозначное соответствие, напри мер, так. &п+1@п+2 а п+г • • •
V
Р и с. в. Рис. 7,
г г
1 2
14
произвольного- показать, что- Пример 4. Доказать, что множество точек
штервала есть множество мощности континуума.
Р е ш е н и е . Д ля доказательства достаточно множество точек произвольного интерва
ла (а, Ь) эквивалентно множеству R ве
щественных чисел. Так как множество точек интервала (а, Ь) эквивалентно мно
жеству точек интервала (— я/2, я/2) (это нетрудно показать хотя бы способами, изложенными в примере 2 ), а функция f (,v )= tg .v устанавливает взаимно-одно- ьначное соответствие между множест
вом точек интерваЛ'а (— я/2, я/2) и мно
жеством R (рис. 8), то вследствие тран
зитивности множество точек интервала (а, Ь) эквивалентно множеству R веще
ственных чисел, следовательно, имеет мощность, равную с.
Пример 5. Даны множества А — {а, Ь, :} и В = { Ь , с, d, е}. Определить сумму н произведение их мощностей.
Р е ш е н и е . Согласно определению сумма мощностей двух;
множеств равна мощности множества, являющегося объедине
нием исходных, но при этом исходные множества не должны иметь общих элементов. Поэтому заменим, например, множе
ство А на множество А], ему эквивалентное, но не имеющее с- множеством В общих элементов: А \ — {а, /, /}, и найдем мно
ж
