Управление распределенными генераторами осуществляется как управление микросетью (microgrid) «виртуальных» электростанций, интегрированных в глобальную сеть ЕЭС и, тем самым, в рынок электроэнергии и мощности, что будет способствовать повышению роли потребителя в управлении энергосистемой [7].
На пути создания «виртуальных» электростанций надо решить ряд организационно-технологических проблем, одной из которых является проблема подключения распределённых генераторов к единой сети и управление их работой.
Распределённые генераторы электричества, интегрированные в ЕЭС, представляют собой сложную систему, в которой связь между наблюдаемыми параметрами и состоянием системы имеет сложный и неоднозначный характер. Поэтому, подход к управлению в автоматических системах управления, основанный на управлении по выходным параметрам, является неадекватным по сути. В этом случае выработка управляющего воздействия должна осуществляться на основе данных о текущем состоянии объекта управления [6,7].
Конкретные вопросы по использованию возобновляемых источников энергии в качестве распределенного генератора, а также подход к синтезу оперативного уровня активной адаптивной системы автоматического управления работой комбинированной установки в рамках ЕЭС рассмотрены в [6].
Эффективность управления распределенными системами генерации электрической энергии, содержащими источники возобновляемой энергии (ВИЭ), накопители энергии и системы интеллектуального управления достигается за счет возможности комплексного воздействия на технологические параметры режимов генератора.
Например, регулирование напряжения помимо использования традиционных средств, могут быть реализованы путем изменения генерации активной или реактивной мощности, путем воздействия на средства хранения энергии, или посредством управления нагрузкой.
Этот комплекс мер совместно с аппаратным и программным обеспечением представляет систему управления распределенными системами генерации электрической энергии
Основной целью такой системы управления является интеграция распределённых генераторов в единую энергетическую сеть и обеспечение оптимального управления технологическими режимами их работы для удовлетворения потребностей потребителей в электрической энергии.
Управление распределёнными генераторами требует создания телекоммуникационной сети и центра диспетчеризации. В центре (а может быть, и в самих местах генерации) должны осуществляться мониторинг рыночных цен, состояния сети и нагрузки, обработка информации соседних производителей и сбытовиков, и на основании этих данных приниматься решения об использовании мощностей. В местах размещения генераторов должно стоять специальное "умное"
оборудование, способное по сигналам от удалённого диспетчерского центра управлять режимами работы генератора и энергопотреблением помещения, в котором он установлен [7-9].
Для подключения генерирующего оборудования к сети потенциальному поставщику электричества требуется специальное оборудование, отвечающее требованиям по возможности дистанционного управления. Специальные счётчики, передающие результаты измерений в режиме реального времени, также должны стать стандартным элементом архитектуры распределённой генерации. Предвидя
117
нарастающие сложности, сетевые компании зачастую предлагают весьма сложную и дорогостоящую процедуру сертификации каждого конкретного подключения, реально тормозящую развитие рынка [9].
Управление такими энергосистемами, для которых характерна значительная территориальная распределенность и неоднородность, имеет большую актуальность в настоящее время. Неоднородность системы может быть связана с использованием альтернативных источников электроэнергии типа ветровых и солнечных электростанций. Оптимизация работы сети должна производиться несколькими локальными интеллектуальными устройствами.
Рисунок 2 – Основные компоненты системы автономного энергоснабжении Наиболее перспективными для использования в качестве системы электроснабжения удаленных потребителей малой и средней мощности в настоящее время представляются автономные комбинированные фотоветроэлектрические установки (ФВЭУ). Идея автономной энергоустановки упрощенно состоит в следующем (рис.2). С целью обеспечения высокой энергетической эффективности системы автономного энергоснабжения энергия, вырабатываемая первичным источником энергии, должна напрямую направляться потребителю (путь I). В периоды генерации избыточной для потребителя энергии она должна запасаться системой аккумулирования (путь II). При дефиците энергии, вырабатываемой первичным источником, аккумулированная энергия от вторичных источников должна направляться потребителю, покрывая имеющийся дефицит (путь III).
Особенно актуально применение ФВЭУ в районах, удаленных от энергетических магистралей, а также в мобильных группах различного назначения.
