View of Исследование разностных схем метода крупных частиц применительно к задачам инерционной фильтрации

Исследование разностных схем метода крупных частиц применительно к задачам инерционной фильтрации

Б.Ч. Чечейбаев

Кыргызская Республика, г. Бишкек, КНУ им. Ж. Баласагына

Аннотация

Рассматривается численная модель метода крупных частиц для расчета инерционных фильтрационных течений в пористой среде при использовании современной модели С.А.

Христиановича. Нелинейные свойства разностных схем метода крупных частиц исследуются с помощью метода дифференциальных приближений.

Одним из мощных методов современного вычислительно эксперимента является метод круп- ных частиц Давыдова [1, 2 и др.], с помощью которого успешно решаются сложные задачи механики сплошных и сыпучих сред. Традиционным уравнением подземной гидромеханики, характеризующим процесс фильтрации жидкости, является линейный закон А.Дарси и его обобщения для турбулентного режима. Как показала практика, совпадением данных опыта и численных расчетов, где в качестве динамического уравнения принимался закон А.Дарси, наблюдались только при медленных изменениях давления во времени. Фундаментальные ис- следования в области нефтегазовой подземной гидромеханики выполнены академиком С.А.

Христиановичем. Предложенная им модель фильтрации обобщает закон А.Дарси на случай учета сил инерции, больших градиентов пластового давления во времени, больших градиентов пористости [3 и др.]. Математическая модель фильтрации однородной жидкости в пласте при использовании модели С.А.Христиановича в пласте с переменной эффективной толщиной h(x, y) состоит из уравнения неразрывности, уравнения движения С.А.Христиановича и баро- тропных уравнений состояния для жидкости и пористой среды:

h^dρm_dt +div(ρmW h) = 0, ρ^dW_dt +ε²(∇P) +βP∇lnm) +^µm_λ W = 0, (1) ρ = ρ(P), m = m(P). где W = (u, ϑ) - вектор гидродинамической скорости жидкости, ρ- плотность, P- пластовое давление, m - пористость, β - безразмерная постоянная, величина которой зависит от физических параметров пористой среды. Величины ε², λв уравнении С.А.

Христиановича связаны с коэффициентом проницаемости в модели А. Дарси следующим об- разом:

k=λ·ε² (2)

Следуя работе [4], приведем алгоритм метода Давыдова для моделирования фильтрацион- ного течения жидкости в пласте при использовании модельного уравнения С.А. Христиановича.

Алгоритм метода Давыдова для расщепления системы (1) состоит из трех этапов.

1. Эйлеров этап.

На этом этапе для каждой расчетной ячейки (i, j) пренебрегаем всеми эффектами, свя- занными с ее перемещениями (отсутствует поток массы через границы ячейки). Тогда из уравнения неразрывности убирается конвективный член, а жидкость предполагается затормо- женной. Исходная система уравнений сводится, таким образом, к единственному соотношению- уравнению Христиановича. Второе уравнение системы (2) для пространственно-двумерного случая фильтрации имеет следующий вид:

ρ^du_dt +ε²(^dd^Px +β^d_d^m_x) +^µm_λ u= 0, ρ^dϑ_dt +ε²(^dd^Py +β^d_d^m_y) + ^µm_λ ϑ= 0 (3)

Аппроксимируя (3) в момент времени tⁿ , получим следующие разностные соотношения для ячейки (i, j) :

˜

uⁿ_i,j =uⁿ_i,j−∆t·(uⁿ_i,j uⁿ

i+¹₂,j−uⁿ

i−¹

2,j

∆x +ϑⁿ_i,j uⁿ

i,j+¹₂ −uⁿ

i,j−¹

2

∆y )−

−∆t

ρⁿ_i,j[ε²(P_i,jⁿ uⁿ

i+¹₂,j−Pⁿ

i−¹

2,j

∆x +β(P m)ⁿi,j

mⁿ

i,j+¹₂ −mⁿ

i,j−¹

2

∆x ) + (µm

λ )ⁿi,juⁿ_i,j], ϑ˜ⁿ_i,j =ϑⁿ_i,j−∆t·(uⁿ_i,j

ϑⁿ

i+ 12,j

−ϑⁿ

i−1 2,j

∆x +ϑⁿ_i,j

ϑⁿ

i,j+ 12

−ϑⁿ

i,j−1

∆y 2)− (4)

−∆t

ρⁿ_i,j[ε²(P_i,jⁿ uⁿ

i+¹₂,j−P_iⁿ₋₁

2,j

∆y +β(P m)ⁿi,j

mⁿ

i,j+¹₂ −mⁿ_i,j−1

2

∆y ) + (µm

λ )ⁿi,juⁿ_i,j].

