Дискретный аналог оптимизационного метода для решения двумерной обратной задачи геоэлектрики.

К.Т. Искаков, Б.Б.Шолпанбаев.

Дискретный аналог оптимизационного метода для решения двумерной обратной задачи геоэлектрики.

(¹г.Астана, Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, ²г.Алматы, Институт магистратуры и докторантуры PhD Казахского национального педагогического университета имени Абая)

Бұл мақалада екіөлшемді геоэлектрика теңдеуінің тура және кері есептері қарастырылады В работе рассматривается математическая модель двумерной обратной задачи для уравнения геоэлектрики в линеаризованной постановке. Для решения обратных задач применен оптимизационный метод. Выписаны градиенты функционалов и соответствующие им согласовано-сопряженные разностные задачи. Построены консервативные разностные схемы для решения прямой задачи. Проведены серии расчетов.

1. Постановки задач

Рассмотрим постановки двумерной обратной задачи геоэлектрики [1], об определении (z,y) из соотношений:

, ),

( ) , 0 ( ) , ( 1 ,

) , ( )

,

( _{2 ,}

2

h n

y

z u z y h K D t T

tu y t z

y u

z     



 





 

 (1)

, ) ( ,

0 _{0 0}

0 u r t

u _t  _{z z}   (2) )

, 0 ( ), ( ),

,

0 ( n h

z f y t y K D t T

u _    , (3) по заданной дополнительной информации:

) , 0 ( ), ( ),

,

0 ( n h

z f y t y K D t T

u     (4) Здесь: u(z,y,t) E₂(z,y,t) компонента электромагнитного поля, (z,y)- диэлектрическая проницаемость, считаем, что проводимость (z,y),и магнитная проницаемость µ - известны.

Предположим что (z,y), имеем следующую структуру:

) , ( ) ( ) ,

(z y ₁ z ₂ z y

   . (5) Полагаем, что функции ₁(z), ₂(z,y) удовлетворяют следующим условиям [1]:

1. ₁c²(R_), ₁(0)0;

2. Существуют константы М1, М2 и М3 такие что при всех zR_ имеет место:

, ) (

0M₁₁ z M₂ 1 _c²(_R) M3; (6)

3. Функция ₂(z,y) отлична от нуля при

} , 1 ,

|

| , {

) ( ), ( ) , 0 ( ) ,

(z y  h K_n D₁ K_n D₁  yRⁿ y_j D₁ j n ,

Где h,D₁R_- фиксированные числа.

)) 1 ( ) , 0 2 ((

1 2

2( , ) ((0, ) ( )), ,

2 1 M

D K h С y

z _{n С h K D}

n 





   _ 

 _.

Тогда в силу этих предположении, время пробега на глубину h, равно T_n  2h(M₁)^1, и граница DD₁T_n(M₂ ).

Проведем линеаризацию, представим решение u(z, y,t) граничной задачи (1)-(3) в виде:

) , , ( ) , ( ) , ,

(z y t u₁ z t u₂ z y t

u   (7) Здесь: u₁(z,t) есть решение следующей граничной задачи:



 

 

 



 



 u z R t R

u z y t z t u

z) ( , ) 1 , ,

( ²_{2 1 1} ²_{2 1}

1  

 ^ , (8)

) ( ,

0 _{1 0 0}

0

1 u r t

u _t z _z  



  _

 (9) y- фиксированное значение переменной.

Пренебрегая членом ₂ ²₂ u₂

t

  , получаем для определения u₂(z,y,t) задачу:

h n

y

z u z y h K D t T

u t tu

y z

t u   



 



 

 



 1 ( , ) (0, ) ( ),

) ,

( _{2 1}

2 2 2 , 2

2 2 2

1 

 

 ,

(10)

0 ,

0 )

(

0 _{2 0 2 0}

2 0 



 

 _{ }

 tt z

t u

u z u

(11)

D h

K z h t T

u_ n_{( )} 0 (0, ),  (12)

Здесь: K_n(D)- граница области K_n(D)для задачи.