Однако эти источники энергии, также, обладают своими недостатками, основными из которых являются малая мощность, непостоянство во времени в течение суток и года, непредсказуемость. В то же время по данным метеостатистики достоинства и недостатки таких возобновляемых источников энергии, как солнечная радиация и ветровой поток удачно компенсируют друг друга:
-при длительной последовательности облачных дней отсутствие солнца компенсируется обычно наличием ветра;
-отсутствие солнечной радиации в ночные часы суток также компенсируется обычно наличием ветра;
-ветер по статистике обычно бывает сильнее в зимние месяцы, тогда как солнечная радиация — в летние.
Упрощенная структура автономной энергоустановки на ВИЭ изображена на рис.
3. В состав рассматриваемой энергоустановки входят первичные источники энергии:
фотоэлектрические преобразователи и ветроустановка, выработка энергии которыми, как правило, существенно не совпадает с графиками потребления энергии
118
потребителем, который, в общем случае, нуждается в электроэнергии, в тепловой энергии, а также, в ряде случаев, и в холоде. В этой ситуации ключевым компонентом автономной системы является система аккумулирования, преобразования и вторичной генерации энергии. Для обеспечения наиболее эффективного преобразования первичных видов энергии и удовлетворения нужд потребителя энергоустановка должна быть снабжена «умной» системой автоматического управления.
Рисунок 3. Основные компоненты автономной энергоустановки на ВИЭ
В энергосистемах с возобновляемыми источниками энергии в общем случае можно использовать три метода управления, основанные на сбросе излишков энергии, аккумулировании энергии и изменении нагрузки (рис. 4).
Рисунок 4. Схема методов управления энергетическими потоками от ВИЭ к потребителям
Эти методы могут быть реализованы различными способами применительно ко всей энергосистеме или ее частям.
1. Система со сбросом излишков энергии. Потоки энергии возобновляемых источников существуют постоянно, и если их не использовать, они будут безвозвратно потеряны. Тем не менее, метод управления, основанный на сбросе части этой энергии, может оказаться самым простым и дешевым. Такой метод управления используется, например, на гидроэлектростанциях, в системах обогрева зданий солнечным излучением с управляемыми заслонками, в ветроколесах с изменяемым шагом (рис.5).
119
Рисунок 5. Система управления со сбросом излишек энергии
2. Системы с накопителями (аккумуляторами) энергии. Накопители могут аккумулировать энергию возобновляемых источников как в ее исходном, непреобразованном виде (например, аккумуляторы с горячей водой, аккумулирующее вещество - вода или полости с крупнодисперсным веществом, аккумулирующее вещество - воздух), так и в преобразованном, после энергоустановки (аккумуляторные батареи).
3. Системы с регулированием нагрузки. Такие системы поддерживают соответствие между спросом и предложением энергии за счет включения и выключения необходимого числа потребителей. Такое регулирование может применяться в любых системах, но наиболее выгодно оно при наличии большого числа разнородных потребителей (рис. 6).
Современные системы автономного энергоснабжения, уже в своем составе, как правило, содержат специализированные микроконтроллеры, которые предназначены для решения только узко -специализированных задач, связанных с контролируемым процессом (например - ветрогенератор).
Рисунок 6 – Система регулирования нагрузки
120 4. Пример
В качестве примера рассмотрим автономную комбинированную фотоветро- электроэнергетическую установку (ФВЭУ), также представляющую собой типичный пример сложной технической системы [10]. ФВЭУ включает следующие подсистемы (установки), изображенные на рис. 7.
Рисунок 7. Принципиальная схема ФВЭУ
Рассматриваемой энергосистеме присущи различные по физической природе процессы:
-механические (преобразование энергии ветрового потока в механическую энергию вращения ветрового колеса ВЭУ;
-поворот модулей ФЭУ);
-энергетические (выработка, преобразование и передача электроэнергии);
-информационные (сбор, обработка и передача информации).
Такая совокупность процессов позволяет использовать двухуровневую систему автоматического управления (САУ), что обычно имеет место в реальных ФВЭУ [10]:
-уровень компонентов системы;
-операционный уровень.
