Г.Е. Таугынбаева коэффициентам Фурье

Г.Е. Таугынбаева

О предельной погрешности неточной информации при оптимальной дикретизации решений уравнения теплопроводности по тригонометрическим

коэффициентам Фурье

(Евразийский национальный университет им.Л.Н.Гумилева, г. Астана) (Институт теоретической математики и научных вычислений, г. Астана)

В одной из модельных ситуаций решена задача оптимальной дискретизации решений задачи Коши для уравнения теплопроводности по неточной информации, полученной от конечного набора функционалов.

1.Постановка задачи и основные теоремы. Начнем с общей постановки задачи восстановления по неточной информации, полученной от конечного набора функционалов.

Вычисление функционалов, как правило, не может быть математически точным, поэтому, самое лучшее, на что можно рассчитывать при восстановлении – это точность, с которой заданы сами используемые значения функционалов.

С другой стороны, излишняя точность вычислений при реализации алгоритма приводит к неоправданному увеличению объема памяти и количества арифметических операций, поскольку не улучшает заложенного в алгоритме порядка точности.

Математическим эквивалентом изложенных выше положений является следующая постановка задачи восстановления по неточной информации (подробности см.[1]-[6]).

Пусть при некотором k (k= 1, 2, . . . ) даны нормированные пространства X⁽¹⁾, ..., X^(k) и Y числовых функций, определенных на множествах Ω_X(1), ...,Ω_X(k) и Ω_Y соответственно, множества F^(j) ⊂ X^(j)(j= 1, ..., k) и T = T f = u(y, f) ≡ u(y, f1, ..., fk) - отображение F = F⁽¹⁾×...×F^(k) в Y. Пусть также даны целые положительные числа N₁, ..., N_k, вектор ε^(N)= (ε1, ...., εk)∈R^N (N =N1+...+Nk), составленный из векторов εj =

ε⁽¹⁾_j , ...., ε^(N_j ^j)

с неотрицательными компонентами ε⁽ⁱ⁾_j ≥ 0 (j = 1, ..., k;i = 1, ..., Nj), набор функционалов l^(N) = (l1, ...., lk), lj =

l⁽¹⁾_j , ..., l^(N_j ^j)

, l⁽ⁱ⁾_j (·) : F^(j) → C (j= 1, ..., k;i= 1, ..., Nj) и функция ϕN(τ1, ..., τk;y) : C^N ×ΩY → C такая, что ϕN(τ1, ..., τk;y) при всех фиксированных τj =

τ_j⁽¹⁾, ..., τ_j^(Nj)

(j= 1, ..., k) как функция от y принадлежит пространству Y , где C, как обычно, есть поле комплексных чисел.

Тогда для каждого f = (f₁, ..., f_k) ∈ Fсоответствующую функцию T f = u(y, f) будем приближать в метрике Y функцией - вычислительным агрегатом - ϕN(z;y) ≡ ϕ_N(z₁, ..., z_k;y), z_j =

z_j⁽¹⁾, ..., z_j^(Nj)

(j = 1, ..., k), построенной по числовой информации z≡(z1, ..., zk) объема N, полученной об f посредством функционалов l1, ...., lk с точностью ε^(N) и переработанной по алгоритму ϕ_N до функции, зависящей от той же переменной, что и Tf.Именно, для данной пары l^(N), ϕ_N

положим

δ_N(

l^(N), ϕ_N

;T, F, ε^(N))_Y =

= sup

f = (f1, ..., fk)∈F (z1, ..., zk) :

l_j⁽ⁱ⁾(fj)−z_j⁽ⁱ⁾ ≤ε⁽ⁱ⁾_j j= 1, ...., k;i= 1, ..., N_j

ku(·;f)−ϕN(z1, ..., zk;·)k_Y (1)

Пусть теперь

l^(N), ϕN есть множество всевозможных пар l^(N), ϕN

и пусть DN ⊂ l^(N), ϕ_N , т.е. D_N есть некоторое множество вычислительных агрегатов l^(N), ϕ_N

.

Задача заключается в получении оценок сверху и оценок снизу (желательно совпадающих с точностью до констант) для величины

δ_N(ε^(N))≡δ_N(D_N;T, F, ε^(N))_Y = inf (^l(N),ϕN)^∈DN

δ_N(

l^(N), ϕ_N

;T, F, ε^(N))_Y (2) и в указании вычислительного агрегата l^(N), ϕ_N

, реализующего оценку сверху.

