Коммерциялық емес
акционерлік қоғам
Математика және математикалық үлгілеу кафедрасы
КЕЗДЕЙСОҚ ПРОЦЕССТЕР
5В100200 – Ақпараттық қауіпсіздік жүйелер мамандығы студенттері үшін есептеу-сызба жұмыстарды орындау бойынша әдістемелік нұсқаулықтар мен
тапсырмалар
Алматы 2019
АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА
ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС
УНИВЕРСИТЕТІ
ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Б.Ж. Толеуова, Г.К.Василина. Кездейсоқ процесстер: 5В100200 – Ақпараттық қауіпсіздік жүйелер мамандығы студенттері үшін есептеу-сызба жұмыстарды орындау бойынша әдістемелік нұсқаулықтар мен тапсырмалар. – Алматы: АЭжБУ, 2019. – 47 б.
Әдістемелік нұсқаулықтар мен тапсырмалар 5В100200 – Ақпараттық қауіпсіздік жүйелер мамандығы студенттері үшін «Кездейсоқ процесстер»
пәнінің есептеу-сызба жұмыстарын орындауға арналған.
Бұл материал осы мамандықтың «Кездейсоқ оқиға және кездейсоқ процесс», «Кездейсоқ көпөлшемді шама» тарауларының бағдарламасына негізделіп жасалған. Тапсырмалар берілген және қажетті теориялық мәліметтер келтірілген. Типтік нұсқаның шешуі және есептеулер көрсетілген.
Кесте –81, әдеб.көрсеткіші – 9 атау.
Пікір беруші:
«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2019 жылғы жоспары бойынша басылады.
«Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2019 ж.
Кіріспе
Табиғатта, техникада, экономикада кездейсоқтық элементі кездеспейтін құбылыстар жоқ деуге болады. Мұндай құбылыстарды зерттеудің екі жолы бар. Біріншісі – классикалық, сол құбылысты анықтайтын негізгі факторлар ескеріліп, ал кездейсоқ ауытқуларға әкелетін факторлар ескерілмейді. Көп құбылыстарды зерттегенде мұндай тәсіл тиімсіз. Тек қана негізгі факторлар емес, нәтижені ауытқуларға әкеліп соғатын қосымша факторлар да ескерілуі қажет. Кездейсоқ құбылыстарға тән анықталмағандық элементі әдейі зерттеулерді талап етеді. Кездейсоқ құбылыстардың заңдылықтарын зерттеумен ықтималдықтар теориясы айналысады.
Әдістемелік нұсқаулықтар мен тапсырмалар «Кездейсоқ оқиға және кездейсоқ процесс», «Кездейсоқ көпөлшемді шама» тарауларын қамтиды.
Әрбір бөлімде теориялық сұрақтар және и тапсырмалар берілген.
Қажетті мәліметтер мен типтік нұсқаның шешуі көрсетілген.
1 Есептеу-сызба жұмысы №1. Кездейсоқ оқиға және кездейсоқ процесс
Мақсаты: кездейсоқ оқиға, оның ықтималдығы түсініктерімен, ықтималдықтар теориясының негізгі теоремаларымен, кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдары және сандық сипаттамаларымен, сонымен қатар кездейсоқ процесс және кездейсоқ функция ұғымдарымен танысу.
1.1 Теориялық сұрақтар
1. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика пәні.
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Оқиғалар алгебрасы.
Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары.
2. Дискрет және үзіліссіз кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдары және сандық сипаттамалары.
3. Негізгі үлестіру заңдары: Пуассон, биномдық, бірқалыпты, көрсеткіштік, сандық сипаттамалары. Қалыпты үлестірілім, негізгі сандық сипаттамалары.
4. Шектік теоремалар. Орталық шектік теорема.
5. Кездейсоқ процесс және кездейсоқ функция ұғымы. Тәуелсіз өсімшелер процессі. Марков тізбегі.
6. Шектік ықтималдықтарды есептеу. Стационар үлестірім.