На уровне компонентов ФВЭУ САУ осуществляет оптимальное управление по техническим критериям эффективности. Существование операционного уровня означает, что эффективная работа автономных ФВЭУ возможна только при использовании систем автоматического управления (САУ), т.е. зависит не только от эффективной работы компонент ФВЭУ, рассматриваемых отдельно, но и от способа их взаимодействия.
Наибольший интерес представляет операционный уровень, на котором осуществляется оптимальное управление по экономическому или другому критерию эффективности.
Когда объект управления является сложной системой, подход к управлению в АСУ, основанный на управлении по параметрам, является неадекватным. В этом случае выработка управляющего воздействия должна осуществляться на основе данных о текущем состоянии объекта управления. В общем случае задача идентификации состояния объекта на основе информации о его параметрах представляет собой типичную задачу распознавания образов.
121
Синтез САУ проводится с учетом анализа ФВЭУ на двух уровнях:
•уровне компонентов энергосистемы, на котором решается задача оптимального управления отдельными устройствами ФВЭУ;
•операционном уровне, на котором решается задача оптимального распределения энергии между потребителями и накопителем.
Цель САУ заключается в автоматическом обеспечении технологических требований работоспособности компонентов энергосистемы, снижении вероятности аварийных ситуаций, связанных с недоотпуском потребителю энергии. Данная цель достигается автоматическим поддержанием работы электрогенераторов в режиме максимальной мощности, автоматической защитой устройств от аварийных ситуаций, координацией работы отдельных установок в целях приведения хода производства электроэнергии в заданный, нормальный режим.
Методы оптимизации функционирования традиционных энергетических систем (ЭС), потребляющих НВИЭ, в настоящее время хорошо разработаны. При этом критериями оптимизации являются: минимизация затрат на топливо, поступающего в систему, а также эксплуатационных затрат. При этом нагрузка распределяется на потребителей независимо от их оптимальной мощности (считается, что энергия производится с избытком) и все расчеты проводятся для заданного эксплуатационного режима.
В случае ФВЭУ данный подход неприемлем по многим причинам:
Во-первых, ФВЭУ, как правило, являются необслуживаемыми, следовательно, эксплуатационными затратами можно практически пренебречь.
Во-вторых, возобновляемые источники энергии (ВИЭ), потребляемой ФВЭУ, не имеют стоимости.
В-третьих, преобразователи возобновляемой энергии характеризуются сравнительно высокой стоимостью и низким КПД. Поэтому требованию экономического оптимума в этом случае лучше всего соответствует наиболее полное обеспечение потребителей за счет минимизации потерь энергии.
Автономные ФВЭУ характеризуются большой стоимостью вырабатываемой энергии и неравномерностью ее поступления. Эти особенности делают практически неприемлемым сброс излишков энергии. Большинство как промышленных, так и бытовых потребителей электроэнергии не обладают свойствами аккумулирования энергии. Поэтому наиболее эффективной системой и методом операционного управления представляется система, использующая накопители избыточной энергии.
При проектировании автономных ФВЭУ без резервных источников проектировщики задаются коэффициентом обеспеченности энергосистемы (отношение периода времени, за который нагрузка будет покрыта, к полному периоду эксплуатации) 0,8- 0,9 в силу значительного возрастания стоимости установки при ее обеспеченности, приближающейся к «1», поэтому при неблагоприятных с энергетической точки зрения климатических условиях и (или) во время часов пика энергопотребления возникает дефицит вырабатываемой мощности. Отсюда появляется необходимость отключать какие-то потребители, что желательно производить с учетом их приоритета.
Вследствие вышеприведенных особенностей автономных ФВЭУ в качестве метода их управления на операционном уровне целесообразно принять комбинированный метод с накоплением избыточной энергии и распределением нагрузки. При этом в условиях существующего или прогнозируемого дефицита энергии осуществляется распределение нагрузки с учетом приоритета, а при избытке вырабатываемой энергии — ее накопление.