где величины с дробными индексами относятся к границам ячейки и равны полусуммам зна- чений в смежных ячейках, например для горизонтальной составляющей скорости имеем

uⁿ_i+1

2,j = uⁿ_i,j+uⁿ_i+1,j

2 .

Таким образом, на первом этапе, в предположении заторможенности поля плотности, по извест- ному на слоеt=tⁿраспределению гидродинамических величин вычисляются промежуточные значенияu,˜ ϑ˜для центров крупных частиц (эйлеровых ячеек).

2. Лагранжев этап.

На данном этапе вычисляются эффекты переноса, учитывающие обмен между ячейками при их перестройке на прежнюю эйлерову сетку. Здесь находятся потоки массы ∆Mⁿ через границы эйлеровых ячеек за время∆t. При этом предполагается, что вся масса жидкости переносится только за счет нормальной к границе ячейки составляющей скорости. Уравнение неразрывности системы (1) в разностной форме можно записать следующим образом (в предположении, что поток жидкости через ячейку(i, j) направлен слева направо и снизу вверх):

(mhρ)ⁿ⁺¹_i,j ∆x∆y= (mhρ)ⁿi,j∆x∆y+ ∆M_iⁿ₋1

2,J−∆M_i+ⁿ 1

2,j+ 4∆M_i,jⁿ₋1 2

−∆M_i,j+ⁿ 1 2

. (5)

Формулы для нахождения потока масс ∆Mⁿ имеют, например, для правой границы (i+¹₂, j) ячейки(i, j) следующий вид:

∆Mⁿ

i+¹₂,j =< ρⁿ

i+¹₂,j ><u˜ⁿ

i+¹₂,j >< mⁿ

i+¹₂,j >< hⁿ

i+¹₂,j>∆y∆t (6)

Знак <> означает значения физических величин на границе ячейки. Выбор этих величин имеет важное значение, так как сильно влияет на устойчивость и точность вычислений.

3. Заключительный этап.

На данном этапе происходит перераспределение массы жидкости по эйлеровым ячейкам и определяются поля давления и плотности в новый момент времени. Используя разностный аналог уравнения неразрывности (1), получаем значение плотности для нового временного слояt=tⁿ⁺¹ :

ρⁿ⁺¹_i,j =ρⁿ_i,j+

∆Mⁿ

i−¹

2,j−∆Mⁿ

i+¹₂,j+ ∆Mⁿ

i,j−¹

2

−∆Mⁿ

i,j+¹₂

∆x∆y(mh)ⁿ_i,j (7)

Баротропное уравнение состояния ρ = ρ(P) позволяет вычислить новое значение давления в ячейке: P_i,jⁿ⁺¹ = P(ρⁿ⁺¹_i,j ) , где P =P(ρ) - функция, обратная к ρ = ρ(P) . В конце заключи- тельного этапа вычислений полагаем uⁿ_i,j = ˜uⁿ_i,j, ϑⁿ_i,j = ˜ϑⁿ_i,j.

Вычислительный цикл, таким образом, закончен. В дальнейшем вся процедура (эйлеров, лагранжев и заключительный этапы метода Давыдова) повторяется по порядку следования этапов для следующего момента времени t=tⁿ⁺² и т.д. Одной из актуальных проблем совре- менного численного моделирования является исследование вопросов исследования нелинейных свойств разностных схем (аппроксимации, устойчивости, аппроксимационной вязкости, диспер- сии, бивязкости, бидисперсии и т.д.). Для исследования нелинейных разностных схем метода Давыдова успешно применяется мощный аппарат метода дифференциальных приближений, примененный и развитый автором метода численного моделирования Ю.М. Давыдовым. Ма- тематический аппарат метода дифференциальных приближений изложен в работе [5 и др.].