1.2 Тапсырмалар
1. Қорапта n шар бар, олардың ішінде m көк, қалғандары ақ. Табу керек:
а) көк шарлардың салыстырмалы жиілігін;
б) кездейсоқ алынған k шардың ішінде m1 көк шар болу ықтималдығын;
в) кездейсоқ алынған m шардың ішінде ең болмағанда бір көк шар болу ықтималдығын.
n m k m1 n m k m1
1.1 100 20 5 3 1.16 86 18 10 8
1.2 95 18 8 4 1.17 81 16 12 7
1.3 90 16 5 2 1.18 76 14 7 4
1.4 85 14 7 4 1.19 71 12 5 3
1.5 80 12 8 3 1.20 94 10 9 3
1.6 75 10 15 5 1.21 89 8 9 5
1.7 70 8 9 3 1.22 84 6 7 5
1.8 98 6 10 4 1.23 79 17 6 4
1.9 93 19 7 2 1.24 74 15 8 4
1.10 88 17 6 3 1.25 92 13 10 7
1.11 83 15 5 2 1.26 87 11 8 5
1.12 78 13 5 3 1.27 82 9 5 3
1.13 73 11 9 4 1.28 77 7 8 5
1.14 96 9 7 4 1.29 72 5 7 1
1.15 91 7 5 2 1.30 90 16 5 2
2. Цехта үш резерв электрқозғалтқыш бар. Олардың іске қосылып тұру ықтималдығы сәйкесінше p1, p2, p3.
а) тек бір электрқозғалтқыштың;
б) үш электрқозғалтқыштың үшеуінің де;
в) ең болмаса бір электрқозғалтқыштың іске қосылып тұру ықтималдығын табыңыз.
p1 p2 p3 p1 p2 p3 p1 p2 p3
2.1 0.9 0.7 0.4 2.11 0.5 0.9 0.8 23.21 0.7 0.5 0.6 2.2 0.8 0.6 0.5 2.12 0.4 0.8 0.9 2.22 0.6 0.4 0.7 2.3 0.7 0.5 0.6 2.13 0.9 0.7 0.4 2.23 0.5 0.9 0.8 2.4 0.6 0.4 0.7 2.14 0.8 0.6 0.5 2.24 0.4 0.8 0.9 2.5 0.5 0.9 0.8 2.15 0.7 0.5 0.6 2.25 0.9 0.7 0.4 2.6 0.4 0.8 0.9 2.16 0.6 0.4 0.7 2.26 0.8 0.6 0.5 2.7 0.9 0.7 0.4 2.17 0.5 0.9 0.8 2.27 0.7 0.5 0.6 2.8 0.8 0.6 0.5 2.18 0.4 0.8 0.9 2.28 0.6 0.4 0.7 2.9 0.7 0.5 0.6 2.19 0.9 0.7 0.4 2.29 0.5 0.9 0.8 2.10 0.6 0.4 0.7 2.20 0.8 0.6 0.5 2.30 0.4 0.8 0.9
3. Студенттің әрбір бес емтиханның әрқайсысын табысты тапсыруының ықтималдығы p-ға тең. Студенттің
а) үш емтиханды;
б) екеуден кем емтиханды;
в) екеуден кем емес емтиханды тапсыру ықтималдығын табыңыз.
№ p № p № p № p № p № p
3.1 0,9 3.6 0,4 3.11 0,5 3.16 0,8 3.21 0,3 3.26 0,6 3.2 0,8 3.7 0,3 3.12 0,6 3.17 0,7 3.22 0,2 3.27 0,7 3.3 0,7 3.8 0,2 3.13 0,7 3.18 0,6 3.23 0,3 3.28 0,8 3.4 0,6 3.9 0,3 3.14 0,8 3.19 0,5 3.24 0,4 3.29 0,9 3.5 0,5 3.10 0,4 3.15 0,9 3.20 0,4 3.25 0,5 3.30 0,9
4. Өнеркәсіп құрылғысы n транзистордан тұрады. Бір транзистордың істен шығу ықтималдығы p-ға тең. k транзистордың істен шығу ықтималдығын табыңыз.
№ р n k № р n k № р n k
4.1 0.002 1000 7 4.11 0.01 2000 8 4.21 0.004 5000 9 4.2 0.003 1000 7 4.12 0.01 3000 8 4.22 0.005 6000 9 4.3 0.004 1000 7 4.13 0.02 2000 8 4.23 0.01 4000 9 4.4 0.005 1000 7 4.14 0.01 5000 8 4.24 0.01 5000 9 4.5 0.006 1000 7 4.15 0.02 3000 8 4.25 0.01 6000 9 4.6 0.007 1000 7 4.16 0.01 7000 8 4.26 0.007 1000 9 4.7 0.008 1000 7 4.17 0.02 4000 8 4.27 0.008 1000 9 4.8 0.009 1000 7 4.18 0.01 9000 8 4.28 0.009 1000 9 4.9 0.01 1000 7 4.19 0.02 5000 8 4.29 0.01 1000 9 4.10 0.011 1000 7 4.20 0.011 1000 8 4.30 0.012 1000 9
5. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна р.