122 5. Заключение
В настоящее время не существует четкого оптимального алгоритма управления энергораспределением автономных ФВЭУ в условиях дефицита вырабатываемой мощности. Кроме того, из-за большой изменчивости поступления возобновляемой энергии данный оптимальный алгоритм управления для условий различных климатов может не совпадать.
На операционном уровне САУ осуществляется оперативное управление распределением энергопотоков между элементами энергосистемы посредством координации функционирования отдельных управляющих устройств на первом уровне.
Цель рассматриваемого уровня САУ — наиболее полное и бесперебойное снабжение потребителей электроэнергией при ее неравномерном поступлении в условиях нормального эксплуатационного режима всех элементов энергосистемы.
Таким образом, цель САУ на операционном уровне дуальна: наиболее полное обеспечение как текущих, так и будущих потребностей потребителя в электроэнергии [6].
Следовательно, система управления на этом уровне должна носить оптимальный характер. В качестве критерия оптимальности может быть принят уровень надежности электроснабжения: минимум усредненного по времени математического ожидания относительного недоотпуска энергии различным группам потребителей с учетом весовых коэффициентов этих групп [6].
Список литературы:
1. A.Sh. Arifjanov, A.Sh. Ayupov. Forecasting and Rationalization of Energy Consumption for Megaci-ties Taking into Account the Factors Caused by Scientific and Technical Progress, with Application of Informa-tional - Analytical Technologies // A report on the Global Forum for Energy, Environment and Commercial Civi-lization (GFEECC), 22-26 October, 2015, Chengdu, Sichuan University , China
2. R. A. Zakhidov. Development of Renewable Energy and Implementation of Programs of Energy Sav-ing in Uzbekistan as a Basis of Ensuring Power Safety // A report on the Global Forum for Energy, Environment and Commercial Civilization (GFEECC), 22- 26 October, 2015, Chengdu, Sichuan University , China.
3. R. A. Zakhidov, S. L. Lutpullayev. Global trends in alternative energies and problems in Uzbekistan for the development of renewable energy sources. Journal of the Uzbekistan Academy of Sciences “Applied Solar Energy”, vol. 51, №1, pp. 50-61, January 2015
4. R. A. Zakhidov, M. V. Kremkov. The Wind Power Potential of Uzbekistan.
Journal of the Uzbekistan Academy of Sciences “Applied Solar Energy”, vol. 51, №4, pp.
336-337, October 2015.
5. Официальный веб-сайт АК "Узбекэнерго" http://www.uzbekenergo.uz
6. A.Sh.Arifjanov, R.A. Zakhidov. An Approach to the Creation of the Adaptive Control System for In-tegration of Nonsteady Power Sources into a Common Electric Power Grid //Proceedings of the Tenth Interna-tional Conference on Management Science and Engineering Management The International Conference on Management Science and Engineering Management (ICMSEM) (Baku, Azerbaijan, Aug. 31 - Sep. 2, 2016), Springer, 2016, pp.563-574.
7. Smart Grid - Энергетика будущего [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
URL: http://www.smartgrid.ru; http://www.smartgrid.ru/smart-wiki/slovar/smart-grid.
123
8. R. A. Zakhidov, A.Sh.Arifjanov, Z.E.Yusupov. The problems of SMART GRID development in Uzbekistan// Proceedings of Eighth World Conference on Intelligent Systems for Industrial Automation (WCIS-2014), (b-Quadrat Verlag), 2014, pp.441-445.
9. Построение системы диспетчеризации территориально-распределенных технологических объектов//Совместный выпуск узбекского журнала “Проблемы информатики и энергетики” (№5) и журнала “Проблемы информатики” (№5) СО РАН, Ташкент, 2011, стр.11-18.
10. В. С. Симанков, Е. В. Луценко. Адаптивное управление сложными системами на основе теории распознавания образов. Краснодар: Техн. ун-т Кубан. гос.
технол. ун-та, 1999. - 318 с.