При ε^(N) = (0, ...,0) ∈ R^N задача (1-2) есть задача восстановления по точной информации, где величина δN(0) в (1-2) одним из авторов [3] была названа компьютерным (вычислительным) поперечником (подробности см., в [6]-[12]).

В случае, если δ_N(D_N, T, F; 0)_Y ≺ ψ(N) (N →+∞), то задача нахождения неулучшаемой последовательности ε˜_N =

˜ ε⁽¹⁾

N , ...,ε˜^(N_N ⁾

(N = 1,2, ...) состоит в следующем:

выполнено δN(DN, T, F; ˜εN)_Y ≺ ψ(N) (N →+∞), и, одновременно, для всяких возрастающих к +∞ при возрастании N при каждом j последовательностей n

η^(j)_N o

(N = 1,2, ...;j= 1,2, ..., N) имеет место равенство

N→∞lim δ_N

D_N, T, F;

η_N⁽¹⁾ε˜⁽¹⁾_N , ..., η^(N_N ⁾ε˜^(N)_N

Y

δ_N(D_N, T, F; 0)_Y =

= lim

N→∞

δN

DN, T, F;

η⁽¹⁾_N ε˜⁽¹⁾_N , ..., η_N^(N)ε˜^(N_N ⁾

Y

ψ(N) = +∞.

Таким образом, задача заключается в нахождении предельно большой величины границы εN неточности информации, поскольку, величина допустимой ошибки, естественно, должна быть возможно большей. Здесь же сформулировано ее свойство быть предельной, но с сохранением максимально возможной скорости убывания уклонения при восстановлении по точной информации.

При этом, искомая нечувствительность к восстановлению по неточной информации ε˜_N следует из неравенств

c1ψ(N)≤δN(DN, u, F; 0)Y ≤δN(DN, u, F; ˜εN)Y ≤c2ψ(N).

В настоящей работе изучается задача Коши для уравнения теплопроводности

∂u

∂t = ∂²u

∂x²₁ +...+ ∂²u

∂x²_s (t≥0, x∈R^s) (3)

с начальными условиями

u(0, x) =f(x), x∈R^s. (4)

В изучаемом здесь случае задача Коши имеет решения в виде суммы абсолютно сходящегося кратного функционального ряда, который полностью определяется наборам nf(m)ˆ o

m∈Z^S коэффициентов Фурье.

Нами ранее была изучена задача восстановления функций по неточной информации и получены предельные погрешности для классов Коробова E_s^r и классов Соболева с доминирующими смешанными производными SW_p^r(0,1)^sв метрике L².

Набор вычислительных агрегатов D_N определим следующим образом.

Пусть

l_k(f) = ˆf(m^(k)) = Z

[0,1]^s

f(x)e^{−2πi(m(k),x)}dx (k= 1, ..., N), (5)

ϕ_N(z₁, ..., z_N;x) =

N

X

k=1

z_ke^2πi(m(k),x), (6)

где m⁽¹⁾, ..., m^(N)- заданный набор элементов Z^s. Положим

DN= (

ϕN(l1(f), ..., lN(f);x) =

N

X

k=1

f(mˆ ^(k))e^2πi(m(k),x):m^(k)=

m^(k)₁ , ..., m^(k)s

∈Z^s (k= 1, ..., N) )

, (7)

В условиях обозначений (3)-(5) имеют место

Теорема А (см.[13]). Пусть даны числа s(s = 1,2, ...) и r > ¹₂, числовая последовательность ε˜N = ^(lnN)

r(s−1)

N^r (N = 1,2,3, ...). Тогда верны следующие соотношения

δ_N(0) ≡δ_N(D_N;T f =f;E_s^r; 0)_L² ≺δ_N(D_N;T f =f;E_s^r; ˜ε_N = (lnN)^r(s−1)

N^r )_L² ≺

≺ε˜_N ·√

N = (lnN)^r(s−1) N^r−12 ,

причем для всякой возрастающей к +∞ положительной последовательности {η_N}^∞_N=1 имеет место равенство

