МУРАТБЕКОВ Таразский государственный педагогический институт, Тараз, Казахстан e-mail: madiktz@mail.ru М

нелинейного уравнения смешанного типа

М. Б. МУРАТБЕКОВ Таразский государственный педагогический институт, Тараз, Казахстан e-mail: madiktz@mail.ru М. М. МУРАТБЕКОВ Казахский национальный университет, Алматы, Казахстан e-mail: madiktz@mail.ru К. Н. ОСПАНОВ Евразийский национальный университет, Астана, Казахстан e-mail: ospanov_k@mail.ru УДК 517.95

Ключевые слова:уравнения смешанного типа, поперечники по Колмогорову.

Аннотация

Получены достаточные условия разрешимости одной краевой задачи для нелиней- ного уравнения смешанного типа, устанавливаются оценки сверху и снизу поперечни- ков по Колмогорову множества решений.

Abstract

M. B. Muratbekov, M. M. Muratbekov, K. N. Ospanov, On approximate properties of solutions of a nonlinear mixed-type equation, Fundamentalnaya i prikladnaya mate- matika, vol. 12 (2006), no. 5, pp. 95—107.

In the paper, we obtain sufficient solvability conditions of a certain boundary-value problem for a nonlinear mixed-type equation and finds upper and lower estimates for Kolmogorov widths of the solution set.

Введение

В области

Ω ={(x, y): −π < x < π, −1< y <1} рассмотрим задачу

Фундаментальная и прикладная математика, 2006, том 12, № 5, с. 95—107.

c 2006Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы»

Lu=−k(y)uxx−uyy+a

y, π

−π

u(x, y)dx

ux+c

y, π

−π

u(x, y)dx

u=f, (0.1) u(−π, y) =u(π, y), ux(−π, y) =ux(π, y), −1y1, (0.2) u(x,−1) =u(x,1) = 0, −πxπ, (0.3) где f ∈ L2(Ω). Всюду в этой работе считаем, что k(y)— кусочно-непрерывная на отрезке[−1; 1]функция, yk(y)>0 приy = 0 и k(0) = 0, а функции a(y, z), c(y, z)являются непрерывными по обоим аргументам и ограниченными.

Уравнение (0.1) является нелинейным уравнением смешанного типа. Систе- матическое изучение спектральных вопросов для линейных дифференциальных операторов смешанного типа началось с работ [2,6,7,11]. В [2] установлено суще- ствование собственного числа, а в [6, 7] изучен вопрос о расположении спектра операторов смешанного типа в зависимости от граничных условий и геометрии области. В [11] исследован спектр видоизменённого оператора смешанного типа.

Со спектральными вопросами для дифференциального оператора L, заданно- го в пространстве L2(Ω), тесно связана задача об оценке k-поперечников (по Колмогорову)dk(M)(k= 0,1,2, . . .) множества

M ={u∈D(L):Lu_L2(Ω)+u_L2(Ω)1}, определяемых как

dk(M) = inf

Zk

sup

u∈M inf

w∈Zk

w−uL2(Ω),

гдеD(·)— область определения,Zk— подпространстваL2(Ω), имеющие размер- ность k. Для самосопряжённого оператора L с вполне непрерывным обрат- ным L⁻¹ поперечники dk(M) совпадают с собственными числами λk операто- раL⁻¹, для других линейных операторов — с их аппроксимативными числами.

Оценки поперечниковdk(M)позволяют установить более тонкие, чем компакт- ность, свойства резольвенты оператора L и служат основой для определения качества аппроксимации операторного (необязательно линейного) уравнения Lu = f при приближённом решении его. Обзоры работ, посвящённых оцен- кам поперечников множеств, в том числе связанных с областями определения линейных эллиптических операторов, приведены в [9, 12]. В неэллиптическом случае вопрос обоценке поперечников исследован лишь для отдельных классов линейных дифференциальных операторов. Когда a(y, z) = a(y), c(y, z) = c(y), для оператора, обратного к оператору L задачи (0.1)—(0.3), в [8] получены оценки аппроксимативных чисел (s-чисел), а коэффициентные условия его су- ществования найдены ещё раньше в [3].

Цель настоящей работы — установление оценок сверху и снизу для по- перечников по Колмогорову множества решений нелинейной краевой задачи (0.1)—(0.3), соответствующих правым частям f из единичного шара в L2(Ω).