Абдулла Шамхатович Арифжанов –д.т.н., проф., главный менеджер Научно-инновационного центра информационно-коммуникационных технологий
при ТУИТ; г.Ташкент, Республика Узбекистан, [email protected];
Ромэн Абдуллаевич Захидов - д.т.н., проф., академик АН РУз, главный научный сотрудник Научно-технического центра «Энергетика»
АО «Узбекэнерго», г.Ташкент, Республика Узбекистан
УДК 517.968.7; 519.62/.64
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ ДЛЯ СИСТЕМЫ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ФРЕДГОЛЬМА И ИХ ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
Асанова А.Т.1,2, Темешева С.М.1,2
1Институт информационных и вычислительных технологий КН МОН РК,
2Институт математики и математического моделирования КН МОН РК Аннотация. Рассматривается двухточечная задача с параметром для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром.
С помощью алгоритмов метода параметризации предлагается эффективный способ численного решения исследуемой задачи. Предлагаемый подход основан на построении и решении системы алгебраических уравнений относительно параметров, вводимых как значения искомого решения в точках разбиения отрезка, где рассматривается задача. Установлены условия реализуемости построенного алгоритма численного решения двухточечной задачи с параметром для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма.
Ключевые слова: задача с параметром, интегро-дифференциальное уравнение Фредгольма, алгоритм, численное решение.
Введение
Задачи управления, которые также называются краевыми задачами с параметрами и задачей идентификации параметров для системы обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с параметрами
124
активно исследуются в работах многих авторов [1-8]. Для решения указанных классов применялись методы качественной теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и теории оптимизации, метод верхних и нижних решений и др. Несмотря на это, вопросы нахождения эффективных признаков однозначной разрешимости и построения численных алгоритмов нахождения оптимальных решений задач управления для системы обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с параметрами остается открытым. Одним из конструктивных методов исследования и решения краевых задач с параметрами для системы обыкновенных дифференциальных уравнений является метод параметризации [9]. В работах [10-11] изучалась двухточечная краевая задача с параметром для системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом параметризации. Установлены критерии корректной разрешимости рассматриваемой задачи в терминах исходных данных и предложены алгоритмы нахождения ее приближенных решений. В дальнейшем метод параметризации был развит на двухточечные краевые задачи для интегро- дифференциальных уравнений Фредгольма [12-14]. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости, однозначной разрешимости, построены алгоритмы нахождения приближенных решений рассматриваемых задач. В работе [14] разработан метод исследования и решения линейных краевых задач для линейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма на основе новых алгоритмов метода параметризации.
Предлагаемая работа развивает данный метод на задачи с параметром для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденными ядрами.
1. Постановка задачи
Рассматривается задача с параметром для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами
, ) (0, ,
, ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
=
1 0
T t R x t f t B ds s x s t x
t dt A
dx m n
k T
k
k
(1)B0B1x(0)B2x(T)x0, x0Rn, (2) С0С1x(0)C2x(T) x1, x1Rn, (3) где(nn)-матрицы A(t),B(t), k(t),k(s), k1,m, и n-вектор f(t) непрерывны на [0,T ,] Bi, Ci - постоянные (nn)-матрицы, i0,1,2, max .
,
1 i
n
i x
x
Решением задачи (1)-(3) является пара (x(t),), где непрерывная на [0,T] и непрерывно дифференцируемая на (0,T) функция x(t), удовлетворяет интегро- дифференциальному уравнению (1) при и краевым условиям (2), (3).
125 2. Схема метода
Берутся точки t0 0t1tN1tN T и осуществляется разбиение интервала [0,T) на N подинтервалов:
Nr
r
r t
t T
1
1, ) [ ) , 0 [
, которое обозначим через N [14]. Сужение функции x(t) на r-й интервал [tr1,tr) обозначим через xr(t), т.е.
) ( ) (t x t
xr для t[tr1,tr), r 1,N.
Вводятся следующие пространства: С([0,T],Rn) - пространство непрерывных на ]
, 0
[ T функций x: [0,T]Rn c нормой max|| ( )||
] , 0
1 [ x t
x t T ; С([0,T],N,RnN) - пространство систем функций x[t](x1(t),x2(t),...,xN(t)), где xr: [tr1,tr)Rn непрерывны на [tr1,tr) и имеют конечные левосторонние пределы lim ()
0xr t
t
tr для
всех r1,N, c нормой [] max sup || ( )||
) , , [ 2 1
1
t x
x r
t t N t r r r
.