Найти вероятность наступления события А при n испытании:
а) ровно k2раз;
б) для 1-15 вариантов от k1 до k2раза; для 16-30 вариантов более k2раз.
№ n k1 k2 p № n k1 k2 p
5.1 100 80 90 0.8 5.16 100 90 95 0.6 5.2 100 85 95 0.8 5.17 100 62 82 0.6 5.3 100 70 95 0.8 5.18 100 50 70 0.8 5.4 100 83 93 0.7 5.19 100 55 75 0.8 5.5 100 50 60 0.7 5.20 100 45 80 0.8 5.6 100 65 75 0.7 5.21 100 40 60 0.8 5.7 100 70 80 0.7 5.22 100 35 70 0.3 5.8 100 40 50 0.6 5.23 100 50 80 0.3
5.9 100 65 80 0.75 5.24 100 40 65 0.3 5.10 100 70 85 0.75 5.25 200 45 75 0.4 5.11 100 78 92 0.75 5.26 200 100 150 0.4 5.12 100 20 60 0.7 5.27 200 80 170 0.4 5.13 100 30 85 0.7 5.28 300 150 180 0.8 5.14 100 40 79 0.7 5.29 400 100 190 0.6 5.15 100 80 95 0.6 5.30 400 200 295 0.7
6. Үлестіру қатарымен берілген дискрет кездейсоқ Х шама үшін а) F(x) үлестіру функциясын тауып, графигін сызыңыз;
б) математикалық күтімін, дисперсиясын, орташа квадраттық ауытқуын, модасын;
в) Х кездейсоқ шаманың (a;b) аралығына түсу ықтималдығын табыңыз.
№ Х х1 х2 х3 х4 х5 х6 а b
p р1 р2 р3 р4 р5 р6
6.1 Х 0 1 2 4 6 9 -2 7
Р 0.05 0.15 0.3 0.25 0.15 0.1
6.2 Х -3 -2 -1 0 2 4 -1 3
Р 0.15 0.3 0.02 0.14 0.18 0.31
6.3 Х 1 2 3 5 7 8 -3 6
Р 0.3 0.14 0.16 0.1 0.2 0.1
6.4 Х -4 -3 -2 0 1 2 0 1
Р 0.2 0.08 0.23 0.27 0.12 0.1
6.5 Х 1 2 4 5 7 9 3 8
Р 0.19 0.21 0.06 0.14 0.12 0.28
6.6 Х -1 0 2 3 5 7 -4 4
Р 0.26 0.14 0.07 0.2 0.03 0.3
6.7 Х -2 -1 0 3 5 7 1 6
Р 0.18 0.09 0.01 0.2 0.22 0.3
6.8 Х 1 2 4 5 6 8 0 6
Р 0.3 0.17 0.13 0.1 0.2 0.1
6.9 Х 1 2 3 4 7 9 5 8
Р 0.11 0.29 0.06 0.14 0.17 0.23
6.10 Х 0 1 2 3 7 9 4 8
Р 0.06 0.14 0.3 0.25 0.15 0.1
6.11 Х -3 -2 0 1 2 4 -1 3
Р 0.15 0.3 0.01 0.14 0.19 0.31
6.12 Х -1 0 3 5 7 8 1 6
Р 0.25 0.14 0.16 0.1 0.2 0.15
6.13 Х -4 -3 -2 0 2 4 -1 3
Р 0.2 0.07 0.24 0.26 0.13 0.1
6.14 Х -3 -1 0 3 4 7 -2 6 Р 0.12 0.09 0.01 0.2 0.28 0.3
6.15 Х -1 0 1 3 7 8 2 6
Р 0.26 0.14 0.15 0.2 0.3 0.15
6.16 Х -2 -1 0 1 2 7 -3 5
Р 0.17 0.09 0.01 0.3 0.23 0.2
6.17 Х 1 2 3 5 6 7 0 4
Р 0.1 0.14 0.16 0.1 0.2 0.3
6.18 Х -3 -1 0 3 5 6 -2 4
Р 0.16 0.09 0.01 0.3 0.24 0.2
6.19 Х 1 2 5 6 7 8 3 6
Р 0.2 0.15 0.15 0.1 0.3 0.1
6.20 Х -1 0 2 4 7 8 1 5
Р 0.23 0.18 0.12 0.2 0.1 0.17
6.21 Х 1 2 4 5 6 8 0 7
Р 0.3 0.14 0.16 0.03 0.2 0.17
6.22 Х -4 -3 -1 0 1 3 -2 2
Р 0.2 0.03 0.24 0.26 0.17 0.1
6.23 Х 1 2 3 4 7 9 0 8
Р 0.17 0.23 0.09 0.11 0.12 0.28
6.24 Х 0 1 3 5 7 8 2 6