Дифференциальное приближение занимает промежуточное положение между исходным диф- ференциальным уравнением и аппроксимирующей его разностной схемой. Дифференциальное приближение имеет структуру дифференциального уравнения, но его коэффициенты зависят от параметров рассматриваемой схемы. Таким образом, нулевое дифференциальное приближе- ние сохраняет информацию об исходных уравнениях, а последующие члены разложения более высоких дифференциальных приближений зависят от свойств разностной схемы. Дифферен- циальная структура приближения облегчает аналитические исследования свойств разностной схемы (особенно вопросов устойчивости, образования диссипативного механизма и дисперсии).

Вычисление дифференциальных приближений разностных схем требует проведения сложных, громоздких математических выкладок [5]. Поэтому в целях автоматизации вычислений на ЭВМ в данной работе была использована система аналитических вычислений Reduce-3. Для вычисления на ЭВМ дифференциальных приближений разностных схем будем рассматривать выражения для потока масс через границы ячеек

∆M_iⁿ₋1

2,j,∆M_i+ⁿ 1

2,j,∆M_i,jⁿ₋1 2

,∆M_i,j+ⁿ 1 2

,

которые определяются следующим образом:

∆Mⁿ

i+¹₂,j =< ρⁿ

i+¹₂,j ><u˜ⁿ

i+¹₂,j>< mⁿ

i+¹₂,j >< hⁿ

i+¹₂,j >∆y∆t, (8)

∆M_iⁿ₋1

2,j =< ρⁿ_i−1

2,j ><u˜ⁿ_i−1

2,j>< mⁿ_i−1

2,j >< hⁿ_i−1

2,j >∆y∆t, (9)

∆M_i,jⁿ₋1

2 =< ρⁿ_i,j−1 2

><ϑ˜ⁿ_i,j−1 2

>< mⁿ_i,j−1 2

>< hⁿ_i,j−1 2

>∆x∆t, (10)

∆M_i,j+ⁿ 1

2 =< ρⁿ_i,j+1 2

><ϑ˜ⁿ_i,j+1 2

>< mⁿ_i,j+1 2

>< hⁿ_i,j+1 2

>∆x∆t, (11)

Будем использовать формулы аппроксимации для промежуточных значений скоростей u˜ⁿ_i,j, ϑ˜ⁿ_i,j. Определяем поток массыM_i−ⁿ ₁

2,j. Рассмотрим произведение< ρⁿ_i−1

2,j><u˜ⁿ_i−1

2,j >на левой границе ячейки (i, j). Подставляя соответствующие выражения, получаем:

< ρⁿ_i−1

2,J ><u˜ⁿ_i−1

2,j>= 1 2ρⁿ_i−1

uⁿ_i−1,j+uⁿ_i,j−∆t(uⁿ_i−1,j

uⁿ_i,j−uⁿ_i−2,j 2∆x + +uⁿ_i,juⁿ_i+1,j−uⁿ_i−1,j

2∆x +ϑⁿ_i−1,jϑⁿ_i−1,j+1−ϑⁿ_i−1,j−1

2∆y +ϑⁿ_i,jϑⁿ_i,l+1−ϑⁿ_i−1,j 2∆y )

−

−1 2∆t

ε²(P_i,jⁿ −P_i−ⁿ_2,j

2∆x +P_i+1,jⁿ −P_i−ⁿ_1,j

2∆x +β((P m)ⁿi−1,j

mⁿ_i,j−mⁿ_i−2,j 2∆x + +(P

m)ⁿi,j

mⁿ_i+1,j−mⁿ_i−1,j

2∆x + (µm

λ )ⁿi−1,juⁿ_i−1,j+ (µm

λ )ⁿi,juⁿ_i,ji ) +1

2∆t∆x∗ (12)

∗

ε²(P_i+1,jⁿ −P_iⁿ_−1,j 2∆x + 1

β((P m)ⁿi,j

mⁿ_i+1,j−mⁿ_i−1,j

2∆x ) + (µm λ )ⁿi,juⁿ_i,j

Здесь ρi−1

ρ = ρ−ρx∆x+O(∆x²)

ρ = 1−ρx

ρ ∆x+O(∆x²).