Вводятся параметры r как значения искомой функции в точках разбиения:
), ( 1
r r
r x t
r 1,N, (N1)-й компоненте N1 присвоим исходный параметр , т.е. N1. Далее на каждом rм интервале [tr1,tr) функция xr(t) заменяется следующей суммой функций:
r r
r t u t
x ( ) ( ) , t[tr1,tr), r 1,N, и N1.
В итоге задача с параметром (1)-(3) переходит к краевой задаче с параметрами , ) , [ ), ( )
( )
) ( )(
( ) ( )
( ) (
= 1 1
1 1 1
r r N
N
j m
k t
t
j j
k k r
r
r At u t s u s ds B t f t t t t
dt
du j
j
(4)
, 0 ) ( r1
r t
u r 1,N, (5)
lim ( ) 2 0,
2 0 1 1 1
0 B B u t B x
B N N
T
N t
(6)
lim ( ) 2 1,
2 0 1 1 1
0 C C u t C x
C N N
T
N t
(7)
, ) (
lim 1
0
s s
t
s t u t
s
s1,N1, (8) здесь соотношение (8) является условием склеивания решения в точках разбиения отрезка [0,T]. Отметим, что условия (8) и система (4) обеспечивают также непрерывность производных решения в точках разбиения.
Решением задачи с параметрами (4)-(8) является пара (u[t],), где функция )
, ], , 0 ([
)) ( ),..., ( ), ( ( ]
[t u1 t u2 t uN t С T N RnN
u с непрерывно дифференцируемыми на )
,
[tr1 tr компонентами ur(t), и (1,2,...,N,N1)Rn(N1), удовлетворяет
126
интегро-дифференциальному уравнению с параметрами (4), начальным условиям (5), соотношениям (6)-(8) при j j , j1,N1.
Если пара (x(t),) является решением задачи с параметром (1)-(3), то пара )
], [
(u t с элементами u[t](u1(t),u2(t),...,uN(t))С([0,T],N,RnN),
) 1 ( 1 2
1, ,..., , )
(
N N Rn N
, где ur(t)xr(t)xr(tr1), t[tr1,tr), r xr(tr1), N
r1, , N1 Rn, будет решением задачи (4)-(8). И, если пара ~) ],
~[
(u t с элементами ~[] (~(),~(),...,~ ()) ([0, ], , )
2 1
nN N
N t С T R
u t u t u t
u , 1 2 ~ 1) ( 1)
~ , ,..., ,~ (~
~
N N Rn N
, является решением задачи (4)-(8), то пара (~x(t),~), определяемая равенствами
r r t u t
x( ) ~ () ~
~ , t[tr1,tr), r 1,N, N N
T
t u t
T
x( ) lim ~ ( ) ~
~
0
и ~ ~ 1
N
, будет решением исходной задачи с параметром (1)-(3).
При фиксированных j задача (4), (5) является специальной задачей Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма. Имеем N задач Коши на интервалах [tr1,tr), r 1,N, а система интегро-дифференциальных уравнений включает сумму интегралов всех N функций ur(t) на отрезках [tr1,tr]. Используя фундаментальную матрицу Xr(t) дифференциального уравнения
x t dt A
dx ( ) , t[tr1,tr), r 1,N , сведем решение специальной задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения с параметрами (4), (5) к эквивалентной системе интегральных уравнений
A d X t X t s u s dsd
X t X t
u N
j m
k t
t
j j
k k t
t r r
r t
t r r
r
j
j r
r 1 1
1 1
1 1
1
] ) ( )[
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) (
, ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
(
1 1
1 1
1 B d X t X f d
X t X
t
t r r
N t
t r r
r r
t[tr1,tr), r 1,N, (9)
Пусть
N j
t
t k j
k j
j
ds s u s
1 1 ( ) ( )
, k 1,m. Тогда после несложных преобразований в (9) приходим к следующей системе алгебраических уравнений
), , ( ) ( )]
(
[IG N V N g f N (10) где I единичная матрица размерности nm, (nmnm)-матрица G(N){Gp,k(N)},
, , 1
,k m
p (nmn(N1))-матрица V(N){Vp,r(N)} p 1,m, r1,N 1, составлена из (nn)-матриц Gp,k(N), Vp,r(N) вида
, ) ( ) ( )
( ) ( )
(
1 1
1 1
, X X s s dsd
G k
t r r
N r
t
t p N
k p
r r
r
X X s A s dsd V
r r
r t
r r
t
t p N
r
p ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 ,
127
r
r j
j
j
t
t k N
j
k t
r r
m
k t
t
p X X d d s ds
1 1
1
) ( )
( ) ( )
( ) (
1
1 1 1 1 1
, r1,N,
X X s B s dsd V
r r
r t
r r
N r
t
t p N
N
p ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
1
,
,
а вектор g(f,N)(g1(f,N),g2(f,N),,gm(f,N))Rnm составлен из n- векторов вида
, ) ( ) ( )
( ) ( )
, (
1 1
1 1
X X s f s dsd f
g
r r
r t
r r
N r
t
t p N
p
p1,m, k 1,m.