Р 0.2 0.14 0.16 0.12 0.3 0.08
6.25 Х -5 -3 -2 0 1 3 -4 2
Р 0.2 0.06 0.21 0.29 0.14 0.1
6.26 Х 1 2 3 5 8 9 4 7
Р 0.18 0.22 0.05 0.15 0.12 0.28
6.27 Х 1 3 4 5 7 8 2 6
Р 0.3 0.16 0.14 0.01 0.2 0.19
6.28 Х -5 -3 -1 0 1 3 -4 2
Р 0.1 0.03 0.14 0.36 0.17 0.2
6.29 Х 0 2 3 4 6 8 1 7
Р 0.26 0.14 0.05 0.15 0.12 0.28
6.30 Х -1 0 2 3 7 8 1 6
Р 0.21 0.16 0.14 0.1 0.2 0.19
7. Үлестіру функциясымен берілген үзіліссіз кездейсоқ Х шама үшін а) f(x) үлестіру тығыздығын;
б) математикалық күтімін, дисперсиясын, орташа квадраттық ауытқуын, модасын, медианасын;
в) Х кездейсоқ шаманың (a;b) аралығына түсу ықтималдығын табыңыз.
F(x) және f(x) функцияларының графиктерін сызыңыз.
№ F(x) а b № F(x) а b
7.1
2 , 1
2 0 3, 8 1
0 , 0
х х х
х 0 4 7.16
4 , 1
4 1 ), 1 5( 1
0 , 0
х х х
х 0 3
7.2
3 , 1
3 0 ), 2 5 2 33(
1
0 , 0
х х х х
х 1 2 7.17
2 / , 1
2 / 0
, sin
0 , 0
х х x
х 0
6
7.3
3 , 1
3 0
2, 9 1
0 , 0
х х х
х 0 1 7.18
2 , 1
2 0
), 3 3
(
0 , 0
х х х
х
х 0,2 0,9
7.4
4 , 1
4 0 ), 2 5 2 24(
1
0 , 0
х х х х
х 0 1 7.19
2 , 1
2 1 , 2 / 2 ) (
0 , 0
х х х
х
х 1,5 2
7.5
2 , 1
2 0 3 ), 10(
1
0 , 0
х х х х
х 0 1 7.20
2 , 1
2 0 , 6 / 2 ) (
0 , 0
х х х
х
х 0 1,5
7.6
4 , 1
4 0 3 ), 20(
1
0 , 0
х х х х
х 0 3 7.21
2 , 1
2 0 ), 2 3 10(
1
0 , 0
х х х х
х 1 1,5
7.7
х егер
х егер
x
х егер , 1
4 / 3 , 2 cos
0 ,
0 4
3 6
5 7.22
2 , 1
2 1 ), 2 2 4( 1
0 , 0
х х х
х
х 1,2 1,5
7.8
2 / , 1
2 / 0 , cos 1
0 , 0
х
х x
х 0
3
7.23
4 ,
1
4 2
, 2 1 1
2 ,
0
х х х
х 1 3
7.9
4 , 1
4 0 ), 3 8 96(
1
0 , 0
х х х х
х 0 2 7.24
6 , 1
6 0
6 , 1
0 , 0
х х х
х 2 5
7.10
2 , 1
2 1 2, ) 1 9( 1
1 ,
0
х х х
х 1 2 7.25
1 , 1
1 1 2, 1 2 1
1 ,
0
х х х
х -0,5 0,2
7.11
х
х x
х , 1
2 / , sin 1
2 / ,
0 2
4
3 7.26
3 , 1
3 2 2, ) 2 (
2 , 0
х х х
х
2,5 2,8
7.12
2 , 1
2 1 ), 3 1 9( 1
1 ,
0
х х х
х 1 2 7.27
2 , 1
2 1 2 ),
2( 1
1 , 0
х х х
х
х 1,5 1,9
7.13
3 , 1
3 0 ), 2 2 3 33(
1
0 , 0
х х х х
х 0 2 7.28
х х x
х , 1
2 / , cos
2 / ,
0 2
6 5
7.14
2 , 1
2 2 / 3 , cos
2 / 3 , 0
х x х
х 2
3 4
7 7.29
5 , 1
5 1 ), 1 4( 1
1 , 0
х х х
х 2 4
7.15
3 , 1
3 0 ), 2 2 15(
1
0 , 0
х х х х
х 0 2 7.30
х
х x
х
, 1
0 ), cos 1 2( 1
0 ,
0 3
2
8. [0;a] кесіндіде бірқалыпты үлестірілген Х кездейсоқ шамасы үшін а) f(x) үлестірілім тығыздығын;
б) F(x) үлестірілім функциясын;
в) математикалық күтімін, дисперсиясын;
г) Х< m болу ықтималдығын тауып, F(x) және f(x) функцияларының графиктерін сызыңыз.