В работе также получены достаточные условия разрешимости указанной зада- чи, совпадающие в линейном случае с аналогичными условиями из [3].

В разделе 1 доказано основное неравенство для решения линейной задачи, со- ответствующей (0.1)—(0.3) (случайa(y, z) =a(y),c(y, z) =c(y)), а в разделе 2 — теорема существования сильного решения нелинейной задачи (0.1)—(0.3). Оцен- ки поперечников по Колмогоровуdk(M)множества

M ={u∈D(L):LuL2(Ω)+uL2(Ω)1} установлены в разделе 3.

Результаты работы частично анонсированы в [1].

1. Основное неравенство

для решения линейной задачи

Через C([−1; 1], L2(−π;π)) обозначим пространство, полученное пополне- нием множества непрерывных на промежутке [−1; 1] функций со значениями вL2(−π;π)относительно нормы

u_{C([−1;1],L2)}= sup

y∈[−1;1]

^π

−π

|u(x, y)|²dx _1/2

, аW₂¹(Ω) означает пространство С. Л. Соболева с нормой

u2,1,Ω= [ux²₂+uy²₂+u²₂]^1/2,

·2— норма вL2(Ω).

Рассмотрим уравнение

Lu=−k(y)uxx−uyy+a(y)ux+c(y)u=f(x, y), (x, y)∈Ω. (1.1) Здесь a(y), c(y)— кусочно-непрерывные на отрезке[−1; 1]функции, k(y)такая же, как и раньше, черезC,C1,C2и т. д. обозначим положительные постоянные, вообще говоря разные в разных местах. ПустьC_0,π^∞(Ω)— класс сколь угодно раз дифференцируемых на множестве Ω, финитных по переменной y на [−1; 1] и удовлетворяющих условиям (0.2) функций.

Замыкание по норме пространства L2(Ω) выражения (1.1), определённого на множествеC_0,π^∞(Ω) будем также обозначать черезL.

Определение. Решением задачи (1.1), (0.2), (0.3) назовём функцию u(x, y) из L2(Ω), для которой найдётся последовательность {uk(x, y)}^∞_k=1 из C_0,π^∞(Ω), удовлетворяющая условиямuk−u2→0,Luk−f2→0 приk→ ∞.

Теорема 1.Пусть функцииa(y)иc(y)непрерывны и удовлетворяют условию

|a(y)|δ0>0, c(y)δ >0. (i) Тогда для любой правой части f ∈ L2(Ω) существует единственное решение u(x, y)задачи (1.1),(0.2),(0.3), такое что

u_{C([−1;1],L2)}+u2,1,ΩC0f2. (1.2)

Прежде чем доказать эту теорему, приведём некоторые вспомогательные утверждения. В леммах 1.1—1.4, сформулированных ниже, считаем выполнен- ными предположения теоремы 1 относительно коэффициентовa(y)иc(y) урав- нения (1.1).

Лемма 1.1.Для всех_u∈D(L)имеет место оценка

Lu2Cu2. (1.3)

Доказательство. Пустьu∈C_0,π^∞(Ω). Интегрируя по частям и учитывая гра- ничные условия, получим

Lu, u=

Ω

(Lu)u dx dy

Ω

(u²_y+c(y)u²)dx dy−

Ω

|k(y)|u²_xdx dy и

Lu, ux=

Ω

a(y)u²_xdx dy.

Из этих соотношений, применяя неравенство Коши сεи пользуясь условием (i), при некоторомC получим оценку (1.3). Лемма доказана.

Через ln обозначим замыкание в норме пространстваL2(−1; 1) оператора lnv(y) =−v+ (n²k(y) +ina(y) +c(y))v (n= 0,±1,±2, . . .),

определённого на множествеC₀^∞(−1; 1)бесконечно гладких финитных в(−1; 1) функций.

Лемма 1.2.Для всех функций_v(y)из_D(ln)справедливы следующие оцен- ки:

lnv_L2(−1,1)C1[v_L2(−1,1)+v_L2(−1,1)], (1.4)

lnvL2(−1,1)C2v_C[−1;1]. (1.5)

Доказательство. Составим квадратичную форму (lnv, v), v ∈ C₀^∞(−1; 1).