Дополнительная информация для задачи (10)-(12) об определении u₂(z,y,t) и функции )

,

2(z y

 , примем в виде:

) , 0 ( ), ( ),

,

0 (

2 z g y t y Kn D t Th

u _    ,

(13)

где: g(y,t) f(y,t)u₁(0,t)

В качестве дополнительной информации для задачи (8)-(9), об определенииu₁(z,t), и функции ₁(z), примем

) , 0 ( ), ,

0 (

1z f y t t Th

u _   

(14)

Таким образом, решение обратной задачи (1)-(4), об определении ( , ) z y и функции )

, , (z y t

u состоит из следующих этапов:

1. Решаем обратную задачу (обратная задача 1), об определении₁(z), и функции )

,

1(z t

u на глубину h из соотношений (8)-(9) по известной дополнительной информации (14).

2. Решаем прямую задачу (8)-(9) на глубину h и определяем ²₂ u₁

t

 (входит в правую часть уравнения (10)).

Решаем обратную задачу (обратная задача 2), об определении ₂(z,y) из соотношений (10)- (12) по известным уже функции₁(z), _{2 1}

2

t u



 и дополнительной информации g y t( , ).

2. Решение обратной задачи 1.

Конкретизируем постановку обратной задачи. Найти ₁(z) и функцию u₁(z,t) из соотношений:



 

 

 



 



 u z R t R

u t y t z t u

t 1 , ,

) , ( )

( _{2 1}

2 1

2 1 2

1  

 (15)

, 0 )

( ,

0 _{1 0}

1t_0  u t _t 

u (16)

)

0 (

1 0 r t

zu ^z  





 (17)

по известной дополнительной информации )

, 0 ( ),

,

0 (

1z f y t t Th

u _    (18)

Для решения обратных задач применяем оптимизационный метод [2].

Пусть q(z) – приближенное решение обратной задачи (15)-(18).

Рассмотрим квадратичный функционал



^



 ^h

T

dt t y f q t y u q

0

2 1

1( ) [ (0,, ; ) (, )] ₍₁₉₎

Приближение q^(n1)(z), определим методом наискорейшего спуска [3]:

), ( )

( )

( ^{( )} ₁ ^{( )}

) 1

( n

n n

n z q z q

q ^   

Здесь: n- коэффициент спуска, а градиент функционала (19), определяется из соотношения:





 ^h

T

tt n

n z y t q u dt

q

0

1 ) ( )

(

1( ) ( ,, ; )( ) ,

где: (z,y,t;q⁽ⁿ⁾)- есть решение соответствующей сопряженной задачи:



 

 

 



 



 z R t R

t t

z t

q 1 , ,

)

( ₂

2 2

2 

 



 (20)

, 0 ,

0 

 _

Th t t Th

t 

 (21)

)]

( )

; , 0 ( [

2 ₁

0 u t q f t

z z_  



(22)

2.1. Численное решение прямой и обратной задачи

Область Q[0,h0] [0, T_h0] - непрерывно аргумента заменим сеткой _h _h,

} / ,

, 0 , {

}, / ,

, 0 , {

2 2

1 0 1

N T N

j j t

N h h N i ih z

h j

i h



























Функциюu₁(z,t), заменим сеточной функцией y_i^j и напишем неявную разностную схему:

 

  _{zz i j h}

i i t

t

iyt y y z t

q~  ~  1 ~ , ( , )

0 (23)

0 ) ( ,

0 ⁰

0 _{t i} 

i y

y (24)

) exp(

)

(y_{0 z,0} r₀ ²t²_j (25)

Разностная схема (23)-(25) реализуется методом прогонки [4].

