Дискретный аналог оптимизационного метода решения обратной задачи для параболического уравнения

(1)

1

УДК 517.988.68+517.968.22

К. Т. Искаков, Ж. О. Оралбекова

Казахский национальный педагогический университет им. Абая, г.Алматы

ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛОГ ОПТИМИЗАЦИОННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Параболалық типті теңдеулер үшін коэффициентті кері есептерді шешудің дискретті аналогы қарастырылды. Оңтайландыру есебі үшін ақырлы-айырымдық деңгейде функционалдың градиентін есептеуге арналған формулалар алынды.

The finite-difference method for the coefficient inverse problem for parabolic type equation is consid- ered. The gradient of the functional in finite-difference domain for optimization problem is obtained.

§1. Постановка оптимизационной задачи на дифференциальном уровне

В области ^Q^^[⁰^,^T^]^^[⁰^,^L^] рассмотрим прямую задачу, об определении функции u(x,t) из соотношений:

, 0

, )

(x u x L t T

q u

u_t  _xx     (1) ,

0 ), ( ) , 0

( t ₁ t t T

u_x    (2) ,

0 , 0 ) ,

(L t t T

u    (3) .

0 ), ( ) 0 ,

(x u₀ x x L

u    (4) Пусть относительно решения прямой задачи (1)–(4) известна дополнительная информация вида:

T t t

f t

u(0, ) ( ), 0  . (5) Обратная задача: По известной дополнительной информации (5) найти функции: q(x),



x,t;q(x)



u из соотношений (1)–(4).

Здесь и в дальнейшем выражение u



x,t;q(x)



обозначает особую зависимость функции )

, (x t

u от коэффициента q(x).

Пусть p(x) – приближенное решение обратной задачи.

Рассмотрим функционал невязки

 



^

^T u t p f t dt p

J

0

) 2

( )

; , 0 ( )

( . (6) Суть оптимизационного метода состоит в следующем, задаем начальное приближение p⁽⁰⁾(x), последующие приближения определяем из соотношений:

 

⁽ ⁾

) ( )

1

(ⁿ (x) p ⁿ (x) _n J p ⁿ

p ^

   

, n0,1,2, (7) Здесь: ^^J



^p⁽ⁿ⁾



– градиент функционала (6).

Рассмотрим приращения p(x)p(x) и uu(x,t;pp)u(x,t;p). Тогда приращение функционала J(pp)J(p) имеет вид:

 



^ ^









J p p J p ^T u t p f t u t dt ^T u t dt

0 0

2 (0, ) )

, 0 ( ) ( )

; , 0 ( 2 ) ( )

(    .

По аналогии как в работах [1, 2] получим формулу для вычисления градиента, который примет вид:







T

dt t x t x u p

J

0

) , ( ) , ( )

(  , (8) где: (x,t) – есть решение сопряженной задачи вида:

T t L

x x

xx p

t   ( ), 0  , 0 

 , (9) L

x T

x, )0, 0 

( , (10) T

t t

L, )0, 0 

( , (11)



u t p f t



t T

x(0,t)2 (0, ; ) ( ), 0 

 . (12) Приведем общую схему оптимизационного метода на дифференциальном уровне:

(2)

2

1⁰. Задаем начальное приближение p⁽⁰⁾(x), и решаем прямую задачу (1)–(4) полагая в ней )

( )

(x p⁽⁰⁾ x

q  , находим u⁽⁰⁾(x,t;p⁽⁰⁾(x)).

2⁰. Вычисляем значение функционала (6), если он достиг минимума, то примем p⁽⁰⁾(x) за приближенное решение обратной задачи, если нет, то далее.

3⁰. Вычисляем краевое условие (12) и при p(x) p⁽⁰⁾(x), и решаем задачу (9)–(12), получим ее решение ⁽⁰⁾(x,t;p⁽⁰⁾(x)).

4⁰. Вычисляем градиент функционала из (8), получим



^J



^p⁽⁰⁾⁽^x⁾



^.

5⁰. По формуле (7), находим очередное приближение p⁽¹⁾(x).

6⁰. Вновь вычисляем значение функционала (6), если он достиг минимума, то полагаем в качестве приближенного решения функцию p(x) p⁽¹⁾(x), если нет, то полагая p⁽⁰⁾(x) p⁽¹⁾(x), возвращаемся к пункту 3⁰.