Интегрируя по частям, получим

|(lnv, v)|= 1

−1

(lnv)¯v dy =

1

−1

[|v|²+ (n²k(y) +ina(y) +c(y))|v|²]dy . Отсюда, используя неравенство|α+iβ|max(|α|,|β|) (α, β∈R), неравенство Шварца и неравенство Коши сε, имеем

lnv²_L2(−1,1)n²δ²v²_L2(−1,1), (1.6)

Clnv²_L2(−1,1)C3

1

−1

[|v|²+c(y)|v|²]dy− 1

−1

n²|k(y)| |v|²dy. (1.7)

Прибавив к (1.7) неравенство (1.6), умноженное на число δ⁻² sup

y∈[−1;1]|k(y)|, по- лучим, что

lnv²_L2(−1,1)C4(v²_L2(−1,1)+v²_L2(−1,1))C1u²_W1 2(−1;1).

Отсюда, так как оператор вложения пространства W₂¹(−1; 1) С. Л. Соболева в класс C[−1; 1] непрерывных на [−1; 1] функций ограничен, вытекает оцен- ка lnvL2(−1,1) C2v_C[−1;1], которая остаётся верной для всех функции v∈D(ln). Лемма доказана.

Следующее утверждение доказано в [1, лемма 3.1.1]. Для полноты приводим его с доказательством.

Лемма 1.3.Оператор _ln непрерывно обратим.

Доказательство. С учётом неравенства (1.4) достаточно показать плотность множества lnD(ln) в пространстве L2(−1; 1). Допустим противное, пусть мно- жество lnD(ln) неплотно в L2(−1; 1). Тогда согласно общей теории линейных операторов найдётся ненулевой элемент w ∈L2(−1,1), такой что (lnu, w) = 0 для всех uиз D(ln). Отсюда, так как D(ln) плотно в L2(−1; 1), получим, что w— решение уравнения l^∗_nw =−w+ (n²k(y) +ina(y) +c(y))w = 0. Из этого равенства ввиду непрерывности коэффициентов на отрезке[−1; 1]вытекает, что w∈L2(−1; 1). Покажем, что w(y)удовлетворяет условиям w(−1) =w(1) = 0.

Действительно, путём интегрирования по частям для всехu∈D(ln)имеем 0 = (u, l_n^∗w) = (lnu, w)−u(1) ¯w(1) +u(−1) ¯w(−1),

что выполнено только тогда, когдаw(−1) =w(1) = 0. Следовательно,w∈D(ln), тогда, поступив аналогично доказательству оценки (1.4), получаем неравенство lnw_L2(−1;1) Cw_L2(−1;1), показывающее, чтоw = 0. Полученное противо- речие доказывает лемму.

Лемма 1.4. Для нормы оператораl⁻¹_n , обратного кln, справедлива оценка l_n⁻¹_{L2(−1;1)→L2(−1;1)} 1

|n|δ₀, n=±1,±2, . . . .

Доказательство. Для любой функцииu∈C₀^∞[−1; 1], учитывая условие (i) в теореме 1, имеем

|(lnu, u)| 1

−1

ina(y)|u|²dy

|n|δ0u²_L2(−1;1).

Отсюда, пользуясь неравенством Коши—Буняковского, получаем оценку lnu_L2(−1;1)|n|δ₀u_L2(−1;1),

из которой следует утверждение леммы.

Доказательство теоремы 1. Оператор, обратный кln, обозначим черезl⁻¹_n . Существование и непрерывность l⁻¹_n вытекают из леммы 1.3. Пусть un(y) =

= (l⁻¹_n fn)(y). Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что функция Uk(x, y) = ^k

n=−k

un(y) exp(inx) = ^k

n=−k

(l⁻¹_n fn)(y) exp(inx)

является решением уравнения (1.1) с правой частью Fk(x, y) =

k n=−k

fn(y) exp(inx),

удовлетворяющим условиям (0.2), (0.3), причём справедливо равенство Uk(x, y)²_L2(−π;π)= 2π

k n=−k

|un(y)|².