№ а m № а m № а m
8.1 0,2 0,04 8.11 0,3 0,08 8.21 19 8 8.2 0,3 0,02 8.12 0,6 0,01 8.22 20 5 8.3 0,1 0,06 8.13 0,9 0,06 8.23 25 5 8.4 0,5 0,01 8.14 0,5 0,05 8.24 9 3 8.5 0,6 0,05 8.15 0,8 0,07 8.25 14 7
8.6 0,9 0,02 8.16 5 3 8.26 18 9
8.7 0,1 0,08 8.17 10 4 8.27 24 8
8.8 0,7 0,01 8.18 15 5 8.28 6 3
8.9 0,4 0,06 8.19 6 2 8.29 12 6
810 0,5 0,07 8.20 20 10 8.30 16 8
9. N элементтен түратын радиоаппаратураның бір жыл ішінде бір элементінің жұмыс істемей қалу ықтималдығы р-ға тең және басқа элементтерден тәуелсіз.
а) жұмыс істемей қалған элементтер санының үлестіру заңын құрыңыз;
б) бір жылда m-нен кем емес элементтің жұмыс істемей қалу ықтималдығы қандай?
№ N m р N m р
9.1 2000 4 0,001 9.16 1500 3 0,002
9.2 1000 5 0,007 9.17 2000 4 0,001
9.3 3000 7 0,004 9.18 1000 5 0,007
9.4 2000 5 0,002 9.19 3500 1 0,002
9.5 1000 6 0,005 9.20 2000 5 0,001
9.6 5000 2 0,001 9.21 1000 6 0,005
9.7 2000 4 0,001 9.22 4500 2 0,003
9.8 1500 5 0,008 9.23 2000 4 0,001
9.9 3500 7 0,004 9.24 1000 5 0,007
9.10 2000 2 0,003 9.25 3000 7 0,004
6.11 1500 6 0,005 9.26 2000 5 0,002
9.12 4000 2 0,006 9.27 1000 6 0,005
9.13 8000 2 0,001 9.28 6500 8 0,007
9.14 6500 6 0,002 9.29 7000 6 0,002
9.15 3000 2 0,005 9.30 5500 9 0,004
10. Шамның жұмыс жасау уақыты (кездейсоқ шама Т) – параметрлі көрсеткіштік үлестіру заңына бағынған, мұндағы – уақыт бірлігі ішінде шамның жұмыс істемей қалуының орташа саны. Табу керек:
а) f(t) үлестірілім тығыздығын;
б) F(t) үлестірілім функциясын, оның ықтимал мағынасын;
в) R(t) сенімділік функциясын, оның ықтимал мағынасын;
г) математикалық күтімін, дисперсиясын;
д) t уақыт ішінде шамның жұмыс істемеу және жұмыс істеу ықтималдығын.
№ Т0 t № Т0 t № Т0 t
10.1 2 5 10.11 3 8 10.21 1 5
2.2 3 10 10.12 4 4 10.22 2 10
10.3 4 6 10.13 6 3 10.23 3 6
10.4 6 8 10.14 7 2 10.24 4 8
10.5 7 4 10.15 8 1 10.25 6 4
10.6 8 3 0.16 9 10 10.26 7 3
10.7 9 2 10.17 10 6 10.27 8 2
10.8 10 1 10.18 1 7 10.28 9 1
10.9 1 10 10.19 2 8 10.29 10 7
10.10 2 6 10.20 3 2 10.30 1 9
11. Өлшеу барысында кездейсоқ қате жіберу (кездейсоқ шама Х) а және
параметрлі қалыпты үлестіру заңына бағынған. Табу керек:
а) f(t) үлестірілім тығыздығын;
б) F(t) үлестірілім функциясын;
в) математикалық күтімін, дисперсиясын;
г)
;
араалығына түсу ықтималдығын;д) өлшеу барысында жіберілген қатенің абсолют шамасы бойынша - дан артық болмау ықтималдығын.