N→∞lim δ_N

D_N;T f =f;E_s^r; ˜ε_Nη_N = ^(lnN)_N^r(s−1)r η_N

L²

δ_N

D_N;T f =f;E_s^r; ˜ε_N = ^(lnN)_N^r(s−1)r

L²

= +∞

Теорема В (см.[13]). Пусть даны числа s(s = 1,2, ...) и r > ¹₂, числовая последовательность ε˜_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12} (N = 1,2,3, ...). Тогда верны следующие соотношения

δ_N(0)≡δ_N(D_N;T f =f;SW₂^r(0,1)^s; 0)_L2 ≺δ_N(D_N;T f =f;SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_N =(lnN)^r(s−1) N^r+12 )_L2≺

≺ε˜_N√

N = (lnN)^r(s−1) N^r

причем для всякой возрастающей к +∞ положительной последовательности {η_N}^∞_N=1 имеет место равенство

lim

N→∞

δ_N

D_N;T f =f;SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_Nη_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12} η_N

L²

δ_N

D_N;T f =f;SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12}

L²

= +∞.

Теоремы А и В справедливы и при более общих условиях, когда алгоритм переработки информации ϕ_N(z₁, ..., z_N;x) есть произвольная измеримая функция по x из класса L²(0,1)^s при любых фиксированных z₁, ..., z_N (и, конечно, ϕ_N(0, ...,0;x)≡0).

Именно, при D⁽¹⁾_N =n

l₁(f) = ˆf(m⁽¹⁾), ..., l_N(f) = ˆf(m^(N)) :m⁽¹⁾ ∈Z^s, ..., m^(N) ∈Z^so

× {ϕ_N} справедливы следующие теоремы.

Теорема С (см.[13]). Пусть даны числа s(s = 1,2, ...) и r > ¹₂, числовая последовательность ε˜_N = ^(lnN)_N^r(s−1)r (N = 1,2,3, ...). Тогда верны соотношения

δ_N(0) ≡δ_N(D_N⁽¹⁾;T f =f;E_s^r; 0)_L² ≺δ_N(D⁽¹⁾_N ;T f =f;E_s^r; ˜ε_N = (lnN)^r(s−1)

N^r )_L² ≺

≺ε˜_N√

N = (lnN)^r(s−1) N^r−12 ,

причем для всякой возрастающей к +∞ положительной последовательности {η_N}^∞_N=1 имеет место равенство

Nlim→∞

δ_N

D_N⁽¹⁾;T f =f;E_s^r; ˜ε_Nη_N = ^(lnN)_N^r(s−1)r η_N

L²

δ_N

D⁽¹⁾_N ;T f =f;E_s^r; ˜ε_N = ^(lnN)_N^r(s−1)r

L²

= +∞.

Теорема D (см.[13]). Пусть даны числа s(s = 1,2, ...) и r > ¹₂, числовая последовательность ε˜_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12} (N = 1,2,3, ...). Тогда верны следующие соотношения

δ_N(0)≡δ_N(D_N⁽¹⁾;T f =f;SW₂^r(0,1)^s; 0)_L2 ≺δ_N(D_N⁽¹⁾;T f =f;SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_N = (lnN)^r(s−1) N^r+12 )_L2 ≺

≺ε˜_N ·√

N = (lnN)^r(s−1) N^r ,

причем для всякой возрастающей к +∞ положительной последовательности {η_N}^∞_N=1 имеет место равенство

Nlim→∞

δ_N

D⁽¹⁾_N ;T f =f;SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_Nη_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12} η_N

L²

δ_N

D⁽¹⁾_N ;T f =f;SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12}

L²

= +∞.

В данной работе изучаются следующие конкретизации сформулированной выше:

1) F =E_s^r - класс Коробова,

2) F = SW₂^r(0,1)^s-класс Соболева с доминирующей смешанной производной (определения классов даны ниже в п.2).

Далее, полагаем Y =L², а D_N определим следующим образом.