Тогда из оценки (1.4) следует, что sup

y∈[−1;1]Uk(x, y)²_L2(−π;π)= 2π k n=−k

sup

y∈[−1;1]|un(y)|² C12π

k n=−k

l_nu²_L2(−1;1)C22π k n=−k

f_n(y)²_L2(−1;1)=CF_k(x, y)²₂. (1.8) Из леммы 1.4 имеем

∂Uk(x, y)

∂x ²

2

= ∂

∂x k n=−k

(l⁻¹_n fn)(y)e^{inx 2}

2

= in

k n=−k

(l⁻¹_n fn)(y)e^{inx 2}

2

^k

n=−k

|n|²l⁻¹_n ²_{L2(−1;1)→L2(−1;1)}fn²_L2(−1;1)

1

δ²₀ k n=−k

fn²_L2(−1;1)= 1

δ²₀Fk(x, y)²₂. (1.9) Аналогично, используя оценки (1.4), (1.5), получим

∂Uk(x, y)

∂y ²

2

+Uk²₂=

= ∂

∂y k n=−k

(l⁻¹_n fn)(y) exp(inx) ²

2

+ ^k

n=−k

(l⁻¹_n fn)(y) exp(inx) ²

2

k n=−k

fn²₂+ k n=−k

fn²₂2Fk(x, y)²₂. (1.10)

Известно, что множество функций Fk(x, y) =

k n=−k

fn(y) exp(inx) (k= 1,2, . . .)

плотно в L2(Ω), поэтому можно считать, что Fk(x, y)−f(x, y)2 → 0 при k → ∞. Тогда последовательность {Fk}^∞_k=1 фундаментальна, и в силу оценок (1.8)—(1.10)

Uk(x, y)−Um(x, y)_{C([−1;1],L2)}+Uk(x, y)−Um(x, y)2,1,Ω

C6Fk(x, y)−Fm(x, y)₂→0 при k, m → ∞. Отсюда, так как пространства C([−1; 1], L2(−π, π)) и W₂¹(Ω) полные, вытекает, что последовательность{Un(x, y)}^∞_n=−∞имеет пределu(x, y), для которого в силу (1.8)—(1.10) справедлива оценка

u_{C([−1;1],L2)}+u_2,1,ΩCf₂. Теорема доказана.

2. Существование решения нелинейной задачи

Теорема 2.Пусть в уравнении (0.1) выполнено условие

|a(y, z)|δ0>0, c(y, z)δ0>0. (i₀) Тогда существует решение_u(x, y)задачи (0.1)—(0.3), такое что

uC([−1;1],L2)+u2,1,ΩCf2. (2.1) Сначала докажем несколько лемм.

Рассмотрим линейное уравнение

Lvu=−k(y)uxx−uyy+a

y, π

−π

v(x, y)dx

ux+

+c

y, π

−π

v(x, y)dx

u=f(x, y), (x, y)∈Ω. (2.2) Лемма 2.1.Пусть_v(x, y)— некоторая функция из класса_C([−1;1],L2(−π, π)) и выполнено условие(i₀). Тогда для любой правой части_f из_L2(Ω)существует, и притом единственное, решение задачи(2.2),(0.2),(0.3), такое что

u(x, y)_{C([−1;1],L2)}+u2,1,ΩCf2. (2.3)

Доказательство. Положим

˜a(y) =a

y, π

−π

v(x, y)dx

, ˜c(y) =c

y, π

−π

v(x, y)dx

.

Тогда уравнение (2.2) примет вид (1.1), где коэффициенты a(y), c(y) заменены соответственно на˜a(y) и ˜c(y). Согласно нашим предположениям относительно a(y, z)иc(y, z), для функций˜a(y),c˜(y)выполнены все условия теоремы 1, откуда вытекает доказываемая лемма.

Таким образом, задача (2.2), (0.2), (0.3) имеет единственное решение u =

= L⁻¹_v f ∈ C([−1; 1], L2(−π, π)), удовлетворяющее оценке (2.3). Для каждой функции v ∈ C([−1; 1], L2(−π, π)) функция u = L⁻¹_v f принадлежит области определенияD(L)оператора Lкраевой задачи (0.1)—(0.3). Поэтому существо- вание решения задачи (0.1)—(0.3) эквивалентно существованию неподвижной точки оператораL⁻¹_v в пространстве C([−1; 1], L2(−π, π)), т. е. существованию функции u ∈ C([−1; 1], L2(−π, π)), такой что u = L⁻¹_u f. При этом u∈ D(L), посколькуL⁻¹_v f ∈D(L)при любыхv изC([−1; 1], L2(−π, π)).