Разностные формулы для произведения пористости среды на эффективную толщину пласта для потока жидкости, втекающей в ячейку (i, j) через границу (i− ¹₂, j) в момент времени , определяется следующим выражением:

< mⁿ_i−1

2,j>< hⁿ_i−1

2,j >= 1

4(mⁿ_i−1,j+mⁿ_i)(hⁿ_i−1,j+hⁿ_i,j) (13) Отсюда, если учесть выражения (12) и (13), то согласно (9) можно определить поток массы жидкости, втекающей в ячейку (i, j) . Аналогичным образом, рассмотрим поток массы жид- кости, вытекающей из ячейки(i, j)через границу(i+¹₂, j) в момент времениtⁿ. Произведение плотности на промежуточное значение скорости жидкости, вытекающей из ячейки(i, j), имеет следующий вид:

< ρⁿ

i+¹₂,J ><u˜ⁿ

i+¹₂,j>= ¹₂ρⁿ_i,j1n

uⁿ_i+1,j+uⁿ_i,j −∆t(uⁿ_i+1,j^u

n i+2,j−uⁿ_i,j

2∆x + ϑⁿ_i+1,j^ϑ

n

i+1,j+1−ϑⁿ_i+1,j−1

2∆y +uⁿ_i,j^u

n

i+1,j−uⁿ_i+1,j

2∆x +ϑⁿ_i,j^ϑ

n

i,j+1−ϑⁿ_i,j−1 2∆y )

o

−¹₂∆tε²(^P

n

i+1,j−P_iⁿ_−1,j

2∆x +

+^P

n i+2,j−Pi,jⁿ

2∆x +β((_m^P)ⁿi,j

mⁿi+1,j−mⁿi−1,j

2∆x +(_m^P)ⁿi+1,j

mⁿi+2,j−mⁿi,j

2∆x )) + (^µm_λ )ⁿi,juⁿ_i+1,ji + +¹₂∆t∆x^ρ_ρ^x ∗h

ε²(^P

n i+2,j−Pi,jⁿ

2∆x +β(^P_m)ⁿ_i+1,j^m

n

i+2,j−mⁿi,j

2∆x ) + (^µm_λ )ⁿ_i+1,juⁿ_i+1,j i

. (14)

Здесь ρⁿ_i,j

ρⁿ_i+1,j = ρ

ρ+ρ_x∆x+O(∆x²) = 1−ρx

ρ ∆x+O(∆x²), (15)

< mⁿ_i+1

2,j>< hⁿ_i+1

2,j >= 1

4(mⁿ_i,j+mⁿ_i+1,j)(hⁿ_i,j +hⁿ_i+1,j).

Принимая во внимание разностные выражения (14) и (15), на основе формулы для вычисления потока жидкости (8) можем определить ∆Mⁿ

i+¹₂,j . Теперь рассмотрим поток жидкости через ячейку(i, j), направленный снизу вверх. Рассмотрим поток массы жидкости ∆Mⁿ

i,j−¹

2

, втека- ющей в ячейку (i, j) через границу (i, j−¹₂). По аналогии с рассмотренными выше случаями имеем:

< ρⁿ

i,j−¹

2

><ϑ˜ⁿ

i,j−¹

2

>= ¹₂ρⁿ_i,j−1n

ϑⁿ_i,j+ϑⁿ_i,j−1 −∆t(uⁿ_i,j^ϑ

n

i+1,j−ϑⁿi−1,j

2∆x +ϑⁿ_i,j^ϑ

n

i,j+1−ϑⁿi,j−1

2∆y +

+uⁿ_i,j−1

ϑⁿ_i+1,j−1−ϑⁿ_i+1,j−1

2∆x +ϑⁿ_i,j−1

ϑⁿ_i,j−ϑⁿ_i,j−2 2∆y )

o

−¹₂∆t h

ε²(^P

n i,j−P_i,jⁿ₋₂

2∆y +^P

n

i,j+1−P_i,jⁿ₋₁

2∆y +

+β((_m^P)ⁿ_i,j−1

mⁿ_i,j−mⁿ_i,j−2

2∆y + (_m^P)ⁿ_i,j^m

n

i,j+1−mⁿ_i,j−1

2∆y + (^µm_λ )ⁿ_i,j−1ϑⁿ_i,j−1+(^µm_λ )ⁿ_i,jϑⁿ_i,ji

+^ρ_2ρ^y∆t∆y∗

∗

ε²(P_i,j+1ⁿ −P_i,j−ⁿ ₁

2∆y +β(P m)ⁿi,j

mⁿ_i,j+1−mⁿ_i,j−1

2∆y ) + (µm λ )ⁿϑⁿ_i,j

, (16)