Пусть

l_k(f) = ˆf(m^(k)) = Z

[0,1]^s

f(x)e^{−2πi(m(k),x)}dx (k = 1, ..., N), (8)

ϕ_N(z₁, ..., z_N;x) =

N

X

k=1

z_ke^{−4π2(m(k),m(k))t}e^2πi(m(k),x), (9)

DN= (

ϕN(l1(f), ..., lN(f);x) =

N

X

k=1

f(mˆ ^(k))e^{−4π2(m(k),m(k))t}e^2πi(m(k),x):m^(k)=

m^(k)₁ , ..., m^(k)s

∈Z^s (k= 1, ..., N) )

,

(10)

В условиях обозначений (6)-(8) имеют место

Теорема 1. Пусть даны числа s(s = 1,2, ...) и r > 3, числовая последовательность ε˜_N = ^(lnN)_N^r(s−1)r (N = 1,2,3, ...). Тогда верны следующие соотношения

δ_N(0)≡δ_N(D_N;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);E_s^r; 0)_L² ≺

≺δN(DN;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);E_s^r; ˜εN =(lnN)^r(s−1)

N^r )_L2 ≺ε˜N ·√

N =(lnN)^r(s−1)

N^r−12 , (11)

причем для всякой возрастающей к +∞ положительной последовательности {η_N}^∞_N=1 имеет место равенство

Nlim→∞

δ_N

D_N;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) = f(x);E_s^r; ˜ε_Nη_N = ^(lnN)_N^r(s−1)r η_N

L²

δ_N

D_N;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);E_s^r; ˜ε_N = ^(lnN)_N^r(s−1)r

L²

= +∞ (12)

Теорема 2. Пусть даны числа s(s = 1,2, ...) и r > 3, числовая последовательность ε˜_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12} (N = 1,2,3, ...). Тогда верны следующие соотношения

δ_N(0)≡δ_N(D_N;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; 0)_L² ≺

≺δ_N(D_N;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_N = (lnN)^r(s−1)

N^r+12 )_L2 ≺ε˜_N√

N = (lnN)^r(s−1)

N^r , (13)

причем для всякой возрастающей к +∞ положительной последовательности {η_N}^∞_N=1 имеет место равенство

Nlim→∞

δ_N

D_N;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_Nη_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12} η_N

L²

δ_N

D_N;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12}

L²

= +∞. (14)

Теоремы 1 и 2 справедливы и при более общих условиях, когда алгоритм переработки информации ϕ_N(z₁, ..., z_N;x) есть произвольная измеримая функция по x из класса L²(0,1)^s при любых фиксированных z₁, ..., z_N (и, конечно, ϕ_N(0, ...,0;x)≡0).

Именно, при

D_N⁽¹⁾ = n

l1(f) = ˆf(m⁽¹⁾), ..., lN(f) = ˆf(m^(N)) :m⁽¹⁾ ∈Z^s, ..., m^(N) ∈Z^s o

× {ϕN} (15) справедливы следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть даны числа s(s = 1,2, ...) и r > 3, числовая последовательность ε˜_N = ^(lnN)_N^r(s−1)r (N = 1,2,3, ...). Тогда верны соотношения

δ_N(0) ≡δ_N(D⁽¹⁾_N ;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);E_s^r; 0)_L² ≺

≺δ_N(D_N⁽¹⁾;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);E^r_s; ˜ε_N = (lnN)^r(s−1)

N^r )_L2 ≺ε˜_N√

N = (lnN)^r(s−1)

N^r−12 , (16)

причем для всякой возрастающей к +∞ положительной последовательности {η_N}^∞_N=1 имеет место равенство

Nlim→∞

δN

D_N⁽¹⁾;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);E_s^r; ˜εNηN = ^(lnN)_N^r(s−1)r ηN

L²

δ_N

D⁽¹⁾_N ;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) = f(x);E_s^r; ˜ε_N = ^(lnN)_N^r(s−1)r

L²

= +∞. (17)

Теорема 4. Пусть даны числа s(s = 1,2, ...) и r > 3, числовая последовательность ε˜_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12} (N = 1,2,3, ...). Тогда верны следующие соотношения

δ_N(0) ≡δ_N(D_N⁽¹⁾;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; 0)_L² ≺

≺δ_N(D_N⁽¹⁾;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_N =(lnN)^r(s−1)

N^r+12 )_L2 ≺ε˜_N ·√

N =(lnN)^r(s−1) N^r , (18)

причем для всякой возрастающей к +∞ положительной последовательности {η_N}^∞_N=1 имеет место равенство

N→∞lim δ_N

D⁽¹⁾_N ;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_Nη_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12} η_N

L²

δ_N

D_N⁽¹⁾;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12}

L²

= +∞. (19)

2.Необходимые определения и вспомогательные утверждения

Все рассматриваемые функции будем считать определенными на всем пространстве R^s, 1-периодическими по каждой из своих s переменных и суммируемыми на кубе периодов [0,1]^s.