Замечание 1. При описании алгоритма оптимизационного метода на дифференциальном уровне, мы полагаем, что решение прямой задачи и сопряженной задачи в классическом смысле существует, единственно и устойчиво. Также полагаем, что для решения прямой и сопряженной задач применяются классические методы их решения.

Данный алгоритм решения оптимизационной задачи будет использоваться нами на дискретном уровне.

§2. Дискретный аналог оптимизационного метода

Пусть p(x_i) – приближенное решение обратной задачи.

Аппроксимируем задачу (1)–(4), следующей разностной схемой:

_h j i j

j x x

t y py x t

y  ^¹ ^¹, ( , ) , (13) T

M t t

y_x^j_,₀ ₁( _j), 0 _j    , (14) T

M t

y_N^j 0, 0 _j   , (15)

h i i

i u x x

y⁰  ₀( ),  . (16) Здесь _h_ _h_ – сеточная аппроксимация области ^Q^[⁰^,^L^]^[⁰^,^T^];

} / 1 , , 0 ,

{x_i ih i N h N

h    

 ; _ ^{^tj  ^j^, ^j⁰^,^M^,  ^T^/^M^}; y⁽xi^,tj⁾ – сеточная аппроксимация функции u(x,t).

Пусть относительно разностной прямой задачи (13)–(16) известна дополнительная информация:

. 0

),

0 f(t t M

y^j  _j  _j  (17) Замечание 2. Можно использовать и другую аппроксимацию задачи (1)–(4) используя классическую теорию разностных схем [3] и использовать ниже приведенную схему исследования.

Но для простоты рассуждения мы остановимся на приведенной разностной схеме.

Рассмотрим один из вариантов дискретного аналога функционала (6), например вида:

   







 ^M

j

j i

j p f

y p

J

1

2

] 0

[



. (18) Зададим приращение pipi, и



y_i^j  y_i^j



p_i



p_i



y_i^j

 

p_i .

В дальнейшем будем использовать обозначение y_i^j

 

p_i , показывающую особую зависимость сеточной функции y_i^j от искомого коэффициента pi .

Относительно приращения y_i^j нетрудно получить следующую разностную задачу:

 



y_t  y_x^j_x^¹y^j^¹ pp y^j^¹, (x_i,t_j) _h , (19) T

t t

y_x^j^¹(0, _j)0, 0 _j 

 , (20) T

t t

L

y^j^¹( , _j)0, 0 _j 

 , (21)

h i

i x

x

y 

 ( ,0)0,  . (22) Перейдем к выводу разностного аналога градиента для функционала (18).

(3)

3 Умножим обе части разностного соотношения (19) на сеточную функцию h_i^j и затем просуммируем по ^j от 1 до M



1 и по индексу i от 1 до N 1, имеем:

       



^





 







 















 ¹

1

1 1 1

1 1

1 1 1 1 1

1 1

1

) ( )

(

N i

j i i j

i j i i M

j N

i

j i j

x x M

j N

i

j i j t i M

j

p y y

p h y

h y

h

        



. (23)

Применим к последнему разностный аналог интегрирования по частям. Рассматривая левые и правые части последнего соотношения в отдельности, при этом обозначая их через S₁, S₂, S3, получим цепочку соотношений:

j i N

i M

j

j i j

i M

j

j i j

N i i

y y h

h y

S

  





    



^







 



 





 

 ¹

1 1

1 1 1

1

1 .

Здесь и далее применим разностные аналоги интегрирования по частям:

 



,



,

) , (

, ,

) , (

1 0

0 0 1

v y v y y v v

y

v y v

y y v v

y

N N























 _

(24)

где: yi  yi_1 yi; y_i  y_i  y_i1;



^



¹

1

) ,

( ^N

i i iv y v

y ;

  



^N

i i iv y v

y

1

, .

Тогда используя (24), получим, что

 

.

,

, )

, (

1

1 1 1 1 3

1

1 1 1

1 2

1

1 0 1







 









 























N i

j i j

x x M

j N

i

j i i j i j i i M

j N

i

i i M i M i j j i j i

y h S

p y y p h S

y y

y h

S























Займемся преобразованием соотношения S3 правой части уравнения (23), при этом записав ее иначе, имеем:

 



^

 













 









    

 



   

 ¹

1

0 1

1

1 1 1

1

1 1 1

1 1

1 3

1

M j

N i

j i j i j

i j i j

i N

i

j i j

i j

i y y

h h

y y

h y

S

 

y

        

.