Для нахождения неподвижной точки оператора L⁻¹_v применим известный принцип Шаудера. Пусть

S¯={v∈C([−1; 1], L2(−π, π)): v_{C([−1;1],L2)}A}—

шар в пространстве C([−1; 1], L2(−π, π)) и A— произвольное положительное число. Если радиус A шара S¯ выбрать равным правой части Cf₂ неравен- ства (2.3), то из теоремы 1 и леммы 2.1 следует, что операторL⁻¹_v отображает множествоS¯ в себ я.

Пусть

M ={u∈C([−1; 1], L2(−π, π)): u=L⁻¹_v f, v∈S, f¯ ∈L2(Ω)}—

образ шара S¯ при отображении L⁻¹_v . Из леммы 2.1 вытекает, что для любой функцииuизM справедливо неравенство

u_{C([−1;1],L2)}+u_2,1,ΩCf₂.

Покажем, что оператор L⁻¹_v является вполне непрерывным в пространстве C([−1; 1], L2(−π, π)). Рассмотрим множества

Kf ={u∈L2(Ω):u_2,1,ΩCf₂},

Nf ={u∈C([−1; 1], L2(−π;π)):u(x, y)_{C([−1;1],L2)}+u_2,1,ΩCf₂}.

Очевидно,

M ⊂Nf ⊂Kf. (2.4)

Пусть Nf,h, Kf,h— множества, состоящие соответственно из функций вида uh(x) =

r<h

wh(|x−y|)u(y)dy, vh(x) =

r<h

wh(|x−y|)v(y)dy, r=|x−y|, гдеu∈Nf,v∈Kf, аwh(r)— усредняющее ядро. Известно, что

1) функцияwh(r)бесконечно дифференцируема;

2) wh(r)>0 приr < h, wh(r) = 0 приrh; 3)

r<h

wh(r)dy=

r<h

wh(r)dx= 1.

Покажем, что множество Nf,h компактно в пространстве C(¯Ω). С учётом соотношений (2.4) легко проверяется справедливость включения

Nf,h⊂Kf,h. (2.5)

Известно [5, с. 123], что при любом фиксированномh >0множество Kf,h ком- пактно вC(¯Ω). Тогда согласно (2.5) множествоNf,h также компактно вC(¯Ω).

Лемма 2.2.Если выполнено условие(i₀), то множество_M компактно в про- странстве_C([−1; 1], L2(−π, π)).

Доказательство. Мы уже убедились в том, что множествоNf,h компактно в пространстве C(¯Ω), поэтому оно компактно и в C([−1; 1], L2(−π, π))). То- гда согласно следствию теоремы 2 из [5, с. 89] множество Nf также компакт- но в C([−1; 1], L2(−π, π)). Теперь доказываемая лемма следует из включения M ⊂Nf.

Лемма 2.3.Пусть выполнено условие (i₀). Тогда оператор _L⁻¹_v непрерывен.

Доказательство. Пустьf(x)— фиксированный элемент вL2(Ω), последова- тельность {vn}^∞_n=1 и элементv из множества S¯ таковы, что vn сходится к эле- менту v в норме пространства C([−1; 1], L2(−π, π)) и Lvu = f, Lvnun = f. Тогда

−k(y)(unxx−uxx)−(unyy−uyy) + +a

y,

π

−π

vn(x, y)dx

unx+c

y, π

−π

vn(x, y)dx

un−

−a

y, π

−π

v(x, y)dx

ux−c

y, π

−π

v(x, y)dx

u= 0, или

−k(y)(unxx−uxx)−(unyy−uyy) + +a

y,

π

−π

vn(x, y)dx

(unx−ux) +c

y, π

−π

vn(x, y)dx

(un−u) =

=

a

y, π

−π

v(x, y)dx

−a

y, π

−π

vn(x, y)dx

ux+

+

c

y, π

−π

v(x, y)dx

−c

y, π

−π

vn(x, y)dx

u. (2.6)