Для положительного R под Γ_R ≡ Γ^(s)_R будем понимать множество (т.н.

гиперболический крест)

Γ_R=

m = (m₁, . . . , m_s)∈Z^s :m ≤R ,

где, здесь и всюду ниже, для всякого m= (m1, . . . , ms)∈Z^s положено m=

s

Y

j=1

mj , mj = max{1,|mj|}.

Пусть s - целое положительное число, r > ¹₂. Через E_s^r обозначают множество всех 1-периодических по каждой переменной функций f(x) = f(x₁, . . . , x_s) из класса L(0,1)^s, тригонометрические коэффициенты Фурье-Лебега которых для всех m = (m1, . . . , ms)∈Z^s удовлетворяют условию

f(m)ˆ

≤ m−r

.

Пусть s - целое положительное число, r > 0. Класс Соболева с доминирующей смешанной производной SW₂^r(0,1)^s есть множество всех 1- периодических по каждой переменной функций f(x) = f(x₁, ..., x_s), представимых в виде

f(x) = X

m∈Z^s

fˆ(m)e^2πi(m,x), X

m∈Z^s

fˆ(m)

2

(m)^2r ≤1.

Норму пространства L^q(0,1)^s(1 ≤ q < ∞), как обычно, будем обозначать через k·k_Lq или k·k_q, то есть

kfk_Lq ≡ kfk_q =





 Z

[0,1]^s

|f(x)|^qdx







1 q

,

а под L^∞[0,1]^s будем всюду понимать C[0,1]^s. Справедливы следующие леммы.

Лемма 1. Пусть s – целое положительное число. Для всякой 1-периодической по каждой переменной функции f(x) = f(x₁, ..., x_s) с тригонометрическим рядом Фурье

|m|² ≡m²₁+...+m²_s

f(x) = X

m∈Z^s

f(m)eˆ ^2πi(m,x), X

m∈Z^s

fˆ(m)

· |m|² ≤1, решение u(t, x;f) задачи Коши для уравнения теплопроводности

∂u

∂t = ∂²u

∂x²₁ +...+∂²u

∂x²_s (t ≥0, x∈R^s) с начальным условием

u(0, x) = f(x), x∈R^s представимо в виде

u(t, x;f) = X

m∈Z^s

f(m)eˆ ^{−4π2(m,m)t}e^2πi(m,x).

Лемма 2 (см.[14]). При любых действительных α >1 и t≥1 справедлива оценка X 1

(m1·...·ms)^α ≤C(1 +lnt)^s−1 t^α−1 ,

где суммирование распространено на все системы целых положительных чисел m₁, ..., m_s для которых произведение m₁·...·m_s больше или равно t.

Лемма 3 (см.[14-15]).Пусть даны числа s(s= 1,2, ...) и R >0. Тогда X

¯

m1·...·m¯s≤R

1≺R(lnR)^s−1. В следующих двух леммах D_N⁽¹⁾ определено в (15).

Лемма 4 (см.[16]). Пусть даны числа s(s = 1,2, ....) и r > ¹₂. Тогда выполнено соотношение

δN(D_N⁽¹⁾;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);E_s^r; 0)_L² ≺ (lnN)^r(s−1)

N^r−12 (N = 1,2, ...).

Лемма 5 (см.[16]). Пусть даны числа s(s = 1,2, ....) и r > ¹₂. Тогда выполнено соотношение

δ_N(D⁽¹⁾_N ;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; 0)_L² ≺ (lnN)^r(s−1)

N^r (N = 1,2, ...).

3. Доказательства теорем. Доказательство теоремы 1. Сначала докажем (9). Напомним, что всюду ниже ε˜_N = ^(lnN)_N^r(s−1)r .

Начнем с оценки сверху. Пусть функция f принадлежит классу E_s^r. Тогда f ∈ L²(0,1)^s при условии r >3 и в силу леммы 1 решение уравнения теплопроводности (1) - (2)имеет вид

u(x, t;f) = X

m∈Z^s

f(m)eˆ ^{−4π2(m,m)t}·e^2π(m,x). Пусть дано целое положительное число N. Положим R= _(lnN)^Ns−1 .