№ а № а
11.1 10 2 9 14 2 11.16 10 1 8 14 2
11.2 12 4 5 14 3 11.17 12 2 7 14 3
11.3 14 1 9 15 5 11.18 14 3 10 15 5
11.4 11 6 8 12 3 11.19 11 5 9 12 3
11.5 13 4 6 17 2 11.20 13 2 6 13 2
11.6 12 9 8 15 4 11.21 12 3 7 15 4
11.7 10 3 6 17 2 11.22 10 2 8 17 2
11.8 12 5 6 13 6 11.23 12 4 6 14 6
11.9 14 2 12 19 5 11.24 14 6 11 19 5
11.10 15 3 4 12 3 11.25 15 5 8 12 3
11.11 17 1 5 14 2 11.26 17 4 6 14 2
11.12 12 4 9 18 4 11.27 12 5 7 18 4
11.13 11 3 4 12 3 11.28 18 5 6 12 3
11.14 17 2 5 19 5 11.29 10 4 6 15 2
11.15 13 5 6 18 3 11.30 12 3 5 18 4
12. Марковтік тізбектің 1-ші күйден 2-ші күйге 1 қадамда ауысу ықтималдығының P1 матрицасы берілген. 1-ші күйден 2-ші күйге 2 қадамда ауысу ықтималдығының P2 матрицасын табыңыз.
№ P1 № P1 № P1
12.1
8 , 0 2 , 0
9 , 0 1 ,
0 12.11
5 / 3 5 / 2
3 / 2 3 /
1 12.21
8 , 0 2 , 0
87 , 0 13 , 0
12.2
7 , 0 3 , 0
8 , 0 2 ,
0 12.12
5 / 2 5 / 3
8 / 6 8 /
2 12.22
7 , 0 3 , 0
78 , 0 22 , 0
12.3
8 , 0 2 , 0
7 , 0 3 ,
0 12.13
7 , 0 3 , 0
1 , 0 9 ,
0 12.23
8 , 0 2 , 0
7 , 0 3 , 0
12.4
5 , 0 5 , 0
6 , 0 4 ,
0 12.14
7 , 0 2 , 0
55 , 0 45 ,
0 12.24
85 , 0 15 , 0
6 , 0 4 , 0
12.5
3 , 0 7 , 0
4 , 0 6 ,
0 12.15
8 , 0 2 , 0
39 , 0 61 ,
0 12.25
29 , 0 71 , 0
4 , 0 6 , 0
12.6
2 , 0 8 , 0
4 , 0 6 ,
0 12.16
2 , 0 8 , 0
35 , 0 65 ,
0 12.26
2 , 0 8 , 0
4 , 0 6 , 0
12.7
2 / 1 2 / 1
4 / 3 4 /
1 12.17
3 / 1 3 / 2
4 / 2 4 /
2 12.27
5 / 1 5 / 4
8 / 7 8 / 1
12.8
5 / 1 5 / 4
3 / 1 3 /
2 12.18
7 / 3 7 / 4
3 / 1 3 /
2 12.28
5 / 1 5 / 4
8 / 5 8 / 3
12.9
4 / 3 4 / 1
7 / 6 7 /
1 12.19
4 / 3 4 / 1
8 / 7 8 /
1 12.29
6 / 4 6 / 1
7 / 6 7 / 1
12.10
7 , 0 3 , 0
9 , 0 1 ,
0 12.20
7 , 0 3 , 0
85 , 0 15 ,
0 12.30
67 , 0 33 , 0
9 , 0 1 , 0
1.3 Типтік нұсқаның шешуі
1. Қорапта n=90 шар, оның ішінде m=30 көк, қалғандары ақ. Табу керек:
а) көк шарлардың салыстырмалы жиілігін;
б) кездейсоқ алынған k=7 шардың ішінде m1=4 көк шар болу ықтималдығын;
в) кездейсоқ алынған m шардың ішінде ең болмағанда бір көк шар болу ықтималдығын.