Левая часть (2.6) равнаLvn(un−u). По предположению коэффициенты операто- раLvnудовлетворяют условиям теоремы 1, следовательно, существует обратный операторL⁻¹_vn. Тогда из (2.6) имеем

un−u=L⁻¹_vn

a

y, π

−π

v(x, y)dx

−a

y, π

−π

vn(x, y)dx

ux+

+

c

y, π

−π

v(x, y)dx

−c

y, π

−π

vn(x, y)dx

u . Отсюда

n→∞lim un−u_{C([−1;1],L2)}=

= lim

n→∞

L⁻¹_vn

a

y, π

−π

v(x, y)dx

−a

y, π

−π

vn(x, y)dx

ux+

+

c

y, π

−π

v(x, y)dx

−c

y, π

−π

vn(x, y)dx

u

C([−1;1],L2). Пользуясь теоремой 1, имеем

n→∞lim un−u_{C([−1;1],L2)}

lim

n→∞

L⁻¹_{vnC([−1;1],L2})→C([−1;1],L2)×

×

sup

y∈[−1;1]

a

y, π

−π

v(x, y)dx

−a

y, π

−π

vn(x, y)dx

ux2+ + sup

y∈[−1;1]

c

y, π

−π

v(x, y)dx

−c

y, π

−π

vn(x, y)dx

u2 , (2.7) и

L⁻¹_vnf_{C([−1;1],L2})→C([−1;1],L2)Cf2 (2.8) для всех{vn}^∞_n=1 и v. Из неравенства (2.3) получим

ux2Cf2, (2.9)

u2Cf2. (2.10)

Учитывая (2.8)—(2.10), из оценки (2.7) имеем

n→∞lim un−u_{C([−1;1],L2)} C²f²₂

n→∞lim sup

y∈[−1;1]

a

y, π

−π

v(x, y)dx

−a

y, π

−π

vn(x, y)dx +

+ lim

n→∞ sup

y∈[−1;1]

c

y, π

−π

vn(x, y)dx

−c

y, π

−π

v(x, y)dx

= 0. (2.11) Здесь мы воспользовались тем, чтоvn−v_{C([−1;1],L2)}→0 приn→ ∞. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2. Согласно леммам 2.2, 2.3 операторL⁻¹v вполне непрерывен и переводит шарS¯в себя. Тогда по принципу Шаудера операторL⁻¹v

имеет неподвижную точкуuв шареS¯. Это означает, что задача (0.1)—(0.3) для любой правой частиf ∈L2(Ω) имеет решениеu(x, y), принадлежащее шару S¯, причём верна оценкаu_{C([−1;1],L2)}+u2,1,ΩC(A)f2. Теорема доказана.

Пример.Требуется найти решение уравнения смешанного типа

Lu≡ −signy uxx−uyy+

1 +|y|+1 2sin

y

π

−π

u(x, y)dx ux+

+ 1

2 + cos^π

−πu(x, y)dxu=f(x, y),(x, y)∈Ω, удовлетворяющего условиям (0.2), (0.3). Легко проверить, что для коэффи- циентов уравнения выполнены условия теоремы 2. Следовательно, для любой функцииf(x, y)∈L2(Ω)существует решениеu(x, y)указанной задачи, принад- лежащее пространствуC([−1; 1], L2(−π;π)), и для него выполнена оценка (2.1).

3. Оценки поперечников d

k

(M )

Рассмотрим нелинейный дифференциальный оператор Lu=−k(y)uxx−uyy+a

y,

π

−π

u(x, y)dx

ux+c

y, π

−π

u(x, y)dx

u.

При выполнении условия (i₀) из теоремы 2 и леммы 2.2 следует компактность вL2(Ω) множества

M ={u∈D(L):Lu₂+u₂1},

которое является частью области определения L. Для компактного множе- стваM, тем более когда оно содержит решения дифференциального уравнения, содержательна задача обоценке его поперечниковdk(M).

Теорема 3.Пусть выполнены условия (i₀)и sup

z∈C sup

y∈[−1;1]|a(y, z)|<∞, sup

z∈C sup

y∈[−1;1]c(y, z)<∞. (i₀i₀)

Тогда для поперечниковdk(M)по Колмогорову множестваM справедливы оцен- ки

C₀⁻¹1

k dk(M)C0 1

√k, k= 1,2, . . . .

Для доказательства теоремы нам необходимы некоторые леммы и оценки.

Приведём их. Введём множества

M˜s={u∈C([−1; 1], L2(−π, π)): (ux²₂+uy²₂+u²₂)^1/2s}, M˙p={u∈L2(Ω): (uxx²₂+uyy²₂+u²₂)^1/2p}.

Справедлива следующая лемма.