Имеем

u(x, t;f)− X

m∈Γ_R

( ˆf(m) + ˜εNγm^(N))·e^{−4π2(m,m)t}·e^2πi(m,x) L²

≤

u(x, t;f)− X

m∈Γ_R

f(m)eˆ ^{−4π2(m,m)t}·e^2πi(m,x) L²

+

+˜ε_N

X

m∈Γ_R

γ_m^(N)e^{−4π2(m,m)t}·e^2πi(m,x) L²

=I₁+ ˜ε_NI₂ Далее, в силу леммы 1,2 и определения класса E_s^r имеем

I₁ =

X

m∈Z^s

f(m)eˆ ^{−4π2(m,m)t}·e^2πi(m,x)− X

m∈ΓR

f(m)eˆ ^{−4π2(m,m)t}·e^2πi(m,x) L²

=

=

X

m∈Z^s\Γ_R

fˆ(m)e^{−4π2(m,m)t}·e^2πi(m,x) L²

=



 X

m∈Z^s\Γ_R

fˆ(m)

2

e^{−4π2(m,m)t}

2





1 2

<<

<<



 X

m∈Z^s\Γ_R

1 (m₁...m_s)^2r





1 2

<< (lnR)^s−12

R^r−12 ≺ (lnN)^{s−12 +(s−1)(r−12)}

N^r−12 ≺ (lnN)^r(s−1) N^r−12 . Тем самым, получаем

I₁ =

u(x, t;f)− X

m∈Γ_R

fˆ(m)e^{−4π2(m,m)t}·e^2πi(m,x) L²

<< (lnN)^r(s−1) N^r−12 . Далее, в силу равенства Парсеваля, неравенств

γm^(N)

≤1 и леммы 3, имеем

I₂ =

X

m∈Γ_R

γ_m^(N)e^{−4π2(m,m)t}·e^2πi(m,x) L²

= X

m∈Γ_R

γ_m^(N)

2

e^{−4π2(m,m)t}

2!¹₂

≤ X

m∈Γ_R

1

!¹₂

≺

≺R¹²(lnR)^s−12 ≺N¹². В итоге,

I₁+ ˜ε_NI₂ << (lnN)^r(s−1)

N^r−12 + ˜ε_NN¹² ≺ (lnN)^r(s−1) N^r−12 . Теперь докажем оценку снизу. В силу результата теоремы А

δN

DN;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);E_s^r; ˜εN

L²

= inf

D_N sup

f(x)∈Es^r

fˆ(m^(k)) + ˜εNγ_k^(N)=zk:

γ_k^(N)

≤1 (k= 1, ..., N)

sup

t≥0

ku(x, t;f)−ϕN(z1, ..., zN;t, x)k_L2≥

≥inf

D_N sup

f(x)∈E_s^r fˆ(m^(k)) + ˜εNγ_k^(N)=zk:

γ_k^(N)

≤1 (k= 1, ..., N)

ku(x,0;f)−ϕN(z1, ..., zN; 0, x)k_L2=

= inf

D_N sup

f(x)∈E_s^r f(mˆ ^(k)) + ˜εNγ_k^(N)=zk:

γ_k^(N)

≤1 (k= 1, ..., N)

kf(x)−ϕN(z1, ..., zN; 0, x)k_L2=δN(DN;T f=f;Es^r; ˜εN)_L2 ≺ (lnN)^r(s−1) N^r−12 (20)

Тем самым, δN(DN;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);E_s^r; ˜εN = ^(lnN)

r(s−1)

N^r )_L² ≺ ^{(lnN)r(s−1)}

N^r−12 . Совпадающие по порядку с δ_N(D_N;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) = f(x);E_s^r; ˜ε_N =

(lnN)^r(s−1)

N^r )_L² оценки снизу и сверху погрешности дискретизации решений уравнения теплопроводности по точной информации даны в Лемме 4. Таким образом, соотношения (9) доказаны.

Осталось доказать справедливость равенства (10). Пусть дана положительная последовательность {η_N}, возрастающая к +∞.