Используя разностные аналоги интегрирования по частям (25), получим:

   

 



^

         

 ¹

1

0 0 1

1 0

3 , ,

M j

N i N

j i j i N

i N j i j

i y y y y y

y

S

            

_.

Раскрыв скалярные произведения, имеем:



^

 





 







 

 



        



¹

1

0 0 1

1 0 1

1 1 3

M j

N i

N N N

N j i j i N

i

j i j

i y y y y y

y

S

            

.

Далее раскрыв суммы и объединяя их вновь, получим:



^.

) (

1 0 0 1 1 0 1 1 1

1 0 0

1 1

1 1 1

1 0 1 1

1 0

1 1 0 1

1 1

0 0 1

1 1

1 0 1 1

1 1 3

















 







    

 

 















      









         



 

j j j j j

N j N j

j

M j

j N j N j

j j N j N N

i

j i j

i j i j

j j M

j

j N j N j N j

j j N j N j

j j N j N N

i

j i j

i j i

y y

y

y y

y

y y

S



















































Учитывая соотношение S₁, S₂, S3 запишем исходное уравнение (23), иначе:

 

. )

(

) , (

3 2 1

1 1

1

1 1 0 1

1 1

1 0 1 1 1

1

1 0

S S y

y y

y h

M j

N i

j j j N j N j j j

N j N j i j

i j i

N i

i i M i M i j j i j i



 



 



        











 



















































(25)

Введем в рассмотрение сопряженную задачу:

(4)

4

2 , , 1 ,

1,

1   



 _x^j_x^ p_i ^j^ j M M

t  

 , (26)

, , , 1 , 0 ,

0 i N

M

i   

 (27) 1

, , 1 , ,

1 0

 



 j M M

j

N , (28)

   

^, ^, ¹^, ^,²

2 ₀

1 0

,^



y^j p_i



f ^j j



M M





j



x . (29) Далее учитывая условия (20)–(22), а также (26)–(29), соотношение (25) примет вид:

 

¹ ¹

1 2 0 0

2 1 1 0

1

2 ^ ^







  



^ ^ ^ ^ ^N ⁱ^j ⁱ^j

i i M

j j j M j

j i i N

i

iy y f y h p y

p

h

       

_.

Таким образом, окончательно получим, что приращение функционала имеет вид:

 









 









 ^M

j

N i

i i i j

i j i N

i

i y h y p

p h p J

2

1

1 1 0 1 1

1

)

(

     

_,

откуда градиент функционала





 



 ^M

j

j i j i i

i y

y p J

2

1 1

) 0

(

   

. (30) Приведем общую схему оптимизационного метода на дискретном уровне:

1⁰. Задаем начальное приближение p⁽⁰⁾(x_i), и решаем прямую задачу (13)–(16), находим



^, ^; ⁽⁰⁾⁽ ⁾



) 0 (

i j

i t p x

x

y .

2⁰. Вычисляем краевое условие (29), и при p_i(x_i) p⁽⁰⁾(x_i) решая сопряженную задачу (26)–

(29), получим ее решение



i⁽⁰⁾



xi^,tj^;p⁽⁰⁾⁽xi⁾



.

3⁰. Вычисляем градиент функционала по формуле (30).

4⁰. По методу спуска (7), находим очередное приближение p⁽¹⁾(x_i).

5⁰. Вычисляем значение функционала (18), если он достиг минимума, то полагаем в качестве приближенного решения обратной задачи функцию p(x_i) p⁽¹⁾(x_i), если нет, то полагая

) ( )

( ⁽¹⁾

) 0

( x p x

p _i  , возвращаемся к пункту 2⁰.

Заключение: При численной реализации оптимизационного метода решения обратной коэффициентной задачи эффективным является дискретный подход, описанный в параграфе 2. Об эффективности этого подхода для обратной коэффициентной задачи для уравнения гиперболического типа показано в работе [4].

Список литературы

1. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.:Наука, 1981 г., 400 с.

2. Кабанихин С.И., Искаков К.Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. Изд-во НГУ, Новосибирск, 2001 г., 316 с.

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977 г., 656 с.

4. Карчевский А.Л. Схема действий при численном решении обратной задачи оптимизационным методом. //Сиб.

электронные математические известия. Том 5, С.609-619.