где

< ρⁿ_i,j−1

2

>=ρⁿ_i,j−1. < mⁿ_i,j−1

2

>< hⁿ_i,j−1

2

>= 1

4(mⁿ_i,j+mⁿ_i,j−1)(hⁿ_i,j+hⁿ_i,j−1) (17) Подставляя формулы (15), (17) в (10), можно вычислить поток массы жидкости, идущей снизу вверх и втекающей в ячейку (i, j) через границу (i, j−¹₂). В случае потока, вытекающего из рассматриваемой ячейки (i, j) через границу (i, j+¹₂) , имеем следующее:

< ρⁿ

i,j+¹₂ ><ϑ˜ⁿ

i,j+₂¹ >= ¹₂ρⁿ_i,jn

ϑⁿ_i,j+1+ϑⁿ_i,j −∆t(uⁿ_i,j+1^ϑ

n

i+1,j+1−ϑⁿi−1,j+1

2∆x +uⁿ_i,j^ϑ

n

i+1,j−ϑⁿi−1,j

2∆x +

+ϑⁿ_i,j+1^ϑ

n i,j+2−ϑⁿi,j

2∆y +ϑⁿ_i,j^ϑ

n

i,j+1−ϑⁿi,j−1

2∆y )

o−¹₂∆th ε²(^P

n i,j+1−Pi,jⁿ

2∆y +^P

n

i,j+1−Pi,jⁿ−1

2∆y +

+β((_m^P)ⁿ_i,j+1^m

n

i,j+2−mⁿi,j

2∆y + (^P_m)ⁿi,j

mⁿi,j+1−mⁿi,j−1

2∆y )) +(^µm_λ )ⁿ_i,j+1ϑⁿ_i,j+1+ (^µm_λ )ⁿi,jϑⁿ_i,ji + +¹₂∆t∆yρy

h ε²(^P

n i,j+2−P_i,jⁿ

2∆y +β(^P_m)ⁿ_i,j+1^m

n

i,j+2−mⁿ_i,j

2∆y ) + (^µm_λ )ⁿ_i,j+1ϑⁿ_i,j+1i (18) где

< ρⁿ_i,j+1 2

>=ρⁿ_i,j < mⁿ_i,j+1 2

>< hⁿ_i,j+1 2

>= 1

4(mⁿ_i,j+mⁿ_i,j+1)(hⁿ_i,j +hⁿ_i,j+1) (19) Учитывая разностные соотношения (18) и (19), согласно (11) можно вычислить дифферен- циальные приближения для потока массы ∆Mⁿ

i,j+¹₂ . Таким образом, для вычисления потока массы жидкости через границы эйлеровых ячеек установлены соотношения∆M_i−ⁿ ₁

2,j,∆Mⁿ

i+¹₂,j,

∆M_i,jⁿ₋₁

2

, ∆Mⁿ

i,j+¹₂. Для вычисления дифференциальных приближений разностных схем не- обходимо разложить в ряд Тейлора по сеточным параметрам ∆x,∆y,∆t гидродинамические величины P, ρ, u, ϑи параметры пласта m(x, y, t), h(x, y).Алгоритм символьного вычислитель- ного процесса при использовании мощной системы аналитических вычислений Reduce-3 вы- глядит следующим образом:

1) вначале указывается порядок дифференциального приближения с помощью оператора присваивания.

2) описываются процедуры, позволяющие разложить функции в ряд Тейлора по сеточным параметрам ∆x,∆y,∆t; здесь используются операторы цикла конструкции FOR . . . DO, FOR . . . PRODUCT, FOR . . . SUM и т.д.

3) в теле программы осуществляется обращение к процедурам и производится разложение необходимых функций в ряд Тейлора.