Таким образом, существование единственного решения специальной задачи Коши (4), (5) эквивалентна существованию единственного решения системы (10), т.е.
обратимости матрицы IG(N). Предположим, что матрица IG(N) обратима и представим ее обратную в виде [IG(N)]1 {Mk,p(N)}, k,p1,m, где Mk,p(N) - (nn)-матрица. Тогда, согласно (10), элементы вектора Rnm определяются равенствами
) , ( ) ( ))
( ) ( (
1 , 1
1
, 1
, N p N
m
p p k N
j
j N j p N m
p p k
k
M V
M g f
, k 1,m. (11)
В (9) вместо k подставляя правую часть (11) получим представление функции )
(t
ur через r, r1,N1:
j m
p
t
t k N
j p N p k N
j m
k
t
t
k r r
r
j
j r
ds s V
M d
X t X t
u
1 , ,
1 1
1
1 1
) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
(
1 1
1 , ,
1 1
1( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
) (
1 1
N m
p
N N p N p k m
k k t
t r r r t
t r
r t X A d X t X M V B d
X
r r
M g f f d
X t X
m p
N p N p k m
k k t
t r r
r
1
, 1
1( ) ( ) ( ) ( , ) ( )
) (
1
, t[tr1,tr), r1,N . (12) Введем обозначения
r
r
j
j t
t
t
t k N
j p m
p
N p k k
r m
k r r N
j
r X t X d M V s ds
D
1 1
, ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ,
1 , 1
1
, r j, r, j1,N,
d M V s ds X t X A d
X t X D
r
r r
r
j
j
t
t r r r t
t
t
t k N
r p m
p kp N
k r m
k r r
N r
r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1
1 ,
1 ,
1 1
,
,
128
, ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(
1 1
1 1
1 , ,
1 1
1
, X t X d M V X t X B d
D
r
r r
r
t
t r r r t
t
m
p
N N p N p k k
r m
k r r N
N
r
d M g f X t X f d
X t X F
r
r r
r
t
t r r r t
t
m p
N p N p k k
r m
k
r r N
r( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
, 1
1
,
N r1, . Тогда из (12) имеем
1
1
0 ( ) , ( ) ( )
lim N
j
N r j N j r t r
t u t D F
r
, r1,N. (13) Подставив правые части (13) в краевые условия (6), (7) и условия склеивания (8) при соответствующих r, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно введенных параметров r, r1,N1:
N F
NQ , Rn(N1), (14) где Q
N - матрица, составленная из коэффицентов r,
2 1 1
( 1)1 2
0 ( ), ( ), ( ),..., ( )
N x B FN N x C FN N F N FN N Rn N
F .
Справедлива
Теорема. Пусть при некотором разбиении N матрицы IG(N):
nm
nm R
R и Q
N : Rn(N1)Rn(N1) обратимы. Тогда задача с параметром (1)—(3) имеет единственное решение – пару
x(t),
для произвольных )], , 0 ([
)
(t С T Rn
f , x0,x1Rn.