Повторяя рассуждения при доказательстве (20), получим

δN

DN;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) = f(x);E_s^r; ˜εNηN

L²

>> ηN

(lnN)^r(s−1) N^r−12 . Стало быть, для всякого N выполнено неравенство

δ_N D_N;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);E_s^r; ˜ε_Nη_N

L²

δ_N D_N;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);E_s^r; ˜ε_N

L²

>>

(lnN)^r(s−1) N^r−12 η_N

(lnN)^r(s−1) N^r−12

=η_N →+∞, т.е. соотношение (10) также доказано. Теорема 1 доказанa полностью.

Доказательство теоремы 2. Напомним, что здесь всюду ниже ε˜_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12} . Применяя те же обозначения и повторяя рассуждения из доказательства предыдущей теоремы, для всякой функции из SW₂^r(0,1)^s имеем

u(x, t;f)− X

m∈Γ_R

( ˆf(m) + ˜ε_Nγ_m^(N))e^{−4π2(m,m)t}·e^2πi(m,x) L²

≤

≤

u(x, t;f)− X

m∈Γ_R

f(m)eˆ ^{−4π2(m,m)t}e^2πi(m,x) L²

+ ˜ε_N

X

m∈Γ_R

γ_m^(N)e^{−4π2(m,m)t}e^2πi(m,x) L²

=

=I1+ ˜εNI2

В силу леммы 5

u(x, t;f)− X

m∈Γ_R

fˆ(m)e^{−4π2(m,m)t}e^2πi(m,x) L²

<< (lnN)^r(s−1) N^r , откуда

δ_N(D_N;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_N)_L2<< (lnN)^r(s−1)

N^r +˜ε_N X

m∈ΓR

γ_m^(N)

2

e^{−4π2(m,m)t}

2!¹₂

≤

≤ (lnN)^r(s−1)

N^r + ˜ε_NR¹²ln^s−12 R << (lnN)^r(s−1)

N^r + ˜ε_NN¹² ≺ (lnN)^r(s−1) N^r , что доказывает оценку сверху в (11).

Перейдем к оценке снизу. Применяя теорему В, получим,

δN

DN;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; ˜εN

L²

=

= inf

DN

sup

f(x)∈SW₂^r(0,1)^s f(m^(k)) + ˜εNγ_m^(N)(k) =zk :

γ_m^(N_(k)⁾

≤1 (k= 1, ..., N)

sup

t≥0

ku(x, t;f)−ϕ_N(z₁, ..., z_N;t, x)k_L2 ≥

≥inf

D_N sup

f(x)∈SW₂^r(0,1)^s f(m^(k)) + ˜ε_Nγ_m^(N(k)⁾ =z_k :

γ_m^(N)_(k)

≤1 (k = 1, ..., N)

ku(x,0;f)−ϕ_N(z₁, ..., z_N; 0, x)k_L2 =

= inf

DN

sup

f(x)∈SW₂^r(0,1)^s f(m^(k)) + ˜ε_Nγ_m^(N(k)⁾ =z_k:

γ_m^(N)_(k)

≤1 (k = 1, ..., N)

kf(x)−ϕ_N(z₁, ..., z_N; 0, x)k_L2 =

=δN(DN;T f =f;SW₂^r(0,1)^s; ˜εN)_L2 ≥ (lnN)^r(s−1) N^r

Тем самым, δ_N(D_N;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) = f(x);SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_N = ^{(lnN)r(s−1)}

N^{r+ 12} )_L² ≺

(lnN)^(s−1)r

N^r . Отсюда и из леммы 5 следует справедливость соотношений (11). Осталось показать выполнение (14). Пусть дана положительная последовательность {ηN}, возрастающая к +∞.

Те же самые рассуждения, что и в теореме 1, приводят к соотношениям

δ_N

D_N;∂u

∂t = ∆u, u(x,0) = f(x);SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_Nη_N

>> η_N(lnN)^r(s−1) N^r , и

δ_N D_N;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_Nη_N

L²

δ_N D_N;^∂u_∂t = ∆u, u(x,0) =f(x);SW₂^r(0,1)^s; ˜ε_N

L²

>>

(lnN)^r(s−1) N^r ηN (lnN)^r(s−1)

N^r

=η_N →+∞.

т.е. равенство (14) доказано. Теорема 2 доказанa.

Перейдем к теоремам 3 и 4. Очевидно, что для доказательства этих теорем, достаточно доказать в них оценки снизу.

Доказательство оценки снизу в теореме 3. Повторяя рассуждения при доказательстве теоремы 1 и применяя теорему С , докажем (16):