4) вычисляются дифференциальные приближения потоков массы ∆M_iⁿ₋₁

2,j, ∆Mⁿ

i+¹₂,j,

∆M_i,jⁿ₋₁

2

, ∆Mⁿ

i,j+¹₂. Приведем гиперболическую форму первого дифференциального прибли- жения разностных схем метода Давыдова для течений жидкости в горизонтальном пласте в рамках модели фильтрации С.А. Христиановича.

h^∂ρm_∂t +div(ρmhw) = ¹₂(muρ_x)xh∆x+¹₂h∆y(mϑρ_y)y+¹₂∆x(muρ_xh)x+^∆y₂ (mϑρ_yh)y+ +βε²∆t(P hm_x)x+βε²∆t(P hm_y)y+ε²∆t(P_xhm)x+ε²∆t(P_yhm)y+

+∆t(hρmuu_x)x+ ∆t(hρmϑϑ_y)y+^µ_λ∆t(m²hu)x+ ^µ_λ∆t(m²hϑ)y+

+∆t(ρu_yhmϑ) + ∆t(ρumϑ_xh)y−¹₂∆t∆xβε^2ρ_ρ^x(P hm_x)x−^ε₂²∆t∆x^ρ_ρ^x(P_Xhm)X−

+¹₂∆t∆xβε^2ρ_ρ^Y(P hm_Y)Y −¹₂∆t∆y^ρ_ρ^y(P_yhm)y −¹₂∆t∆x^µ_λ^ρ_ρ^x(hum²)x−¹₂∆t∆y^ρ_ρ^y(hm²ϑ)y. Здесь толщина пласта является функцией h(x, y) . В случае h = const гиперболическая форма первого дифференциального приближения уравнения неразрывности имеет следующий

вид:

h^∂ρm_∂t +hdiv(ρmw) = ^∆x₂ (muρ_x)x+^∆y₂ (mϑρ_y)y +ε²β∆t(P m_x)x+

+ε²(mP_x)x∆t+βε²∆t(P m_y)y+ε²∆t(P_ym)y+ ∆t(uu_xmρ)x+ ∆t(ϑϑ_ymρ)y+ +^µ_λ∆t(m²u)x+^∆t_λ µ(m²ϑ)y + ∆t(ϑu_ymρ)x+ ∆t(uϑ_xmρ)y−¹₂βε²∆t∆x^ρ_ρ^x(m_XP)X

−¹₂∆t∆xε^2ρ_ρ^x(P_xm)x−¹₂βε²∆t∆y^ρ_ρ^y(m_yP)y−¹₂ε²∆t∆x^ρ_ρ^y(mP_y)y−¹₂∆t∆x(uu_xmρ_x)x−

1

2∆t∆y(ϑϑymρy)y−¹₂∆t∆x(uyϑmρx)x− −¹₂∆t∆x(uϑxmρy)y−¹₂∆t∆y^µ_λ^ρ_ρ^y(m²ϑ)y.

Далее, используя гиперболическую форму первого дифференциального приближения, мож- но получить параболическую форму первого дифференциального приближения и найти эле- менты матриц аппроксимационных вязкости и дисперсии. Составленная и прошедшая тест программа на языке аналитических вычислений Reduce-3 позволяет найти получить диффе- ренциальные приближения метода Давыдова n-го порядка.

Список литературы

[1] Давыдов Ю.М. Крупных частиц метод. В кн.: Математический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия, 1988. - С. 303-304.

[2] Yuri M. Davydov. Large-Particle Method. - In.: Encyclopaedia of Mathematics, vol. 5. - Dor- drecht/Boston/London: Kluwer academic publishers, 1990, p.p. 358-360.

[3] Христианович С.А. Избранные работы. Речная гидравлика. Теория фильтрации.

Аэродинамика и газовая динамика. Горное дело. Теория пластичности. Энергетика. - М.:

Наука - МФТИ, 1998. - 336 с.

[4] Давыдов Ю.М., Чечейбаев А.Б. Моделирование фильтрационных течений в пласте методом крупных частиц при различных моделях фильтрации. / В кн.: Математическое моделирование систем и процессов. Сб. научных трудов. - Пермь: Перм. гос. техн. ун-т, 2000. - С. 66-78.

[5] Давыдов Ю.М., Чечейбаев Б., Котельников В.А. и др.Исследование актуальных проблем механики и машиностроения. /Под ред. Ю.М. Давыдова, в 5-ти томах. - М.: Национальная Академия прикладных наук РФ, 1995. - 1658 с.

[6] Чечейбаев А.Б. Дифференциальные приближения второго порядка разностных схем метода Давыдова для расчета фильтрационных течений. / В кн.: Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса. -М.: Мин-во общего и профессионального образования РФ, РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина 2001. - С. 65.