Шешуі: а) А оқиғасының (белгілеуі Р*(А)) салыстырмалы жиілігі деп А оқиғасы пайда болған m тәжірибелер санының барлық n тәжірибелер санына қатынасын атайды: Р*(А) = m/ n. Сонда
Р*(А) = 30/90=1/3.
б) және в) пункттерінде ықтималдықтың классикалық анықтамасын қолданамыз: Р(А) = m/ n, мұндағы m – А оқиғасы пайда болған тәжірибелер саны, n – барлық n тәжірибелер саны;
б) А оқиғасы – кездейсоқ алынған 7 шардың 4-інің көк болуы.
n = С790; А оқиғасы пайда болған тәжірибелер саны m = С430 С360, яғни С430– 30 көк шардан 4 көк шарды таңдау тәсілдерінің саны, С360 – 60 көк емес шардан 3 көк емес шарды таңдау тәсілдерінің саны. Сонымен,
Р(А) = m/ n = С430 С360 / С790= 0,1256.
в) А оқиғасы – кездейсоқ алынған 30 шардың ішінде ең болмағанда бір көк шар болуы. Онда қарама-қарсы оқиға A - кездейсоқ алынған 30 шардың ішінде бірде-бір көк шардың болмауы. Осы оқиғаның ықтималдығын табамыз: Р(A) = m/ n = С3060/С3090= 1,2104. Сонда А оқиғасының ықтималдығы: P(A)1P(A)11,2104 1, яғни ақиқат оқиға деуге болады.
2. Цехта үш резерв электрқозғалтқыш бар. Олардың іске қосылып тұру ықтималдығы сәйкесінше p1=0,8, p2=0,3, p3=05.
а) тек бір электрқозғалтқыштың;
б) үш электрқозғалтқыштың үшеуінің де;
в) ең болмаса бір электрқозғалтқыштың іске қосылып тұру ықтималдығын табыңыз.
Шешуі: а) А оқиғасы – үш резерв электрқозғалтқыштың біреуінің іске қосылып тұруы, Аi –i-ші электрқозғалтқыштың іске қосылып тұруы. Сонда
А p
A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3
p =0,80,70,5+0,20,30,5+0,20,70,5=
=0,38.
б) B оқиғасы – үш электрқозғалтқыштың үшеуінің де іске қосылып тұруы. Сонда
B p A1A2A3
p =0,80,30,5=0,12.
в) C оқиғасы – үш электрқозғалтқыштың ең болмаса біреуінің іске қосылып тұруы. Қарама-қарсы оқиғаны қарастырайық: C – бірде бір электрқозғалтқыш қосылмай тұр, яғни C A1A2A3, сонда
) ( 1 )
(С P C
P = =1P(A1A2A3)=10,20,70,5=0,93.
3. Студенттің әрбір бес емтиханның әрқайсысын табысты тапсыруының ықтималдығы p=0. Студенттің
а) үш емтиханды;
б) екеуден кем емтиханды;
в) екеуден кем емес емтиханды тапсыру ықтималдығын табыңыз.
Шешуі: А оқиғасының ықтималдығын есептеу үшін Бернулли формуласын қолданамыз: Pn(k)Cnkpkqnk, мұндағы Pn(k) – n тәуелсіз тәжірибе барысында оқиғаның k рет (k0,1,2,...n) пайда болу ықтималдығы,
p
q1 . В және С оқиғаларының ықтималдығын ықтималдықтардың қосындысы түрінде қарастырамыз: Pn(k)Pn(k 1)...Pn(n) – n тәуелсіз тәжірибе барысында оқиғаның k-дан кем емес рет пайда болу ықтималдығы, яғни k рет, немесе k+1 рет,…, немесе n рет; Pn(0)Pn(1)...Pn(k) – n тәуелсіз тәжірибе барысында оқиғаның k-дан артық емес рет пайда болу ықтималдығы, яғни 0 рет, немесе 1 рет,…, немесе k рет. Бұл ықтималдықтарды комулятивті (жинақталған) деп атайды. Сонымен:
а)P(A)=P5(3)C53 0,73 0,32=0,3087;
б) P(B) P5(1) P5(0)0,0054;
в) P(C)P5(3)P5(4) P5(5)0,5129.
4. Өнеркәсіп құрылғысы n=3000 транзистордан тұрады. Бір транзистордың істен шығу ықтималдығы p=0,002-ге тең. k=8 транзистордың істен шығу ықтималдығын табыңыз.