Лемма 3.1. Пусть выполнены условия ⁽ⁱ₀)и ⁽ⁱ₀ⁱ₀). Тогда найдётся постоян- ное число_C1>1, такое что справедливы включения

M˙_C⁻¹₁ ⊆M ⊆M˜C1. Доказательство. Пустьu(x, y)∈M˙_C⁻¹₀ ,

C2= sup

z∈C max

y∈[−1;1]{|k(y)|,|a(y, z)|,|c(y, z)|}.

Тогда с учётом условия (i₀i₀) получим

Lu₂+u₂C2(uxx²₂+uyy²₂+ux²₂+u²₂)^1/2

C3(uxx²₂+uyy²₂+u²₂)^1/2C₀⁻¹C3. Отсюда, полагаяC0=C₃⁻¹, имеемM˙_C0⁻¹ ⊆M.

Пусть теперьu∈M. Тогда из теоремы 2 следует

(ux²₂+uy²₂+u²₂)^1/2C(Lu₂+u₂)C,

т. е.M ⊆M˜C. Выбрав постояннуюC1 так, что C1C и C₁⁻¹C₀⁻¹, получим утверждение леммы.

Лемма 3.2.Пусть выполнены условия ⁽ⁱ₀), ⁽ⁱ₀ⁱ₀), а d^˜k, d^˙k—k-поперечники соответственно множествM^˜C, M^˙C⁻¹. Тогда справедливы оценки

C⁻¹d˙kdk(M)Cd˜k, k= 1,2, . . . . (3.1) Неравенства (3.1) следуют из леммы 3.1 и общих свойств поперечников по Колмогорову.

Введём функции N(λ) =

dk>λ

1, N˜(λ) =

d˜k>λ

1, N˙(λ) =

d˙k>λ

1,

равные соответственно количествам поперечников dk(M), d˜k и d˙k, больших λ >0. Из оценок (3.1) легко вытекают неравенства

N˙(Cλ)N(λ)N˜(C⁻¹λ).

Доказательство теоремы 3. Известно [10], что для функций N˜(λ)иN˙(λ) справедливы оценки

C₀⁻¹λ⁻²N˜(λ)C0λ⁻², (3.2) C₀⁻¹λ⁻¹N˙(λ)C0λ⁻¹. (3.3) Пусть λ= ˜dk, тогда N˜( ˜dk) =k. Поэтому из (3.2) и (3.3) соответственно выте- кают неравенства

C₀⁻¹ 1

√k d˜k C0 1

√k, C₀⁻¹1

k d˙k C01 k. Отсюда с учётом оценок (3.1) получаем доказательство теоремы.

Литература

[1] Иманбаева А. Б., Муратбеков М. Б., Оспанов К. Н. О существовании периодическо- го решения одного нелинейного уравнения смешанного типа в прямоугольнике //

Тр. Межд. науч. конф. «Совр. пробл. мат. физ. и инф. техн.» Т. 2. — Ташкент, 2003. — С. 263—264.

[2] Кальменов Т. Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева—Бица- дзе // Дифференц. уравн. — 1977. — Т. 13, № 8. — С. 1418—1425.

[3] Кальменов Т. Ш. О полупериодической проблеме Дирихле для класса уравнений смешанного типа // Дифференц. уравн. — 1978. — Т. 14, № 3. — С. 546—547.

[4] Кальменов Т. Ш., Муратбеков М. Б. Спектральные свойства оператора смешанного типа. — Шымкент, 1997.

[5] Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: На- ука, 1976.

[6] Моисеев Е. И. О теоремах единственности для уравнения смешанного типа // ДАН СССР. — 1978. — Т. 242. — С. 48—51.

[7] Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. — М.:

Изд-во Моск. ун-та, 1988.

[8] Муратбеков М. М. // Известия НАН РК. Серия физ.-мат. — 2000. — № 5. — С. 24—28.

[9] Мынбаев К. Т., Отелбаев М. Весовые функциональные пространства и спектр диф- ференциальных операторов. — М.: Наука, 1988.

[10] Отелбаев М. Теоремы вложения пространств с весом и их применения к изу- чению спектра оператора Шрёдингера // Тр. МИАН СССР. — 1979. — Т. 150. — С. 265—305.

[11] Пономарёв С. М. О проблеме собственных значений для уравнения смешанного типа // ДАН СССР. — 1980. — Т. 251, № 5. — С. 1070—1072.

[12] Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближения. — М.: Изд-во Моск.

ун-та, 1976.