Аппроксимируем квадратичный функционал (19), формулой прямоугольников

 

^2

1 0

0 1



2^





^N

j

j j

h y f

J (26)

Градиент функционала аппроксимируем формулой



  



 

^



j tt i N

j j i

h

y

J ( )

1 0 1

2

(27) Здесь _i^j - есть решение согласованно- сопряженной разностной задачи:

, ) , ( 1 ,

0 zz i j h

t t

i t z t

q  _

 



      (28)

0 )

( ,

0 ¹

1 ₂

2^  _t ^N 

N

i





(29)

] [

2 ₀

0 ,

j j

z  y  f

 (30)

Разностную схему (28)-(30), реализуем методом прогонки.

3.Решение обратной задачи 2

Конкретизируем постановку обратной задачи 2. Найти ₂(z,y) и функцию u₂(z,y,t) из соотношений:

n n

y

z u z y Q z t z y h K D t T

tu

t u      



 



 1 ( , ) ( , ), ( , ) (0, ) ( ),

0 2

2 , 2

2 2 2

1 

 



(31)

, 0 )

( ,

0 _{2 0}

2_t0  u _tt 

u (32)

D h

K z h t T

u

n   

 _{( )} 0, (0, ), ₍₃₃₎

По известной дополнительной информации ) , 0 ( ), ( ),

,

0 (

2 z g y t y Kn D t Th

u _    (34)

А также, по уже известным вычислениям обратной задачи 1, имеем

2 1 2

1( ) ( , ) u

t t z Q и

z 

 



Пусть p(z, y)– есть приближенное решение обратной задачи (31)-(34), рассмотрим функционал:

 







 ^{T Dn}

D

n

n z y u y t p g y t dydt

p

0

) ( 2

) (

2( ( , )) [ (0, , ; ) ( , )] (35) Используем как и выше, итерационный метод:

), ( )

, ( )

,

( ^{( )} ₂ ^{( )}

) 1

( n

n n

n z y p z y p

p ^   

Где градиент функционала (35), определяется по формуле:





 ^h

T

n

n z y t q Q z t dt

q

0

) ( )

(

2( ) ( , , ; ) ( , ) ,

Здесь функция _{2 1}

2

) ,

( u

t t z

Q 

  считается уже вычисленной на предыдущем этапе, а )

; , ,

(z y t q⁽ⁿ⁾

 есть решение следующей сопряженной задачи:

), 0 , ( ), ( ) , 0 ( ) , ( 1 ,

) , ( ) , ( )

, ( )

( _,

2

1 p z y Q z t zy z y h Kn D t Th

y t t z

z      



 



 

 





 (36)

, 0 ,

0 

 _

Tn t t Th

t 

 (37)

), , 0 ( ), ( )],

, ( )

; , , 0 ( [

2 ₁ ^{( )}

0 n h

n z

z _  u y t p g y t yK D t T

 (38)

. ) , 0 ( ), , 0 ( ,

) 0

(D h

K_n  z h t T

 

(39)

Для численного решения прямой задачи (31)-(33) и вспомогательной задачи (36)-(39) используем схему расщепления [4].

Литература.

1. В.Г.Романов, С.И.Кабанихин. Обратная задача геоэлектрики. М.: Наука, 1991. - 303с.

2. С.И.Кабанихин, К.Т.Искаков Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач НГУ, Новосибирск, 2001. - 315 с.

3. Ф.П.Васильев. Методы решения экстремальных задач, М.: Наука, 1981. – 400 с.

4. А.А.Самарский. Теория разностных схем. М. Наука. 1975.

5. Шолпанбаев Б.Б. Двумерная обратная задача подповерхностной радиолокации в дискретной постановке // Вестник КазНПУ им.Абая, серия «Физико-математические науки», №4(32), С.173-178, 2010г.

6. Шолпанбаев Б.Б. Об одной обратной задаче электромагнитного каротажа, Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» Новосибирск, 21.-29.09.10

7. Искаков К.Т., Шолпанбаев Б.Б., Двумерная обратная задача геоэлектрики II МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «Информационно- инновационные технологии: интеграция науки, образования и бизнеса», посвященная 20-летию Независимости Республики Казахстан. Алматы, Казахстан, 1-2 декабря 2011 года, стр 361-366.