Шешуі: n өте үлкен, ал p өте аз, ал n p - аз сан болғандықтан, бұл оқиғаның Pn(k) ықтималдығын Бернулли формуласымен емес, Пуассон формуласы арқылы тапқан дәлірек болады: Pn(k)k e /k!.
n=3000, k=8, p=0,002, 30000,0026 болғандықтан,
! 8 / 6
) 8
( 8 6
3000
e
P =0,1033.
5. Әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы р=0,8.
А оқиғасының n=100 тәжірибеде а) 80 рет;
б) 80-нен артық рет пайда болу ықтималдығын табыңыз.
Шешуі: тәуелсіз тәжірибелер саны n өте үлкен болғандықтан, n тәуелсіз тәжірибе барысында оқиғаның k рет (k0,1,2,...n) пайда болу ықтималдығы Pn(k) Муавр-Лапластың локальдық теоремасы бойынша жуық
шамамаен есептеледі: 1 ( )
)
( x
k npq
Pn , мұндағы
npq np
x k , 0 p1, )
2 / 2 exp(
) 1
(x x2
(бұл функцияның мәндері қосымша кестелерде келтірілген).
n тәуелсіз тәжірибе барысында оқиғаның k1 мен k2аралығында рет )
,...
2 , 1 , 0
(k n пайда болу ықтималдығы Pn(k) Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы бойынша жуық шамамаен есептеледі:
) ( ) ( ) ,
(k1 k2 x2 x1
Pn , мұндағы
npq np x2 k2 ,
npq np x1 k1 , dt
t x
x
) 2 / 2 exp(
) 1 (
0
2
–Лаплас функциясы (бұл функцияның мәндері
қосымша кестелерде келтірілген).
а) 100 0,8 0,2 8 , 0 100 80
x =0, (0) 0,399/4 0,09975
2 , 0 8 , 0 100 ) 1
80
100(
P ;
б) P100(k80)P100(80,100)(x3)(x2)0,5;
6. Үлестіру қатарымен берілген дискрет кездейсоқ Х шама үшін а) F(x) үлестіру функциясын табыңыз;
б) математикалық күтімін, дисперсиясын, орташа квадраттық ауытқуын, модасын;
в) Х кездейсоқ шаманың (15;45) аралығына түсу ықтималдығын табыңыз.
Шешуі: а) Х кездейсоқ шаманың F(x) үлестіру функциясы (интегралдық үлестіру функциясы) Х<х оқиғасының ықтималдығын анықтайды. Дискретті кездейсоқ шама үшін бұл функцияны мына формуламен анықтаймыз:
x x
i
i
p x
X P x
F( ) ( ) = =
( )
x x
i
i
x X
P , мұндағы қосынды xi x болатындай барлық i үшін жүргізіледі.
Сонымен, 1) егер x0, онда F(x)P(X 0)0; 2) егер 0x10, онда F(x)P(X 0)0,05;
3) егер 10x20, онда F(x)P(X 0)P(X 10)0,050,150,2; 4) егер 20x30, онда F(x) P(X 0)P(X 10)P(X 20)0,5;
5) егер 30x40, онда F(x)P(X 0)P(X 10)P(X 20)P(X 30)= 75
, 0 25 , 0 5 ,
0
;
6) егер 40x50, онда F(x)P(X 0)P(X 10)P(X 20)P(X 30)+ +P(X 40) 0,750,20,95;
7) егер x50, онда F(x)P(X 0)P(X 10)P(X 20)P(X 30)+ +P(X 40)P(X 50) 0,950,051.
Сонымен,
. 50 ,
1
, 50 40
, 95 , 0
, 40 30
, 75 , 0
, 30 20
, 5 , 0
, 20 10
, 2 , 0
, 10 0
, 05 , 0
, 0 ,
0
) (
егер x егер x егер x егер x
егер x егер x
егер x
x
F .
б) Сандық сипаттамаларын есептейміз. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі осы шаманың қабылдайтын мәндері мен олардың сәйкес ықтималдықтары көбейтінділерінің қосындысына тең:
i i ip x X
M( ) . Сондықтан,
0 0,15 10 0,15 20 0,3 30 0,25 40 0,2 50 0,05 )
(X
M 25,5.
Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы D(X)M[X M(X)]2 формуласымен немесе D(X)M(X2)[M(X)]2 формуласымен есептеледі.
Бұл формулаларды былайша жазуға болады: i
i
i M X p
x X
D( )
( ( ))2 немесе ( ) 2 ( i)2
i i i
i
i p x p
x X
D
